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【50道常考题型】人教版数学九年级上册期末·综合题专项练习
1．已知抛物线（为常数）的顶点为．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点在该抛物线上，当时，比较与的大小；
（3）为该抛物线上一点，当取得最小值时，求点Q的坐标．
2．在平面直角坐标系中，已知二次函数图象的顶点为，且经过．
（1）求二次函数的解析式；
（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图像经过坐标原点？并直接写出平移后所得图像与轴的另一个交点的坐标．
3．如图，要用篱笆（虚线部分）围成一个矩形苗圃ABCD，其中两边靠的墙足够长，中间用平行于AB的篱笆EF隔开，已知篱笆的总长度为18米，设矩形苗圃ABCD的一边AB的长为x（m），矩形苗圃ABCD面积为y（）．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）求所围矩形苗圃ABCD的面积最大值；
4．如图，是⊙的直径，弦，垂足为E，弦与弦相交于点G，且，过点C作的垂线交的延长线于点H．
（1）判断与⊙的位置关系并说明理由；
（2）若，求弧的长．
5．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，一月份售出32台，二、三月份这种台灯销售量连续增长，其中三月份售出50台．
（1）求二月份、三月份两个月这种台灯销售量的月均增长率；
（2）从四月份起商场决定采取降价促销措施，调查发现，在三月份销量的基础上，如果这种台灯的售价每降价2元，那么月销售量增加4台．当每台降价多少元时，四月份销售这种台灯可获利348元？
6．如图，在中，D为边上的一点，过三点的圆O交于点E，已知，．
（1）求证：是圆O的直径；
（2）过点E作于点F，求证：与圆O相切．
7．已知关于的一元二次方程．其中分别为三边的长．
（1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由．
8．如图，抛物线y＝ax2＋bx﹣3经过A、B、C三点，点A（﹣3，0）、C（1，0），点B在y轴上．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A、B重合）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线AB于点E，动点P在什么位置时，PE最大，求出此时P点的坐标；
（3）点Q是抛物线对称轴上一动点，是否存在点Q，使以点A、B、Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．
9．在平面直角坐标系xOy中，，是抛物线上任意两点．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；
（2）若，，比较与的大小，并说明理由；
（3）若对于，，都有，直接写出m的取值范围．
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，O点在△ABC内部，⊙O经过B、C两点且交AB于点D，连接CO并延长交线段AB于点G，以GD、GC为邻边作平行四边形GDEC．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若DE＝7，CE＝5，求⊙O的半径．
11．已知二次函数．
（1）用配方法把该函数化为（其中、、都是常数且）的形式，并指出函数图象的对称轴和顶点坐标；
（2）求函数图象与轴的交点坐标．
12．有四张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字2，0，2，0，如图，将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上，甲、乙两人进行如下游戏：甲先抽一张卡片不放回，乙在抽一张卡片.
（1）已知甲抽到的卡片是数字2，则乙抽到卡片上的数字也是2的概率是 .
（2）甲、乙约定：若甲抽到卡片上的数字比乙大，则甲胜，否则乙胜，你认为这个游戏是否公平？用画树状图或列表的方法加以说明.
13．2020年疫情期间，某校为学生提供四种在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答疑、在线讨论，为了解学生的需求，对学生进行了“你最喜欢哪种在线学习方式的调查，调查结果制成两幅不完整统计图如图，根据图中信息回答问题：
（1）本次调查人数有 人，在线答疑所在扇形的圆心角度数是 ；
（2）补全条形统计图；
（3）甲、乙两位同学都参加了在线学习，请用画树状图或列表的方法求出两名同学喜欢同一种在线学习方式的概率.
14．把一边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方体形盒子（纸板的厚度忽略不计），
（1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体形盒子.要使折成的长方形体盒子的底面积为484cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？
（2）在（1）中，折成的长方体形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由.
15．已知二次函数 的对称轴是直线 ，且经过点 .
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P（m，n）在该二次函数图象上，且点P到y轴的距离小于3，求n的取值范围.
16．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象经过点（﹣2，3）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）给出一种平移方案，使该二次函数的图象平移后经过原点．
17．某品牌羽绒服专卖店11月份销售了A款羽绒服1200件和B款羽绒服800件，每件B款羽绒服的销售价比A款多800元，11月份这两款羽绒服的总销售额为4640000元.
（1）求该专卖店11月份A、B两款羽绒服的销售单价分别是多少元？
（2）12月份，由于气温降低，该专卖店A款羽绒服的销售比11月份增加了 ，单价在11月份的基础上不变；B款羽绒服的销售比11月份增加了 ，单价在11月份的基础上降低了 .最后统计，该专卖店12月份这两款羽绒服的总销售额比11月份这两款羽绒服的总销售额增加 ，求 的值.
18．春节前夕，某花店采购了一批鲜花礼盒，成本价为 元/件，物价局要求，销售该鲜花礼盒获得的利润率不得高于 .分析往年同期的鲜花礼盒销售情况，发现每天的销售量 （件）与销售单价 （元/件）近似的满足一次函数关系，数据如下表：
销售单价 （元/件）
每天销售量 （件）
（1）直接写出 与 的函数关系式： ；
（2）试确定销售单价取何值时，花店销售该鲜花礼盒每天获得的利润最大？并求出最大利润；
（3）为了确保今年每天销售此鲜花礼盒获得的利润不低于 元，请预测今年销售单价的范围是多少？
（4）花店承诺：今年每销售一件鲜花礼盒就捐赠 元（ ）给“爱心基金”.若扣除捐赠后的日利润随着日销量的减小而增大，则 的取值范围是多少？
19．如图，在平面直角坐标系中，已知 ， ， ，点 的坐标为 .
（1）求点 的坐标.
（2）求过点 ， ， 的二次函数的表达式.
（3）设点 关于二次函数的对称轴 的对称点为 ，求 的面积.
20．已知关于 的方程 .
（1）当 取何值时，原方程没有实数根？
（2）对 选取一个合适的非零整数，使原方程有两个不相等的实数根，并求此时这两个实数根.
21．一个不透明的口袋中装有 个分别标有数字 ， ， ， 的小球，它们的形状、大小完全相同．小红先从口袋中随机摸出一个小球记下数字为 ；小颖在剩下的 个小球中随机摸出一个小球记下数字为 ．
（1）请用列表法或画树状图的方法表示出由 ， 确定的点 所有可能的结果；
（2）小红摸出标有数字 的小球的概率是多少？
（3）若规定：点 在第一象限或第三象限小红获胜；点 在第二象限或第四象限则小颖获胜．请问这个游戏公平吗？
22．某商店将每件进价为80元的某种商店按每件110元出售，每天可售出100件．该商店想通过降低售价、增加销售量的方法来提高利润．经市场调查，发现这种商品每件每降价5元，每天的销售量可增加50件．设商品降价x元，每天销售该商品获得的利润为y元．
（1）求y（元）关于x（元）的函数关系式，并写出x的取值范围．
（2）求当x取何值时y最大？并求出y的最大值．
（3）若要是每天销售利润为3750元，且尽可能最大的向顾客让利，应将该商品降价多少元？
23．某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．
（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；
（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．
24．某农场拟建三件矩形饲养室，饲养室一面靠现有墙（墙可用长≤20m），中间用两道墙隔开，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为60m，设饲养室宽为x（m），总占地面积为y（m2）（如图所示）．
（1）求y关于x的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）三间饲养室占地总面积有可能达到210m2吗？请说明理由．
25．如图，矩形窗户边框ABCD由矩形AEFD，矩形BNME，矩形CFMN组成，其中AE：BE=1：3.已知制作一个窗户边框的材料的总长是6米，设BC=x(米)，窗户边框ABCD的面积为S(米2)
（1）①用x的代数式表示AB；
②求x的取值范围.
（2）求当S达到最大时，AB的长.
26．如图，圆 O 的半径为 1，过点
A(2，0)的直线与圆 O 相切于点 B，与 y 轴相交于点 C．
（1）求 AB 的长；
（2）求直线 AB 的解析式．
27．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k＝0
（1）求证：无论k取任何实数，方程总有实数根．
（2）若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．
28．“品中华诗词，寻文化基因”.某校举办了第二届“中华诗词大赛”，将该校八年级参加竞赛的学生成绩统计后，绘制了如下不完整的频数分布统计表与频数分布直方图.
频数分布统计表
组别 成绩x（分） 人数 百分比
A 60≤x＜70 8 20%
B 70≤x＜80 16 m%
C 80≤x＜90 a 30%
D 90≤＜x≤100 4 10%
请观察图表，解答下列问题：
（1）表中a= ，m= ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）D组的4名学生中，有1名男生和3名女生.现从中随机抽取2名学生参加市级竞赛，则抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率是？
29．如图，平面直角坐标系中，每个小正方形边长都是1．
（1）按要求作图：
①以坐标原点O为旋转中心，将△ABC逆时针旋转90°得到△A1B1C1；
②作出△A1B1C1关于原点成中心对称的中心对称图形△A2B2C2．
（2）△A2B2C2中顶点B2坐标为 ．
30．为了落实国务院的指示精神，政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=-x+60．设这种产品每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式．
（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售的最大利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不能高于每千克35元，该农户想要每天获得300元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？
31．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x的图象与二次函数y=-x2+bx（b为常数）的图象相交于O，A两点，点A坐标为（3，m）.
（1）求m的值以及二次函数的表达式；
（2）若点P为抛物线的顶点，连结OP，AP，求△POA的面积.
32．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0．
（1）若该方程的一个根为1，求a的值；
（2）若a的值为3时，请解这个方程．
33．“垃圾分类”进校园，锦江教育出实招.锦江区编写小学生《垃圾分类校本实施指导手册》，给同学们介绍垃圾分类科学知识，要求大家将垃圾按A，B，C，D四类分别装袋投放.其中A类指有害垃圾，B类指厨余垃圾，C类指可回收垃圾，D类指其他垃圾.小明和小亮各有一袋垃圾，需投放到小区如图所示的垃圾桶.
（1）“小明投放的垃圾恰好是有害垃圾”这一事件是 .（请将正确答案的序号填写在横线上）
①必然事件 ②不可能事件 ③随机事件
（2）请用列表或画树状图的方法，求小明与小亮投放的垃圾是同类垃圾的概率.
A.有害垃圾 B.厨余垃圾
C.可回收垃圾 D.其他垃圾
34．如图①，某校进行校园改造，准备将一块正方形空地划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了4m，另一边减少了5m，剩余部分面积为650m2．
（1）求原正方形空地的边长；
（2）在实际建造时，从校园美观和实用的角度考虑，按图②的方式进行改造，先在正方形空地一侧建成1m宽的画廊，再在余下地方建成宽度相等的两条小道后，其余地方栽种鲜花，如果栽种鲜花区域的面积为812m2，求小道的宽度．
35．甲乙两人报名参加疫情防控志愿者活动，他们将被随机分配到A、B、C、D四个小区协助医务人员做核酸检测工作．
（1）甲被派到C小区的概率是 ；
（2）请用画树状图或列表的方法求甲被派到B小区，同时乙被派到D小区的概率．
36．根据对某市相关的市场物价调研，预计进入夏季后的某一段时间，某批发市场内的甲种蔬菜的销售利润 （千元）与进货量 （吨）之间的函数 的图象如图①所示，乙种蔬菜的销售利润 （千元）与进货量 （吨）之间的函数 的图象如图②所示.
（1）分别求出 、 与 之间的函数关系式；
（2）如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共 吨，设乙种蔬菜的进货量为 吨.
①写出这两种蔬菜所获得的销售利润之和 （千元）与 （吨）之间的函数关系式.并求当这两种蔬菜各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少元？
②为了获得两种蔬菜的利润之和不少于 元，则乙种蔬菜进货量应在什么范围内合适？
37．已知二次函数 .
（1）若函数图象经过点 ， ，求 的值；
（2）当 ， 时，求证：函数图象与x轴有两个交点.
38．如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥DC，连接AC，BC.
（1）求证：AC是∠DAB的角平分线；
（2）若AD＝2，AB＝3，求AC的长.
39．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数 的图象与 轴， 轴的交点分别为 和 ．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）结合函数图象，直接写出当 时， 的取值范围．
40．有 张看上去无差别的卡片，上面分别写着 ，随机抽取 张后，放回并混在一起，再随机抽取 张．
（1）请用树状图或列表法等方法列出各种可能出现的结果；
（2）求两次抽到的卡片上的数字之和等于 的概率．
41．如图，点E为正方形边上的一点，平分正方形的外角，将线段绕点顺时针旋，点的对应点为点．
（1）当点落在边上且时，求的度数；
（2）当点落在射线上时，求证：；
（3）在（2）的条件下，连接并与交于点，连接，探究，与之间的数量关系，并说明理由．
42．已知抛物线与轴交于坐标原点和点．
（1）已知该抛物线的顶点的纵坐标与点的横坐标相同，设过点的直线与抛物线的另一个交点为．求点和点的坐标；
（2）将线段绕点逆时针旋转得到线段，若该抛物线与线段只有一个交点，请直接写出的取值范围；
（3）若直线与该抛物线交于两点（点在点左侧），连接．设直线为，直线为；令，求与的函数关系式．
43．二次函数y1＝ax2+2x过点A（﹣2，0）和点B，过点A，B作一次函数y2＝kx+b，若点B的横坐标为1．
（1）求出二次函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象，当y2＞y1时，请直接写出x的取值范围；
（3）若P点在抛物线y1上，且横坐标为﹣1，求△ABP的面积．
44．在平面直角坐标系中，点，点，点．以点O为中心，逆时针旋转，得到，点的对应点分别为．记旋转角为．
（1）如图①，当点C落在上时，求点D的坐标；
（2）如图②，当时，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，求点D的坐标（直接写出结果即可）．
45．为迎接“双十一”购物节，某网店计划销售某种网红食品，进价为20元/千克，经市场调研发现，该食品的售价x（元/千克）的范围为：20≤x≤50，日销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出200元给灾区，若捐款后店主的剩余利润是800元，求该食品的售价；
（3）若该食品的日销量不低于90千克，当售价为 元/千克时，每天获取的利润最大，最大利润是 元．
46．已知抛物线与x轴只有一个公共点．
（1）若抛物线过点，求a+b的最小值；
（2）已知点中恰有两点在抛物线上．
①求抛物线的解析式；
②设直线l：与抛物线交于M，N两点，点A在直线上，且，过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和直线l于点B，C．求证：与的面积相等．
47．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）请直接写出点A，C，D的坐标；
（2）如图（1），在x轴上找一点E，使得△CDE的周长最小，求点E的坐标；
（3）如图（2），点P为抛物线对称轴上的动点，使得△ACP为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
48．如图1所示，将一个长为6宽为4的长方形ABEF，裁成一个边长为4的正方形ABCD和一个长为4、宽为2的长方形CEFD如图2．现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至，旋转角为a．
（1）当点恰好落在EF边上时，求旋转角a的值；
（2）如图3，G为BC中点，且0°＜a＜90°，求证：；
（3）小军是一个爱动手研究数学问题的孩子，他发现在小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，与存在两次全等，请你帮助小军直接写出当与全等时，旋转角a的值．
49．内接于，连接，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，点在外，，CD∥OB，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，点在圆周上（若与点位于AB的两侧），连接EB、EC，若，，，求的半径长．
50．已知抛物线yx2+mx+m与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，），点P为抛物线在直线AC上方图象上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△PAC面积的最大值，并求此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线yx2+mx+m在点A、B之间的部分（含点A、B）沿x轴向下翻折，得到图象G．现将图象G沿直线AC平移，得到新的图象M与线段PC只有一个交点，求图象M的顶点横坐标n的取值范围．
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【50道常考题型】人教版数学九年级上册期末·综合题专项练习
1．已知抛物线（为常数）的顶点为．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点在该抛物线上，当时，比较与的大小；
（3）为该抛物线上一点，当取得最小值时，求点Q的坐标．
【答案】（1）解：∵ 抛物线的顶点为，
∴
解得，．
∴ 抛物线的解析式为．
（2）解：∵ 抛物线的开口向上，对称轴为直线．
∴ 当时，函数值随自变量的增大而增大．
∵，
∴．
∴．
（3）解：∵ 点在该抛物线上，
∴．
∴．
∴ 当时，取得最小值．此时．
∴ 点的坐标为．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求出二次函数解析式；
（2）根据 抛物线的开口向上，对称轴为直线． 得出 当时，函数值随自变量的增大而增大． 再根据t的范围，即可得出答案；
（3）根据 点在该抛物线上， 得出n的值， 当时，取得最小值．此时． 即可得出 点Q的坐标．
2．在平面直角坐标系中，已知二次函数图象的顶点为，且经过．
（1）求二次函数的解析式；
（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图像经过坐标原点？并直接写出平移后所得图像与轴的另一个交点的坐标．
【答案】（1）解：设二次函数的表达式为：
将代入得：
解得：
∴，即
（2）解：设将该二次函数图象向右平移个单位，
∴平移后的表达式为，
∵平移后所得图像经过坐标原点，
∴将原点代入得，，即，
解得：(舍去)，
∴；平移后所得图像与轴的另一个交点的坐标（4，0）
【解析】【解答】(2)∵，
∴平移后的表达式为，
当时，即，
解得：，
∴平移后所得图像与x轴的交点坐标为和，
∴平移后所得图像与轴的另一个交点的坐标为．
【分析】（1）有顶点就用顶点式来求二次函数解析式；
（2） 设将该二次函数图象向右平移个单位，得出平移后的表达式，根据平移后所得图像经过坐标原点，得出， 得出m的值，即可得出结论。
3．如图，要用篱笆（虚线部分）围成一个矩形苗圃ABCD，其中两边靠的墙足够长，中间用平行于AB的篱笆EF隔开，已知篱笆的总长度为18米，设矩形苗圃ABCD的一边AB的长为x（m），矩形苗圃ABCD面积为y（）．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）求所围矩形苗圃ABCD的面积最大值；
【答案】（1）解：设矩形苗圃ABCD的一边AB的长为x（m），矩形苗圃ABCD面积为y（），则，
根据题意得：y＝x（18﹣2x）＝﹣2x2＋18x
（2）解：二次函数y＝﹣2x2＋18x（0＜x＜9），
∵a＝﹣2＜0，
∴二次函数图象开口向下，
且当x＝﹣＝时，y取得最大值，
最大值为y＝×（18﹣2×）＝（m2）；
【解析】【分析】（1）利用矩形面积公式求函数解析式即可；
（2）先求出 二次函数图象开口向下， 再求解即可。
4．如图，是⊙的直径，弦，垂足为E，弦与弦相交于点G，且，过点C作的垂线交的延长线于点H．
（1）判断与⊙的位置关系并说明理由；
（2）若，求弧的长．
【答案】（1）解：CH与⊙O相切．
理由如下：如图，连接OC、OD、AC，OC交AF于点M，
∵AG＝CG，
∴∠ACG＝∠CAG，
∴，
∵CD⊥AB，
∴，
∴，
∴OC⊥AF，
∵AB为直径，
∴∠AFB＝90°，
∵BH⊥CH，
∴CH∥AF，
∴OC⊥CH，
∵OC为半径，
∴CH为⊙O的切线；
（2）解：由（1）得：BH⊥CH，OC⊥CH，
∴OC∥BH，
∵CH∥AF，
∴四边形CMFH为平行四边形，
∵OC⊥CH，
∴∠OCH=90°，
∴四边形CMFH为矩形，
∴OC⊥AF，CM＝HF＝2，
∴AM＝FM，
∵点O为AB的中点，
∴OM＝BF＝2，
∴CM=OM，
∴OC=4，AM垂直平分OC，
∴AC＝AO，
而AO＝OC，
∴AC＝OC＝OA，
∴△AOC为等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
∵，
∴∠AOD＝∠AOC＝60°，
∴∠COD＝120°，
∴弧CD的长度为．
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再求出 OC⊥CH， 最后证明求解即可；
（2）先求出 四边形CMFH为平行四边形， 再求出 四边形CMFH为矩形， 最后求解即可。
5．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，一月份售出32台，二、三月份这种台灯销售量连续增长，其中三月份售出50台．
（1）求二月份、三月份两个月这种台灯销售量的月均增长率；
（2）从四月份起商场决定采取降价促销措施，调查发现，在三月份销量的基础上，如果这种台灯的售价每降价2元，那么月销售量增加4台．当每台降价多少元时，四月份销售这种台灯可获利348元？
【答案】（1）解：设二月份、三月份两个月这种台灯销售量的月均增长率为x，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：二月份、三月份两个月这种台灯销售量的月均增长率为25%．
（2）解：设每台降价y元，则四月份可售出台，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：当每台降价4元时，四月份销售这种台灯可获利348元．
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再解方程即可；
（2）根据题意先求出 ， 再解方程即可。
6．如图，在中，D为边上的一点，过三点的圆O交于点E，已知，．
（1）求证：是圆O的直径；
（2）过点E作于点F，求证：与圆O相切．
【答案】（1）证明：∵BD=AD，
∴∠B=∠BAD=36°，
∴∠ADC=72°，
∵∠DAC=∠BAD=18°，
∴∠ADC+∠DAC=90°，
∴∠C=90°，
∴AD是圆O的直径
（2）证明：连接OE，
∵EF⊥BC，
∴∠EFC=90°，
∵OE=OA，
∴∠OEA=∠BAD=36°，
∴∠OEA=∠B，
∴OE∥BC，
∴∠OEF+∠EFC=180°，
∴∠OEF=90°，
∴OE⊥EF，
∵OE为圆O的半径，
∴EF与圆O相切．
【解析】【分析】（1）先求出 ∠ADC=72°， 再求出 ∠C=90°， 最后证明即可；
（2）先求出 ∠OEA=∠B， 再求出 OE⊥EF， 最后作答即可。
7．已知关于的一元二次方程．其中分别为三边的长．
（1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）解：△ABC为等腰三角形，理由如下：
把x=1代入方程得b-c-2a+c+b=0，
则a=b，
所以△ABC为等腰三角形
（2）解：△ABC为直角三角形，理由如下：
根据题意得Δ=（-2a）2-4（b-c）（b+c）=0，
整理得b2-c2=a2，即b2 =a2+c2，
所以△ABC为直角三角形．
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 a=b， 再判断三角形即可；
（2）先求出 Δ=0， 再求出 b2 =a2+c2， 最后作答即可。
8．如图，抛物线y＝ax2＋bx﹣3经过A、B、C三点，点A（﹣3，0）、C（1，0），点B在y轴上．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A、B重合）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线AB于点E，动点P在什么位置时，PE最大，求出此时P点的坐标；
（3）点Q是抛物线对称轴上一动点，是否存在点Q，使以点A、B、Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：把A（﹣3，0）和C（1，0）代入y＝ax2+bx﹣3，
得，，
解得，，
∴抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）解：设P（x，x2+2x﹣3），直线AB的解析式为y＝kx+b，
由抛物线解析式y＝x2+2x﹣3，
令x＝0，则y＝﹣3，
∴B（0，﹣3），
把A（﹣3，0）和B（0，﹣3）代入y＝kx+b，
得，，
解得，，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x﹣3，
∵PE⊥x轴，
∴E（x，﹣x﹣3），
∵P在直线AB下方，
∴PE＝﹣x﹣3﹣（ x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣3x＝﹣（x+）2+，
当x＝﹣时，y＝x2+2x﹣3＝，
∴当PE最大时，P点坐标为（﹣，）
（3）解：存在，理由如下，
∵x＝﹣＝-1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝-1，
设Q（-1，a），
∵B（0，-3），A（-3，0），
①当∠QAB＝90°时，AQ2+AB2＝BQ2，
∴22+a2+32+32＝12+（3+a）2，
解得：a＝2，
∴Q1（-1，2），
②当∠QBA＝90°时，BQ2+AB2＝AQ2，
∴12+（3+a）2+32+32＝22+a2，
解得：a＝﹣4，
∴Q2（-1，﹣4），
③当∠AQB＝90°时，BQ2+AQ2＝AB2，
∴12+（3+a）2+22+a2＝32+32，
解得：a1＝或a1＝，
∴Q3（-1，），Q4（-1，），
综上所述：点Q的坐标是（-1，2）或（-1，﹣4）或（-1，）或（-1，）．
【解析】【分析】（1）把点A、B的坐标代入抛物线y＝ax2＋bx﹣3即可得出答案；
（2）设P（x，x2+2x﹣3），直线AB的解析式为y＝kx+b，用含x的代数式表示出点E的坐标，即可用含x的代数式表示出PE的长度，由函数的思想可求出点P的横坐标，进一步求出其纵坐标即可；
（3）设Q（-1，a），然后分类讨论利用勾股定理列出方程求解即可。
9．在平面直角坐标系xOy中，，是抛物线上任意两点．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；
（2）若，，比较与的大小，并说明理由；
（3）若对于，，都有，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）解：
所以抛物线的顶点坐标为：
（2）解：
抛物线的对称轴为：直线
，，
而
关于直线对称，
（3）解：
【解析】【解答】(3)解：当抛物线的对称轴时，如图，
始终在的上方，满足
所以
当时，由抛物线的对称性可得关于的对称点的坐标为：
当时，满足
此时
当时，同理可得 不符合题意，舍去，
综上：对于，，都有，m的取值范围为：
【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点事求解即可；
（2）分别将，，代入解析式求解即可；
（3）求出关于对称轴对称点，根据抛物线开口向上及求解即可。
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，O点在△ABC内部，⊙O经过B、C两点且交AB于点D，连接CO并延长交线段AB于点G，以GD、GC为邻边作平行四边形GDEC．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若DE＝7，CE＝5，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明：连接OD，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠ABC＝45°，
∴∠COD＝2∠ABC＝90°，
∵四边形GDEC是平行四边形，
∴DE∥CG，
∴∠ODE+∠COD＝180°，
∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE，
∵OD是半径，
∴直线DE是⊙O的切线
（2）解：设⊙O的半径为r，
∵四边形GDEC是平行四边形，
∴CG＝DE＝7，DG＝CE＝5，
∵∠GOD＝90°，
∴OD2+OG2＝DG2，即r2+（7﹣r）2＝52，
解得：r1＝3，r2＝4，
当r＝3时，OG＝4＞3，此时点G在⊙O外，不合题意，舍去，
∴r＝4，即⊙O的半径4．
【解析】【分析】（1）连接OD，根据题意和平行四边形的性质可得DE∥CG，得出OD⊥DE，即可求解；
（2）设⊙O的半径为r，因为∠GOD＝90°，根据勾股定理求解得出r的值，当r＝3时，OG＝4＞3，此时点G在⊙O外，不合题意，舍去，可求解。
11．已知二次函数．
（1）用配方法把该函数化为（其中、、都是常数且）的形式，并指出函数图象的对称轴和顶点坐标；
（2）求函数图象与轴的交点坐标．
【答案】（1）解：∵，
∴对称轴为：，
顶点坐标：
（2）解：时，有，
，
∴，，
∴图象与轴的交点坐标为：与
【解析】【分析】（1）利用配方法将二次函数的解析式化为顶点式，求出对称轴和顶点坐标；
（2） 求函数图象与轴的交点坐标． 即就是当y=0时，有方程 ，解方程即可。
12．有四张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字2，0，2，0，如图，将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上，甲、乙两人进行如下游戏：甲先抽一张卡片不放回，乙在抽一张卡片.
（1）已知甲抽到的卡片是数字2，则乙抽到卡片上的数字也是2的概率是 .
（2）甲、乙约定：若甲抽到卡片上的数字比乙大，则甲胜，否则乙胜，你认为这个游戏是否公平？用画树状图或列表的方法加以说明.
【答案】（1）
（2）解：这个游戏不公平，
理由：
如图：甲抽到卡片上的数字比乙大的有4种情况，
故甲获胜的概率为： ＝ ，则乙获胜的概率为： ，
故这个游戏不公平.
【解析】【解答】解：（1）画树状图得：
，
一共有3种可能，两人抽得数字都是2的有1种情况，
故两人抽得数字都是2的概率是： ；
故答案为： ；
【分析】（1）由题意画出树状图。根据树状图的信息可知共有3种可能，两人抽得数字都是2的有1种情况，用概率公式即可求解；
（2）由题意画出树状图。根据树状图的信息可知共有12种可能， 甲抽到卡片上的数字比乙大的有4种情况， 用概率公式可求得甲和乙获胜的概率，比较大小即可判断求解.
13．2020年疫情期间，某校为学生提供四种在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答疑、在线讨论，为了解学生的需求，对学生进行了“你最喜欢哪种在线学习方式的调查，调查结果制成两幅不完整统计图如图，根据图中信息回答问题：
（1）本次调查人数有 人，在线答疑所在扇形的圆心角度数是 ；
（2）补全条形统计图；
（3）甲、乙两位同学都参加了在线学习，请用画树状图或列表的方法求出两名同学喜欢同一种在线学习方式的概率.
【答案】（1）100；72°
（2）解：补全条形统计图如图所示：
（3）解：四类在线学习方式在线阅读、在线听课、在线答疑、在线讨论分别用A、B、C、D表示，画树状图如图：
共有16个等可能的结果，其中甲、乙两名同学喜欢同一种在线学习方式的结果有4个，
∴甲、乙两名同学喜欢同一种在线学习方式的概率为 ＝ .
【解析】【解答】解：（1）25÷25%＝100（人），即本次调查人数有100人，
“在线答疑”的人数为100﹣40﹣25﹣15＝20（人），在扇形图中的圆心角度数为360°× ＝72°；
故答案为：100，72°；
【分析】（1）观察条形图可知，样本中“在线阅读”的人数有25人，占调查人数的25%，根据频数=样本容量×百分数可求出调查人数；再求出“在线答疑”所占整体的百分比，根据相应的圆心角的度数=360°×百分比即可求解；
（2）由（1）的计算可补全条形统计图；
（3）由题意画出树状图，结合树状图的信息可知 共有16个等可能的结果，其中甲、乙两名同学喜欢同一种在线学习方式的结果有4个，根据概率公式计算即可求解．
14．把一边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方体形盒子（纸板的厚度忽略不计），
（1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体形盒子.要使折成的长方形体盒子的底面积为484cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？
（2）在（1）中，折成的长方体形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由.
【答案】（1）解：设剪掉的正方形的边长为xcm.
则（40﹣2x）2＝484，
即40﹣2x＝±22，
解得x1＝31（不合题意，舍去），x2＝9，
∴剪掉的正方形的边长为9cm.
（2）解：侧面积有最大值.
设剪掉的小正方形的边长为acm，盒子的侧面积为ycm2，
则y与a的函数关系为：y＝4（40﹣2a）a，
即y＝﹣8a2+160a，
即y＝﹣8（a﹣10）2+800，
∴a＝10时，y最大＝800.
即当剪掉的正方形的边长为10cm时，长方形盒子的侧面积最大为800cm2.
【解析】【分析】（1）根据正方形的面积=边长2可列方程求解；
（2） 设剪掉的小正方形的边长为acm，盒子的侧面积为ycm2，根据正方形的侧面积=4×其中一个侧面积可求出y与x之间的函数关系式，并将解析式配成顶点式，然后根据二次根式的性质可求解.
15．已知二次函数 的对称轴是直线 ，且经过点 .
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P（m，n）在该二次函数图象上，且点P到y轴的距离小于3，求n的取值范围.
【答案】（1）解：∵对称轴是直线 ，
∴ ，
解得 ，
将点A（－1，0）代入 ，得
，
∴ ，
解得： ，
∴二次函数的解析式为
（2）解：∵点P（m，n）在该二次函数图象上，
∴点P到y轴的距离为|m|，
又∵点P到y轴的距离小于3，
∴－3＜m＜3，
∵ ，
∵－3＜x＜3，
∴当x＝2时，y取得最小值，最小值为－9，
当x＝－3时，y＝16；当x＝3时，y＝－8，
∴当－3＜m＜3时，－9≤n≤16.
∴n的取值范围为－9≤n≤16.
【解析】【分析】（1）将抛物线的对称轴方程及A点坐标代入二次函数的解析式中联立求解即可求出二次函数的解析式；（2）点P到y轴的距离为|m|，则有－3＜m＜3，又因为 ，在－3＜m＜3时，－9≤n≤16.
16．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象经过点（﹣2，3）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）给出一种平移方案，使该二次函数的图象平移后经过原点．
【答案】（1）解：将点(－2，3)代入y＝－x2＋bx＋3中，解得b＝－2.
∴二次函数的表达式为y＝－x2－2x＋3.
（2）解：答案不唯一向下平移3个单位；或向左平移1个单位；或向右平移3个单位；或先向右平移1个单位再向下平移4个单位等.
【解析】【分析】（1）将点(－2，3)代入二次函数解析式，即可求得b以及解析式；
（2）答案不唯一，写出一种答案即可.
17．某品牌羽绒服专卖店11月份销售了A款羽绒服1200件和B款羽绒服800件，每件B款羽绒服的销售价比A款多800元，11月份这两款羽绒服的总销售额为4640000元.
（1）求该专卖店11月份A、B两款羽绒服的销售单价分别是多少元？
（2）12月份，由于气温降低，该专卖店A款羽绒服的销售比11月份增加了 ，单价在11月份的基础上不变；B款羽绒服的销售比11月份增加了 ，单价在11月份的基础上降低了 .最后统计，该专卖店12月份这两款羽绒服的总销售额比11月份这两款羽绒服的总销售额增加 ，求 的值.
【答案】（1）设A款羽绒服每件售价为x元，则B款羽绒服每件售价为（800+x）元，
根据题意可列方程：
解得： .
故A款羽绒服每件售价为2000元，则B款羽绒服每件售价为800+2000=2800元.
（2）根据题意可列方程： 整理得： ，
解得： （舍）.
故a的值为25.
【解析】【分析】（1）设A款羽绒服每件售价为x元，则B款羽绒服每件售价为（800+x）元，再根据题意列出一元一次方程，解出x即可.
（2）根据题意可列出一元二次方程，解出方程的解即可.
18．春节前夕，某花店采购了一批鲜花礼盒，成本价为 元/件，物价局要求，销售该鲜花礼盒获得的利润率不得高于 .分析往年同期的鲜花礼盒销售情况，发现每天的销售量 （件）与销售单价 （元/件）近似的满足一次函数关系，数据如下表：
销售单价 （元/件）
每天销售量 （件）
（1）直接写出 与 的函数关系式： ；
（2）试确定销售单价取何值时，花店销售该鲜花礼盒每天获得的利润最大？并求出最大利润；
（3）为了确保今年每天销售此鲜花礼盒获得的利润不低于 元，请预测今年销售单价的范围是多少？
（4）花店承诺：今年每销售一件鲜花礼盒就捐赠 元（ ）给“爱心基金”.若扣除捐赠后的日利润随着日销量的减小而增大，则 的取值范围是多少？
【答案】（1）
（2）设用 （元）表示每天销售的利润，则 ，
，
，
开口方向向下，对称轴是直线 ，
当 时， 有最大值，为 ，
答：销售单价为 元时，销售利润最大，最大利润为 元.
（3）当 时， ，解得， ， ，
由二次函数的图象可知，当 时， ，
又 ，
；
（4）设用 表示扣除捐款后的日利润，
随 的增大而减小，要使得 随着 的减小而增大
在 范围内， 随 的增大而增大
抛物线开口向下，对称轴是 ，
，解得： ，
，
.
【解析】【解答】（1）设y关于x的函数解析式为y＝kx＋b，
把x＝40、y＝300和x＝50、y＝250代入，
得： ，解得 ，
∴y关于x的函数解析式为 ，
故答案是： ；
【分析】（1）设y关于x的函数解析式为y＝kx＋b，把x＝40、y＝300和x＝50、y＝250代入，求出k、b的值即可得；
（2）设销售利润为w元，根据“总利润＝单价利润×销售量”列出函数解析式，再利用二次函数的性质求解可得；
（3）把 ，代入W ，结合二次函数图象，求出x的范围，进而即可求解；
（4）设用 表示扣除捐款后的日利润，根据题意，列出函数解析式，结合 随 的增大而减小，要使得 随着 的减小而增大，在 范围内， 随 的增大而增大，进而即可求解.
19．如图，在平面直角坐标系中，已知 ， ， ，点 的坐标为 .
（1）求点 的坐标.
（2）求过点 ， ， 的二次函数的表达式.
（3）设点 关于二次函数的对称轴 的对称点为 ，求 的面积.
【答案】（1）过点 作 轴于点 .过点 作 轴于点 .
，
∵ ，
∴ .
∴ .
在 和 中，
∴ .
∴ ，
点 的坐标是 .
（2）
设过点 ， ， 的抛物线的函数表达式为 ，
.
∴ .
过点 ， ， 的抛物线的函数表达式为 .
（3）如图，延长 交 于 由 关于 对称，则
的对称轴 .
关于 对称，
.
【解析】【分析】（1）过点 作 轴于点 .过点 作 轴于点 .证明 ，利用三角形全等的性质可得 ， ，从而可得答案；
（2）设过点 ， ， 的抛物线的函数表达式为 ，把 代入解析式，利用待定系数法列方程组解方程组可得答案；
（3）如图，延长 交 于 由 关于 对称，则 先求解抛物线的对称轴 ， 关于 对称，再求解 利用三角形的面积公式可得答案.
20．已知关于 的方程 .
（1）当 取何值时，原方程没有实数根？
（2）对 选取一个合适的非零整数，使原方程有两个不相等的实数根，并求此时这两个实数根.
【答案】（1）∵方程 没有实数根，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时，原方程没有实数根.
（2）由（1）可知，当 时，方程有两个不相等的实数根，且 为非零整数，
∴选取 （不唯一），此时原方程变为 ，
∵ ，
∴ ，
，
∴ ， .
【解析】【分析】（1）根据方程没有实数根， ，列关于 的不等式，解不等式即可.
（2）由（1）可得 时，原方程没有实数根，则当 时，方程有两个不相等的实数根，在 范围内，任取一个非零的整数代入原方程，解一元二次方程即可.
21．一个不透明的口袋中装有 个分别标有数字 ， ， ， 的小球，它们的形状、大小完全相同．小红先从口袋中随机摸出一个小球记下数字为 ；小颖在剩下的 个小球中随机摸出一个小球记下数字为 ．
（1）请用列表法或画树状图的方法表示出由 ， 确定的点 所有可能的结果；
（2）小红摸出标有数字 的小球的概率是多少？
（3）若规定：点 在第一象限或第三象限小红获胜；点 在第二象限或第四象限则小颖获胜．请问这个游戏公平吗？
【答案】（1）解：由题可列出的表格如表所示.
共有12种结果
（2）解：小红摸出标有数字 的小球的概率P= =
（3）解：由表可知一共12个点，有4个点落在一、三象限，有8个点落在二、四象限，
故小红获胜的概率 ；
小颖获胜的概率 ；
这个游戏不公平.
答：这个游戏不公平
【解析】【分析】（1）根据题意列出表格，由表格可知共有12种等可能的结果；
（2）由表格可知共有12种等可能的结果，其中摸出标有数字3只有3种等可能的结果，根据概率公式即可算出 小红摸出标有数字 的小球的概率 ；
（3） 由表可知一共12个点，根据第一，三象限内的点，其横纵坐标符号相同，二、四象限内的点，其横纵坐标符号相反，即可得出有4个点落在一、三象限，有8个点落在二、四象限， 根据概率公式分别求出小红与小颖获胜的概率，再比较两概率的大小即可得出结论。
22．某商店将每件进价为80元的某种商店按每件110元出售，每天可售出100件．该商店想通过降低售价、增加销售量的方法来提高利润．经市场调查，发现这种商品每件每降价5元，每天的销售量可增加50件．设商品降价x元，每天销售该商品获得的利润为y元．
（1）求y（元）关于x（元）的函数关系式，并写出x的取值范围．
（2）求当x取何值时y最大？并求出y的最大值．
（3）若要是每天销售利润为3750元，且尽可能最大的向顾客让利，应将该商品降价多少元？
【答案】（1）解：由题意得：y=（110﹣80﹣x）（100+ ×50）
=﹣10x2+200x+3000（0≤x≤30）
（2）解：∵y=﹣10x2+200x+3000
=﹣10（x﹣10）2+4000
∴当x=10时，y最大=4000
（3）解：当y=3750时，=10x2+200x+3000=3750，解得：x1=5，x2=15．
∵要尽可能最大的向顾客让利，x应该取15；
∴应将该商品降价15元
【解析】【分析】（1） 每天销售该商品获得的利润为y =每一件的利润×销售量，列出y与x的函数解析式，再写出x的取值范围。
（2）将（1）中的函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可求出结果。
（3）将y=3750代入（1）中的函数解析式，建立关于x的方程，求出方程的解，再根据 要尽可能最大的向顾客让利 ，确定出x的值。
23．某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．
（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；
（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．
【答案】（1）解：先作弦AB的垂直平分线，再在弧AB上任取一点C，连接AC，然后作弦AC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心O，以OA为半径画圆即为所求图形.如图.
（2）解：过O作OE⊥AB于D，交弧AB于E，连接OB，
∴BD=AB，
又∵AB=16cm，
∴BD=8cm，
又∵ED=4cm，
设半径为xcm，则OD=（x-4）cm，
在Rt△BOD中，
∴（x-4）2+82=x2，
∴x=10，
故答案为：10cm.
【解析】【分析】（1）如图所示，先作AB的垂直平分线，再在弧AB上任取一点C，连接AC，然后作AC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心O，再以OA为半径画圆即可.
（2）过O作OE⊥AB于D，交弧AB于E，连接OB，由垂径定理得BD=AB=8cm，在Rt△BOD中，由勾股定理得（x-4）2+82=x2，从而求出半径.
24．某农场拟建三件矩形饲养室，饲养室一面靠现有墙（墙可用长≤20m），中间用两道墙隔开，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为60m，设饲养室宽为x（m），总占地面积为y（m2）（如图所示）．
（1）求y关于x的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）三间饲养室占地总面积有可能达到210m2吗？请说明理由．
【答案】（1）解：设饲养室宽为x（m），则长为（60﹣4x）m，
∴y=x（60﹣4x）=﹣4x2+60x，
∵0＜60﹣4x≤20，
∴10≤x＜15
（2）解：不能，理由如下：
当y=210时，﹣4x2+60x=210，
解得：x= 或x= ，
∵x= ＜10，且x= ＜10，
∴不能
【解析】【分析】（1）设饲养室宽为x（m），则长为（60﹣4x）m，根据长方形面积公式即可得，由墙可用长≤20m可得x的范围；（2）令y=210求出x，根据（1）中x的范围即可判断．
25．如图，矩形窗户边框ABCD由矩形AEFD，矩形BNME，矩形CFMN组成，其中AE：BE=1：3.已知制作一个窗户边框的材料的总长是6米，设BC=x(米)，窗户边框ABCD的面积为S(米2)
（1）①用x的代数式表示AB；
②求x的取值范围.
（2）求当S达到最大时，AB的长.
【答案】（1）解：①∵BC=x，
∴AD=EF=BC=x，
∵AE：BE=1：3，
∴设AE=a，
∴AB=CD=4a，MN=BE=3a，
∴AB+CD+MN=11a，
∵制作一个窗户边框的材料的总长是6米，
∴11a+3x=6，
∴ ，
∴AB= ；
②∵AB＞0，BC＞0
∴ ＞0且x＞0
解得 ：0＜x＜2
（2）解：S=AB×BC
=
= +
∴当x=1时S有最大值 ，
此时AB= (米)
【解析】【分析】（1）①设AE=a，根据题意列式即可得到结论；②解不等式即可得到结论；（2）根据题意求得函数的解析式S=AB BC= ，根据二次函数的性质即可得到结论．
26．如图，圆 O 的半径为 1，过点
A(2，0)的直线与圆 O 相切于点 B，与 y 轴相交于点 C．
（1）求 AB 的长；
（2）求直线 AB 的解析式．
【答案】（1）解：连接OB，则△OAB为直角三角形，
∴AB=
（2）解：∵∠A=∠A，∠ABO=∠AOC，
∴△ABO∽△AOC．
∴ ，即： ．
解得：OC= ，
∴点C坐标为（0， ）．
设一次函数的解析式为：y=kx+ ，
将点A（2，0）代入，解得：k=﹣ ，
∴以直线AB为图象的一次函数的解析式为：y=﹣ x+
【解析】【分析】（1）
连接OB， 由切线的性质可得
△OAB为直角三角形， 用勾股定理即可求解；
（2）根据如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似可得△ABO∽△AOC，于是可得比例式从而求得OC的值，则点C的坐标可求解，用待定系数法可求得直线AC的解析式。
27．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k＝0
（1）求证：无论k取任何实数，方程总有实数根．
（2）若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．
【答案】（1）证明：△＝[﹣（k+2）] 2﹣4 2k＝（k﹣2）2，
∵（k﹣2）2≥0，即△≥0，
∴无论取任何实数值，方程总有实数根
（2）解：由x2﹣（k+2）x+2k＝0，得：（x﹣2）（x﹣k）＝0，
此方程的两根为x1＝k，x2＝2．
若x1≠x2，则x1＝5，此等腰三角形的三边分别为5，5，2，周长为12．
若x1＝x2＝2，等腰三角形的三边分别为2，2，5，不存在此三角形，
所以，这个等腰三角形的周长为12
【解析】【分析】（1）由题意知a=1，b=-(k+2)，c=2k；于是计算b
2-4ac的值，由平方的非负性可得b
2-4ac
≥0，即△≥0 ，再根据一元二次方程的根的判别式即可判断求解；
（2）解一元二次方程可得方程的两根，再根据等腰三角形的定义和三角形的三边关系定理即可求得等腰三角形的三边长，于是由三角形的周长等于三边之和即可求解。
28．“品中华诗词，寻文化基因”.某校举办了第二届“中华诗词大赛”，将该校八年级参加竞赛的学生成绩统计后，绘制了如下不完整的频数分布统计表与频数分布直方图.
频数分布统计表
组别 成绩x（分） 人数 百分比
A 60≤x＜70 8 20%
B 70≤x＜80 16 m%
C 80≤x＜90 a 30%
D 90≤＜x≤100 4 10%
请观察图表，解答下列问题：
（1）表中a= ，m= ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）D组的4名学生中，有1名男生和3名女生.现从中随机抽取2名学生参加市级竞赛，则抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率是？
【答案】（1）12；40
（2）解：补全图形如下：
（3）解：列表如下：
男 女1 女2 女3
男 ﹣﹣﹣ （女，男） （女，男） （女，男）
女1 （男，女） ﹣﹣﹣ （女，女） （女，女）
女2 （男，女） （女，女） ﹣﹣﹣ （女，女）
女3 （男，女） （女，女） （女，女） ﹣﹣﹣
∵共有12种等可能的结果，选中1名男生和1名女生结果的有6种，
∴抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率为 ，
【解析】【解答】（1）∵被调查的总人数为8÷20%=40人，
∴a=40×30%=12，m%= ×100%=40%，即m=40，
故答案为：12、40
【分析】（1）先由A组人数及其百分比求得总人数，总人数乘以C的百分比可得a的值，用B组人数除以总人数可得m的值；（2）根据（1）中所求结果可补全图形；（3）列出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得.
29．如图，平面直角坐标系中，每个小正方形边长都是1．
（1）按要求作图：
①以坐标原点O为旋转中心，将△ABC逆时针旋转90°得到△A1B1C1；
②作出△A1B1C1关于原点成中心对称的中心对称图形△A2B2C2．
（2）△A2B2C2中顶点B2坐标为 ．
【答案】（1）解：①如下图所示：△A1B1C1，即为所求三角形；
②如下图所示：△A2B2C2，即为所求三角形；
（2）（1，6）
【解析】【分析】（1）①将△ABC的三个点以原点O为中心，通过逆时针旋转90°找到旋转点，再将旋转点连接得到△A1B1C1。②将△A1B1C1三个顶点通过原点对称，找到相应的对称点，将对称点连接得到△A2B2C2。（2）通过观察图中的△A2B2C2，得到B点的坐标。
30．为了落实国务院的指示精神，政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=-x+60．设这种产品每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式．
（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售的最大利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不能高于每千克35元，该农户想要每天获得300元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？
【答案】（1）解：y=（x-20）w=（x-20）（-2x+80）
=-2x2+120x-1600，
∴y与x的函数关系式为：
y=-2x2+120x-1600；
（2）解：y=-2x2+120x-1600=-2（x-30）2+200，
∴当x=30时，y有最大值200，
∴当销售价定为30元/千克时，每天可获最大销售利润200元；
（3）解：当y=150时，可得方程：-2（x-30）2+200=150，
解这个方程，得
x1=25，x2=35，
根据题意，x2=35不合题意，应舍去，
∴当销售价定为25元/千克时，该农户每天可获得销售利润150元
【解析】【分析】（1）根据单价、价格、总价之间的逻辑关系，建立等量关系，化简后形成二次函数；
（2）根据二次函数最值的确定，将（1）得出的二次函数转化为顶点式，即可得出答案；
（3）根据题意，将二次函数转为为二次方程求解即可。
31．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x的图象与二次函数y=-x2+bx（b为常数）的图象相交于O，A两点，点A坐标为（3，m）.
（1）求m的值以及二次函数的表达式；
（2）若点P为抛物线的顶点，连结OP，AP，求△POA的面积.
【答案】（1）解：把点A坐标为（3，m）代入一次函数y=x中可得：
m=3，
∴A（3，3），
把点A坐标为（3，3）代入二次函数y=-x2+bx中可得：
3=-9+3b，
解得：b=4，
∴y=-x2+4x，
答：m的值为3，二次函数的表达式为：y=-x2+4x；
（2）解：过点P作PC⊥x轴，垂足为C，交OA于点D，过点A作AE⊥PC，垂足为E，
∵y=-x2+4x=-（x-2）2+4，
∴顶点P（2，4），
把x=2代入y=x中得：
y=2，
∴D（2，2），
∴PD=4-2=2，
∵△POA的面积=△OPD的面积+△APD的面积，
∴△POA的面积=PD OC+PD AE
=PD（OC+AE）
=×2×3
=3，
答：△POA的面积为3.
【解析】【分析】（1）由题意把点A的坐标分别代入一次函数和二次函数的解析式计算即可求解；
（2）过点P作PC⊥x轴，垂足为C，交OA于点D，过点A作AE⊥PC，垂足为E，将（1）中求得的二次函数的解析式配成顶点式可得抛物线的顶点P的坐标，由点D是对称轴和直线OA的交点可得点D的坐标，于是PD=yP-yD，根据S△POA=S△OPD+S△APD可求解.
32．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0．
（1）若该方程的一个根为1，求a的值；
（2）若a的值为3时，请解这个方程．
【答案】（1）解：将x=1代入原方程，得：1+a+a-2=0，
解得：a=．
（2）解：把a=3代入原方程得，x2+3x+1=0，
∴Δ=32-4×1×1=5，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2＝0，求出a的值即可；
（2）将a=3代入方程，再利用公式法求解一元二次方程即可。
33．“垃圾分类”进校园，锦江教育出实招.锦江区编写小学生《垃圾分类校本实施指导手册》，给同学们介绍垃圾分类科学知识，要求大家将垃圾按A，B，C，D四类分别装袋投放.其中A类指有害垃圾，B类指厨余垃圾，C类指可回收垃圾，D类指其他垃圾.小明和小亮各有一袋垃圾，需投放到小区如图所示的垃圾桶.
（1）“小明投放的垃圾恰好是有害垃圾”这一事件是 .（请将正确答案的序号填写在横线上）
①必然事件 ②不可能事件 ③随机事件
（2）请用列表或画树状图的方法，求小明与小亮投放的垃圾是同类垃圾的概率.
A.有害垃圾 B.厨余垃圾
C.可回收垃圾 D.其他垃圾
【答案】（1）③
（2）解：解：列表如下：
A B C D
A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D）
由上表可知，共有16种等可能情况，其中两人投放同种垃圾的有（A，A），（B，B），（C，C），（D，D）共4种.
∴ .
【解析】【解答】（1）解：“小明投放的垃圾恰好是有害垃圾”这一事件是随机事件；
故答案为：③；
【分析】（1）一定条件下重复进行试验，每次必然发生的事件叫必然事件，一定不会出现的事件是不可能事件，可能出现也可能不出现的事件是随机事件，据此判断得出答案；
（2）此题是抽取放回类型，根据题意列表或画出树状图，列出所有等可能出现的结果数，再找出两人投放同种垃圾的的结果数，然后运用概率公式计算即可.
34．如图①，某校进行校园改造，准备将一块正方形空地划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了4m，另一边减少了5m，剩余部分面积为650m2．
（1）求原正方形空地的边长；
（2）在实际建造时，从校园美观和实用的角度考虑，按图②的方式进行改造，先在正方形空地一侧建成1m宽的画廊，再在余下地方建成宽度相等的两条小道后，其余地方栽种鲜花，如果栽种鲜花区域的面积为812m2，求小道的宽度．
【答案】（1）解：设原正方形空地的边长为x m，则剩余部分长（x-4）m，宽（x-5）m，
依题意得：（x-4）（x-5）=650，
整理得：x2-9x-630=0，
解得：x1=30，x2=-21（不合题意，舍去）．
答：原正方形空地的边长为30m．
（2）解：设小道的宽度为y m，则栽种鲜花的区域可合成长（30-y）m，宽（30-1-y）m的矩形，
依题意得：（30-y）（30-1-y）=812，
整理得：y2-59y+58=0，
解得：y1=1，y2=58（不合题意，舍去）．
答：小道的宽度为1m．
【解析】【分析】（1）设原正方形空地的边长为x m，则剩余部分长（x-4）m，宽（x-5）m，根据题意列出方程（x-4）（x-5）=650，求解即可；
（2）设小道的宽度为y m，则栽种鲜花的区域可合成长（30-y）m，宽（30-1-y）m的矩形，根据题意列出方程（30-y）（30-1-y）=812，求解即可。
35．甲乙两人报名参加疫情防控志愿者活动，他们将被随机分配到A、B、C、D四个小区协助医务人员做核酸检测工作．
（1）甲被派到C小区的概率是 ；
（2）请用画树状图或列表的方法求甲被派到B小区，同时乙被派到D小区的概率．
【答案】（1）
（2）解：画树状图为：
由图知，一共有16种等可能的结果，其中甲被派到B小区，同时乙被派到D小区的有1种，
所以，甲被派到B小区，同时乙被派到D小区的概率为．
【解析】【解答】(1)解：甲被派到C小区的概率是，
故答案为：．
【分析】（1）由题意根据概率公式可求解；
（2）由题意画出树状图，根据树状图的信息可知共有16种等可能的结果，其中甲被派到B小区，同时乙被派到D小区的有1种，然后根据概率公式可求解.
36．根据对某市相关的市场物价调研，预计进入夏季后的某一段时间，某批发市场内的甲种蔬菜的销售利润 （千元）与进货量 （吨）之间的函数 的图象如图①所示，乙种蔬菜的销售利润 （千元）与进货量 （吨）之间的函数 的图象如图②所示.
（1）分别求出 、 与 之间的函数关系式；
（2）如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共 吨，设乙种蔬菜的进货量为 吨.
①写出这两种蔬菜所获得的销售利润之和 （千元）与 （吨）之间的函数关系式.并求当这两种蔬菜各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少元？
②为了获得两种蔬菜的利润之和不少于 元，则乙种蔬菜进货量应在什么范围内合适？
【答案】（1）由题意得，设
，
根据题意得，设 ，由图知，抛物线经过点 ，代入得，
；
（2）①设乙种蔬菜的进货量为 吨，
当 ，利润之和最大
（元）
答：当乙种蔬菜进货4吨，甲种蔬菜进货6吨，利润之和最大，最大9200元.
②
当 时，即 ，
令
解得 ， ，
因为抛物线开口向下，所以 ，
答：乙种蔬菜进货量为 吨到 吨范围内.
【解析】【分析】（1）分别设一次函数解析式与二次函数解析式的一般式，再利用待定系数法求解即可；
（2）①根据 ，利用配方法求得二次函数的最值即可解题；
②令①中 千元，解析式化为一般式，求得与 轴的两个交点，结合二次函数图象与性质解题，从中选择符合题意的范围即可.
37．已知二次函数 .
（1）若函数图象经过点 ， ，求 的值；
（2）当 ， 时，求证：函数图象与x轴有两个交点.
【答案】（1）解：∵二次函数 y=a（x 1）2+h图象经过点A（0，4）， B（2，m）
将A（0，4）代入y=a（x 1）2+h得，
4=a+h
将 B（2，m） 代入 y=a（x 1）2+h得，
m=a+h
∴m=4
（2）证明：∵
∴图象开口向下
∵当 时，
∴顶点在 轴上方，
∴函数图象与 轴有2个交点.
【解析】【分析】（1）把点A的坐标代入二次函数式，得出a+h=4，再把B点坐标代入函数式，整理得出m=a+h，则m的值可求.
（2）根据函数的开口方向和函数的最大值，判断顶点在x轴上方，从而判断函数图象与x轴有两个交点.
38．如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥DC，连接AC，BC.
（1）求证：AC是∠DAB的角平分线；
（2）若AD＝2，AB＝3，求AC的长.
【答案】（1）证明：连接OC，如图，
∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD＝90°，
∴∠ACD+∠ACO＝90°，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠ACO＝∠DAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴AC是∠DAB的角平分线；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠D＝∠ACB＝90°，
∵∠DAC＝∠BAC，
∴Rt△ADC∽Rt△ACB，
∴ ，
∴AC2＝AD AB＝2×3＝6，
∴AC＝
【解析】【分析】（1）连接OC，根据切线的性质可得∠OCD＝90°，再根据AD⊥DC，和半径线段即可证明AC是∠DAB的角平分线；
（2）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明Rt△ADC∽Rt△ACB，对应边成比例即可求出AC的长.
39．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数 的图象与 轴， 轴的交点分别为 和 ．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）结合函数图象，直接写出当 时， 的取值范围．
【答案】（1）解：∵抛物线 与 轴、 轴的交点分别为 和 ，
∴ ．
解得： ．
∴抛物线的表达式为： ．
（2）解：二次函数图象如下，由图像可知，当 时， 的取值范围是 或 ．
【解析】【分析】（1）把已知的两点代入解析式即可求出二次函数的解析式；
（2）由抛物线的对称性与图形即可得出 时 x 的取值范围．
40．有 张看上去无差别的卡片，上面分别写着 ，随机抽取 张后，放回并混在一起，再随机抽取 张．
（1）请用树状图或列表法等方法列出各种可能出现的结果；
（2）求两次抽到的卡片上的数字之和等于 的概率．
【答案】（1）解：画树状图得：
共有16中可能出现的结果
（2）解：两次抽到的卡片上的数字之和等于5的结果有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）共4种，所以两次抽到的卡片上的数字之和等于5的概率为：
【解析】【分析】用列表法举出所有情况，看两张卡片上的数都是偶数的情况占总情况的多少即可；画出树形图即可求出第二次取出的数字小于第一次取出的数字的概率．
41．如图，点E为正方形边上的一点，平分正方形的外角，将线段绕点顺时针旋，点的对应点为点．
（1）当点落在边上且时，求的度数；
（2）当点落在射线上时，求证：；
（3）在（2）的条件下，连接并与交于点，连接，探究，与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：如图所示，
∵线段绕点顺时针旋当点落在边上，
∴，
∵四边形边正方形，
∴，，
，
，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故为等边三角形，
∴，
（2）证明：如图，在上取作，作垂直于点I，
∵线段绕点顺时针旋当点落在边上
∴，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
设，，，
在和中，
，，
∴，
即，
整理得：，
∵，
∴解得，
∴，
∵平分， ，
∴，
∴，
∵，，
∴
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故．
（3）解：理由如下：
如图，过点作于点， 于点，
由（2）可知，，
∴，
∴和为腰直角三角形，
即，，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
在中，，
∴，
故．
【解析】【分析】（1）先根据旋转的性质得到，再根据正方形的性质得到，，从而进行线段的运算得到，根据三角形全等的判定与性质证明得到，从而根据等边三角形的判定与性质即可求解；
（2）在上取作，作垂直于点I，先根据旋转得到，进而结合题意根据角平分线的性质得到，设，，，根据勾股定理得到，从而即可得到，即，再根据角平分线的定义得到，从而得到，再根据三角形全等的判定与性质证明得到， 等量代换即可得到，即；
（3）过点作于点， 于点，由（2）可知，，则，再根据等腰直角三角形的判定与性质得到，，进而得到，再根据矩形的判定与性质得到，从而根据勾股定理等量代换即可求解。
42．已知抛物线与轴交于坐标原点和点．
（1）已知该抛物线的顶点的纵坐标与点的横坐标相同，设过点的直线与抛物线的另一个交点为．求点和点的坐标；
（2）将线段绕点逆时针旋转得到线段，若该抛物线与线段只有一个交点，请直接写出的取值范围；
（3）若直线与该抛物线交于两点（点在点左侧），连接．设直线为，直线为；令，求与的函数关系式．
【答案】（1）解：把代入，
解得，
∴，
∴，
令，
解得，
∴，
∵顶点的纵坐标与点的横坐标相同，
∴，
∴，
∴，
∴点；
把代入，
∴，
∴，
∵
∴，．
故．
（2）或．
（3）解：∵，不妨设，，
∵，直线为，直线为；
∴，，
解得，，
∵，
∴，
∵直线与抛物线交于两点（点在点左侧），
∴m，n是方程即的两个根，
∴，
∴，
故与的函数关系式为．
【解析】【解答】（2）解：如图
当时，
∵抛物线与轴交于坐标原点和点，且点且线段绕点逆时针旋转得到线段，∴在第一象限内，点C的横坐标等于纵坐标，为，
∴上的点除原点外，都在抛物线的内部，
满足抛物线与线段只有一个交点；
当时，根据题意，在第一象限内，点C的横坐标等于纵坐标，
故的解析式为，
根据题意，得，
整理得，
∵抛物线与线段只有一个交点，
∴，
解得，
故a的取值范围是或．
【分析】（1）将（0，0）代入抛物线解析式可得，则，，根据x轴上点的坐标特征令，解方程可得，根据顶点的纵坐标与点的横坐标相同，可得，根据二次函数性质可得点，根据待定系数法将点A坐标代入直线解析式可得，联立直线与抛物线解析式，解方程即可求出答案.
（2）分情况讨论：当时，当时，根据二函数的性质即可求出答案.
（3）设，，将点A，M，N坐标代入解析式可得，，则，即m，n是方程即的两个根，结合二次方程根与系数的关系即可求出答案.
43．二次函数y1＝ax2+2x过点A（﹣2，0）和点B，过点A，B作一次函数y2＝kx+b，若点B的横坐标为1．
（1）求出二次函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象，当y2＞y1时，请直接写出x的取值范围；
（3）若P点在抛物线y1上，且横坐标为﹣1，求△ABP的面积．
【答案】（1）解：如图1，
把A（﹣2，0）代入y1═ax2+2x中得：4a+2×（﹣2）＝0，a＝1，
∴二次函数的解析式y1═x2+2x，当x＝1时，y1＝1+2＝3，∴B（1，3），把A（﹣2，0）、B（1，3）代入y2＝kx+b中得：
，解得：，∴一次函数的解析式：y2＝x+2
（2）解：由图象得：当﹣2＜x＜1时，y2＞y1
（3）解：过P作PQ∥y轴，交AB于Q，
y1═x2+2x，令x＝﹣1，则y＝﹣1，即P（﹣1，﹣1），
y2＝x+2，令x＝﹣1，则y＝1，即Q（﹣1，1），∴PQ＝2，∴S△ABP＝S△APQ+S△BPQ＝×2×（1+2）＝3
【解析】【分析】（1）把点A（-2，0）的坐标代入二次函数的解析式，求出a的值，即可得出二次函数的解析式，再求出点B的坐标，利用待定系数法把点A，B的坐标代入一次函数的解析式，求出k，b的值，即可得出一次函数的解析式；
（2）根据图象得出当-2＜x＜1时，一次函数的图象在二次函数的上方，即可得出答案；
（3）过P作PQ∥y轴，交AB于Q，先求出点P，Q的坐标，再利用S△ABP＝S△APQ+S△BPQ列式进行计算，即可得出答案.
44．在平面直角坐标系中，点，点，点．以点O为中心，逆时针旋转，得到，点的对应点分别为．记旋转角为．
（1）如图①，当点C落在上时，求点D的坐标；
（2）如图②，当时，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，求点D的坐标（直接写出结果即可）．
【答案】（1）解：如图，过点作，垂足为．
∵，，
∴，，．
∵，
∴．
在中，由，
得．解得．
∴，．
∵是由旋转得到的，
∴，．
∴．
∴．∴．
在中，．
∴ 点的坐标为．
（2）解：如图，过点作，垂足为．
由已知，得．
∴．
∴．
∵是由旋转得到的，
∴．
在中，由，得．
∴ 点的坐标为．
（3）解：
【解析】【解答】(3)如图②中，过点D作DJ⊥OA于点J，在DJ上取一点K，使得DK=OK，设OJ=m．
∵∠DOC=30°，∠COT=45°，
∴∠DOJ=75°，
∴∠ODJ=90°-75°=15°，
∵KD=KO，
∴∠KDO=∠KOD=15°，
∴∠OKJ=∠KDO+∠KOD=30°，
∴OK=DK=2m，KJ=m，
∵OD2=OJ2+DJ2，
∴22=m2+（2m+m）2，
解得m=（负根已经舍弃），
∴OJ=，DJ=，
∴D．
【分析】（1） 过点作，垂足为． 解直角三角形求出OE、DE，即可得出答案；
（2） 过点作，垂足为．由已知，得． 解直角三角形求出 ． 即可得出答案；
（3）如图②中，过点D作DJ⊥OA于点J，在DJ上取一点K，使得DK=OK，设OJ=m．利用勾股定理构建方程求出m，即可得出答案。
45．为迎接“双十一”购物节，某网店计划销售某种网红食品，进价为20元/千克，经市场调研发现，该食品的售价x（元/千克）的范围为：20≤x≤50，日销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出200元给灾区，若捐款后店主的剩余利润是800元，求该食品的售价；
（3）若该食品的日销量不低于90千克，当售价为 元/千克时，每天获取的利润最大，最大利润是 元．
【答案】（1）解：设y与x之间的函数解析式为，
由题意得：，
∴，
∴y与x之间的函数解析式为；
（2）解：设该网店每天的利润为W，
由题意得：，
∵该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出200元给灾区，若捐款后店主的剩余利润是800元，
∴，即，
解得或（舍去），
∴该食品的售价为30元；
（3）35；1350
【解析】【解答】解：（3）∵该食品的日销量不低于90千克，
∴，
∴，
∴，
由（2）得，
∵，
∴当时，W随x增大而增大，
∴当时，W有最大值，最大值为元，
故答案为：35，1350．
【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）设该网店每天的利润为W，根据题意列出函数解析式，再列出方程，最后求出x的值即可；
（3）根据，再利用二次函数的性质求解即可。
46．已知抛物线与x轴只有一个公共点．
（1）若抛物线过点，求a+b的最小值；
（2）已知点中恰有两点在抛物线上．
①求抛物线的解析式；
②设直线l：与抛物线交于M，N两点，点A在直线上，且，过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和直线l于点B，C．求证：与的面积相等．
【答案】（1）解：因为抛物线与x轴只有一个公共点，
以方程有两个相等的实数根，
所以，即．
因为抛物线过点，所以，
所以，即．
所以，
当时，取到最小值．
（2）解：①因为抛物线与x轴只有一个公共点，
所以抛物线上的点只能落在x轴的同侧．
又点中恰有两点在抛物线的图象上，
所以只能是在抛物线的图象上，
由对称性可得抛物线的对称轴为，所以，
即，因为，所以．
又点在抛物线的图象上，所以，
故抛物线的解析式为．
②由题意设，则．
记直线为m，分别过M，N作，垂足分别为E，F，
即，
因为，所以．
又，所以，所以．
所以，所以，即．
所以，
即．①
把代入，得，
解得，
所以．②
将②代入①，得，
即，解得，即．
所以过点A且与x轴垂直的直线为，
将代入，得，即，
将代入，得，
即，
所以，因此，
所以与的面积相等．
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ，再求出 ，最后求解即可；
（2）①先求出 ，再求出 ， 最后求函数解析式即可；
②根据题意先求出 ，再求出 ， 最后求解即可。
47．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）请直接写出点A，C，D的坐标；
（2）如图（1），在x轴上找一点E，使得△CDE的周长最小，求点E的坐标；
（3）如图（2），点P为抛物线对称轴上的动点，使得△ACP为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：当中时，有，
解得：，，
∵A在B的左侧，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
当中时，则，
∴C（0，3）．
∵，
∴顶点D（﹣1，4）；
（2）解：作点C关于x轴对称的点C′，连接C′D交x轴于点E，此时△CDE的周长最小，如图1所示，
∵C（0，3），
∴C′（0，﹣3），
设直线C′D的解析式为，
则有：，解得：，
∴直线C′D的解析式为，
当中时，，
∴当△CDE的周长最小，点E的坐标为（，0）；
（3）解：存在，设P（-1，t），
∵A（-3，0），C（0，3）
∴，，
，
①当时，如图2，则有，
解得或，
∴点P（-1，）或（-1，）；
②当时，如图3，则有，
解得或，
点P（-1，）或（-1，）；
③当时，如图4，则有，
解得，
∴点P（-1，1）；
综上所述，P点坐标为：（-1，）或（-1，）或（-1，）或（-1，）或（-1，1）．
【解析】【分析】（1）将y=0代入求出x的值，即可得到点A、B的坐标，再将x=0代入求出y的值，即可得到点C的坐标，最后利用配方法将一般式化为顶点式可得点D的坐标；
（2）作点C关于x轴对称的点C′，连接C′D交x轴于点E，此时△CDE的周长最小，先求出直线C′D的解析式，再将y=0代入解析式求出x的值，即可得到点E的坐标；
（3）分三种情况：①当时，②当时，③当时，再分别画出图象并列出方程求解即可。
48．如图1所示，将一个长为6宽为4的长方形ABEF，裁成一个边长为4的正方形ABCD和一个长为4、宽为2的长方形CEFD如图2．现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至，旋转角为a．
（1）当点恰好落在EF边上时，求旋转角a的值；
（2）如图3，G为BC中点，且0°＜a＜90°，求证：；
（3）小军是一个爱动手研究数学问题的孩子，他发现在小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，与存在两次全等，请你帮助小军直接写出当与全等时，旋转角a的值．
【答案】（1）解：∵长为4，宽为2的长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，
∴CD′=CD=4，
在Rt△CED′中，CD′=4，CE=2，
∴∠CD′E=30°，
∵CD∥EF，
∴∠α=30°；
（2）证明：∵G为BC中点，BC=4，
∴CG=2，
∴CG=CE．
∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，
∴∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′=CG，CD′=CD，
∴∠GCD′=∠DCE′=90°+α，
在△GCD′和△E′CD中，
∴△GCD′≌△E′CD（SAS），
∴GD′=E′D；
（3）解：135°，315°
【解析】【解答】（3）∵四边形ABCD为正方形，
∴CB=CD．
∵，
∴和为腰相等的两个等腰三角形，
∴当时，，
①当和为钝角三角形时，则旋转角；
②当和为锐角三角形时，，则．
综上可知当旋转角的值为和时．
【分析】（1）先求出∠CD'E=30°，再利用平行线的性质可得∠α=30°；
（2）利用“SAS”证明△GCD′≌△E′CD，再利用全等三角形的性质可得GD′=E′D；
（3）分两种情况：①当和为钝角三角形时，②当和为锐角三角形时，再分别求解即可。
49．内接于，连接，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，点在外，，CD∥OB，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，点在圆周上（若与点位于AB的两侧），连接EB、EC，若，，，求的半径长．
【答案】（1）证明：如图1，连接OA、OC，
∵OA＝OB＝OC，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
（2）证明：如图2，连接并延长交于，
由（1）知，，
∵，
∴，
∴
∵，
∴
∵，
∴，
∵，
∴
∵，
由（1）知，，
∴，
（3）解：如图3，连接，过点作于，过点作于，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴；
设，则，，
∴，
∴，
∵，
∴
在中，根据勾股定理得，，
∴
在和中，根据勾股定理得，，
即：，解得或（舍），
∴，
连接OC交AB于，
∴
在中，根据勾股定理得，，
设，在中，，
∴
【解析】【分析】（1）连接OA，OC，利用角的运算和等量代换可得，再利用等角对等边的性质可得CA=CB；
（2）连接并延长交于，先求出，，结合，求出，再利用角的运算和等量代换可得；
（3）连接，过点作于，过点作于，设，则，，则，，再利用勾股定理可得，求出a的值，再求出，然后设，利用勾股定理可得，再求出r的值即可。
50．已知抛物线yx2+mx+m与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，），点P为抛物线在直线AC上方图象上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△PAC面积的最大值，并求此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线yx2+mx+m在点A、B之间的部分（含点A、B）沿x轴向下翻折，得到图象G．现将图象G沿直线AC平移，得到新的图象M与线段PC只有一个交点，求图象M的顶点横坐标n的取值范围．
【答案】（1）解：将点C（0，）代入抛物线解析式得：
，解得：，
∴抛物线解析式为：；
（2）解：∵抛物线与x轴交于A、B两点，
∴令，解得：，，
∴A、B坐标分别为：，，
设直线AC的解析式为：，
将和代入得：
，解得：，
∴直线AC的解析式为：，
如图所示，过P点作PQ⊥x轴，交AC于Q点，
∵P点在位于直线AC上方的抛物线上，
∴设，则，其中，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴抛物线开口向下，当时，取得的最大值，最大值为，
此时，将代入抛物线解析式得：，
∴当时，取得的最大值，最大值为；
（3）解：如图所示，抛物线yx2+mx+m在点A、B之间的部分（含点A、B）沿x轴向下翻折，得到图象G．
由（1）可知，原抛物线顶点坐标为，
∴沿x轴向下翻折后，图象G的顶点坐标为，图象G的解析式为：；
∵图象G沿着直线AC平移，
∴作直线BS∥AC，交PC于S点，则随着平移过程，点B在直线BS上运动，
分如下情况讨论：
①当图象G沿直线AC平移至B点恰好经过S点时，如图中M1所示，
此时，平移后的图象M恰好与线段PC有一个交点，即为S点，
由（2）知，，以及直线AC的解析式为，
∴设直线BS的解析式为：，
将代入得：，
∴直线BS的解析式为：；
设直线PC的解析式为：，
将，代入得：
，解得：，
∴直线PC的解析式为：；
联立，解得：，
即：S点的坐标为，
∴此时点平移至，等同于向左平移个单位，向上平移个单位，
即：当平移后的图象M与线段PC恰好仅有一个交点时，可由原图像G向左平移个单位，向上平移个单位，
∵原图像G的顶点坐标为：，
∴平移后图象M1的顶点的横坐标；
②当图象G沿直线AC平移至恰好经过C点时，如图中M2所示，
设图象G与直线AC的交点为R，
联立，解得：或，
∴点R的坐标为：，
由平移至，等同于向右平移2个单位，向下平移1个单位，
∴当平移后的图象M与线段PC恰好仅有一个交点时，可由原图像G向右平移2个单位，向下平移1各单位，
∵原图像G的顶点坐标为：，
∴平移后图象M2的顶点的横坐标；
∴当图象G在M1和M2之间平移时，均能满足与线段PC有且仅有一个交点，
此时，图象M的顶点横坐标n的取值范围为：；
③当图象G沿直线AC平移至A点恰好经过C点时，如图中M3所示，
此时，由平移至，等同于向右平移5个单位，向下平移个单位，
即：原图像G向右平移5个单位，向下平移个单位，得到图象M3，
∵原图像G的顶点坐标为：，
∴平移后图象M3的顶点的横坐标；
综上所述，当新的图象M与线段PC只有一个交点时，图象M的顶点横坐标n的取值范围为：或．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）利用待定系数法求二次函数解析式，设，则，其中，根据，得出的值，根据，得出抛物线开口向下，当时，取得的最大值，最大值为，将代入抛物线解析式即可得出答案；
（3）分如下情况讨论：①当图象G沿直线AC平移至B点恰好经过S点时，②当图象G沿直线AC平移至恰好经过C点时，③当图象G沿直线AC平移至A点恰好经过C点时，分类讨论即可得出n的取值范围。
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