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人教版九年级上册期末真题汇编培优卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图案是历届冬奥会会徽，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知关于x的一元二次方程的常数项是0，则a的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．
3．下列事件是必然事件的是（ ）
A．买中奖率为的奖券20张，中奖
B．打开电视机，正在播放新闻
C．抛掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次
D．三角形内角和是
4．已知圆的圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根，若圆与直线相离，圆的半径可取的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．下列关于二次函数的说法正确的是（ ）
A．图象是一条开口向下的抛物线 B．对称轴是直线
C．图象的顶点坐标是 D．当时，y随x增大而减小
6．二次函数的图象如图所示，图像与轴的一个交点是，对称轴是直线，下列结论正确的为（ ）
①；②；③；④)（为实数）
A．①④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
7．如图，点A，B，C在上，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．某商店将进货价格为元的商品按单价元售出时，能卖出个已知该商品单价每上涨元，其销售量就减少个设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c都是常数，且a≠0）的图象与x轴交于点（﹣2，0）、（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴交于正半轴，且交点在（0，2）的下方，下列结论①4a﹣2b+c=0； ②a＜b＜0；③2a+c＞0；④2a﹣b+1＞0．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，正方形PQRS的顶点S，R在⊙O上，则S正方形PQRS：S正方形ABCD等于( )．
A．1 ：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n=0的根，则m+n的值为 .
12．方程 的两个实根分别为 ， ，那么 的值为 ．
13．如图，⊙O的直径CD＝10，弦AB＝8，AB⊥CD，垂足为M，则CM的长为 ．
14．小强将10盒蔬菜的标签全部撕掉了．现在每个盒子看上去都一样．但是她知道有七盒菠菜，三盒豆角．她随机地拿出一盒并打开它．盒子里面是豆角的概率是 ．
15．如图，平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与于点成中心对称，如此作下去，则的顶点的坐标是 ．
16．如图，正方形ABCD的边长为2，E为边AD上一动点，连接CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG，连接DF，DG，则面积的最小值为 ．
三、综合题（本大题共8小题，共72分）
17．（9分）我市“垃圾分类”工作越来越好，但还是有不少人缺乏分类意识．某小区分设了四个不同的垃圾分类投放桶，分别为“可回收物”“有害垃圾”厨余垃圾”“其他垃圾”．
（1）上面图标（不包含文字）是中心对称图形的是 （填序号）；
（2）小明帮助妈妈做家务，拿着一袋厨余垃圾去，因天黑看不清，小明随便扔进了一个垃圾桶，请直接写出小明投放正确的概率 ；
（3）然后他又随手将旧报纸和废弃电池扔到其中两类垃圾桶中，那么他恰好符合题意分类的概率是多少？（画树状图或列表求解）．（以上行为均不提倡）
18．（9分）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，小明随机从口袋中摸取一个小球，记录摸到小球的标号后放回，再从中摸取一个小球，又放回．小明摸取了60次，结果统计如下：
标号 1 2 3 4
次数 16 14 20 10
（1）上述试验中，小明摸取到“2”号小球的频率是 ；小明下一次在袋中摸取小球，摸到“2”号小球的概率是 ；
（2）若小明随机从口袋中摸取一个小球，记录摸到小球的标号后放回，再从中摸取一个小球，请用列举法求小明两次摸取到小球的标号相同的概率．
（3）若小明一次在袋中摸出两个小球，求小明摸出两个小球标号的和为5的概率．
19．（9分）在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）求该抛物线的对称轴和顶点坐标（用含的代数式表示）；
（2）如果该抛物线的顶点恰好在轴上，求它的表达式；
（3）如果，，三点均在抛物线上，且总有，结合图象，直接写出的取值范围．
20．（9分）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是
（1）在给出的平面直角坐标系中画出上述函数的大致图象；
（2）求铅球推出的距离；
（3）根据函数图象中的某些点可以大致估计该男生的身高，请你写出你选择的点的坐标及对身高的估计．
21．（9分）如图，抛物线的对称轴为直线x＝-1，与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于C，OA＝OC，点A的坐标为（-3，0）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点P在抛物线上，且，求点P的坐标；
（3）设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．
22．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，BD＝DC，过点D作DE⊥AC，垂足为E，⊙O经过A，B，D三点．
（1）证明：AB是⊙O的直径
（2）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）若DE的长为3，∠BAC＝60°，求⊙O的半径．
23．（9分）吴兴区文体中心，位于湖州市吴兴区东部新城，于今年上半年完全竣工，现已投入使用.其中体育馆可容纳四千人同时观看比赛.现C区有座位400个，某赛事试营销阶段发现：当票价为80元时，可售出C区票280张，若每降价1元，可多售出6张票. 设降价x元（x取正整数）时，可售出观赛座位票y张.
（1）求出y关于x的函数关系式；
（2）设C区的总票价为W元，求W关于x的函数关系式，并求出W的最大值；
（3）求当票价为多少元时，C区的总共售票收入为23800元.
24．（9分）如图1，在 中， ， ， ， 于点D，将 绕点B顺时针旋转 得到
（1）如图2，当 时，求点C、E之间的距离；
（2）在旋转过程中，当点A、E、F三点共线时，求AF的长；
（3）连结AF，记AF的中点为P，请直接写出线段CP长度的最小值.
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数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图案是历届冬奥会会徽，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A．是中心对称图形，故此选项符合题意，A正确；
B．不是中心对称图形，故此选项不合题意，B错误；
C．不是中心对称图形，故此选项不合题意，C错误；
D．不是中心对称图形，故此选项不合题意，D错误；
故选：A．
【分析】本题考查中心对称图形的定义.中心对称图形：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心.A选项，把一个图形绕某一点旋转，图形能够与原来的图形重合，据此可判断A选项.B选项，把一个图形绕某一点旋转，图形不能够与原来的图形重合，据此可判断B选项.C选项，把一个图形绕某一点旋转，图形不能够与原来的图形重合，据此可判断C选项.D选项，把一个图形绕某一点旋转，图形不能够与原来的图形重合，据此可判断D选项.
2．已知关于x的一元二次方程的常数项是0，则a的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意，，
解得：，
故选：B．
【分析】本题考查一元二次方程的定义和解法.根据一元二次方程的定义可列出方程组：，解方程组可求出实数a的值．
3．下列事件是必然事件的是（ ）
A．买中奖率为的奖券20张，中奖
B．打开电视机，正在播放新闻
C．抛掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次
D．三角形内角和是
【答案】D
【解析】【解答】A、∵买中奖率为的奖券20张，中奖属于随机事件，∴A不符合题意；
B、∵开电视机，正在播放新闻属于随机事件，∴B不符合题意；
C、∵抛掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次于随机事件，∴C不符合题意；
D、∵三角形的内角和是180°是必然事件，∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用必然事件的定义逐项分析判断即可.
4．已知圆的圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根，若圆与直线相离，圆的半径可取的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】【解答】解：解方程
可得：x=3或-2（舍去）
∴圆的圆心到直线的距离d=3
∵圆与直线相离
∴圆的半径r故答案为：A
【分析】解方程，再根据直线与圆的位置关系即可求出答案.
5．下列关于二次函数的说法正确的是（ ）
A．图象是一条开口向下的抛物线 B．对称轴是直线
C．图象的顶点坐标是 D．当时，y随x增大而减小
【答案】C
【解析】【解答】解：A：二次项系数为1>0，开口向下，错误，不符合题意；
B：对称轴是直线x=2，错误，不符合题意；
C：图象的顶点坐标是（2.-4），正确，符合题意；
D：当时，y随x增大而增大，错误，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据二次函数的性质即可求出答案.
6．二次函数的图象如图所示，图像与轴的一个交点是，对称轴是直线，下列结论正确的为（ ）
①；②；③；④)（为实数）
A．①④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】A
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线的对称轴在轴右侧，
∴，
∵抛物线与轴交于负半轴，
∴，
∴，故①正确；
当时，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故②错误；
当时，，
∴，故③错误；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴时，函数的最小值为，
∴，
即，所以④正确．
故答案为：A．
【分析】根据函数图象先判断a、b、c的正负形可判断①正确；赋特殊值法和对称轴可判断②错误；赋特殊值法可判断③错误；利用对称轴和特殊值法可判断④正确．从而求解.
7．如图，点A，B，C在上，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】，
优弧所对的圆心角=2∠C=220°，
故答案为：D.
【分析】利用圆周角定理和角的和差即可求解.
8．某商店将进货价格为元的商品按单价元售出时，能卖出个已知该商品单价每上涨元，其销售量就减少个设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解： 设这种商品的售价上涨元
∴单件利润为x+16，总销售量为200-5x
由题意可得：
故答案为：A
【分析】设这种商品的售价上涨元，根据题意建立方程即可求出答案.
9．已知二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c都是常数，且a≠0）的图象与x轴交于点（﹣2，0）、（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴交于正半轴，且交点在（0，2）的下方，下列结论①4a﹣2b+c=0； ②a＜b＜0；③2a+c＞0；④2a﹣b+1＞0．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】【解答】解：图象的草图如图所示，
①根据题意画大致图象如图所示，
由y=ax2+bx+c与X轴的交点坐标为( 2，0)得：
y=a×( 2)2+b×( 2)+c=0，即4a 2b+c=0，正确；
②∵图象开口向下，∴a<0，
由y=ax2+bx+c与X轴的另一个交点坐标为(x1，0)，且1则该抛物线的对称轴为x==> ，
由a<0，两边都乘以a得：b>a，
∵a<0，对称轴x=<0，
∴b<0，
∴a③由一元二次方程根与系数的关系知x1.x2=< 2，结合a<0得2a+c>0，正确，
④由4a 2b+c=0得2a b= ，而00，正确；
故正确的选项有4个.
故答案为：D.
【分析】根据待定系数法、根与系数的关系、对称轴、结合二次函数图象的草图，数形结合逐项分析判断即可.
10．如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，正方形PQRS的顶点S，R在⊙O上，则S正方形PQRS：S正方形ABCD等于( )．
A．1 ：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，过点O作OF⊥SR，连接OD，OR.
∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，正方形PQRS的顶点S，R在⊙O上，
∴OD = OR，DE =OE =CD，OF= RS = 2FR.
在Rt△ODE中，OD2=DE2 +OE2=2DE2 =CD2，即CD2=2OD2；
在Rt△OFR中，OR2=FR2 +OF2=OF2 +OF2=OF2，即OF2=OR2.
∴S正方形PQRS：S正方形ABCD =OF2：CD2=OR2：2OD2=2：5.
故答案为：D.
【分析】以圆的半径为突破点，并利用勾股定理，将S正方形PQRS和S正方形ABCD表示为关于圆的半径的关系式即可得到答案.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n=0的根，则m+n的值为 .
【答案】
【解析】【解答】解：把n代入方程得到n2+mn+2n=0，
将其变形为n（m+n+2）=0，
因为n≠0
所以解得m+n=-2.
【分析】利用方程解的定义找到相等关系n2+mn+2n=0，再把所求的代数式化简后整理出m+n=-2，即为所求.
12．方程 的两个实根分别为 ， ，那么 的值为 ．
【答案】-2
【解析】【解答】∵方程 的两个实根分别为 ， ，
∴x1+x2= ， = ，
∴ = -（x1+x2）=-2．
故答案为：-2
【分析】先求出x1+x2= ， = ，再求解即可。
13．如图，⊙O的直径CD＝10，弦AB＝8，AB⊥CD，垂足为M，则CM的长为 ．
【答案】8
【解析】【解答】连接OA，
∵AB⊥CD，AB=8，
∴根据垂径定理可知AM= AB=4，
在Rt△OAM中，OM=
∴DM=OD+OM=8．
故答案为：8．
【分析】先求出AM=4，再利用勾股定理求出OM=3，最后计算求解即可。
14．小强将10盒蔬菜的标签全部撕掉了．现在每个盒子看上去都一样．但是她知道有七盒菠菜，三盒豆角．她随机地拿出一盒并打开它．盒子里面是豆角的概率是 ．
【答案】
【解析】【解答】∵共有10种等可能性，豆角有3种等可能性，
∴盒子里面是豆角的概率是： ．
故答案为： ．
【分析】根据共有10种等可能性，豆角有3种等可能性，求概率即可。
15．如图，平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与于点成中心对称，如此作下去，则的顶点的坐标是 ．
【答案】
【解析】解：因为△是边长为2的等边三角形，可得A的坐标为，的坐标为，
又因为△与△关于点成中心对称，所以点与点关于点成中心对称，
因为，且，所以点的坐标是：，
因为△与△关于点成中心对称，可得点与点关于点成中心对称，
又因为，，所以点的坐标是：，
因为△与△关于点成中心对称，可得点与点关于点成中心对称，
又因为，，所以点的坐标是：，，
因为，，，，，
所以的横坐标是：，的横坐标是：，
当为奇数时，的纵坐标是：，当为偶数时，的纵坐标是：，
所以顶点的纵坐标是：，
则△是正整数）的顶点的坐标是：，
所以△的顶点的横坐标是：，纵坐标是：，
故答案为：．
【分析】根据△是边长为2的等边三角形，求得的坐标为，的坐标为，再由中心对称的性质，分别求出点、、的坐标，最后总结出的坐标的规律，求出的坐标，即可求解.
16．如图，正方形ABCD的边长为2，E为边AD上一动点，连接CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG，连接DF，DG，则面积的最小值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CDE=90°，
设，则，
过点D作 PQ∥EF交CE于Q，GF于P，
∵四边形CEFG是正方形，
∴∠QEF=∠EFP=90°，EF=EC=FG，
∴∠EQP=90°，
∴四边形EQPF是矩形，
∴EC=EF=PQ，
∴
，
，
当时，面积的最小值为，
故答案为：．
【分析】设，则，过点D作 PQ∥EF交CE于Q，GF于P，求证
四边形EQPF是矩形，可得EC=EF=PQ，由于，从而得出S△DFG=S正CEFG-S△DEC=，利用二次函数的性质求出其最值即可.
三、综合题（本大题共8小题，共72分）
17．（9分）我市“垃圾分类”工作越来越好，但还是有不少人缺乏分类意识．某小区分设了四个不同的垃圾分类投放桶，分别为“可回收物”“有害垃圾”厨余垃圾”“其他垃圾”．
（1）上面图标（不包含文字）是中心对称图形的是 （填序号）；
（2）小明帮助妈妈做家务，拿着一袋厨余垃圾去，因天黑看不清，小明随便扔进了一个垃圾桶，请直接写出小明投放正确的概率 ；
（3）然后他又随手将旧报纸和废弃电池扔到其中两类垃圾桶中，那么他恰好符合题意分类的概率是多少？（画树状图或列表求解）．（以上行为均不提倡）
【答案】（1）③
（2）
（3）解：根据题意得：旧报纸属于可回收垃圾，而废弃电池属于有害垃圾，则可画树状图如图所示：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中小明恰好正确分类处理垃圾的结果有1种，所以他恰好正确分类的概率是 ．
【解析】【解答】(1)解：上面图标（不包含文字）是中心对称图形的是③；
(2)解：根据题意得：一共有4种等可能结果，投放正确的结果有1种，
所以小明投放正确的概率是；
【分析】（1）根据中心对称图形的定义求解即可；
（2）先求出一共有4种等可能结果，投放正确的结果有1种，再求概率即可；
（3）先画树状图，再求出 共有12种等可能的结果，其中小明恰好正确分类处理垃圾的结果有1种， 最后求概率即可。
18．（9分）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，小明随机从口袋中摸取一个小球，记录摸到小球的标号后放回，再从中摸取一个小球，又放回．小明摸取了60次，结果统计如下：
标号 1 2 3 4
次数 16 14 20 10
（1）上述试验中，小明摸取到“2”号小球的频率是 ；小明下一次在袋中摸取小球，摸到“2”号小球的概率是 ；
（2）若小明随机从口袋中摸取一个小球，记录摸到小球的标号后放回，再从中摸取一个小球，请用列举法求小明两次摸取到小球的标号相同的概率．
（3）若小明一次在袋中摸出两个小球，求小明摸出两个小球标号的和为5的概率．
【答案】（1）；
（2）解：列举法求小明两次摸取到小球的标号为共16种可能的情况，其中两次标号相同的为共4种可能的情况
∵
∴小明两次摸取到小球的标号相同的概率为．
（3）解：况，标号和为5有两种情况
∵
∴小明摸出两个小球标号的和为5的概率为．
【解析】【解答】(1)解：摸取到“2”号小球的频率为
摸到“2”号小球的概率是
故答案为： ．
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）画出树状图，得出所有等可能结果，其中两次标号相同的结果数，再由概率公式求解即可；
（3）画出树状图，得出所有等可能结果，其中标号和为5情况数，再由概率公式求解即可。
19．（9分）在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）求该抛物线的对称轴和顶点坐标（用含的代数式表示）；
（2）如果该抛物线的顶点恰好在轴上，求它的表达式；
（3）如果，，三点均在抛物线上，且总有，结合图象，直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：由题意得．
对称轴为直线，顶点坐标为
（2）解：∵抛物线的顶点恰好在x轴上，
，
解得，
∴抛物线的表达式为：
（3）解：
【解析】【解答】(3)解：根据题意可得：对称轴为，，开口向上，
分两种情况进行讨论：
①当时，
∵，
∴可得：，
不等式组无解；
②当时，可得：
，
解得：，
综合可得：．
【分析】（1）解析式化成顶点式即可求得对称轴和顶点坐标；
（2）根据题意，抛物线的顶点恰好在x轴上，得出a的值，即可得出抛物线的表达式；
（3）根据题意得出或，解不等式组即可。
20．（9分）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是
（1）在给出的平面直角坐标系中画出上述函数的大致图象；
（2）求铅球推出的距离；
（3）根据函数图象中的某些点可以大致估计该男生的身高，请你写出你选择的点的坐标及对身高的估计．
【答案】（1）解：列表
x … 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …
y … 1.67 2.25 2.67 2.92 3 2.92 2.67 2.25 1.67 0.92 0 …
描点（0，1.67），（1，2.25），（2，2.67），（3，2.92），（4，3），（5，2.92），（6，2.67），（7，2.25），（8，1.67），（9，0.92），（10，0），
用平滑曲线连接；
（2）解：当y＝0时，x2x0，
整理得，
因式分解得，
解得x1＝10，x2＝-2（不合题意，舍去），
∴推铅球的水平距离是10米；
（3）解：∵该男生站在起点，铅球落驮在肩上，
当x＝0时，y，
∴抛物线与y轴的交点为（0，），
根据男生头与身高比例为1：7
∴设男生身高为n，
∴，
解得，
∴估计该男生的身高约为1.9米．
【解析】【分析】（1）利用描点法作出函数图象即可；
（2）将y=0代入，再求出x的值即可；
（3）将x=0代入求出y的值，可得物线与y轴的交点为（0，），设男生身高为n，根据题意列出方程，再求出n的值即可。
21．（9分）如图，抛物线的对称轴为直线x＝-1，与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于C，OA＝OC，点A的坐标为（-3，0）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点P在抛物线上，且，求点P的坐标；
（3）设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．
【答案】（1）解：令x＝0，则y＝c，
∴OC＝-c，
∵OA＝OC，
∴3＝-c，即c＝-3．
∵对称轴是直线x＝-1，点A的坐标为（-3，0），
根据题意得：，
解之：．
∴抛物线解析式．
（2）解：当x＝0时，y＝-3，
∴点C（0，-3），即OC＝3，
∵A，B关于对称轴对称，
∴B（1，0），即OB＝1，
∴，
设，
∴＝×3×|x|，
∵＝，
∴，
∴x＝±4，
∴P（4，21），（-4，5）．
（3）解：∵点A（-3，0），点C（0，-3），
∴直线AC解析式y＝-x-3，
∴设点Q（m，-m-3）（-3≤m≤0），
则点，
∴，
∴当m＝-时，QD的最大值为 ．
【解析】【分析】（1）根据题意列出方程组，再求出，即可得到函数解析式；
（2）设，根据＝，可得，求出x的值，即可得到点P的坐标；
（3）先求出直线AC的解析式，设点Q（m，-m-3），则点，再求出，最后利用二次函数的性质求解即可。
22．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，BD＝DC，过点D作DE⊥AC，垂足为E，⊙O经过A，B，D三点．
（1）证明：AB是⊙O的直径
（2）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）若DE的长为3，∠BAC＝60°，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明：如图所示，连接AD
∵AB＝AC，BD＝DC，
∴AD⊥BC即∠ADB＝90°，
∴AB是⊙O的直径．
（2）解：DE与⊙O相切，理由如下：
如图所示，连接OD，
∵OB＝OA，BD＝DC，
∴OD是△ABC的中位线，
∴．
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD即∠ODE＝90°，
∴DE与⊙O相切．
（3）解：
∵AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝∠DAE＝30°．
∵DE⊥AC，AD⊥BD，
∴AD＝2DE＝6，AB＝2BD．
在△ABD中，，
∴，
解得．
∴，
∴⊙O的半径为．
【解析】【分析】（1）先求出 AD⊥BC ，再证明即可；
（2）根据题意先求出 OD是△ABC的中位线， 再求出 ∠ODE＝90°， 最后求解即可；
（3）先求出 AD＝2DE＝6，AB＝2BD，再利用勾股定理计算求解即可。
23．（9分）吴兴区文体中心，位于湖州市吴兴区东部新城，于今年上半年完全竣工，现已投入使用.其中体育馆可容纳四千人同时观看比赛.现C区有座位400个，某赛事试营销阶段发现：当票价为80元时，可售出C区票280张，若每降价1元，可多售出6张票. 设降价x元（x取正整数）时，可售出观赛座位票y张.
（1）求出y关于x的函数关系式；
（2）设C区的总票价为W元，求W关于x的函数关系式，并求出W的最大值；
（3）求当票价为多少元时，C区的总共售票收入为23800元.
【答案】（1）解：y与x的函数关系式为：y＝6x＋280；
6x＋280≤400
x≤20
故答案为：y＝6x＋280(1≤x≤20)
（2）解：由题意可得，W与x的函数关系式为：
W＝(6x＋280)(80 x)
＝ 6x2＋200x＋22400
＝ .
∵x取正整数
∴当x＝17时，W最大＝24066.
（3）解：令 6x2＋200x＋22400＝23800
解得x＝10或
∵x取正整数
∴x＝10
∴当票价为70时，C区的总共售票收入为23800元.
【解析】【分析】（1）由题意可得 ：降价后实际
售出观赛座位票y =降价前应售票数+降价后增加的票数；再根据总座位数不超过400可得不等式求出自变量的取值范围；
（2）根据 C区的总票价为W =降价后实际售出观赛座位票数×降价后每张票的价格，并将解析式配成顶点式，根据二次函数的性质即可求解；
（3）把W=23800代入（2）中求得的解析式可得关于降价x的=一元二次方程，解方程即可求解。
24．（9分）如图1，在 中， ， ， ， 于点D，将 绕点B顺时针旋转 得到
（1）如图2，当 时，求点C、E之间的距离；
（2）在旋转过程中，当点A、E、F三点共线时，求AF的长；
（3）连结AF，记AF的中点为P，请直接写出线段CP长度的最小值.
【答案】（1）解：如图1中，
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，
∴AB＝2AC＝4，BC＝ ＝2 ，
∵CD⊥AB，
∴ AB CD＝ AC BC，
∴CD＝ ＝ ＝ ，
∴BD＝BE＝ ＝3，
∵∠ABE＝α＝60°，
∴∠CBE＝30°+60°＝90°，
∴CE＝ ＝ ＝
（2）解：如图2﹣1中，
∵A，F，E三点共线，
∴∠AEB＝90°，AE＝ ＝ ＝ ，
∴AF＝AE﹣EF＝ ﹣ .
如图2﹣2中，
当A，E，F共线时，∠AEB＝90°，AE＝ ＝ ＝ ，
∴AF＝AE+EF＝ + .
综上所述，AF的长为 + 或 ﹣
（3）解：如图3中，取AB的中点O，连接OP，CO.
∵AO＝OB，AP＝PF，
∴OP＝ BF＝ BC＝ ，
∴点P的运动轨迹是以O为圆心 为半径的圆，
∵OC＝ AB＝2，
∴CP的最小值＝OC﹣OP＝2﹣ .
故答案为：（1）CE＝ ；（2）AF的长为 + 或 ﹣ ；（3）CP的最小值＝OC﹣OP＝2﹣
【解析】【分析】 （1） 如图1中， 根据含30°直角三角形的边之间的关系得出AB，AC的长，根据三角形的面积法，由 AB CD＝ AC BC， 算出CD的长，根据勾股定理算出BD的长，根据旋转的性质得出BD=BE，利用角的和差及旋转角的定义得出 ∠CBE＝ 90°，进而在Rt△CBE中，根据勾股定理算出CE的长；
（2） 如图2﹣1中， 根据旋转的性质，由 A，F，E三点共线， 得出 ∠AEB＝90°， 根据勾股定理算出AE的长，进而根据 AF＝AE﹣EF 算出AF的长； 如图2﹣2中，根据旋转的性质，由 A，F，E三点共线， 得出 ∠AEB＝90°， 根据勾股定理算出AE的长，进而根据 AF＝AE+EF 算出AF的长，综上所述即可得出答案；
（3） 如图3中，取AB的中点O，连接OP，CO，根据三角形的中位线定理得出 OP＝ BF＝ BC＝ ， 故点P的运动轨迹是以O为圆心 为半径的圆， 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出 OC＝ AB＝2， 最后由 CP的最小值＝OC﹣OP 即可算出答案。
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