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【50道常考题型】人教版数学八年级上册期末·综合题专项练习
1．某文化用品商店用1000元购进了一批圆规，很快销售一空；商店又用1000元购进了第二批该种圆规，但进价比原来上涨了，结果第二次所购进圆规的数量比第一次少40件．
（1）求两批圆规购进的进价分别是多少；
（2）若商店将第一批圆规以每件7元，第二批圆规以每件8元的价格全部售出，则共可盈利多少元？
2．如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．
（1）求证：△AEB ≌△ADC；
（2）连接DE，若∠ADC＝105°，求∠BED的度数．
3．解分式方程：
（1） ﹣ ＝1；
（2） ＝ ﹣2．
4．受疫情影响，洗手液需求量猛增，某商场用4000元购进一批洗手液后，供不应求，商场用8800元购进第二批这种洗手液，所购数量是第一批数量的2倍，但单价贵了1元．
（1）求该商场购进的第一批洗手液的单价；
（2）商场销售这种洗手液时，每瓶定价为13元，最后200瓶按9折销售，很快售完，在这两笔生意中商场共获利多少元？
5．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，A（﹣5，0）、B（﹣2，4）、C（﹣1，﹣2）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）直接写出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2的三个顶点的坐标；
6．如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，AD+EC=AB．
（1）求证：DE=EF；
（2）当∠A=36°时，求∠DEF的度数．
7．如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB＝CB，BE＝BD，∠1＝∠2．
（1）求证：AE＝CD；
（2）证明：∠1＝∠3．
8．如图，在 中， ， ，分别过点B，C向过点A的直线作垂线，垂足分别为点E，F．
（1）如图①，过点A的直线与斜边BC不相交时，求证：
① ；
② ．
（2）如图②，其他条件不变，过点A的直线与斜边BC相交时，若 ， ，试求EF的长．
9．如图，已知点 ， 分别在 的边 ， 上， .
（1）若 ， ，求 的度数：
（2）若 ，求证： .
10．今年双11期间开州区紫水豆干凭借过硬的质量、优质的口碑大火，豆干店的王老板用2500元购进一批紫水豆干，很快售完；王老板又用4400元购进第二批紫水豆干，所购数量是第一批的2倍，由于进货量增加，进价比第一批每千克少了3元.
（1）第一批紫水豆干每千克进价多少元？
（2）该老板在销售第二批紫水豆干时，售价在第二批进价的基础上增加了 ，售出80%后，为了尽快售完，决定将剩余紫水豆干在第二批进价的基础上每千克降价 元进行促销，结果第二批紫水豆干的销售利润为1520元，求 的值.（利润=售价-进价）
11．某校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批篮球和足球.其中篮球的单价比足球的单价多40元，用1200元购进的篮球个数与720元购进的足够个数相等.
（1）篮球和足球的单价各是多少元？
（2）该校打算用1000元购买篮球和足球，问恰好用完1000元，并且篮球、足球都买有的购买方案有哪几种？
12．如图， ， ， 的角平分线 ， 相交于点 .
（1）求证： ；
（2）我们知道，在直角三角形中， 的角所对的直角边与斜边的比值等于 .类似的，在顶角为 的等腰三角形中， 的角所对的边与底边的比值等于 .根据这一结论，若 ，求 的周长.
13．新型冠状病毒肺炎疫情发生后，全社会积极参与疫情防控.甲、乙两个工厂生产同一种防护口罩，甲厂每天比乙厂多生产口罩5万只，甲厂生产该种口罩40万只所用时间与乙厂生产该种口罩15万只所用时间相同.
（1）求甲、乙两个工厂每天分别生产该种口罩多少万只？
（2）甲、乙两厂接到一笔订单，要求10日内生产200万只该种口罩，乙厂引进设备提升产能，为完成订单，乙厂至少每天要多生产多少万只该种口罩？
14．请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图（1）的面积可以说明多项式的乘法运算 ，那么根据图（2）的面积可以说明多项式的乘法运算是（ ）
A． B．
C． D．
（2）根据图（3）中条件，①用两种方法表示两个阴影图形面积的和，请用等式表示（只需表示，不必化简）；
②如果图（3）中的a， 满足 ， .
求： 的值.
15．已知代数式 .
（1）化简已知代数式；
（2）若正整数 与 ， 是某三角形的边长，求已知代数式的值.
16．如图， 中， ， 是 上一点，满足 ，连接 交 于点 ， ，交 于点 ，连结 .
（1）求证： .
（2）请你判断 与 的大小关系，并证明你的结论.
17．如图，小明在A处放牛，要到河边（直线l）给牛喝水，喝完水把牛赶回家中B处.
（1）要使路程最短，应该在河边哪处给牛喝水，请在直线l上画出喝水处点P的位置；
（2）在直线l上任取一点Q（点Q不与点P重合），连接 ，试说明 .
18．已知：如图，在 中， ， ，
（1）作 的平分线 ，交 于点 ；作 的中点 ；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）
（2）连接 ，求证： .
19．解下列各题：
（1）分解因式： ；
（2）甲，乙两同学分解因式 ，甲看错了n，分解结果为 ；乙看错了m，分解结果为 ，请分析一下m，n的值及正确的分解过程.
20．如图，在 中，D为BC上一点， ， 于点A， .
（1）求证： ；
（2）当 ， 时，求 .
21．如图，△ABC中，CD⊥AB于点D，DE∥BC交AC于点E，EF⊥CD于点G，交BC于点F.
（1）判断∠ADE与∠EFC是否相等，并说明理由；
（2）若∠ACB＝72°，∠A＝60°，求∠DCB的度数.
22．如图，已知在△ABC中，CE是外角∠ACD的平分线，BE是∠ABC的平分线.
（1）求证：∠A＝2∠E；
（2）若∠A＝∠ABC，求证：AB∥CE.
23．某商贩用960元从批发市场购进某种水果销售，由于春节临近，几天后他又用1800元以每千克比第一次高出2元的价格购进这种水果，第二次购进水果的数量是第一次购进数量的1.5倍，设第一次购进水果的数量为 千克.
（1）用含x的式子表示：第二次购进水果的数量为 千克，第一次购进水果的单价为每千克 元；
（2）该商贩两次购进水果各多少千克？
（3）若商贩将两次购进的水果均按每千克15元的标价进行销售，为了在春节前将水果全部售完，在按标价售出 千克后将余下部分每千克降价 （ 为正整数）元全部售出，共获利为1440元.则 的值为 （直接写出结果）
24．已知 ， .求下列各式的值.
（1） ；
（2） .
25．如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）.
（1）图2中的阴影部分的面积为 ；
（2）观察图2请你写出（a+b）2、（a-b）2、ab之间的等量关系是 ；
（3）根据（2）中的结论，若x+y=7，xy= ，则x-y= ；
（4）实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式.根据图3，写出一个因式分解的等式 .
26．在解答“先化简式子 ，再选一个你认为合适的整数x代入求值”这个题时，小明选取 ，计算得原式的值为 .
（1）你认为小明的计算正确吗？为什么？
（2）请你写出你的解答过程.
27．甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手并肩，共渡难关”捐款活动，甲公司共捐款10万元，乙公司共捐款14万元.下面是甲、乙两公司员工的一段对话：
（1）甲、乙两公司各有多少人？
（2）现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A，B两种物资，A种物资每箱1.5万元，B种物资每箱1.2万元，若购买B种物资不少于5箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来（注：A，B两种物资均需购买，并按整箱配送）
28．如图，在 中， 垂足为D， 是 的角平分线，过F点作 的垂线，垂足为E，交 的延长线于点G.
（1）求证： ；
（2）若D是 的中点，请判断线段 与线段 的数量关系，并加以证明.
29．如图，等边 中，点 在 上，点 在 上， ， 与 相交于点 .
（1）求证： ；
（2）求 的度数.
30．
（1）已知直线 ，小亮把一块含 角的直角三角尺的直角顶点放在直线 上.
①若三角尺与平行线的位置如图1所示， ，求 的度数；
②若三角尺与平行线的位置如图2所示，且 ，则 的度数又是多少？
（2）已知直线 ，小亮把一块含 角的直角三角尺按图3所示放置，若 ，求 的度数.
31．如图， 相交于点 ，点 与点 在 上，且 ．
（1）求证： ；
（2）求证：点 为 的中点．
32．已知：．
（1）化简A；
（2）若点与点关于y轴对称，求A的值；
（3）关于x的方程的解为正数，求k的取值范围．
33．某地产公司为了吸引年轻人购房，持推出“主房+多变入户花园”的两种户型．即在图1中边长为a米的正方形主房进行改造．
户型一是在主房两侧均加长b米（0＜9b＜a）．阴影部分作为入户花园，如图2所示．
户型二是在主房一边减少b米后，另一边再增加b米，阴影部分作为入户花园．如图3所示．
解答下列问题：
（1）设两种户型的主房面积差为M，入户花园的面积差为N，试比较M和N的大小．
（2）若户型一的总价为50万元，户型二的总价为40万元，试判断哪种户型单价较低，并说明理由．
34．已知△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE//BC.
（1）如图1，如果点E是边AC的中点，AC＝8，求DE的长；
（2）如图2，若DE平分∠ADC，∠ABC＝30°，在BC边上取点F使BF＝DF，若BC＝9，求DF的长.
35．已知实数m，n满足m+n＝6，mn＝﹣3.
（1）求（m﹣2）（n﹣2）的值；
（2）求m2+n2的值.
36．如图，在平面直角坐标内，点A的坐标为（-4，0），点C与点A关于y轴对称.
（1）请在图中标出点A和点C；
（2）△ABC的面积是 ；
（3）在y轴上有一点D，且S△ACD＝S△ABC，则点D的坐标为 .
37．如图，等边△ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC．
（1）如图①，点E为AB的中点，求证：AE=DB．
（2）如图②，点E在边AB上时，AE ▲ DB（填：“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：过点E作EF∥BC，交AC于点F（请你完成以下解答过程）．
（3）在等边△ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若AB=1，AE=2时，直接写出CD的长．
38．如图，四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC．
（1）求证：AE平分∠BAD．
（2）求证：AD＝AB＋CD．
39．佛顶山大道改造，工程招标时，工程指挥部收到甲、乙两个工程队的投标书，根据甲、乙两队的投标书测算：若让甲队单独完成这项工程需要40天；若由乙队先做10天，剩下的工程由甲、乙两队合作20天才可完成.
（1）若安排乙队单独完成这项工程需要多少天？
（2）为了缩短工期，若安排两队共同完成这项工程需要多少天？
40．如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．
（1）已知∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；
（2）设∠B＝α，∠C＝β（α＜β）．求出用α、β表示∠DAE的关系式．
41．小红到离家2100米的学校参加艺术节联欢会，到学校时发现演出道具忘在家中，此时距联欢会开始还有45分钟，于是她马上步行回家取道具，随后骑自行车返回学校.已知小红骑自行车到学校比她从学校步行到家用时少20分钟，且骑自行车的平均速度是步行平均速度的3倍.
（1）小红步行的平均速度（单位：米/分）是多少？
（2）小红能否在联欢会开始前赶到学校？（通过计算说明你的理由）
42．已知：如图 ，与点 不重合的两点 、 分别在 、 上， 平分 ， 所在的直线与 的平分线所在的直线相交于点 .
（1）当点 、 分别在射线 、 上，且 时，求 的度数；
（2）当点 、 分别在射线 、 上运动时， 的大小是否发生变化？若不变，请给出证明；若发生变化，请求出 的范围.
43．已知在 中， ，射线 、 在 内部，分别交线段 于点 、 .
（1）如图1，若 ， ，过点 作 于点 ，分别交 、 于点 、 ；
①求证： ；
②若 ，连接 ，求 的度数；
（2）如图2，点 为 上一点， 交 于点 ，连接 .若 ，请直接写出 .
44．如图，在等腰三角形 ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC 于点 D，∠ABC 的角平分线 BE 交 AD 于点 F，且BF＝FA，BE＝AB，EG⊥BC 于点G.
（1）求证：∠BAD＝∠EBG；
（2）求证：AD＝DG＋EG；
（3）点H 为线段DG 上的一个动点，当AH＋HE 的值最小时，求∠DAH 的度数.
45．如图，在等边 中，点 是边 上一定点，点 是直线 上一动点，以 为一边作等边 ，连接 .
（1）（问题思考）
如图1，若点 与点 重合时，求证： ；
（2）（类比探究）
如图2，若点 在边 上，求证： ；
（3）（拓展归纳）
如图3，若点 在边 的延长线上，请直接写出线段 、 与 之间存在的数量关系的结论是： （不证明）.
46．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
（1）（模型呈现）如图1，，，过点作于点，过点作于点.由，得.又，可以推理得到.进而得到 ， .我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型；
（2）（模型应用）①如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点.求证：点是的中点；
②如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为平面内任一点.若是以为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标.
47．（阅读材科）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，
如果具有公共的项角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，则△ABD≌△ACE.
（1）（材料理解）在图1中证明小明的发现.
（2）（深入探究）如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，连接AO，下列结论：①BD=EC；②∠BOC=60°；③∠AOE=60°；④EO=CO，其中正确的有 .(将所有正确的序号填在横线上).
（3）（延伸应用）如图3，AB=BC，∠ABC=∠BDC=60°，试探究∠A与∠C的数量关系.
48．数学是一门充满乐趣、奥妙、又极具探索的学科，对一个人的思维也是一种“挑战”.几何图形更是变幻无穷，但只要我们借助图形的直观、特殊情形出发，逐步“从特殊到一般”进行探索，思路和方法自然就会显现出来.下面是一道探索几何图形中线段AE与DB数量关系的例子：已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC.小强的思路是：
（1）（特例探索）如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（选填“＞”、“＜”或“＝”）.
（2）（特例引路）如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论并加以理由说明，格式如：答：AE ▲ DB（选填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC交AC于点F.（请你将接下来的解答过程补充完整）.
（3）（拓展延伸）在等边三角形ABC中，当点E在直线AB上（在线段AB外），点D在线段CB的延长线上时，同样ED＝EC，若已知△ABC的边长为1，AE＝2，则请你帮助小强求出CD的长.（请你画出相应图形，并简要写出求CD长的过程）.
49．如图，在 中， ， ，点D在边BC上运动（点D不与点 重合），连接AD，作 ，DE交边AC于点E.
（1）当 时， ，
（2）当DC等于多少时， ，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中， 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出 的度数；若不可以，请说明理由.
50．直线 与直线 垂直相交于 ，点 在直线 上运动，点 在直线 上运动．
（1）如图1，已知 、 分别是 和 的角平分线，点 ， 在运动的过程中， 的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出 的大小．
（2）如图2，已知 不平行 ， 、 分别是 和 的角平分线， 、 分别是 和 的角平分线，点 、 在运动的过程中， 的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．
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【50道常考题型】人教版数学八年级上册期末·综合题专项练习
1．某文化用品商店用1000元购进了一批圆规，很快销售一空；商店又用1000元购进了第二批该种圆规，但进价比原来上涨了，结果第二次所购进圆规的数量比第一次少40件．
（1）求两批圆规购进的进价分别是多少；
（2）若商店将第一批圆规以每件7元，第二批圆规以每件8元的价格全部售出，则共可盈利多少元？
【答案】（1）解：设第一批购进圆规的单价为x元/件，
则第二批购进圆规的单价为（1＋25%）x元/件，
依题意得：，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意．
则第二批进价为：元/件
答：第一批购进圆规的单价为5元/件，第二批进价为元/件；
（2）解：第一批购进圆规的数量为1000÷5＝200（件），
第二批购进圆规的数量为200 40＝160（件），
共盈利（200×7 1000）＋（160×8 1000）＝400＋280＝680（元）．
答：一共盈利680元．
【解析】【分析】(1)设第一批购进圆规的单价为x元/件，则第二批购进圆规的单价为（1＋25%）x元/件，根据题意列出方程，解之并检验即可得出答案；
（2）根据题意列出算数即可得出答案。
2．如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．
（1）求证：△AEB ≌△ADC；
（2）连接DE，若∠ADC＝105°，求∠BED的度数．
【答案】（1）证明：是等边三角形，
，．
线段AD绕点A顺时针旋转，得到线段AE，
，．
．
．
在△EAB和△DAC中，
，
≌．
（2）解：，，
为等边三角形．
，
≌．
．
∴∠BED=∠AEB-∠AED=105°-60°=45°，
．
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质可得 ，，再利用角的运算可得，再根据等边三角形的性质可得 ，，再利用“SAS”证明 ≌即可；
（2）先证明 为等边三角形，可得∠AED=60°，再根据≌可得，再利用角的运算可得 ∠BED=∠AEB-∠AED=105°-60°=45°。
3．解分式方程：
（1） ﹣ ＝1；
（2） ＝ ﹣2．
【答案】（1）解：去分母得x（x+2）﹣14＝（x+2）（x﹣2），
解得x＝5，
检验：x＝5时，（x+2）（x﹣2）≠0，所以x＝5是原方程的解，
所以原方程的解为x＝5；
（2）解：去分母得1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2），
解得x＝2，
检验：x＝2时，x﹣2＝0，所以x＝2是原方程的增根，
所以原方程无解．
【解析】【分析】（1）先将分式方程化为整式方程，解出整式方程，再代入检验即可；
（2）先将分式方程化为整式方程，解出整式方程，再代入检验即可.
4．受疫情影响，洗手液需求量猛增，某商场用4000元购进一批洗手液后，供不应求，商场用8800元购进第二批这种洗手液，所购数量是第一批数量的2倍，但单价贵了1元．
（1）求该商场购进的第一批洗手液的单价；
（2）商场销售这种洗手液时，每瓶定价为13元，最后200瓶按9折销售，很快售完，在这两笔生意中商场共获利多少元？
【答案】（1）解：设商场购进第一批洗手液的单价为 元/瓶，
依题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，
∴商场购进的第一批洗手液的单价为 元/瓶；
（2）解：共获利： （元），
∴这两笔生意中商场共获利 元．
【解析】【分析】（1）设商场购进第一批洗手液的单价为 元/瓶，根据题意列出方程求解即可；
（2）根据“利润=售价-成本”列出算式求解即可。
5．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，A（﹣5，0）、B（﹣2，4）、C（﹣1，﹣2）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）直接写出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2的三个顶点的坐标；
【答案】（1）解：如图所示， 即为所求；
（2）解：A2（5，0）、B2（-2，-4）、C2（-1，2）．
【解析】【解答】（2）解：∵A2、B2、C2分别是A（-5，0）、B（-2，4）、C（-1，-2）关于x轴对称的点，
∴A2（5，0）、B2（-2，-4）、C2（-1，2）．
【分析】（1）先根据关于y轴对称的点坐标的特征找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）根据关于x轴对称的点坐标的特征：横坐标不变，纵坐标变为相反数求解即可。
6．如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，AD+EC=AB．
（1）求证：DE=EF；
（2）当∠A=36°时，求∠DEF的度数．
【答案】（1）证明：∵AD+EC=AB，AD+BD=AB，
∴BD=EC，
在△BDE和△CEF中 ，
∴△BDE≌△CEF（SAS），
∴DE=EF；
（2）解：∵△ABC中，∠A=36°，
∴∠B=∠C= （180°-36°）=72°，
由（1）知：△BDE≌△CEF，
∴∠BDE=∠CEF，
又∵∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE，
∴∠DEF=∠B=72°．
【解析】【分析】（1）先求出 BD=EC， 再利用SAS证明 △BDE≌△CEF ，最后求解即可；
（2）先求出 ∠B=∠C=72°， 再求出 ∠BDE=∠CEF， 最后计算求解即可。
7．如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB＝CB，BE＝BD，∠1＝∠2．
（1）求证：AE＝CD；
（2）证明：∠1＝∠3．
【答案】（1）证明：∵∠1=∠2，
∴∠ABE=∠CBD，
在△ABE和 中，
∵ ，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE＝CD；
（2）证明：由（1）已证，知，△ABE≌△CBD
∴∠A=∠C，
又∵∠AFB=∠CFE，
∴∠1＝∠3．
【解析】【分析】（1）先利用角的运算证明∠ABE=∠CBD，再利用“SAS”证明△ABE≌△CBD，再利用全等三角形的性质可得AE=CD；
（2）根据全等三角形的性质可以得到∠A=∠C，再根据对顶角相等可得∠AFB=∠CFE，再根据三角形的内角和定理及等量代换即可得证。
8．如图，在 中， ， ，分别过点B，C向过点A的直线作垂线，垂足分别为点E，F．
（1）如图①，过点A的直线与斜边BC不相交时，求证：
① ；
② ．
（2）如图②，其他条件不变，过点A的直线与斜边BC相交时，若 ， ，试求EF的长．
【答案】（1）解：证明：①∵BE⊥EF，CF⊥EF，
∴∠AEB＝∠CFA＝90°，
∴∠EAB＋∠EBA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠EAB＋∠FAC＝90°，
∴∠EBA＝∠FAC，
在△AEB与△CFA中
∵ ，
∴△ABE≌△CAF（AAS），
②∵△ABE≌△CAF，
∴EA＝FC，EB＝FA，
∴EF＝AF＋AE＝BE＋CF
（2）解：∵BE⊥AF，CF⊥AF
∴∠AEB＝∠CFA＝90°
∴∠EAB＋∠EBA＝90°
∵∠BAC＝90°
∴∠EAB＋∠FAC＝90°
∴∠EBA＝∠FAC，
在△AEB与△CFA中
，
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴EA＝FC，EB＝FA，
∴EF＝FA EA＝EB FC＝10 3＝7．
【解析】【分析】（1）①先求出 ∠EBA＝∠FAC， 再利用AAS证明 △ABE≌△CAF 即可；
②根据题意求出 EA＝FC，EB＝FA， 再求解即可；
（2）根据题意求出 ∠EBA＝∠FAC， 再利用AAS证明 △ABE≌△CAF ，最后作答即可。
9．如图，已知点 ， 分别在 的边 ， 上， .
（1）若 ， ，求 的度数：
（2）若 ，求证： .
【答案】（1）∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）∵ ， ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得∠ADE的度数，再根据三角形的内角和可得结果；
（2）由三角形的外角性质可得∠BFD=∠EDF+∠DEF 结合 得出，由平行线性质可得 ，根据同角的补角相等可得结果.
10．今年双11期间开州区紫水豆干凭借过硬的质量、优质的口碑大火，豆干店的王老板用2500元购进一批紫水豆干，很快售完；王老板又用4400元购进第二批紫水豆干，所购数量是第一批的2倍，由于进货量增加，进价比第一批每千克少了3元.
（1）第一批紫水豆干每千克进价多少元？
（2）该老板在销售第二批紫水豆干时，售价在第二批进价的基础上增加了 ，售出80%后，为了尽快售完，决定将剩余紫水豆干在第二批进价的基础上每千克降价 元进行促销，结果第二批紫水豆干的销售利润为1520元，求 的值.（利润=售价-进价）
【答案】（1）设第一批紫水豆干每千克进价x元，
根据题意，得： ，
解得：x=25，
经检验，x=25是原方程的解且符合题意；
答：第一批紫水豆干每千克进价是25元.
（2）第二次进价：25-3=22（元），
第二次紫水豆干的实际进货量：4400÷22=200千克，
第二次进货的第一阶段出售每千克的利润为：22×a%元，
第二次紫水豆干第二阶段销售利润为每千克 元，
由题意得： ，
解得：a=50，
即a的值是50.
【解析】【分析】（1）设第一批紫水豆干每千克进价x元，则第二批每千克进价为（x-3）元根据“用2500元购进一批紫水豆干，又用4400元购进第二批紫水豆干，所购数量是第一批的2倍”可列方程，求解并检验即可；
（2）根据利润=单个利润×数量以及第一阶段的利润+第二阶段的利润=1520可列方程，求解即可.
11．某校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批篮球和足球.其中篮球的单价比足球的单价多40元，用1200元购进的篮球个数与720元购进的足够个数相等.
（1）篮球和足球的单价各是多少元？
（2）该校打算用1000元购买篮球和足球，问恰好用完1000元，并且篮球、足球都买有的购买方案有哪几种？
【答案】（1）解：设足球的单价为x元，根据题意有
，
解得 ，
经检验， 是原分式方程的解，
∴ ，
∴篮球的单价为100元，足球的单价为60元；
（2）解：设购买篮球m个，购买足球n个，根据题意有
，
∴ ，
∵m，n都是正整数，
∴ 时， ； 时， ； 时， ，
∴有三种方案：购买篮球1个，购买足球15个；购买篮球4个，购买足球10个；购买篮球7个，购买足球5个.
【解析】【分析】（1）此题的等量关系为：篮球的单价=足球的单价+40；1200÷篮球的单价=720÷足球的单价，据此设未知数，列方程求出方程的解；
（2）设购买篮球m个，购买足球n个，利用打算用1000元购买篮球和足球，恰好用完，建立关于m，n的二次元一次方程，用含n的代数式表示出m，然后求出方程的整数解，据此可得方案.
12．如图， ， ， 的角平分线 ， 相交于点 .
（1）求证： ；
（2）我们知道，在直角三角形中， 的角所对的直角边与斜边的比值等于 .类似的，在顶角为 的等腰三角形中， 的角所对的边与底边的比值等于 .根据这一结论，若 ，求 的周长.
【答案】（1）证明：∵ ， ， 的角平分线 ， 相交于点 ，
∴∠ABO=∠DCO=36°，∠DBC=∠ACB=36°，
∴OB=OC，
在 AOB与 DOC中，
∵ ，
∴ AOB DOC（ASA）；
（2）解：∵∠AOB=∠OBC+∠OCB=36°+36°=72°，
∠BAO=180°-∠ABO-∠AOB=180°-36°-72°=72°，
∴ AOB是顶角为36°的等腰三角形， ABC是顶角为36°的等腰三角形，
∴ ，
∵ ，
∴AB=5+ ，
同理可得：BC=5+3 ，
∴ ABC的周长为=（5+3 ）×2+（5+ ）=15+7 .
【解析】【分析】（1）根据已知条件结合角平分线的概念可推出 ∠ABO=∠DCO=36°，∠DBC=∠ACB=36° 进而根据等角对等边得出OB=OC，由对顶角的性质可得∠AOB=∠DOC，然后结合全等三角形的判定定理ASA证明 AOB DOC 即可；
（2）根据三角形外角的性质可得∠AOB=∠OBC+∠OCB=72°，∠BAO=72°，则可得 ，根据AO的值可求得AB的值，同理可得BC的值，据此不难求得△ABC的周长.
13．新型冠状病毒肺炎疫情发生后，全社会积极参与疫情防控.甲、乙两个工厂生产同一种防护口罩，甲厂每天比乙厂多生产口罩5万只，甲厂生产该种口罩40万只所用时间与乙厂生产该种口罩15万只所用时间相同.
（1）求甲、乙两个工厂每天分别生产该种口罩多少万只？
（2）甲、乙两厂接到一笔订单，要求10日内生产200万只该种口罩，乙厂引进设备提升产能，为完成订单，乙厂至少每天要多生产多少万只该种口罩？
【答案】（1）解：设乙厂每天生产口罩x万只，甲厂每天生产口罩 万只，
则有：
解得：
经检验： 是原方程的解，且符合题意，
答：甲厂每天生产该种口罩8万只，乙厂每天生产该种口罩3万只；
（2）解：设乙厂每天要多生产m万只该种口罩
解得： ，
答：乙厂至少每天要多生产9万只该种口罩；
【解析】【分析】（1） 设乙厂每天生产口罩x万只，则甲厂每天生产口罩（x+5）万只，由“ 甲厂生产该种口罩40万只所用时间与乙厂生产该种口罩15万只所用时间相同 ”可列出方程，求解即可；
（2） 设乙厂每天要多生产m万只该种口罩，由根据“甲厂10天生产的口罩数量+乙厂提高产能后10天生产的口罩数量不小于200万只”列出不等式，求解即可.
14．请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图（1）的面积可以说明多项式的乘法运算 ，那么根据图（2）的面积可以说明多项式的乘法运算是（ ）
A． B．
C． D．
（2）根据图（3）中条件，①用两种方法表示两个阴影图形面积的和，请用等式表示（只需表示，不必化简）；
②如果图（3）中的a， 满足 ， .
求： 的值.
【答案】（1）A
（2）解：①大正方形的边长为 ，其面积为 ，是由一个边长为a的正方形，二个长为a，宽为b小长方形和一个边长为b正方形拼成的，面积为 ，两面积一样，
；
②∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ .
【解析】【解答】解：（1）根据图（2）的面积可说明多项式的乘法运算 ，
大长方形的长为 ，宽为 ，大长方形面积为 ，大长方形是由一个边长为a的正方形，四个长为a，宽为b小长方形和三个边长为b正方形拼成的，故面积为 由此刻验证 多项式乘以多项式的乘法法则，故A选项正确；
B、 = > 故B选项不正确；
C、 = ，故C选项不正确；
D、 不是图中大长方形面积，故D选项不正确.
故答案为：A；
【分析】（1）首先表示出大长方形的面积，各个小长方形的面积以及正方形的面积，然后根据面积之间的和差关系可得结果；
（2）①首先表示出大正方形的面积，然后表示出各部分的面积，最后根据面积之间的和差关系可得结果；
②首先求出(a+b)2的值，然后开方即可.
15．已知代数式 .
（1）化简已知代数式；
（2）若正整数 与 ， 是某三角形的边长，求已知代数式的值.
【答案】（1）解：
；
（2）解：由题意得：
∴
∵ 且 ，a为整数，
∴
∴原式=
故原式的值为 .
【解析】【分析】（1）根据异分母分式减法法则以及分式的除法法则化简即可；
（2）根据三角形三边关系可得1
16．如图， 中， ， 是 上一点，满足 ，连接 交 于点 ， ，交 于点 ，连结 .
（1）求证： .
（2）请你判断 与 的大小关系，并证明你的结论.
【答案】（1）证明：∵ ，
∴
在 和 中，
∴
∴
（2）解：
理由如下：
∵
∴
又∵
∴
在 和 中
∴
∴在 中， 即 .
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得∠DBG=∠DCF，由对顶角的性质可得∠BDG=∠CDF，证明△BGD≌△CFD，据此可得结论；
（2）由全等三角形的性质可得GD=FD，进而证明△EGD≌△EFD，得到EG=EF，由三角形三边关系可得BE+BG>EG，据此解答.
17．如图，小明在A处放牛，要到河边（直线l）给牛喝水，喝完水把牛赶回家中B处.
（1）要使路程最短，应该在河边哪处给牛喝水，请在直线l上画出喝水处点P的位置；
（2）在直线l上任取一点Q（点Q不与点P重合），连接 ，试说明 .
【答案】（1）解：如图，点P即为所求.
（2）解：如图，在直线l上任取一点Q，连接 .
∵点A与 关于直线l对称，点P，Q在直线l上，
∴ .
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ .
【解析】【分析】（1）作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，与直线l的交点即为P；
（2）在直线l上任取一点Q，连接QA′，QA，QB，由对称的性质可得PA=PA′，QA=QA′，由三角形三边关系可得QA′+QB>A′B，据此证明.
18．已知：如图，在 中， ， ，
（1）作 的平分线 ，交 于点 ；作 的中点 ；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）
（2）连接 ，求证： .
【答案】（1）解：作出 的平分线 ； 作出 的中点 .
（2）证明： ， ，
，
，
在 和 中，
.
【解析】【分析】（1）①以B为圆心，任意长为半径画弧，交AB、BC于F、N，再以F、N为圆心，大于 FN长为半径画弧，两弧交于点M，过B、M画射线，交AC于D，线段BD就是∠B的平分线；②分别以A、B为圆心，大于 AB长为半径画弧，两弧交于X、Y，过X、Y画直线与AB交于点E，点E就是AB的中点；（2）首先根据角平分线的性质可得∠ABD的度数，进而得到∠ABD＝∠A，根据等角对等边可得AD＝BD，再加上条件AE＝BE，ED＝ED，即可利用SSS证明△ADE≌△BDE.
19．解下列各题：
（1）分解因式： ；
（2）甲，乙两同学分解因式 ，甲看错了n，分解结果为 ；乙看错了m，分解结果为 ，请分析一下m，n的值及正确的分解过程.
【答案】（1）解：原式
；
（2）解： ，甲看错了n，
.
，乙看错了m，
，
.
【解析】【分析】（1）先变形，再提公因式，利用平方差公式进行因式分解即可；（2）根据题意可得出m，n的值，代入再进行因式分解即可.
20．如图，在 中，D为BC上一点， ， 于点A， .
（1）求证： ；
（2）当 ， 时，求 .
【答案】（1）证明：如图，延长AD到E，使DE＝AD，
在△ACD和△EBD中，
，
∴△ACD≌△EBD（SAS），
∴BE＝AC，∠E＝∠CAD＝90°，
∵∠BAD＝30°，
∴BE＝ AB，
∴ ；
（2）解：∵AB＝4，
∴BE＝ ×4＝2，
∴S△ABD＝ AD BE＝ × ×2＝ .
【解析】【分析】（1）延长AD到E，使DE＝AD，连接倍，然后利用“边角边”证明△ACD和△EBD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE＝AC，全等三角形对应角相等可得∠E＝∠CAD，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半证明；
（2）求出BE，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解.
21．如图，△ABC中，CD⊥AB于点D，DE∥BC交AC于点E，EF⊥CD于点G，交BC于点F.
（1）判断∠ADE与∠EFC是否相等，并说明理由；
（2）若∠ACB＝72°，∠A＝60°，求∠DCB的度数.
【答案】（1）解：∠ADE＝∠EFC
理由如下：
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，
∵CD⊥AB，EF⊥CD，
∴AB∥EF，
∴∠B＝∠EFC，
∴∠ADE＝∠EFC
（2）解：∵∠ACB＝72°，∠A＝60°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝48°，
∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°，
∴∠DCB＝180°﹣90°﹣48°＝42°.
【解析】【分析】（1）根据二直线平行，同位角相等求出∠ADE＝∠B，根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得出AB∥EF，进而根据二直线平行，同位角相等得出∠B＝∠EFC，最后根据等量代换即可得出结果；
（2）根据三角形内角和算出 ，再根据CD⊥AB得出∠BDC=90°，利用三角形内角和求解即可.
22．如图，已知在△ABC中，CE是外角∠ACD的平分线，BE是∠ABC的平分线.
（1）求证：∠A＝2∠E；
（2）若∠A＝∠ABC，求证：AB∥CE.
【答案】（1）证明：∵CE是外角∠ACD的平分线，BE是∠ABC的平分线
∴∠2=∠ACE，∠1=∠ABE
∵在△ABC和△BCE中
∴∠A+2∠1=2∠2，∠1+∠E=∠2
∴∠A=2（∠2-∠1），∠E=∠2-∠1
∴∠A=2∠E.
（2）证明：由（1）可得∠A=2∠E
∵∠A＝∠ABC，∠ABC=2∠1=2∠ABE
∴∠E=∠ABE
∴AB∥CE.
【解析】
【分析】（1）利用三角形外角等于和它不相邻得两个内角和，以及角平分线得性质可以得到∠A＝2∠E.
(2)需要利用第一问得结论，推导出内错角相等，判定出两直线平行.
23．某商贩用960元从批发市场购进某种水果销售，由于春节临近，几天后他又用1800元以每千克比第一次高出2元的价格购进这种水果，第二次购进水果的数量是第一次购进数量的1.5倍，设第一次购进水果的数量为 千克.
（1）用含x的式子表示：第二次购进水果的数量为 千克，第一次购进水果的单价为每千克 元；
（2）该商贩两次购进水果各多少千克？
（3）若商贩将两次购进的水果均按每千克15元的标价进行销售，为了在春节前将水果全部售完，在按标价售出 千克后将余下部分每千克降价 （ 为正整数）元全部售出，共获利为1440元.则 的值为 （直接写出结果）
【答案】（1）；
（2）解：依题意列方程：
，
解得 ，
经检验 是原方程的解，且符合题意，
即第一次购进水果120千克，第二次购进水果180千克
（3） 或3
【解析】【解答】解：（1）第二次购进水果的数量为1.5x千克，第一次购进水果的单价为每千克 元；
故答案为： ；
（3）由题意得，
解得，
∵ 为正整数且
∴
∴ 或3.
故答案为： 或3.
【分析】（1）根据题意直接得出结果；
（2）根据“第二次每千克比第一次高出2元的价格”列出方程求解即可；
（3）根据“全部售完，共获利为1440元”列方程求解即可.
24．已知 ， .求下列各式的值.
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
（2）解：原式
.
【解析】【分析】（1）利用和的完全平方公式展开，代入后变形计算即可；
（2）巧用因式分解法的提取公因式法，把被求代数式用给出的代数式表示，后代入求值即可.
25．如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）.
（1）图2中的阴影部分的面积为 ；
（2）观察图2请你写出（a+b）2、（a-b）2、ab之间的等量关系是 ；
（3）根据（2）中的结论，若x+y=7，xy= ，则x-y= ；
（4）实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式.根据图3，写出一个因式分解的等式 .
【答案】（1）（b﹣a）2
（2）（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab
（3）±2
（4）3a2+4ab+b2=（a+b） （3a+b）
【解析】【解答】解：（1）阴影部分是一个正方形，其边长为（b-a），故其面积为：（b﹣a）2
故答案为：（b﹣a）2 ；
（2）整个大正方形的边长为（a+b），面积为（a+b）2，
整个正方形的面积利用割补法得：（a﹣b）2+4ab；
所以（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab ；
故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab ；
（3）因为（x+y）2﹣（x﹣y）2=4xy
所以（x-y）2=（x+y）2-4xy
又因 x+y=7，xy= ，
所以（x-y）2=72-4×=4，
∴x-y=±2；
故答案为：±2；
（4）长方形的面积利用割补法计算得：3a2+4ab+b2， 根据长方形的面积等于长乘以宽得：（a+b） （3a+b）；
所以3a2+4ab+b2=（a+b） （3a+b）；
故答案为：3a2+4ab+b2=（a+b） （3a+b）.
【分析】（1）根据阴影部分为一个正方形，其边长为b-a，即可求出面积；
（2）利用图形面积的两种不同计算方法找出（a+b）2、（a-b）2、ab之间的等量关系即可；
（3） ，将x+y与xy的值代入即可求出所求式子的值；
（4）可利用长方形面积的两种表示法列出等式即可.
26．在解答“先化简式子 ，再选一个你认为合适的整数x代入求值”这个题时，小明选取 ，计算得原式的值为 .
（1）你认为小明的计算正确吗？为什么？
（2）请你写出你的解答过程.
【答案】（1）解：不正确；
因为 时， =0，所以原式无意义；
（2）解：原式= = ，取 代入得：
原式= （答案不唯一）.
【解析】【分析】（1）由分式有意义的条件可得当 时， =0，则原式无意义，因此问题可求解；
（2）将各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式，然后将除式的分子、分母交换位置将除法转变为乘法，接着进行分式的乘法运算即可，最后选择一个保证分式有意义的数代入即可算出答案.
27．甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手并肩，共渡难关”捐款活动，甲公司共捐款10万元，乙公司共捐款14万元.下面是甲、乙两公司员工的一段对话：
（1）甲、乙两公司各有多少人？
（2）现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A，B两种物资，A种物资每箱1.5万元，B种物资每箱1.2万元，若购买B种物资不少于5箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来（注：A，B两种物资均需购买，并按整箱配送）
【答案】（1）解：设乙公司有x人，则甲公司有 人，
由题意，得
解得 .
经检验， 是原方程的解，
，
答：甲公司有150人，乙公司有180人.
（2）解：设购买A种物资m箱，购买B种物资n箱，
由题得 ，
整理，得
又 ，且m，n为正整数，
答：有3种购买方案：购买12箱A种物资、5箱B种物资或购买8箱A种物资，10箱B种物资或购买4箱A种物资，15箱B种物资.
【解析】【分析】（1）设乙公司有x人，则甲公司有 人，根据乙公司的人均捐款人数是甲公司人均捐款人数，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购买A种防疫物资m箱，购买B种防疫物资n箱，根据购买A种物资的费用+购买B种物资的费用=10+24，列出方程，求解出 ，根据整数解，得出m、n的值，即可得出方案.
28．如图，在 中， 垂足为D， 是 的角平分线，过F点作 的垂线，垂足为E，交 的延长线于点G.
（1）求证： ；
（2）若D是 的中点，请判断线段 与线段 的数量关系，并加以证明.
【答案】（1）证明：∵ 是 的角平分线，
∴∠BAF=∠GAF，
∵ ，FE⊥AB，
∴∠BEF=∠GDF=90°，
∵∠EFB=∠DFG，
∴∠B=90°-∠EFB=90°-∠DFG=∠G，
∵AF=AF，
∴△AFB≌△AFG（AAS），
∴BF=GF；
（2）解：线段 与线段 的数量关系是：AG=AC，
∵D是 的中点， ，
∴AB=AC，
由（1）知△AFB≌△AFG，
∴AB=AG，
∴AG=AC.
【解析】【分析】（1）由AF是∠BAD的角平分线，可得∠BAF=∠GAF，由等角的余角相等可得∠B=∠G，从而利用AAS可证△AFB≌△AFG；
（2）线段AG与线段AC的数量关系是：AG=AC，由D是 的中点， ，可得AB=AC，由（1）知△AFB≌△AFG，可得AB=AG，利用传递性可得AG=AC.
29．如图，等边 中，点 在 上，点 在 上， ， 与 相交于点 .
（1）求证： ；
（2）求 的度数.
【答案】（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，
在△ABD和△CAE中，
∴△ABD≌△CAE，
∴ ；
（2）由（1）可得：△ABD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠CAE，
∴∠BFE＝∠ABD+∠BAF＝∠CAE＋∠BAF＝∠BAC＝60°.
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质可得∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，结合已知用边角边可证△ABD≌△CAE， 根据全等三角形的对应边相等可求解；
（2）由（1）中的全等三角形可得∠ABD=∠CAE，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和可求解.
30．
（1）已知直线 ，小亮把一块含 角的直角三角尺的直角顶点放在直线 上.
①若三角尺与平行线的位置如图1所示， ，求 的度数；
②若三角尺与平行线的位置如图2所示，且 ，则 的度数又是多少？
（2）已知直线 ，小亮把一块含 角的直角三角尺按图3所示放置，若 ，求 的度数.
【答案】（1）①如图①
∵∠1=40°，
∴∠3=180°-∠1-90°=180°-40°-90°=50°，
∵a∥b，
∴∠2=∠3=50°；
②如图②过点B作BD∥a，
∵直线a∥b，
∴BD∥a∥b，
∴∠4=∠1=25°，
∵∠ABC=45°，
∴∠3=∠ABC-∠4=45°-25°=20°，
∴∠2=∠3=20°；
（2）如图3，
∵∠3是△ADG的外角，
∴∠3=∠A+∠1=30°+25°=55°，
∵直线a∥b，
∴∠3=∠4=55°，
∵∠4+∠EFC=90°，
∴∠EFC=90°-55°=35°，
∴∠2=35°.
【解析】【分析】（1）①首先 过点B作BD∥a，由直线a∥b，得BD∥a∥b， ，由两直线平行，内错角相等，即可求得∠4的度数，又由△ABC是含有45°角的三角板，即可求得∠3的度数，进而求得∠2的度数；
(2)先根据角形外角的性质求出∠3的度数，再由平行线的性质得出∠4的度数，由直角三角形的性质即可得出结论.
31．如图， 相交于点 ，点 与点 在 上，且 ．
（1）求证： ；
（2）求证：点 为 的中点．
【答案】（1）∵AB//DF，
∴∠B=∠F，
∵BE=CF，
∴BE+CE=CF+CE，即BC=EF，
∴在ΔABC和ΔDFE 中， ，
∴ΔABC ΔDFE（SAS）；
（2）与（1）同理有∠B=∠F，
∴在ΔABO和ΔDFO 中， ，
∴ΔABO ΔDFO（AAS），
∴OB=OF，
∴点O为BF中点．
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质，可证得∠B=∠F，再利用已知条件可证得BC=EF；然后根据SAS可证得结论.
（2）利用AAS证明ΔABO ΔDFO，利用全等三角形的对应边相等，可证得OB=OF，由此可证得结论.
32．已知：．
（1）化简A；
（2）若点与点关于y轴对称，求A的值；
（3）关于x的方程的解为正数，求k的取值范围．
【答案】（1）解：原式=
=
=；
（2）解：点关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标变为相反数，
，
将代入原式：；
（3）解：由题：（），
，
（），
解得且．
【解析】【分析】 (1)分式通分，因式分解，约分化简得 ；
(2)点关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标变为相反数 ，得出x=4，将代入原式： ；
(3)由（）解得且 。
33．某地产公司为了吸引年轻人购房，持推出“主房+多变入户花园”的两种户型．即在图1中边长为a米的正方形主房进行改造．
户型一是在主房两侧均加长b米（0＜9b＜a）．阴影部分作为入户花园，如图2所示．
户型二是在主房一边减少b米后，另一边再增加b米，阴影部分作为入户花园．如图3所示．
解答下列问题：
（1）设两种户型的主房面积差为M，入户花园的面积差为N，试比较M和N的大小．
（2）若户型一的总价为50万元，户型二的总价为40万元，试判断哪种户型单价较低，并说明理由．
【答案】（1）解：∵M＝a2﹣a（a﹣b）＝a2﹣a2+ab＝ab，
N＝（a+b）2﹣a2﹣b（a﹣b）＝a2+2ab+b2﹣a2﹣ab+b2＝ab+2b2，
∴M﹣N＝ab﹣（ab+2b2）＝﹣2b2，
∵9b＞0，
∴﹣2b2＜0，
∴M﹣N＜0，
∴M＜N；
（2）解：户型一的单价为：万元，
户型二的单价为：万元，
∴
∵0＜9b＜a，
∴a﹣9b＞0，a﹣b＞0，
∴＞0，
∴户型二的单价较低．
【解析】【分析】考查多项式乘多项式、多项式乘单项式的运算法则、完全平方公式，M= a2﹣a（a﹣b） = ab ，N= ab+2b2 ，解得 M＜N ； (2)、 根据单价=，求得户型一单价，户型二的单价，相减的得出户型二的单价较低。
34．已知△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE//BC.
（1）如图1，如果点E是边AC的中点，AC＝8，求DE的长；
（2）如图2，若DE平分∠ADC，∠ABC＝30°，在BC边上取点F使BF＝DF，若BC＝9，求DF的长.
【答案】（1）解：∵DC平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACD，
∵DE//BC，
∴∠EDC＝∠BCD，
∴∠EDC＝∠ACD，
∴ED＝EC，
∵点E是边AC的中点，AC＝8，
∴EC= AC＝4，
∴DE＝4；
（2）解：∵DE//BC，
∴∠ADE＝∠B，∠CDE＝∠BCD，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠B＝∠BCD，
∴DB＝DC，
如图，作DG⊥BC于点G，
∵DB＝DC，DG⊥BC，
∴GB= BC 9＝4.5，
∵∠ABC＝30°，BF＝DF，
∴∠BDF＝∠B＝30°，
∴∠DFG＝∠B+∠BDF＝60°，
∴∠FDG＝30°，
∴BF＝DF＝2FG，
∴GF＝1.5，
∴DF＝2FG＝3.
【解析】【分析】(1)由角平分线的定义得到∠BCD= ∠ACD，再由平行线的性质得到∠EDC=∠BCD，则可得出∠EDC= ∠ACD，则由等角对等边得出ED= EC，根据线段中点性质可得结果；
(2)由平行线的性质，结合角平分线定义得出∠B=∠BCD，则可由等角对等边可得DB=DC，作DG⊥BC于点G，由等腰三角形的质求出GB的长，最后根据含30角的直角三角形性质求解即可.
35．已知实数m，n满足m+n＝6，mn＝﹣3.
（1）求（m﹣2）（n﹣2）的值；
（2）求m2+n2的值.
【答案】（1）解：因为m+n＝6，mn＝﹣3，
所以（m﹣2）（n﹣2）＝mn﹣2m﹣2n+4＝mn﹣2（m+n）+4＝﹣3﹣2×6+4＝﹣11.
（2）解：m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝62﹣2×（﹣3）＝36+6＝42.
【解析】【分析】（1）利用多项式与多项式的乘法法则可得(m-2)(n-2)＝mn-2(m+n)+4，然后将已知条件代入进行计算；
（2）由完全平方公式可得m2+n2＝(m+n)2-2mn，然后将已知条件代入进行计算.
36．如图，在平面直角坐标内，点A的坐标为（-4，0），点C与点A关于y轴对称.
（1）请在图中标出点A和点C；
（2）△ABC的面积是 ；
（3）在y轴上有一点D，且S△ACD＝S△ABC，则点D的坐标为 .
【答案】（1）解：如图所示，
点A为（-4，0），
∵点C与点A关于y轴对称
∴点C坐标为（4，0）
（2）16
（3）（0，4）或（0，-4）
【解析】【解答】解：（2）由×底×高得
故答案为：16；
（3）∵S△ACD＝S△ABC，AC=AC
∴
即D点的纵坐标为4或-4
又∵D点在y轴上
故D点坐标为（0，4）或（0，-4）.
故答案为：（0，4）或（0，-4）；
【分析】（1）利用关于y轴对称点的坐标特征求出C坐标，根据点A、C坐标描点即可；
（2）利用三角形的面积公式计算即可；
（3）由于S△ACD＝S△ABC，AC=AC，可得，据此求出D坐标即可.
37．如图，等边△ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC．
（1）如图①，点E为AB的中点，求证：AE=DB．
（2）如图②，点E在边AB上时，AE ▲ DB（填：“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：过点E作EF∥BC，交AC于点F（请你完成以下解答过程）．
（3）在等边△ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若AB=1，AE=2时，直接写出CD的长．
【答案】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，点E为AB的中点，
∴CE为∠ACB的平分线，
∴∠BCE=∠ACB=×60°=30°．
∵ED=EC，
∴∠D=∠DCE=30°，
∵∠ABC=60°，∠D+∠DEB=∠ABC，
∴∠DEB=30°，
∴BD=BE，
∵AE=BE，
∴AE=BD；
（2）解：=；理由如下：如图，过点E作EF∥BC，交AC于点F，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC=∠AFE=∠ACB=60°，
∴△AEF为等边三角形，
∴AB=AC，
∴BE=CF，
∴∠DBE=∠EFC=120°，
在△DBE和△EFC中，
，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴EF=DB，
∵AE=EF，
∴AE=DB；
（3）解：当点E在BA的延长线上时，如图③，作EF∥BC交CA的延长线于F，
则△AEF为等边三角形，
∴AF=AE=EF=2，∠BEF=60°，
∴∠CEF=60°+∠BEC，
∵∠EDC=∠ECD=∠B+∠BEC=60°+∠BEC，
∴∠CEF=∠EDB，
在△CEF和△EDB中，
，
∴△CEF≌△EDB（AAS），
∴BD=EF=2，
∴CD=BD-BC=1，
当点E在AB的延长线上时，如图，作EF∥BC交AC的延长线于F，
则△AEF为等边三角形，
∴AF=AE=EF=2，∠AEF=60°，
∴∠CEF=60°-∠AEC，
∵∠D=∠ECD=∠ABC+∠AEC=60°+∠AEC，
∴∠CEF=∠D，
在△CEF和△EDB中，
，
∴△CEF≌△EDB（AAS），
∴BD=EF=2，
∴CD=BD+BC=3，
综上所述，CD=1或3．
【解析】【分析】（1）先证明∠D=∠DCE=30°，∠DEB=30°，可得BD=BE，再结合AE=BE可得AE=BD；
（2）过点E作E//BC，交AC于点F，先证明△AEF为等边三角形，可得AB=AC，再利用“SAS”证明△DBE≌△EFC可得EF=DB，再结合AE=EF，可得AE=DB；
（3）分两种情况：①当点E在BA的延长线上时，作EF∥BC交CA的延长线于F，②当点E在AB的延长线上时，作EF∥BC交AC的延长线于F，再分别画出图象并利用全等三角形的判定和性质求解即可。
38．如图，四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC．
（1）求证：AE平分∠BAD．
（2）求证：AD＝AB＋CD．
【答案】（1）证明：过点E作EF⊥DA于点F，
∵∠C=90°，DE平分∠ADC，
∴CE=EF，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE，
∴BE=EF，
又∵∠B=90°，EF⊥AD，
∴AE平分∠BAD．
（2）证明：AD=CD+AB，
∵∠C=∠DFE=90°，
∴在Rt△DFE和Rt△DCE中
，
∴Rt△DFE和Rt△DCE（HL），
∴DC=DF，
同理AF=AB，
∵AD=AF+DF，
∴AD=CD+AB；
【解析】【分析】（1）过点E作EF⊥DA于点F， 根据角平分线的性质和线段中点的定义得CE=EF，BE=CE，BE=EF，即可判定 AE平分∠BAD；
（2）先证Rt△DFE和Rt△DCE（HL），则DC=DF，同理可证AF=AB，根据AD=AF+DF可得AD=CD+AB；
39．佛顶山大道改造，工程招标时，工程指挥部收到甲、乙两个工程队的投标书，根据甲、乙两队的投标书测算：若让甲队单独完成这项工程需要40天；若由乙队先做10天，剩下的工程由甲、乙两队合作20天才可完成.
（1）若安排乙队单独完成这项工程需要多少天？
（2）为了缩短工期，若安排两队共同完成这项工程需要多少天？
【答案】（1）安排乙队单独完成这项工程需要x天，根据题意，得
解得x=60，
经检验：x=60是此方程的解.
答：安排乙队单独完成这项工程需要60天.
（2）设安排两队共同完成这项工程需要y天，根据题意，得
解得y=24
答：安排两队共同完成这项工程需要24天.
【解析】【分析】（1）设安排乙队单独完成这项工程需要x天，根据“甲队十天完成的工作量+甲乙和做20天完成的工作量=1”可列方程，解分式方程并检验即可；
（2）设安排两队共同完成这项工程需要y天， 根据甲、乙合作的工作效率×共同工作时间=1列出方程，求解即可.
40．如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．
（1）已知∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；
（2）设∠B＝α，∠C＝β（α＜β）．求出用α、β表示∠DAE的关系式．
【答案】（1）解：∵∠B＝40°，∠C＝60°，
∴∠BAC= ，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE= ，
∴∠AED=∠B+∠BAE= ，
∵AD是高线，
∴AD⊥BC，
∴∠DAE= ；
（2）解：∵∠B＝α，∠C＝β，
∴∠ ，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE= =
∴∠AED=∠B+∠BAE= =
∵AD是高线，
∴AD⊥BC，
∴∠DAE= = ，
故答案为： ．
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAE，根据直角三角形的两个锐角互余求出∠BAD，然后求解即可；（2）方法同（1）。
41．小红到离家2100米的学校参加艺术节联欢会，到学校时发现演出道具忘在家中，此时距联欢会开始还有45分钟，于是她马上步行回家取道具，随后骑自行车返回学校.已知小红骑自行车到学校比她从学校步行到家用时少20分钟，且骑自行车的平均速度是步行平均速度的3倍.
（1）小红步行的平均速度（单位：米/分）是多少？
（2）小红能否在联欢会开始前赶到学校？（通过计算说明你的理由）
【答案】（1）解：设小红步行的平均速度是 米/分，则骑自行车的平均速度是 米/分.
根据题意，得
，
方程两边同乘最简公分母 ，得
，
解得 .
检验：把 代入最简公分母 ，得
，
因此， 是原方程的根.
答：小红步行的平均速度是70米/分.
（2）解：由（1），得 ， ，
所以小红骑自行车的速度是210米/分，
于是，小红回家取道具共花时间：
（分），
由于 ，
因此，小红能在联欢会开始前赶到学校.
【解析】【分析】（1）设小红步行的平均速度为x米/分，则骑自行车的平均速度为3x米/分，由小红骑自行车到学校比她从学校步行到家用时少20分钟为等量关系建立方程求出其解即可；
（2）根据（1）求出的结论计算小红往返的时间之和与45分钟作比较就可以得出结论.
42．已知：如图 ，与点 不重合的两点 、 分别在 、 上， 平分 ， 所在的直线与 的平分线所在的直线相交于点 .
（1）当点 、 分别在射线 、 上，且 时，求 的度数；
（2）当点 、 分别在射线 、 上运动时， 的大小是否发生变化？若不变，请给出证明；若发生变化，请求出 的范围.
【答案】（1）解：∵ ，即 ， ，
∴ ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ .
（2）解： 的大小不会发生变化，理由如下：
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴
.
【解析】【分析】（1）根据三角形一个外角等于与之不相邻的两个内角的和求出 ，由角平分线的定义，求出 ∠ABE及∠BAC的度数，最后由三角形外角的性质得 ，代入即可求出答案；
（2）由三角形的外角性质，得 ，再根据角平分线的定义即可求出答案.
43．已知在 中， ，射线 、 在 内部，分别交线段 于点 、 .
（1）如图1，若 ， ，过点 作 于点 ，分别交 、 于点 、 ；
①求证： ；
②若 ，连接 ，求 的度数；
（2）如图2，点 为 上一点， 交 于点 ，连接 .若 ，请直接写出 .
【答案】（1）解：①∵ ， ，
∴ ，
即： ，
∵ ， ，
∴ 为等边三角形，
则 ， ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ；
②如图所示，取 的中点 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由①可得： ， ， ，
∴ ，
在 与 中，
∴ ，
∴ ；
（2）2
【解析】【解答】（2）如图所示，在BF上取BK=AF，连接AK，
∵∠BFE=∠BAF+∠ABF，∠BFE=∠BAC，
∴∠BAF+∠EAC=∠BAF+∠ABF，
∴∠EAC=∠FBA，
在△ABK和△ACF中，AB=AC，∠ABK=∠FAC，BK=AF，
∴△ABK≌△ACF（SAS），
∴S△ABK=S△ACF ，∠AKB=∠AFC.
∵∠BFE=2∠CFE，
∴∠BFE=2∠AKF.
∵∠BFE=2∠AKF=∠AKF+∠KAF，
∴∠AKF=∠KAF，
∴△FAK是等腰三角形，
∴AF=FK，
∴BK=AF=FK，
∴S△ABK=S△AFK.
∵S△ABF=S△ABK+S△AFK=2S△ABK=2S△ACF，
∴ .
故答案为2.
【分析】（1）①根据题意可得∠BFD=60° ，△ABC为等边三角形，从而综合三角形的外角定理得到∠ABF=∠CAF，最终运用“角边角”证明△ABG≌△CAE即可；
②取BF的中点K，连接AK，由BF=2AF推出△FAK是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到 ∠FAK=∠FKA，并求出∠FKA=30°，然后结合①的结论证明△GAK≌△EFC，从而得到∠CFE的度数；
（2）在BF上取BK=AF，连接AK，推出∠EAC=∠FBA，根据全等三角形的性质得到S△ABK=S△ACF，∠AKB=∠AFC，证得△FAK是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到AF=FK，即可得到结论.
44．如图，在等腰三角形 ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC 于点 D，∠ABC 的角平分线 BE 交 AD 于点 F，且BF＝FA，BE＝AB，EG⊥BC 于点G.
（1）求证：∠BAD＝∠EBG；
（2）求证：AD＝DG＋EG；
（3）点H 为线段DG 上的一个动点，当AH＋HE 的值最小时，求∠DAH 的度数.
【答案】（1）证明：∵BE平分∠ABC
∴∠2＝∠3
∵BF＝FA
∴∠2＝∠1
∴∠1＝∠3
（2）证明：∵AD⊥BC EG⊥BC
∴∠ADB＝∠BGE＝90°
在△ABD和△BEG中
∴△ABD≌△BEG（AAS）
∴AD＝BG BD＝EG
∵BG＝BD＋DG＝DG＋EG
∴AD＝DG＋EG
（3）解：延长EG至点E′，使得GE′=GE
连接AE′， BE′，此时AH+HE的值最小
根据题意，易得 △BE′G≌△BEG
∴∠3＝∠GBE′ BE＝BE′
由（1）可知 ∠1＝∠2＝∠3＝30°
∴∠ABE′＝∠2＋∠3＋∠GBE′＝90°
∵AB＝BE BE＝BE′
∴AB＝BE′
即△ABE′是等腰直角三角形
∴∠BAH＝45°
∴∠DAH＝∠BAH -∠1＝15°
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可得到∠2＝∠3，再根据等腰三角形的性质，可推出∠2=∠1，由此可证得结论。
（2）利用垂直的定义可证得∠ADB＝∠BGE，再利用ASA可得到ABD≌△BEG，利用全等三角形的对应边相等，可推出AD＝BG，BD＝EG，由此可推出结论。
（3）延长EG至点E′，使得GE′=GE连接AE′，BE′，此时AH+HE的值最小 ，易证△BE′G≌△BEG，利用全等三角形的性质可证得∠3＝∠GBE′ ，BE＝BE；再证明AB＝BE′，可推出△ABE′是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质可得到∠BAH=45°，然后利用∠DAH＝∠BAH -∠1，代入计算可求出∠DAH的度数。
45．如图，在等边 中，点 是边 上一定点，点 是直线 上一动点，以 为一边作等边 ，连接 .
（1）（问题思考）
如图1，若点 与点 重合时，求证： ；
（2）（类比探究）
如图2，若点 在边 上，求证： ；
（3）（拓展归纳）
如图3，若点 在边 的延长线上，请直接写出线段 、 与 之间存在的数量关系的结论是： （不证明）.
【答案】（1）证明：∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
（2）解：作 交 于点 ，如图所示：
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵
∴ ，
∴
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∴
∴ ，
∴ ，
∴
（3）
【解析】【解答】解：（3）线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC=CD+CE； 理由如下：
∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠B=60°，
过D作 ，交AC的延长线于点G，如图所示：
∵ ，
∴∠GDC=∠B=60°，∠DGC=∠A=60°，
∴ ，
∴△GCD为等边三角形，
∴DG=CD=CG，
∵△EDF为等边三角形，
∴ED=DF，∠EDF=∠GDC=60°，
∴∠EDG=∠FDC，
在△EGD和△FCD中，
，
∴△EGD≌△FCD（SAS），
∴EG=FC，
∴FC=EG=CG+CE=CD+CE.
故答案为： .
【分析】（1）利用等边三角形的性质及全等三角形的判定方法SAS证明 可得 ，再利用 ，从而可得结论；
（2）作 交 于点 ，如图所示，证明 是等边三角形，利用等边三角形的性质及全等三角形的判定方法SAS证明 可得 ，从而可得结论；
（3）过D作 ，交AC的延长线于点G，如图所示，证明 为等边三角形，再利用等边三角形的性质及全等三角形的判定方法SAS证明△EGD≌△FCD，可得EG=FC，从而可得结论.
46．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
（1）（模型呈现）如图1，，，过点作于点，过点作于点.由，得.又，可以推理得到.进而得到 ， .我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型；
（2）（模型应用）①如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点.求证：点是的中点；
②如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为平面内任一点.若是以为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标.
【答案】（1）DE；AE
（2）解：①如图，作于，于，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，，，，
∴（），
∴，
同理，
∴，
∵，，
∴，
在与中，，，，
∴（），
∴，
∴点是的中点；
②如图，过A作AM⊥y轴，过B作BN⊥x轴于N，AM与BN相交于M，
∴∠M=90°，
∵∠OBA=90°，
∴∠ABM+∠OBN=90°，
∵∠ABM+∠BAM=90°，
∴∠OBN=∠BAM，
在△OBN与△BAM中， ，
∴△OBN≌△BAM（AAS），
∴AM=BN，ON=BM，
设AM=x，则BN=AM=x，
∴ON= x+2，
∴MB+NB=x+x+2=MN=4，
∴x=1，x+2=3，
∴点B的坐标（3，1）；
如图
同理可得，点B的坐标（-1，3），
综上所述，点B的坐标为，
【解析】【解答】解：（1）AC=DE，BC=AE；
故答案为：，
【分析】（1）利用全等三角形的性质求解即可；
（2）①作于，于，利用“AAS”证明可得，再利用“AAS”证明可得，从而可得点是的中点；
②过A作AM⊥y轴，过B作BN⊥x轴于N，AM与BN相交于M，利用“AAS”证明△OBN≌△BAM可得AM=BN，ON=BM，设AM=x，则BN=AM=x，再结合MB+NB=x+x+2=MN=4，求出x的值，即可得到点B的坐标。
47．（阅读材科）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，
如果具有公共的项角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，则△ABD≌△ACE.
（1）（材料理解）在图1中证明小明的发现.
（2）（深入探究）如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，连接AO，下列结论：①BD=EC；②∠BOC=60°；③∠AOE=60°；④EO=CO，其中正确的有 .(将所有正确的序号填在横线上).
（3）（延伸应用）如图3，AB=BC，∠ABC=∠BDC=60°，试探究∠A与∠C的数量关系.
【答案】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE；
（2）①②③
（3）如图3，
延长DC至P，使DP=DB，
∵∠BDC=60°，
∴△BDP是等边三角形，
∴BD=BP，∠DBP=60°，
∵∠BAC=60°=∠DBP，
∴∠ABD=∠CBP，
∵AB=CB，
∴△ABD≌△CBP（SAS），
∴∠BCP=∠A，
∵∠BCD+∠BCP=180°，
∴∠A+∠BCD=180°.
【解析】【解答】（2）如图2，
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，①正确，∠ADB=∠AEC，
记AD与CE的交点为G，
∵∠AGE=∠DGO，
∴180°-∠ADB-∠DGO=180°-∠AEC-∠AGE，
∴∠DOE=∠DAE=60°，
∴∠BOC=60°，②正确，
在OB上取一点F，使OF=OC，
∴△OCF是等边三角形，
∴CF=OC，∠OFC=∠OCF=60°=∠ACB，
∴∠BCF=∠ACO，
∵AB=AC，
∴△BCF≌△ACO（SAS），
∴∠AOC=∠BFC=180°-∠OFC=120°，
∴∠AOE=180°-∠AOC=60°，③正确，
连接AF，要使OC=OE，则有OC= CE，
∵BD=CE，
∴CF=OF= BD，
∴OF=BF+OD，
∴BF＜CF，
∴∠OBC＞∠BCF，
∵∠OBC+∠BCF=∠OFC=60°，
∴∠OBC＞30°，而没办法判断∠OBC大于30度，
所以，④不一定正确，
即：正确的有①②③，
故答案为①②③；
【分析】（1） 由∠BAC=∠DAE，利用等式的性质可得∠BAD=∠CAE，根据SAS可证△ABD≌△ACE；
（2）根据SAS可证△ABD≌△ACE，可得BD=CE，∠ADB=∠AEC，据此判断①；利用对顶角相等及三角形内角和可得出∠BOC=60°，据此判断②；根据SAS可证△BCF≌△ACO，可得出∠AOC=∠BFC=180°-∠OFC=120°，继而求出∠AOE=180°-∠AOC=60°，据此判断③；易判断BF＜CF，继而得出∠OBC＞30°，据此判断④；
（3）延长DC至P，使DP=DB，可证△BDP是等边三角形，得出BD=BP，∠DBP=60°， 根据SAS可证△ABD≌△CBP，可得∠BCP=∠A， 由∠BCD+∠BCP=180°，即得∠A+∠BCD=180°.
48．数学是一门充满乐趣、奥妙、又极具探索的学科，对一个人的思维也是一种“挑战”.几何图形更是变幻无穷，但只要我们借助图形的直观、特殊情形出发，逐步“从特殊到一般”进行探索，思路和方法自然就会显现出来.下面是一道探索几何图形中线段AE与DB数量关系的例子：已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC.小强的思路是：
（1）（特例探索）如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（选填“＞”、“＜”或“＝”）.
（2）（特例引路）如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论并加以理由说明，格式如：答：AE ▲ DB（选填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC交AC于点F.（请你将接下来的解答过程补充完整）.
（3）（拓展延伸）在等边三角形ABC中，当点E在直线AB上（在线段AB外），点D在线段CB的延长线上时，同样ED＝EC，若已知△ABC的边长为1，AE＝2，则请你帮助小强求出CD的长.（请你画出相应图形，并简要写出求CD长的过程）.
【答案】（1）＝
（2）解：＝；理由如下，过点E作EF//BC，交AC于点F，
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠A=60°，AB=AC，
∵EF//BC，
∴AEF=∠ABC=60°，
∴△AEF为等边三角形，
∴AE＝EF=AF，
∴AB-AE=AC-AF，
∴BE＝CF，
∵ED＝EC，
∴∠D＝∠ECD，
∵∠DEB＝60°﹣∠D，∠ECF＝60°﹣∠ECD，
∴∠DEB＝∠ECF，
在△DBE和△EFC中， ，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴DB＝EF，
则AE＝DB；
（3）解：点E在AB延长线上时，如图3所示，作EF//BC，交AC的延长线于点F，
则△AEF是等边三角形，
∴AE＝EF＝2，BE=CF，∠ABC=∠DBE=∠F=60°，
在△DBE和△EFC中，
，
∴△DBE≌△EFC，
∴DB＝EF＝2，BC＝1，
则CD＝BC+DB＝3.
【解析】【解答】解：（1）AE＝DB，理由如下：
∵ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，
∵点E为AB的中点，
∴∠ECD＝ ∠ACB＝30°，
∴∠EDC＝30°，
∵∠CBE=∠D+∠DEB=60°，
∴∠D＝∠DEB＝30°，
∴DB＝BE，
∵AE＝BE，
∴AE＝DB；
故答案为：＝；
【分析】(1)由E为等边三角形AB边的中点，由等腰三角形的性质得出CE⊥AB，且CE为角平分线，由ED= EC，利用等腰三角形的性质得到∠EDC＝∠ECD=30°，再利用三角形外角的性质求出∠DEB=30°，则可得出∠D=∠DEB，最后利用等腰三角形的性质即可得证；
(2) 过点E作EF//BC，交AC于点F，由△ABC为等边三角形，得到△AEF为等边三角形，则可得出AE=EF=AF，BE=FC，再利用三角形外角的性质和角的和差关系求出∠DEB＝∠ECF，结合ED=EC，利用SAS证明 △DBE≌△EFC，得出DB=EF，即可得证；
(3)当点E在AB延长线上时，同理可证△DBE≌△EFC，得出DB=EF，最后利用线段的和差关系求CD的长即可.
49．如图，在 中， ， ，点D在边BC上运动（点D不与点 重合），连接AD，作 ，DE交边AC于点E.
（1）当 时， ，
（2）当DC等于多少时， ，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中， 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出 的度数；若不可以，请说明理由.
【答案】（1）30；100
（2）当 时， ，理由如下：
∵ ，
∴
∵ ，
∴
∵
∴
在 和 中
∴
（3）可以，理由如下：
∵ ，
∴
分三种情况讨论：
①当 时，
∵ ，
∴
∴
∵
∴
②当 时，
∵
∴
又∵
∴
∴点D与点B重合，不合题意.
③当 时，
∴
∵
∴
综上所述，当 的度数为 或 时， 是等腰三角形.
【解析】【解答】解：（1）在△BAD中，∵∠B=50°，∠BDA=100°，
∴ ，
.
故答案为：30，100；
【分析】（1）根据平角的定义，可求出∠EDC的度数，根据三角形内和定理，即可求出∠DEC；
（2）当AB=DC时，利用AAS可证明ΔABD ΔDCE，即可得出AB=DC=3；
（3）假设 ΔADE是等腰三角形，分为三种情况讨论：①当 DA=DE 时，求出 ∠DAE=∠DEA=70° ，求出∠BAC，根据三角形的内角和定理求出∠BAD ， ∠BDA即可；②当AD=AE时，∠ADE=∠AED=40°，根据 ∠AED>∠C ，得出此时不符合；③当 EA=ED 时，求出 ∠DAC ，求出 ∠BAD ，根据三角形的内角和定理求出 ∠ADB .
50．直线 与直线 垂直相交于 ，点 在直线 上运动，点 在直线 上运动．
（1）如图1，已知 、 分别是 和 的角平分线，点 ， 在运动的过程中， 的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出 的大小．
（2）如图2，已知 不平行 ， 、 分别是 和 的角平分线， 、 分别是 和 的角平分线，点 、 在运动的过程中， 的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．
【答案】（1）解： 的大小不变，
直线 与直线 垂直相交于 ，
，
，
、 分别是 和 的角平分线，
， ，
，
（2）解： 的大小不变．
延长 、 交于点 ，如图，
直线 与直线 垂直相交于 ，
，
，
，
、 分别是 和 的角平分线，
， ，
，
，
，
，
、 分别是 和 的角平分线，
，
，
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再根据角平分线求出 ， ， 最后计算求解即可；
（2）根据垂直求出 ， 再利用角平分线进行计算求解即可。
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