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人教版八年级上册期末复习练透考点卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，这个三角形一定是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法判定
2．A（﹣3，a）与点B（3，4）关于y轴对称，那么a的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4
3．计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，BC=EC，∠BCE=∠DCA，要使△ABC≌△DEC，不能添加下列选项中的（ ）
A．∠A=∠D B．AC=DC C．AB=DE D．∠B=∠E
5．若分式 的值为0，则y的值是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在 中， 和 的平分线相交于点 ，过 作 ，交 于点 ，交 于点 ，若 ， ，则线段 的长为（ ）
A．3 B．4 C．3.5 D．2
7．下列等式成立的是（ ）
A．(－3)－2＝－9 B．(－3)－2＝
C． ＝a14 D． ＝－a2b6
8．小玲每天骑自行车或坐公交车上学，她上学的路程为20千米，坐公交车的平均速度是骑自行车的平均速度的3倍，坐公交车比骑自行车上学早到40分钟，设小玲骑自行车的平均速度为 千米/小时，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，等边和等边中，A、B、C三点共线，和相交于点F，下列结论中正确的个数是（ ）
①；②平分；③；④
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC至点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（ ）
A．1 B．1.8 C．2 D．2.5
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．A的坐标为（5，3），则其关于y轴对称的点B的坐标为 .
12．在△ABC中，∠A是钝角，∠B=30°， 设∠C的度数是α，则α的取值范围是
13．如图， 中， 平分 ，且 ， ，则点 到 的距离为 .
14．如图所示的是一张直角 纸片（ ），其中 ，如果用两张完全相同的这种纸片恰好能拼成如图2所示的 ，若 ，则 的周长为 .
15．如图，已知，点，，，…在射线ON上，点，，，…在射线OM上，，，，…均为等边三角形，若，则的边长为 ．
16．如图，点F坐标为，点在y轴负半轴，点在且轴的正半轴，且，，则的值为 ．
三、综合题（本大题共8小题，共72分）
17．（9分）如图，在△ABC中，，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且，．
（1）试说明：；
（2）当时，求∠DEF的度数；
（3）猜想：写出当∠A为多少度时，．
18．（9分）认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图①中的条件，试用两种不同方法表示两个阴影图形的面积的和．
方法1： ；方法2： ．
（2）从中你能发现什么结论？请用等式表示出来： ；
（3）利用（2）中结论解决下面的问题：如图②，两个正方形边长分别为m，n，如果m＋n＝mn＝4，求阴影部分的面积．
19．（9分）如图，△ABC是等边三角形，DM∥AB，分别交AC，BC于点D，M. E为AB延长线上一点，DE⊥AC交BC于点F，且DF＝EF．
（1）求证：△CDM是等边三角形；
（2）判断CD与BE的数量关系，并说明理由；
（3）过点D作DG⊥BC，垂足为G，若BC=6，求FG的长.
20．（9分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC中的三个顶点都落在小正方形的顶点处.
（1）画出与△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）点A1的坐标为 ；
（3）在x轴上找一个点P，使PB+PC最小（不写作法，保留作图痕迹）.
21．（9分）数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形．
（1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和．
方法1： ；
方法2： ．
（2）请你直接写出三个代数式：，，之间的等量关系．
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知，，求和的值．
②已知，求的值．
22．（9分）在中，，，是的角平分线.过点作于点，以未顶点作，使的两边分别交直线于点，交直线于点，请解答下列问题：
（1）如图1，当点在线段上，点在线段上且时，求证：；
（2）求出图1中的度数，并判断线段、、之间的数量关系，加以证明；
（3）不改变图1中的大小．
①如图2，当点在线段上，点在线段的延长线时，线段、、之间的数量关系为 ；
②如图3，当点在线段的延长线上，点在线段上时，线段、、之间的数量关系为 ．
23．（9分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，△CDE是等边三角形，点D在边AB上。
（1）如图1，当点E在边BC上时，求证DE=EB；
（2）如图2，当点E在△ABC内部时，猜想ED和EB数量关系，并加以证明；
（3）如图3，当点E在△ABC外部时，EH⊥AB于点H，过点E作GE∥AB，交线段AC的延长线于点G，AG=5CG，BH=3求CG的长。
24．（9分）已知△ABC是等边三角形，点D在BC边上，点E在AB的延长线上，将DE绕D点顺时针旋转120°得到DF.
（1）如图1，若点F恰好落在AC边上，求证：点D是BC的中点；
（2）如图2，在（1）的条件下，若 =45°，连接AD，求证： ；
（3）如图3，若 ，连CF，当CF取最小值时，直接写出 的值.
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人教版八年级上册期末复习练透考点卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，这个三角形一定是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法判定
【答案】A
【解析】【解答】设这个三角形的三个内角的度数分别是x，2x，3x，根据三角形的内角和为180°，得
x＋2x＋3x＝180°，解得x＝30°，
∴这个三角形的三个内角的度数分别是30°，60°，90°，
即这个三角形是直角三角形，
故答案为：A.
【分析】根据三角形的内角和定理及三个内角的度数之比可求出三个内角的度数，再根据度数判定出三角形的形状即可。
2．A（﹣3，a）与点B（3，4）关于y轴对称，那么a的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4
【答案】C
【解析】【解答】解：∵A（﹣3，a）与点B（3，4）关于y轴对称，
∴a=4．
故选C
【分析】根据两点关于y轴对称，横坐标为相反数，纵坐标相等，得出a的值。
3．计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：原式=
=
=
故答案为：A
【分析】先通分，把异分母分式的减法化成同分母分式的减法运算．
4．如图，BC=EC，∠BCE=∠DCA，要使△ABC≌△DEC，不能添加下列选项中的（ ）
A．∠A=∠D B．AC=DC C．AB=DE D．∠B=∠E
【答案】C
【解析】【解答】根据已知条件可得 ，
即 ，
∵BC=EC，
∴已知三角形一角和角的一边，根据全等条件可得：
可根据AAS证明，A不符合题意；
可根据SAS证明，B不符合题意；
不能证明，C故符合题意；
根据ASA证明，D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据全等三角形的判定条件进行分析即可；
5．若分式 的值为0，则y的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：根据题意，得 且 ，
解得： ．
故答案为：B．
【分析】分式的值是0，则分母不为0，分子是0．
6．如图，在 中， 和 的平分线相交于点 ，过 作 ，交 于点 ，交 于点 ，若 ， ，则线段 的长为（ ）
A．3 B．4 C．3.5 D．2
【答案】A
【解析】【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，
∴∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠BCF，
∵DF//BC，交AB于点D，交AC于点E.
∴∠DFB=∠DBF，∠CFE=∠BCF，
∴BD=DF=4，FE=CE，
∴CE=DE-DF=7-4=3.
故答案为：A.
【分析】根据△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F.求证∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠BCF，再利用两直线平行内错角相等，求证出∠DFB=∠DBF，∠CFE=∠BCF，即BD=DF，FE=CE，然后利用等量代换即可求出线段CE的长.
7．下列等式成立的是（ ）
A．(－3)－2＝－9 B．(－3)－2＝
C． ＝a14 D． ＝－a2b6
【答案】B
【解析】【解答】解：A、（-3）2=9≠-9，本选项错误；
B、（-3）-2= ，本选项正确；
C、（a-12）2=a-24≠a14，本选项错误；
D、（-a-1b-3）-2=a2b6≠-a2b6，本选项错误.
故答案为：B.
【分析】结合幂的乘方与积的乘方的概念和运算法则进行求解即可.
8．小玲每天骑自行车或坐公交车上学，她上学的路程为20千米，坐公交车的平均速度是骑自行车的平均速度的3倍，坐公交车比骑自行车上学早到40分钟，设小玲骑自行车的平均速度为 千米/小时，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】小玲骑自行车所需的时间为：
坐公交车所需时间为：
坐公交车比骑自行车上学早到40分钟，则有
故答案为C.
【分析】分别求出小玲骑自行车和坐公交车上学所需的时间，列出等式即可.
9．如图，等边和等边中，A、B、C三点共线，和相交于点F，下列结论中正确的个数是（ ）
①；②平分；③；④
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】【解答】解：∵和是等边三角形，
∴，，，
∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故①④符合题意，
在与中，
过B作，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴平分，故②符合题意，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∵，，
，
在线段上截取，
∵由②的证明可知，
∴是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴，
∴③符合题意，
故答案为：D，
【分析】利用等边三角形的性质，全等三角形的判定方法和性质逐项判断即可。
10．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC至点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（ ）
A．1 B．1.8 C．2 D．2.5
【答案】C
【解析】【解答】解：过P作 的平行线交 于F，
，
是等边三角形，
， ，
是等边三角形，
，
∵CQ＝PA，
∴
在 中和 中，
，
≌ ，
，
于 ， 是等边三角形，
，
，
，
，
.
故答案为：C.
【分析】过P作BC的平行线交AC于F，由平行线的性质可得∠Q=∠FPD，结合等边三角形的性质可得∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，推出△APF是等边三角形，得到AP=PF，结合CQ＝PA可得PF=CQ，证△PFD≌△QCD，得FD=CD，由等边三角形的性质得AE=EF，则AE+DC=EF+FD=ED，推出DE=AC，据此计算.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．A的坐标为（5，3），则其关于y轴对称的点B的坐标为 .
【答案】（﹣5，3）
【解析】【解答】解：∵A的坐标为（5，3），
∴关于y轴对称的点B的坐标为：（﹣5，3）.
故答案为：（﹣5，3）.
【分析】直接利用关于y轴对称点的坐标特点“横坐标互为相反数，纵坐标不变”得出对应点坐标.
12．在△ABC中，∠A是钝角，∠B=30°， 设∠C的度数是α，则α的取值范围是
【答案】
【解析】【解答】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=180°-30°-α=150°-α.
∵∠A是钝角，
∴ ，即 ，
故答案为： .
【分析】利用三角形内角和，用含α的式子表示出∠A，由∠A是钝角，可列出不等式，解出a的范围即可.
13．如图， 中， 平分 ，且 ， ，则点 到 的距离为 .
【答案】4
【解析】【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E.
∵BC=12，BD=8，
∴CD=BC-BD=4.
又∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴DE=CD=4.
故答案为：4.
【分析】如图，过点D作DE⊥AB于E，先求出CD=BC-BD=4，利用角平分线上的点到角两边的距离相等可得DE=CD=4.
14．如图所示的是一张直角 纸片（ ），其中 ，如果用两张完全相同的这种纸片恰好能拼成如图2所示的 ，若 ，则 的周长为 .
【答案】12
【解析】【解答】解：如图所示，
由题可知 ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴B，C，D在一条直线上，
∵ ，
∴△ABD是等边三角形，
∴△ABD的周长 .
故答案为：12.
【分析】根据三角形全等的性质得出对应角相等和对应边相等，从而推出△ABD为等边三角形，则△ABD的周长可求.
15．如图，已知，点，，，…在射线ON上，点，，，…在射线OM上，，，，…均为等边三角形，若，则的边长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵△A1B1A2为等边三角形，
∴∠B1A1A2=60°，A1B1=A1A2，
∵∠MON=30°，
∴∠A1B1O=30°，
∴A1B1=OA1，
∴A1B1=A1A2=OA1，
同理可得A2B2=A2A3=OA2=2OA1，
∴A3B3=A3A4=OA3=2OA2=22 OA1，
A4B4=A4A5=OA4=2OA3=23 OA1，
…
∴AnBn=AnAn+1=2n-1 OA1=2n-1×2=2n．
当n=2022时，A2022B2022=A2022A2022+1=22022，
故答案为：22022．
【分析】由等边三角形的性质可得∠B1A1A2=60°，A1B1=A1A2，从而求出∠A1B1O=30°，可得A1B1=A1A2=OA1，同理可得A2B2=A2A3=OA2=2OA1，A3B3=2OA2=22 OA1，A4B4=2OA3=23 OA1，据此可得规律AnBn=AnAn+1=2n-1 OA1=2n-1×2=2n，继而得解.
16．如图，点F坐标为，点在y轴负半轴，点在且轴的正半轴，且，，则的值为 ．
【答案】-8
【解析】【解答】解：如图，过点F作轴交x轴于点B，过点G作轴，交于点A，
又
点F坐标为，点在y轴负半轴，点在x且轴的正半轴，
，
故答案为：
【分析】过点F作轴交x轴于点B，过点G作轴，交于点A，证明，可得，由点F、G、H的坐标可得AG=BF=4，OH=n，OG=-m，BH=4+n，从而求出AB=AF+BF=BH+BF=-m，从而求出m+n的值.
三、综合题（本大题共8小题，共72分）
17．（9分）如图，在△ABC中，，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且，．
（1）试说明：；
（2）当时，求∠DEF的度数；
（3）猜想：写出当∠A为多少度时，．
【答案】（1）解：∵，，
∴，
在和中，，
，
．
（2）解：，
，
∴，
由（1）已证：，
∴，
∴，
∴．
（3）解：设当时，，
，
∴，
由（1）已证：，
∴，
∴，
∴，
，
，
解得，
即当时，
【解析】【分析】（1）先根据线段和差关系求出BD= EC，再根据SAS证明△BDE≌△CEF，则可得出DE=EF；
（2）先根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质得出∠B=∠C= 70°，再根据三角形的内角和定理可得∠BDE+∠DEB=110°，然后根据全等三角形的性质得∠BDE=∠CEF，从而得出∠CEF+∠DEB= 110°，最后根据平角的定义即可求出结论；
（3）当∠A=x时，∠EDF+∠EFD= 120°，利用（2） 的方法求出∠DEF= 90°-x，再根据三角形的内角和定理建立方程求解，即可解答.
18．（9分）认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图①中的条件，试用两种不同方法表示两个阴影图形的面积的和．
方法1： ；方法2： ．
（2）从中你能发现什么结论？请用等式表示出来： ；
（3）利用（2）中结论解决下面的问题：如图②，两个正方形边长分别为m，n，如果m＋n＝mn＝4，求阴影部分的面积．
【答案】（1）a2＋b2；（a＋b）2－2ab
（2）a2＋b2＝（a＋b）2－2ab
（3）解：阴影部分的面积
，
阴影部分的面积
，
，
阴影部分的面积
，
答：阴影部分面积为2．
【解析】【解答】解：（1）阴影部分面积可表示为两个正方形面积的和，即；
阴影部分面积也可表示为大正方形面积减去两个矩形面积，即，
故答案为：，；
（2）阴影部分面积相等，即得：，
故答案为：；
【分析】（1）利用不同的表达式表示出阴影部分的面积即可；
（2）根据（1）的结果可得；
（3）先表示出阴影部分的面积，再将代入计算即可。
19．（9分）如图，△ABC是等边三角形，DM∥AB，分别交AC，BC于点D，M. E为AB延长线上一点，DE⊥AC交BC于点F，且DF＝EF．
（1）求证：△CDM是等边三角形；
（2）判断CD与BE的数量关系，并说明理由；
（3）过点D作DG⊥BC，垂足为G，若BC=6，求FG的长.
【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形
∴∠A =∠ABC =∠C
∵DM∥AB
∴∠CDM=∠A，∠CMD=∠ABC
∴∠CDM =∠CMD =∠C
∴△CDM是等边三角形
（2）解：CD=BE
理由：∵DM∥AB
∴∠MDF =∠E，∠DMF =∠FBE
在△DMF和△EBF中
∴△DMF ≌ △EBF (AAS)
∴DM = BE
∵△CDM是等边三角形
∴CD = DM
∴CD = BE
（3）解：由（2）知△DMF ≌ △EBF
∴FM=FB
即：FM=
又∵CD=DM，DG⊥BC
∴GM=GC=
又∵ FG=FM+GM
∴ FG=＋= =3
【解析】【分析】（1）先求出 ∠A =∠ABC =∠C，再求出∠CDM =∠CMD =∠C，最后证明求解即可；
（2）先求出∠MDF =∠E，∠DMF =∠FBE ，再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（3）利用全等三角形的性质求解即可。
20．（9分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC中的三个顶点都落在小正方形的顶点处.
（1）画出与△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）点A1的坐标为 ；
（3）在x轴上找一个点P，使PB+PC最小（不写作法，保留作图痕迹）.
【答案】（1）解：如图，△A1B1C1即为所求；
（2）（4，3）
（3）解：如图，点P即为所求．
【解析】【解答】（2）解：由（1）可知；
【分析】（1）根据关于y轴对称的性质作三角形即可；
（2）根据（1）平面直角坐标系求点的坐标即可；
（3）根据题意作图即可。
21．（9分）数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形．
（1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和．
方法1： ；
方法2： ．
（2）请你直接写出三个代数式：，，之间的等量关系．
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知，，求和的值．
②已知，求的值．
【答案】（1）；
（2）解：由题意得，；
（3）解：①由（2）得，
∴，
解得，
∴，
②设，则，，
依题意，得，
∴，
可求得.
由整体思想，得．
【解析】【解答】（1）阴影两部分求和为：；
用总面积减去空白部分面积为：，
故答案为：；；
【分析】（1）结合所给的图形求解即可；
（2）根据题意求出 即可作答；
（3）①先求出 ， 再求解即可；
②先求出 ， 再求出 ， 最后求解即可。
22．（9分）在中，，，是的角平分线.过点作于点，以未顶点作，使的两边分别交直线于点，交直线于点，请解答下列问题：
（1）如图1，当点在线段上，点在线段上且时，求证：；
（2）求出图1中的度数，并判断线段、、之间的数量关系，加以证明；
（3）不改变图1中的大小．
①如图2，当点在线段上，点在线段的延长线时，线段、、之间的数量关系为 ；
②如图3，当点在线段的延长线上，点在线段上时，线段、、之间的数量关系为 ．
【答案】（1）证明：∵BP是△ABC的角平分线，PD⊥AB，PC⊥BC，
∴PD＝PC，
在Rt△EPD与Rt△FPC中，
，
∴Rt△EPD≌Rt△FPC（HL）；
（2）解：∵Rt△PDE≌Rt△PCF，
∴∠DPE＝∠CPF，
∴∠EPF＝∠DPC，
∵∠ABC＝45°，
∴∠DPC＝360° 90° 90° 45°＝135°，
∴∠EPF＝135°；
CP＝CF＋AE；理由如下：
∵Rt△PDE≌Rt△PCF，
∴DE＝CF，
∵△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝∠ABC＝45°，
∴∠APD＝∠A＝45°，
∴AD＝PD，
∴AD＝CP，
∴CP＝AD＝DE＋AE＝CF＋AE；
（3）CP＋CF＝AE；CF AE＝CP
【解析】【解答】（3）解：①CF＋CP＝AE，理由如下：
由（1）知Rt△EPD≌Rt△FPC，
∴∠EPD＝∠FPC，ED＝FC，PD＝PC，
在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝45°，
∵PD⊥AB，
∴∠APD＝45°，AD＝PD，
∴CP＋CF＝AD＋ED＝AE，
故答案为：CP＋CF＝AE；
②CF AE＝CP，理由如下：
由（1）知Rt△EPD≌Rt△FPC，
∴∠EPD＝∠FPC，ED＝FC，PD＝PC，
在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝45°，
∵PD⊥AB，
∴∠APD＝45°，AD＝PD，
∴CF AE＝DE AE＝AD＝CP，
故答案为：CF AE＝CP．
【分析】（1）利用“HL”证明Rt△EPD≌Rt△FPC即可；
（2）利用全等三角形的性质可得DE=CF，再利用线段的和差及等量代换可得CP＝AD＝DE＋AE＝CF＋AE；
（3）利用全等三角形的性质和线段的和差及等量代换求解即可。
23．（9分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，△CDE是等边三角形，点D在边AB上。
（1）如图1，当点E在边BC上时，求证DE=EB；
（2）如图2，当点E在△ABC内部时，猜想ED和EB数量关系，并加以证明；
（3）如图3，当点E在△ABC外部时，EH⊥AB于点H，过点E作GE∥AB，交线段AC的延长线于点G，AG=5CG，BH=3求CG的长。
【答案】（1）证明：∵△CDE是等边三角形，
∴∠CED=60°，∴∠EDB=60°-∠B=30°，
∴∠EDB=∠B，∴DE=EB
（2）解：ED=EB，理由如下：取AB的中点O，连接CO、EO，
∵∠ACB=90°，∠ABC=30
∴∠A=60°，AC=OA，∴△ACO为等边三角形，∴CA=CO=BO，
∵△CDE是等边三角形，∠ACD=∠OCE，
∴△ACD≌△OCE，∠COE=∠A=60°
∴∠BOE=60°，△COE≌△BOE，
∴EC=EB，∴ED=EB
（3）解：取AB的中点O，连接CO、EO、EB，由(2)得△ACD≌△OCE，
∴∠COE=∠A=60°，∠BOE=60°，△COE≌△BOE，
∴EC=EB，∴ED=EB，∵EH⊥AB，
∴DH=BH=3，∵GE∥AB，
∠G=180°-∠A=120°，△CEG≌△DCO，∴CG=OD，
设CG=a，则AG=5a，OD=a
∴AC=OC=4a，∵OC=OB，∴4a=a+3+3，解得，a=2，
即CG=2
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质以及三角形外角的性质计算得到∠EDB=∠B，根据等腰三角形的判定定理证明即可；
（2）如题，取AB的中点O，连接CO和EO，分别证明△ACD≌△OCE以及△COE≌△BOE，根据全等三角形的性质进行证明即可。
（3）取AB的中点O，连接CO、EB和EO，根据（2）的结论得到△COE≌△BOE，由全等三角形的性质即可得到答案。
24．（9分）已知△ABC是等边三角形，点D在BC边上，点E在AB的延长线上，将DE绕D点顺时针旋转120°得到DF.
（1）如图1，若点F恰好落在AC边上，求证：点D是BC的中点；
（2）如图2，在（1）的条件下，若 =45°，连接AD，求证： ；
（3）如图3，若 ，连CF，当CF取最小值时，直接写出 的值.
【答案】（1）解：过点D作DH⊥AB，DG⊥AC，如图：
∵△ABC是等边三角形
∴∠ A=∠ C=∠ ABC=60°
∵∠EDF=120°，
故D为BC的中点
（2）证明：
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°
设CG为m，
在Rt△CGD中，
在Rt△FGD中，
∵∠DFG=45°
∴DG=GF=
∴CF=CG+GF=
∵D是BC的中点
∴BD=CD=2m
在Rt△BDH中，
BH=BD×cos60°=2m× =m
∵DF是由DE旋转得到
∴DE=DF=
在Rt△EDH中，
BE=EH-BH= -m=
∴CF+BE= +
在Rt△ADC中，
AD=CD×tan60°=2m× =
∴CF+BE=AD
（3）解：
延长DB至点K，使BK=BE
过点D作DQ∥AB且DQ=AB，连接AQ
∵BE=CD，BE=BK
∴BK=CD
∴BC=BD+CD=BD+BK=DK
∵△ABC是等边三角形
∴AB=BC=AC
∵DQ=AB，
∴DK=DQ
∵DQ∥AB
∠BDQ+∠ABC=120°
∵∠BDF=120°
∴∠EDB=∠FDQ
在△DEK和DFQ中
∴△DEK≌DFQ（SAS）
∴∠FQD=∠K
∵△ABC为等边三角形
∴∠ABC=60°
又∵BK=NE，∠KBE=∠ABC=60°
∴∠K=∠BEK=60°
∠FQD=∠K=60°
∴F的轨迹为直线FQ，
∴当CF⊥FQ时，CF最小，此时DQ与CF相交于点P，
在Rt△PFQ中，
∵∠FPQ=90°-60°
∴PQ=2FQ
∵∠BDQ=120°，
∴∠PDC=60°，
在△FQP和△CDP中，
∴△FQP≌△CDP（AAS）
∴PQ=PD
在Rt△PDC中，
∵∠PDC=∠PQF=60°
∴
PQ=2CD
∴DQ=4CD
∴KD=4CD
又∵KB=CD
∴
【解析】【分析】（1）要证明D是线段的中点，最常见的作法是证明两线段所在三角形全等，过点D作DH⊥AB，DG⊥AC，构建出线段所在的三角形，然后根据四边形内角和，确定相等的角，根据旋转的性质确定相等的边，求 ，根据三角形全等的性质，得到条件进而求证 解决.（2）设出CG为x，根据等边三角形的性质和直角三角形中锐角三角函数，将BE、CF、AD的边分别用x表示出来，进而求证 即可.（3）延长DB至点K，使BK=BE，过点D作DQ∥AB且DQ=AB，连接AQ，根据平行线的性质和等边三角形的性质，证明△DEK≌DFQ，得出∠FQD=60°，FQ所在直线即为F的轨迹，然后根据直角三角形中边角关系，判断出CD与PD的关系，然后确定PD与CQ的关系，最后确定 的值即可.
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