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湘教版九年级上册期末综合提分卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，△ABC中，BD、CE是两条中线，则S△ADE：S△DEF＝（ ）
A．2：1 B．4：1 C．3：1 D．5：2
3．如图，正方形ABCD的边长为2， ， 线段MN的两端在CD，AD上滑动，当 与以D，M，N为顶点的三角形相似时，DM的长为（ ）
A． B． 或 C． D． 或
4．下面图形是相似形的为（ ）
A．所有矩形 B．所有正方形
C．所有菱形 D．所有平行四边形
5．在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比，三角形的周长（ ）
A．没有发生变化 B．放大了10倍
C．放大了30倍 D．放大了100倍
6．如图，点A是反比例函数y＝ 的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B.点C为y轴上的一点，连接AC，BC.若△ABC的面积为4，则k的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8
7．如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（4，4）、D（6，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段CD缩小为线段AB，若点B的坐标为（3，1），则点A的坐标为（ ）
A．（0，3） B．（1，2） C．（2，2） D．（2，1）
8．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为40米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米，围成的苗圃面积为y，则y关于x的函数关系式为（ ）
A．y＝x（40－x） B．y＝x（18－x）
C．y＝x（40－2x） D．y＝2x（40－x）
9．如图，已知正方形ABCD，E为AB的中点，F是AD边上的一个动点，连接EF，将△AEF沿EF折叠得△HEF，延长FH交BC于M，现在有如下5个结论：①△BEM≌△HEM；②△EFM一定是直角三角形；③当M与C重合时，有DF＝2AF；④MF平分正方形ABCD的面积；⑤；在以上5个结论中，正确的有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．如图，点A，B的坐标分别为 、 ，点C为坐标平面内一点， ，点M为线段 的中点，连接 ，当 最大时，M点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．在函数 的图象上有三点（﹣3，y1）、（﹣2，y2）、（1，y3），则函数值y1、y2、y3的大小关系为 .
12．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且 ，则 ．
13．如图，国庆节期间，小明一家自驾到某景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶8千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达景区C，小明发现景区C恰好在A地的正北方向，则B，C两地的距离为 ．
14．已知反比例函数 为常数， 的图象经过点 ，当 时，则y的取值范围是 ．
15．如图， 是 的边 上一点，且点 的横坐标为3， ，则 ．
16．将一元二次方程 用配方法化成的 形式为 ．
17．一块材料形状是Rt△ABC，∠C=90°量得边AC=6cm，AB =10cm，用它来加工一个正方形零件，使正方形的至少一边在Rt△ABC的边上，其余顶点在其它边上，则这个正方形零件的边长为： ．
18．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AB，AD的中点，BF与EC、ED分别交于点M，N.已知AB＝4，BC＝6，则MN的长为 .
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC
（2）若AB＝4，AD＝3 ，AE＝3，求AF的长．
20．（6分）如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝ 的图象相交于A（-1，n），B（2，-1）两点，与y轴相交于点C．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积．
21．（9分）如图，平行于 轴的直尺（一部分）与双曲线 （ ）交于点 和 ，与 轴交于点 和 ，点 和 的刻度分别为 和 ，直尺的宽度为 ， （注：平面直角坐标系内一个单位长度为 ）
（1）求 点的坐标；
（2）求双曲线 的解析式；
（3）若经过 ， 两点的直线解析式为 ，请直接写出关于 的不等式 解集．
22．（9分）如图，在 中， ， ，将 绕点 顺时针方向旋转 到△ 的位置．
（1）画出旋转后的△ ；
（2）连接 ，求证：直线 是线段 的垂直平分线；
（3）求线段 的长．
23．（9分）我们知道当人们的视线与物体的表面互相垂直且视线恰好落在物体中心位置时的视觉效果最佳，如图是小然站在地面 欣赏悬挂在墙壁 上的油画 （ ）的示意图，设油画 与墙壁的夹角 ，此时小然的眼睛与油画底部 处于同一水平线上，视线恰好落在油画的中心位置 处，且与 垂直．已知油画的长度 为 ．
（1）视线 的度数为 ；（用含 的式子表示）
（2）当小然到墙壁 的距离 时，求油画顶部点 到墙壁 的距离；
（3）当油画底部 处位置不变，油画 与墙壁的夹角逐渐减小时，小然为了保证欣赏油画的视觉效果最佳，他应该更靠近墙壁 ，还是不动或者远离墙壁 ？（直接回答即可）
24．（9分）如图，在第一象限内有一点A（4，1），过点A作AB⊥x轴于B点，作AC⊥y轴于C点，点N为线段AB上的一动点，过点N的反比例函数y＝ 交线段AC于M点，连接OM，ON，MN．
（1）若点N为AB的中点，则n的值为 ；
（2）求线段AN的长（用含n的代数式表示）；
（3）求△AMN的面积等于 时n的值．
25．（9分）如图，在 中， ， ， cm，点 从点 出发，沿 以2cm/s的速度向终点 运动，当点 与点 、 不重合时，过点 作 交射线 于点 ，以 、 为邻边向上作平行四边形 ，设 点的运动时间为 ，平行四边形 与 的重叠部分图形的面积为 ．
（1）填空： ， ；
（2）当点 在 上时，求 的值；
（3）求 与 的函数解析式，并直接写出自变量 的取值范围．
26．（9分）已知：在△EFG中，∠EFG＝90°，EF＝FG，且点E，F分别在矩形ABCD的边AB，AD上．
（1）如图1，当点G在CD上时，求证：△AEF≌△DFG；
（2）如图2，若F是AD的中点，FG与CD相交于点N，连接EN，求证：EN＝AE+DN；
（3）如图3，若AE＝AD，EG，FG分别交CD于点M，N，求证：MG2＝MN MD．
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湘教版九年级上册期末综合提分卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵关于x的方程2x2-2x+2k-1＝0有实数根，
∴Δ＝b2-4ac≥0，
即4-4×2（2k-1）≥0，
解得k．
故答案为：C．
【分析】利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。
2．如图，△ABC中，BD、CE是两条中线，则S△ADE：S△DEF＝（ ）
A．2：1 B．4：1 C．3：1 D．5：2
【答案】C
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，两条中线BD、CE相交于点F，
∴DE为中位线，，
∴DEBC，DE＝BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴，
∵CF＝2EF，
∴，
∴，
∴，
∴＝3：1．
故答案为：C．
【分析】先证明△DEF∽△BCF，可得，再结合CF＝2EF，可得，再求出，即可得到＝3：1。
3．如图，正方形ABCD的边长为2， ， 线段MN的两端在CD，AD上滑动，当 与以D，M，N为顶点的三角形相似时，DM的长为（ ）
A． B． 或 C． D． 或
【答案】D
【解析】【解答】解： 正方形ABCD边长是2， ，
，
，
当 ∽ 时
，
.
当 ∽ 时，
，
.
或 .
故答案为：D.
【分析】根据正方形的性质可得∠A= ∠C=90°， AD=AB=2 ，则AN=EB=1 ，再根据勾股定理求得AE的长， 分两种情况讨论，即假设△ABE∽△NDM或△ABE∽△MDN，分别求出DM的长即可.
4．下面图形是相似形的为（ ）
A．所有矩形 B．所有正方形
C．所有菱形 D．所有平行四边形
【答案】B
【解析】【解答】A、所有矩形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；
B、所有正方形，形状相同，但大小不一定相同，符合相似定义，故正确.
C、所有菱形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；
D、所有平行四边形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；
故答案为：B.
【分析】根据对应角相等，对应边成比例两个多边形相似，据此对选项逐一分析即可作答.
5．在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比，三角形的周长（ ）
A．没有发生变化 B．放大了10倍
C．放大了30倍 D．放大了100倍
【答案】B
【解析】【解答】解：∵在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相似，相似比为10：1，
∴根据相似三角形的性质，三角形的周长比等于相似比，
∴三角形的周长被放大了10倍.
故答案为：B.
【分析】由相似三角形的性质可知其周长比等于相似比，据此即可判断.
6．如图，点A是反比例函数y＝ 的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B.点C为y轴上的一点，连接AC，BC.若△ABC的面积为4，则k的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8
【答案】D
【解析】【解答】解：连结OA，如图，
∵ 轴，
∴OC∥AB，
∴
而
∴
∵
∴
故答案为：D.
【分析】连结OA，根据OC∥AB，得出△AOB与△ABC等积，则由反比例函数k的几何意义，结合图象在第二象限即可求出k值.
7．如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（4，4）、D（6，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段CD缩小为线段AB，若点B的坐标为（3，1），则点A的坐标为（ ）
A．（0，3） B．（1，2） C．（2，2） D．（2，1）
【答案】C
【解析】【解答】解：∵在第一象限内将线段CD缩小为线段AB，点B的坐标为（3，1），D（6，2），
∴以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的 后得到线段CD，
∵C（4，4），
∴端A点的坐标为：（2，2）.
故答案为：C.
【分析】直接利用位似图形的性质得出对应点坐标乘以 得出即可.
8．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为40米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米，围成的苗圃面积为y，则y关于x的函数关系式为（ ）
A．y＝x（40－x） B．y＝x（18－x）
C．y＝x（40－2x） D．y＝2x（40－x）
【答案】C
【解析】【解答】设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米，所以平行于墙的边的长度为（40-2x）米，
由题意则有：y=x（40-2x），
∴y关于x的函数关系式为y=x（40-2x），
故答案为：C．
【分析】设出未知数，利用矩形的面积公式即可得出函数的解析式。
9．如图，已知正方形ABCD，E为AB的中点，F是AD边上的一个动点，连接EF，将△AEF沿EF折叠得△HEF，延长FH交BC于M，现在有如下5个结论：①△BEM≌△HEM；②△EFM一定是直角三角形；③当M与C重合时，有DF＝2AF；④MF平分正方形ABCD的面积；⑤；在以上5个结论中，正确的有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝90°，
∵E为AB的中点，
∴EA＝EB，
由翻折可知：FA＝FH，EA＝EH，∠A＝∠FHE＝90°，
∴∠EHM＝∠B＝90°，
∵EM＝EM，EH＝EB，
∴Rt△EMHRt△EMB（HL），
∴∠MEH＝∠MEB，
∵∠FEH＝∠FEA，
∴∠FEM＝∠FEH+∠MEH＝（∠AEH+∠BEH）＝90°，
∴△EFM是直角三角形，
故①②正确，
∵∠FEM＝90°＝∠FHE，
∴∠FEH+∠MEH＝90°＝∠FEH+∠EFH，
∴∠EFH＝∠HEM，
又∵∠FHE＝∠EHM＝90°，
∴△FHE∽△EHM，
∴＝，
又∵EH＝EB＝AB，
∴，故⑤正确，
如图1中，当M与C重合时，
设AE＝EB＝2a.则AB＝BC＝AD＝CD＝4a，
∵∠FEM＝90°，
∴∠AEF+∠CEB＝90°＝∠AEF+∠AFE，
∴∠AFE＝∠ECB，
又∵∠A＝∠B＝90°，
∴△AEF∽△BCE，
∴＝＝，
∴AF＝a，
∴DF＝3a，
∴DF＝3AF，
∴DF＝AF，
∴DF＝3AF，故③错误，
如图2中，
当点F与点D重合时，直线MF不平分正方形的面积，故④错误，
综上所述，正确的有：①②⑤.
故答案为：B.
【分析】由正方形的性质可得∠A＝∠B＝90°，根据中点的概念可得EA＝EB，由翻折可知：FA＝FH，EA＝EH，∠A＝∠FHE＝90°，∠FEH＝∠FEA，证明Rt△EMHRt△EMB，得到∠MEH＝∠MEB，求出
∠FEM＝90°，据此判断①②；证明△FHE∽△EHM，由相似三角形的性质可判断⑤；当M与C重合时，
设AE＝EB＝2a，则AB＝BC＝AD＝CD＝4a，证明△AEF∽△BCE，由相似三角形的性质可得AF＝a，则DF＝3a，据此判断③；当点F与点D重合时，直线MF不平分正方形的面积，据此判断④.
10．如图，点A，B的坐标分别为 、 ，点C为坐标平面内一点， ，点M为线段 的中点，连接 ，当 最大时，M点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵点C在坐标平面内，BC=1，
∴C在半径为1的 上，
如图所示，取 ，连接CD，
∵AM=CM，OD=OA，
∴OM为△ACD的中位线，
∴ ，
当OM最大时，即CD最大，
此时D，B，C三点共线，
∵ ，∠BOD=90°，
∴BD=2，
∴CD=2+1=3，
作CE⊥x轴于E点，
∵CE∥OB，
∴ ，即： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵M是AC的中点，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为1的，根据三角形的中位线定理可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在BD的延长线上时，OM最大，根据平行线分线段成比例定理求得C的坐标，进而即可求得M的坐标.
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．在函数 的图象上有三点（﹣3，y1）、（﹣2，y2）、（1，y3），则函数值y1、y2、y3的大小关系为 .
【答案】
【解析】【解答】解：当x＝﹣3时，y1 ；
当x＝﹣2时，y2 ；
当x＝1时，y3 ，
∴y2＜y1＜y3.
故答案为：y2＜y1＜y3.
【分析】分别将x＝﹣3，x＝﹣2，x＝1代入函数 中，求出其函数值，然后比较函数值的大小即可.
12．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且 ，则 ．
【答案】
【解析】【解答】 四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且 ，
，
则 ，
故答案为： ．
【分析】利用位似图形的性质结合位似比等于相似比得出答案．
13．如图，国庆节期间，小明一家自驾到某景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶8千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达景区C，小明发现景区C恰好在A地的正北方向，则B，C两地的距离为 ．
【答案】 千米．
【解析】【解答】过B作BD⊥AC于点D．
在Rt△ABD中，BD＝AB sin∠BAD＝8× ＝4 （千米），
∵△BCD中，∠CBD＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴CD＝BD＝4 （千米），
∴BC＝ ，BD＝4 （千米）．
故答案为：4 千米．
【分析】根据题意在图中作出直角三角形，由题中给出的方向角和距离，先求出 BD 的长，再根据等腰三角形的性质即可求得.
14．已知反比例函数 为常数， 的图象经过点 ，当 时，则y的取值范围是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：将点 代入 ，得k=4，
当x=1时,y=4，当x=2时y=2，
∵k=4，y随x的增大而减小，
∴ ，
故填 .
【分析】先求得k=4，再将x=1、x=2分别代入解析式求值即可得到取值范围.
15．如图， 是 的边 上一点，且点 的横坐标为3， ，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意可得，
∵ ，
∴点P的纵坐标为4，
∴ 就等于点P的纵坐标与其横坐标的比值，
∴ ．
故答案为： ．
【分析】由已知条件可得出点P的纵坐标为4，则 就等于点P的纵坐标与其横坐标的比值．
16．将一元二次方程 用配方法化成的 形式为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：由方程 ，变形得： ，
配方得： ，
即 ；
故答案为 .
【分析】把方程常数项移到右边，两边加上1，变形得到结果，即可得到答案.
17．一块材料形状是Rt△ABC，∠C=90°量得边AC=6cm，AB =10cm，用它来加工一个正方形零件，使正方形的至少一边在Rt△ABC的边上，其余顶点在其它边上，则这个正方形零件的边长为： ．
【答案】或
【解析】【解答】解：Rt△ABC，∠C=90°，AC=6cm，AB =10cm，
①如图，
设正方形的边长为x，则
四边形是正方形
，
即
解得
（2）如图，设正方形的边长为y
四边形是正方形
，
在上
即
四边形是正方形
，又
又
，
即
即
解得
综上所述，正方形的边长为：或
故答案为：或
【分析】根据勾股定理可得，分两种情况：①当正方形的两邻边分别在Rt△ABC的边AC、BC上时，②当正方形的边分别在边AB上时，根据正方形的性质及相似三角形的判定与性质进行解答即可.
18．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AB，AD的中点，BF与EC、ED分别交于点M，N.已知AB＝4，BC＝6，则MN的长为 .
【答案】
【解析】【解答】解：如图1所示，延长CE，DA交于点Q，
∵四边形ABCD是矩形，BC=6，
∴∠BAD=90°，AD=BC=6，AD∥ BC，
∵F为AD的中点，
∴AF=DF=3，
在Rt△BAF中，由勾股定理得：
，
∵AD ∥ BC，
∴∠Q=∠ECB，
∵E为AB的中点，AB=4，
∴AE=BE=2，
在△QAE和△CBE中，
∴△QAE≌△CBE（AAS），
∴AQ=BC=6，即QF=6+3=9，
∵AD
BC，
∴△QMF∽△CMB，
∴ ，
∵BF=5，
∴BM=2，FM=3，
如图2所示，延长BF和CD，交于W，
同理AB=DW=4，CW=8，BF=FW=5，
∵AB
CD，
∴△BNE∽△WND，
∴ ，
∴ ，
解得：BN=
，
∴MN=BN BM=
2=
.
故答案为：
.
【分析】延长CE，DA交于点Q，由矩形的性质得∠BAD=90°，AD=BC=6，AD∥BC，由中点概念得AF=DF=3，由勾股定理求出BF，证△QAE≌△CBE，得AQ=BC=6，则QF=9，证明△QMF∽△CMB，由相似三角形性质得BM、FM，延长BF和CD，交于W，同理得AB=DW=4，CW=8，BF=FW=5，证明△BNE∽△WND，根据相似三角形的性质求出BN，然后根据MN=BN BM进行计算 .
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC
（2）若AB＝4，AD＝3 ，AE＝3，求AF的长．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC AB∥CD∴∠ADF=∠CED ∠B+∠C=180° ∵∠AFE+∠AFD=180° ∠AFE=∠B
∴∠AFD=∠C
∴△ADF∽△DEC
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC CD=AB=4又∵AE⊥BC ∴ AE⊥AD 在Rt△ADE中，DE=
∵△ADF∽△DEC
∴∴
AF=
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，求出∠ADF=∠CED 、∠AFD=∠C ，根据两角相等两三角形相似，得到△ADF∽△DEC；（2）在Rt△ADE中，根据勾股定理求出DE的值，由（1）中的△ADF∽△DEC，得到比例，求出AF的值；
20．（6分）如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝ 的图象相交于A（-1，n），B（2，-1）两点，与y轴相交于点C．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积．
【答案】（1）解：∵反比例函数 的图象经过点B（2，－1），
∴m＝－2．……
∵点A（－1，n）在 的图象上，∴n＝2．∴A（－1，2）．
把点A，B的坐标代入y＝kx＋b，得
解得 ，
∴一次函数的表达式为y＝－x＋1，反比例函数的表达式为 ；
（2）解：∵直线y＝－x＋1交y轴于点C，∴C（0，1）．
∵点D与点C关于x轴对称，∴D（0，－1）．∵B（2，－1），∴BD∥x轴．
∴S△ABD＝ ×2×3＝3．
【解析】【分析】（1）先求出 n＝2 ，再求出 A（－1，2） ，最后利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出 C（0，1） ，再求出 D（0，－1） ，最后利用三角形的面积公式计算求解即可。
21．（9分）如图，平行于 轴的直尺（一部分）与双曲线 （ ）交于点 和 ，与 轴交于点 和 ，点 和 的刻度分别为 和 ，直尺的宽度为 ， （注：平面直角坐标系内一个单位长度为 ）
（1）求 点的坐标；
（2）求双曲线 的解析式；
（3）若经过 ， 两点的直线解析式为 ，请直接写出关于 的不等式 解集．
【答案】（1）解：∵ ，平面直角坐标系内一个单位长度为 ，
∴A点横坐标为2，
∵点 和 的刻度分别为 和 ，
∴AB=5-2=3（cm）
∴A点纵坐标为3，
A点坐标为：
（2）解：将 点坐标代入 中，得： ，
解得， ，
∴双曲线的解析式为
（3）解：∵直尺的宽度为 ，
∴C点横坐标为4，代入 得， ，
，
C点坐标为（4， ），
不等式 ，
移项得， ，
就是比较一次函数 与反比例函数 函数值大小，
由图象可知，
在A点左侧，y轴右侧，或在B点右侧符合题意，
故关于 的不等式 的解集是 或
【解析】【分析】（1）先求出 A点横坐标为2， 再求出 A点纵坐标为3， 即可求出点A的坐标；
（2）将A点的坐标代入，利用待定系数法计算求解即可；
（3）先求出 ， 再结合点的坐标和函数图象求解即可。
22．（9分）如图，在 中， ， ，将 绕点 顺时针方向旋转 到△ 的位置．
（1）画出旋转后的△ ；
（2）连接 ，求证：直线 是线段 的垂直平分线；
（3）求线段 的长．
【答案】（1）解：见图1
（2）证明：如图，连接 ，
∵ΔABC绕点 顺时针方向旋转 得到△ ，
， ，
是等边三角形，
，
∴点 在线段 的垂直平分线上；
∵ ，
∴点 在线段 的垂直平分线上；
∴直线 是线段 的垂直平分线
（3）解：如图，延长 交 于点 ，
在 中，由勾股定理得： ，
，
在 中，
在 中，
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质作图即可；
（2）先求出BA=BB'，再证明点 在线段 的垂直平分线上，最后求解即可；
（3）根据勾股定理求出AB的值，再利用锐角三角函数进行计算求解即可。
23．（9分）我们知道当人们的视线与物体的表面互相垂直且视线恰好落在物体中心位置时的视觉效果最佳，如图是小然站在地面 欣赏悬挂在墙壁 上的油画 （ ）的示意图，设油画 与墙壁的夹角 ，此时小然的眼睛与油画底部 处于同一水平线上，视线恰好落在油画的中心位置 处，且与 垂直．已知油画的长度 为 ．
（1）视线 的度数为 ；（用含 的式子表示）
（2）当小然到墙壁 的距离 时，求油画顶部点 到墙壁 的距离；
（3）当油画底部 处位置不变，油画 与墙壁的夹角逐渐减小时，小然为了保证欣赏油画的视觉效果最佳，他应该更靠近墙壁 ，还是不动或者远离墙壁 ？（直接回答即可）
【答案】（1）2a
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ =100cm，点E是AD的中点，
∴AE=50cm，
∴ ，
∴ ，
∴油画顶部到墙壁的距离 是
（3）解：因为当人们的视线与物体的表面互相垂直且视线恰好落在物体中心位置时的视觉效果最佳，所以当油画底部 处位置不变，油画 与墙壁的夹角逐渐减小时，则人与油画的中心位置所夹的角也越来越小，进而小然为了保证欣赏油画的视觉效果最佳，他应该远离墙壁
【解析】【解答】解：（1）连接BD，如图所示：
∵ ，AB∥MN，
∴∠CAB=90°，
∴∠PAD+∠DAB=90°，
∵BE⊥AD，
∴∠DAB+∠ABE=90°，
∴∠PAD=∠ABE，
∵点E是AD的中点，
∴AB=BD，
∴∠ABD=2∠EAB，
∵ ，
∴ ，
故答案为 ；
【分析】（1）先求出∠PAD+∠DAB=90°，再求出∠ABD=2∠EAB，最后进行求解即可；
（2）先证明 ， 再代值进行计算求解即可；
（3）根据题意判断求解即可。
24．（9分）如图，在第一象限内有一点A（4，1），过点A作AB⊥x轴于B点，作AC⊥y轴于C点，点N为线段AB上的一动点，过点N的反比例函数y＝ 交线段AC于M点，连接OM，ON，MN．
（1）若点N为AB的中点，则n的值为 ；
（2）求线段AN的长（用含n的代数式表示）；
（3）求△AMN的面积等于 时n的值．
【答案】（1）2
（2）解：由（1）可知：xA=xB=xN=4，
∵点N在 上，
∴yN= ，
∴AN=AB-BN= ，
故线段AN的长为
（3）解：由（2）可知：AN= ，
∵点A（4，1），AC⊥y轴，交 于点M，
∴yA=yM=1，AC=xN=4，
则xM= =n，即CM=xM=n，
∴AM=AC-CM=4-n，
∵AC⊥y轴，AB⊥x轴，
∴四边形OBAC为矩形，
∴∠A=90°，
∴S△AMN=
=
= ，
又△AMN的面积等于 ，
∴ ，
解得： ，
又AN= ＞0，
∴n＜4，
∴ ，
故n的值为
【解析】【解答】解：（1）∵A（4，1），AB⊥x轴于点B，交 于点N，
∴xA=xB=xN=4，AB=1，
又∵点N为AB中点，
∴BN= AB= ，即yN= ，
∴n=xN×yN=4× =2，
故n=2；
【分析】（1）根据题意求出xA=xB=xN=4，AB=1，再求出yN= ，最后计算求解即可；
（2）根据题意求出 yN= ， 再求出 AN=AB-BN= ， 即可作答；
（3）根据题意求出 yA=yM=1，AC=xN=4， 再求出 四边形OBAC为矩形， 最后利用三角形的面积公式计算求解即可。
25．（9分）如图，在 中， ， ， cm，点 从点 出发，沿 以2cm/s的速度向终点 运动，当点 与点 、 不重合时，过点 作 交射线 于点 ，以 、 为邻边向上作平行四边形 ，设 点的运动时间为 ，平行四边形 与 的重叠部分图形的面积为 ．
（1）填空： ， ；
（2）当点 在 上时，求 的值；
（3）求 与 的函数解析式，并直接写出自变量 的取值范围．
【答案】（1）；
（2）解：∵
∴
设 点的运动时间为 ，则
∵ ，
∴
∴
∴
∴
∴
∵平行四边形
∴AD∥EF，
∴
∴
∴
∴ ，解得
（3）解：当 时，平行四边形 与 的重叠部分图形的面积为 ，
即
当D到达B点停止运动，且与B不重合，则
当 时，如图，平行四边形 与 的重叠部分图形的面积为 ，
由（2）可知， ，
∵平行四边形
∴AD∥EF
∴
∴
∴
∴
∵ ，
∴
∵平行四边形
∴DF∥AC
∴
∴
∴
∴
∴
自变量 的取值范围：
【解析】【解答】（1）∵在 中， ， ， cm，
∴
∴ cm， cm，
【分析】（1）利用勾股定理求解即可；
（2）先证明，再利用相似三角形的性质可得，求出EC的长，再利用，得到，即可求出答案；
（3）分两种情况： 当 时，当 时， 再结合图形利用相似三角形的性质求解即可。
26．（9分）已知：在△EFG中，∠EFG＝90°，EF＝FG，且点E，F分别在矩形ABCD的边AB，AD上．
（1）如图1，当点G在CD上时，求证：△AEF≌△DFG；
（2）如图2，若F是AD的中点，FG与CD相交于点N，连接EN，求证：EN＝AE+DN；
（3）如图3，若AE＝AD，EG，FG分别交CD于点M，N，求证：MG2＝MN MD．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴∠AEF+∠AFE＝90°，
∵∠EFG＝90°，
∴∠AFE+∠DFG＝90°，
∴∠AEF＝∠DFG，
∵EF＝FG，
∴△AEF≌△DFG（AAS）
（2）解：如图2，
延长NF，EA相交于H，
∴∠AFH＝∠DFN，
由（1）知，∠EAF＝∠D＝90°，
∴∠HAF＝∠D＝90°，
∵点F是AD的中点，
∴AF＝DF，
∴△AHF≌△DNF（ASA），
∴AH＝DN，FH＝FN，
∵∠EFN＝90°，
∴EH＝EN，
∵EH＝AE+AH＝AE+DN，
∴EN＝AE+DN
（3）解：如图3，
过点G作GP⊥AD交AD的延长线于P，
∴∠P＝90°，
同（1）的方法得，△AEF≌△PFG（AAS），
∴AF＝PG，PF＝AE，
∵AE＝AD，
∴PF＝AD，
∴AF＝PD，
∴PG＝PD，
∵∠P＝90°，
∴∠PDG＝45°，
∴∠MDG＝45°，
在Rt△EFG中，EF＝FG，
∴∠FGE＝45°，
∴∠FGE＝∠GDM，
∵∠GMN＝∠DMG，
∴△MGN∽△MDG，
∴ ，
MG2＝MN MD．
【解析】【分析】（1）先用同角的余角相等，判断出∠AEF＝∠DFG，即可得出结论；（2）先判断出△AHF≌△DNF，得出AH＝DN，FH＝FN，进而判断出EH＝EN，即可得出结论；（3）先判断出AF＝PG，PF＝AE，进而判断出PG＝PD，得出∠MDG＝45°，进而得出∠FGE＝∠GDM，判断出△MGN∽△MDG，即可得出结论．
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