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【50道热点题型】浙教版数学八年级上册期末·综合题专练
1．某学校在疫情期间用3000元购进A、B两种洗手液共550瓶，购买A种洗手液与购买B种洗手液的费用相同，且A种洗手液的单价是B种洗手液单价的1.2倍．
（1）求B种洗手液的单价是多少元？
（2）学校计划用不超过9800元的资金再次购进A、B两种洗手液共1800瓶，求A种洗手液最多能购进多少瓶？
2．甲、乙两人从同一点出发，沿着跑道训练400米速度跑，乙比甲先出发，并且匀速跑完全程，甲出发一段时间后速度提高为原来的3倍．设乙跑步的时间为x（s），甲、乙跑步的路程分别为y1（米）、y2（米），y1、y2与x之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）甲比乙晚出发 s，甲提速前的速度是每秒 米，m＝ ，n＝ ；
（2）当x为何值时，甲追上了乙？
（3）在甲提速后到甲、乙都停止的这段时间内，当甲、乙之间的距离不超过30米时，请你直接写出x的取值范围．
3．如图所示，BE＝CF，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BD＝CD．
求证：
（1）△BDE≌△CDF；
（2）AD是∠BAC的平分线．
4．点P为等边的边AB延长线上的动点，点B关于直线PC的对称点为D，连接AD．
（1）如图1，若，依题意补全图形，并直接写出线段AD的长度；
（2）如图2，线段AD交PC于点E，
①设，求的度数；
②求证：．
5．如图，在△ABC中，∠C90°．
（1）用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法：在边BC上求作一点D，使得点D到AB的距离等于DC的长；
（2）在（1）的条件下，若AC＝6，AB＝10，求CD的长．
6．已知y与2x-1成正比例，当x=2时，y=6．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当y=-6时，求x的值．
7．如图某船在海上航行，在A处观测到灯塔B在北偏东60°方向上，该船以每小时15海里的速度向东航行到达C处，观测到灯塔B在北偏东30°方向上，继续向东航行到D处，观测到灯塔B在北偏西30°方向上，当该船到达D处时恰与灯塔B相距60海里．
（1）判断BCD的形状；
（2）求该船从A处航行至D处所用的时间．
8．在△ABC中，AB＞BC，直线l垂直平分AC.
（1）如图1，作∠ABC的平分线交直线l于点D，连接AD，CD.
①补全图形；
②判断∠BAD和∠BCD的数量关系，并证明.
（2）如图2，直线l与△ABC的外角∠ABE的平分线交于点D，连接AD，CD.求证：∠BAD=∠BCD.
9．如图，，垂足分别为点，，且，，点，，，在同一条直线上，，相交于点．
求证：
（1）；
（2）．
10．水果店张阿姨以每千克2元的价格购进某种水果若干千克，销售一部分后，根据市场行情降价销售，销售额y (元)与销售量x (千克)之间的关系如图所示.
（1）情境中的变量有 .
（2）求降价后销售额y (元)与销售量x (千克)之间的函数表达式；
（3）当销售量为多少千克时，张阿姨销售此种水果的利润为150元
11．如图，一次函数的图象经过点P（1，3），Q（0，4）．
（1）求该函数的表达式；
（2）该图像怎样平移后经过原点？
12．某电话公司开设了两种手机通讯业务，甲种业务：使用者先缴50元月租费，然后每通话1分钟，再付话费0.4元；乙种业务：不交月租费，每通话1分钟，付话费0.6元（指市话）．若一个月内通话x分钟，两种方式的费用分别为y1（元）和y2（元）．
（1）分别求出y1、y2与x之间的函数关系式．
（2）根据每月可能的通话时间，作为消费者选用哪种缴费方式更实惠．
13．在同一条道路上，甲车从 地到 地，乙车从 地到 地，乙先出发，图中的折线段表示甲、乙两车之间的距离 （千米）与行驶时间 （小时）的函数关系的图象，根据图象解决以下问题：
（1）乙先出发的时间为 小时，乙车的速度为 千米/时；
（2）求线段 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；
（3）甲、乙两车谁先到终点，先到多少时间？
14．在 中， ， ，在 内有一点 ，连接 ， ，且 ．
（1）如图1，求出 的大小（用含 的式子表示）
（2）如图2， ， ，判断 的形状并加以证明．
15．如图，在 中， ，点 为直线 上一动点，连接 ，以 为直角边作等腰直角三角形 ．
（1）如图1，若当点 在线段 上时（不与点 重合），证明： ；
（2）如图2，当点 在线段 的延长线上时，试猜想 与 的数量关系和位置关系，并说明理由．
16．在农业技术部门指导下，小明家今年种植的猕猴桃喜获丰收.去年猕猴桃的收入结余12000元，今年猕猴桃的收入比去年增加了20%，支出减少10%，结余今年预计比去年多11400元.请计算：
（1）今年结余 元；
（2）若设去年的收入为 元，支出为 元，则今年的收入为 元，支出为 元（以上两空用含 、 的代数式表示）
（3）列方程组计算小明家今年种植猕猴桃的收入和支出.
17．甲、乙两车先后从“深圳书城”出发，沿相同的路线到距书城240km的某市.因路况原因，甲车行驶的路程y（km）与甲车行驶的时间x（h）的函数关系图象为折线O-A-B，乙车行驶的路程y（km）与甲车行驶的时间x（h）的函数关系图象为线段CD.
（1）求线段AB所在直线的函数表达式；
（2）①乙车比甲车晚出发多少小时；
②乙车出发多少小时后追上甲车？
（3）乙车出发多少小时后甲、乙两车相距10千米？
18．用一根长度为 的细绳围成一个等腰三角形.
（1）如果所围等腰三角形的腰长是底边长的2倍，则此时的底边长度是多少？
（2）所围成的等腰三角形的腰长不可能等于 ，请简单说明原因.
（3）若所围成的等腰三角形的腰长为 ，请求出 的取值范围.
19．一次函数 的图象过点 .
（1）求 的值；
（2）判断点 是否在该函数图象上，并说明理由.
20．如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC＝∠ADE＝90°，BC与DE相交于点F，连结CD、BE.
（1）请你找出图中其他的全等三角形；
（2）试证明CF＝EF.
21．已知 中， 为 的中点.
（1）如图1，若 分别是 上的点，且 .求证： 为等腰直角三角形；
（2）若 分别为 延长线上的点，如图2，仍有 ，其他条件不变，那么 是否仍为等腰直角三角形？请证明你的结论.
22．如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=45°，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，BE与AD相交于F.
（1）求证：BF=AC；
（2）若CD=1，求AF的长.
23．如图在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y1＝ （x＞0）的图象与一次函数y2＝kx－k的图象的交点为A（m，2）．
（1）求一次函数的解析式；
（2）观察图像，直接写出使y1≥y2的x的取值范围．
（3）设一次函数y＝kx－k的图象与y轴交于点B，若点P是x轴上一点，且满足△PAB的面积是4，请写出点P的坐标．
24．钓鱼岛是我国渤海海峡上的一颗明珠，渔产丰富．一天某渔船离开港口前往该海域捕鱼．捕捞一段时间后，发现一外国舰艇进入我国水域向钓鱼岛驶来，渔船向渔政部门报告，并立即返航．渔政船接到报告后，立即从该港口出发赶往钓鱼岛．下图是渔船及渔政船与港口的距离s和渔船离开港口的时间t之间的函数图象．（假设渔船与渔政船沿同一航线航行）
（1）直接写出渔船离港口的距离s和它离开港口的时间t的函数关系式．
（2）求渔船和渔政船相遇时，两船与钓鱼岛的距离．
（3）在渔政船驶往钓鱼岛的过程中，求渔船从港口出发经过多长时间与渔政船相距30海里？
25．已知直线l1：y=﹣ 与直线l2：y=kx﹣ 交于x轴上的同一个点A，直线l1与y轴交于点B，直线l2与y轴的交点为C．
（1）求k的值，并作出直线l2图象；
（2）若点P是线段AB上的点且△ACP的面积为15，求点P的坐标；
（3）若点M、N分别是x轴上、线段AC上的动点（点M不与点O重合），是否存在点M、N，使得△ANM≌△AOC？若存在，请求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．
26．如图，已知A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3）．
（1）求点C到x轴的距离；
（2）分别求△ABC的三边长；
（3）点P在y轴上，当△ABP的面积为6时，请直接写出点P的坐标．
27．二轮自行车的后轮磨损比前轮要大，当轮胎的磨损度（%）达到100时，轮胎就报废了，当两个轮的中的一个报废后，自行车就不可以继续骑行了．过去的资料表明：把甲、乙两个同质、同型号的新轮胎分别安装在一个自行车的前、后轮上后，甲、乙轮胎的磨损度（%）y1、y2与自行车的骑行路程x （百万米）都成正比例关系，如图（1）所示：
（1）线段OB表示的是 （填“甲”或“乙”），它的表达式是 （不必写出自变量的取值范围）；
（2）求直线OA的表达式，根据过去的资料，这辆自行车最多可骑行多少百万米？
（3）爱动脑筋的小聪，想了一个增大自行车骑行路程的方案：如图（2），当自行车骑行a百万米后，我们可以交换自行车的前、后轮胎，使得甲、乙两个轮胎在b百万米处，同时报废，请你确定方案中a、b的值．
28．如图，是一个圆柱形的饼干盒，在盒子外侧下底面的点A处有甲、乙两只蚂蚁，它们都想要吃到上底面外侧B′处的食物：甲蚂蚁沿A→A′→B′的折线爬行，乙蚂蚁沿圆柱的侧面爬行：若∠AOB=∠A′O′B′=90°（AA′、BB′都与圆柱的中轴线OO′平行），圆柱的底面半径是12cm，高为1cm，则：
（1）A′B′= cm，甲蚂蚁要吃到食物需爬行的路程长l1= cm；
（2）乙蚂蚁要吃到食物需爬行的最短路程长l2= cm（π取3）；
（3）若两只蚂蚁同时出发，且爬行速度相同，在乙蚂蚁采取最佳策略的前提下，哪只蚂蚁先到达食物处？请你通过计算或合理的估算说明理由．（参考数据：π取3， ≈1.4）
29．某专营商场销售一种品牌电脑，每台电脑的进货价是0.4万元．图中的直线l1表示该品牌电脑一天的销售收入y1（万元）与销售量x（台）的关系，已知商场每天的房租、水电、工资等固定支出为3万元．
（1）直线l1对应的函数表达式是 ，每台电脑的销售价是 万元；
（2）写出商场一天的总成本y2（万元）与销售量x（台）之间的函数表达式： ；
（3）在图的直角坐标系中画出第（2）小题的图象（标上l2）；
（4）通过计算说明：每天销售量达到多少台时，商场可以盈利．
30．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的AB边在x轴上，且AB=3，AD=2，经过点C的直线y=x﹣2与x轴、y轴分别交于点E，F．
（1）求矩形ABCD的顶点A，B，C，D的坐标；
（2）求证：△OEF≌△BEC；
（3）P为直线y=x﹣2上一点，若S△POE=5，求点P的坐标．
31．在边长为1的小正方形组成的正方形网格中建立如图片所示的平面直角坐标系，已知格点三角形ABC（三角形的三个顶点都在小正方形上）
（1）画出△ABC关于直线l：x=﹣1的对称三角形△A1B1C1；并写出A1、B1、C1的坐标．
（2）在直线x=﹣l上找一点D，使BD+CD最小，满足条件的D点为 ．
提示：直线x=﹣l是过点（﹣1，0）且垂直于x轴的直线．
32．小明和小亮在学习探索三角形全等时，碰到如下一题：如图1，若AC=AD，BC=BD，则△ACB与△ADB有怎样的关系？
（1）请你帮他们解答，并说明理由．
（2）细心的小明在解答的过程中，发现如果在AB上任取一点E，连接CE、DE，则有CE=DE，你知道为什么吗？（如图2）
（3）小亮在小明说出理由后，提出如果在AB的延长线上任取一点P，也有第2题类似的结论．请你帮他画出图形，并写出结论，不要求说明理由．（如图3）
33．已知直线y=kx+b经过点A（5，0），B（1，4）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若直线y=2x﹣4与直线AB相交于点C，求点C的坐标；
（3）根据图象，写出关于x的不等式2x﹣4＞kx+b的解集．
34．如图，在中，，DE是AC的垂直平分线．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若的周长是26，，求的周长．
35．如图①，直线与x轴、y轴分别交于，B两点，过点B的另一直线交x轴的负半轴于点C，且．
（1）求点C的坐标；
（2）求直线的表达式；
（3）直线交于点E，交于点F，交x轴于点D，是否存在这样的直线，使？若存在，求出a的值，若不存在，说明理由．
36．已知一次函数．
（1）为何值时，图象经过原点？
（2）将该一次函数向上平移5个单位长度后得到的函数图象经过点，求平移后的函数的解析式．
37．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为线段CB一动点，连接AE，过点A作AF⊥AE且AF＝AE，过点F作FD⊥AC于点D，如图①所示.
（1）求证：FD＝AC.
（2）若点E为BC中点，连BF交AC于点G，如图②，已知CG＝1，求BC的长.
38．如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C的坐标为，连接BC，过点О作于点D，点Q为线段BC上一个动点.
（1）求BC，OD的长；
（2）在线段BO上是否存在一点P，使得与全等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点C关于OQ的对称点恰好落在的边上，请直接写出点Q的坐标.
39．在一次机器猫抓机器鼠的展演测试中，鼠先从起点出发，1min后，猫从同一起点出发去追鼠，抓住鼠并稍作停留后，猫抓着鼠沿原路返回.鼠，猫距起点的距离与时间之间的关系如图所示.
（1）在猫追鼠的过程中，猫的平均速度与鼠的平均速度的差是 m/min；
（2）求直线AB的函数表达式；
（3）求猫返回过程中的平均速度.
40．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b分别交x轴，y轴于点A（6，0），点B（0，-8），过点D（0，16）作平行于x轴的直线CD，交AB于点C，点E（0，m）在线段OD上，延长CE交x轴于点F，点G在x轴的正半轴上，且AG＝AF.
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）当点E恰好是OD的中点时，求△ACG的面积；
（3）是否存在m，使得△FCG是直角三角形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由.
41．实际情境：甲、乙两人从相距4千米的两地同时、同向出发，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，小狗随甲一起出发，每小时跑12千米，小狗遇到乙的时候它就往甲这边跑，遇到甲时又往乙这边跑，遇到乙的时候再往甲这边跑…就这样一直跑下去.
数学研究：如图，折线、分别表示甲、小狗在行进过程中，离乙的路程y（km）与甲行进时间x（h）之间的部分函数图象.
（1）求线段AB对应的函数表达式；
（2）求点E的坐标；
（3）小狗从出发到它折返后第一次与甲相遇的过程中，直接写出x为何值时，它离乙的路程与它离甲的路程相等？
42．如图，已知为正比例函数的图象上一点，轴，垂足为点B.
（1）求m的值；
（2）点P从O出发，以每秒个单位的速度，沿射线方向运动.设运动时间为.
①过点P作交直线于点Q，若，求t的值；
②在点P的运动过程中，是否存在这样的t，使得为等腰三角形？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由.
43．郑州到西安的路程为480千米，由于西安疫情紧张，郑州物资中心对西安进行支援.甲乙两辆物资车分别从郑州和西安出发匀速行驶相向而行.甲车到西安后立即返回，已知乙车的速度为每小时，且到郑州后停止行驶，进行消毒.它们离各自出发地的距离与行驶时间之间的关系如下图所示.
（1） ， .
（2）请你求出甲车离出发地郑州的距离与行驶时间之间的函数关系式.
（3）求出点P的坐标，并说明此点的实际意义.
（4）直接写出甲车出发多长时间两车相距40千米.
44．如图1，AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AD、BE相交于点M.
（1）求证：BE=AD；
（2）直接用含α的式子表示∠AMB的度数为
（3）当α=90°时，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如图2，判断△CPQ的形状，并加以证明.
45．某工厂投资组建了日废水处理量为20吨的废水处理车间，已知该车间处理废水时每天需固定成本30元，并且每处理一吨废水还需费用8元.若该车间在无法完成当天工业废水的处理任务时，需将超出20吨的部分交给第三方企业处理。如图所示为该厂日废水处理总费用y(元)与该厂日产生的工业废水x(吨)之间的函数关系图象.
（1）求y关于x的函数关系式：
（2）设该厂日废水处理的平均费用为a元/吨，
①当a=10时，在图1中画出直线y=ax的图象，结合图象判断直线y=ax与日废水处理总费用y的函数图象交点个数，求交点横坐标x的值并说明它的实际意义；
②当a=t时，参照上一小题的解法，求出该厂这日产生工业废水量x的值.
46．在等腰△ABC中，AB=AC，点D是AC上一动点，点E在BD的延长线上，且AB=AE，AF平分∠CAE交DE于点F，连接FC．
（1）如图1，求证：∠ABE=∠ACF；
（2）如图2，当∠ABC=60°时，在BE上取点M，使BM=EF，连接AM．求证：△AFM是等边三角形；
（3）如图3，当∠ABC=45°，且AEBC时，求证：BD=2EF．
47．已知， 中， ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，D是 外一点连接 、 ，且 ，作 的平分线交 于点E，若 ，求 的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接 交 于点F，若 ， ，求 的长．
48．如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE、GC．
（1）试猜想AE与GC有怎样的关系，并证明你的结论．
（2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和CG．你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．
49．猜想与证明：小强想证明下面的问题：“有两个角（图中的 和 ）相等的三角形是等腰三角形”．但他不小心将图弄脏了，只能看见图中的 和边 ．
（1）请问：他能够把图恢复成原来的样子吗？若能，请你帮他写出至少两种以上恢复的方法并在备用图上恢复原来的样子．
（2）你能够证明这样的三角形是等腰三角形吗？（至少用两种方法证明）
50．已知如图①，BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线，BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，∠BAC＝α.
（1）当α＝40°时，∠BPC＝ °，∠BQC＝ °；
（2）当α＝ °时，BM∥CN；
（3）如图②，当α＝120°时，BM、CN所在直线交于点O，求∠BOC的度数；
（4）在α＞60°的条件下，直接写出∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之间的数量关系： .
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【50道热点题型】浙教版数学八年级上册期末·综合题专练
1．某学校在疫情期间用3000元购进A、B两种洗手液共550瓶，购买A种洗手液与购买B种洗手液的费用相同，且A种洗手液的单价是B种洗手液单价的1.2倍．
（1）求B种洗手液的单价是多少元？
（2）学校计划用不超过9800元的资金再次购进A、B两种洗手液共1800瓶，求A种洗手液最多能购进多少瓶？
【答案】（1）解：设B种洗手液的单价为x元/个，则A种洗手液单价为1.2x元/个，根据题意，得：
，
解得：x=5，
经检验，x=5是原方程的解，且符合题意，
则1.2x=6．
答：A种洗手液单价为6元/个，B种洗手液单价为5元/个；
（2）解：设购进A种洗手液m个，则购进B种洗手液（1800-m）个，
依题意，得：6m+5（1800-m）≤9800，
解得：m≤800．
答：A种洗手液最多能购进800个．
【解析】【分析】（1）根据题意设B种洗手液的单价为x元/个，则A种洗手液单价为1.2x元/个，列出方程，求解并检验即可；
（2）设购进A种洗手液m个，则购进B种洗手液（1800-m）个，根据题意列出不等式，求解即可。
2．甲、乙两人从同一点出发，沿着跑道训练400米速度跑，乙比甲先出发，并且匀速跑完全程，甲出发一段时间后速度提高为原来的3倍．设乙跑步的时间为x（s），甲、乙跑步的路程分别为y1（米）、y2（米），y1、y2与x之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）甲比乙晚出发 s，甲提速前的速度是每秒 米，m＝ ，n＝ ；
（2）当x为何值时，甲追上了乙？
（3）在甲提速后到甲、乙都停止的这段时间内，当甲、乙之间的距离不超过30米时，请你直接写出x的取值范围．
【答案】（1）10；2；90；100
（2）解：设OA段对应的函数关系式为y=kx，
∵A（90，360）在OA上，
∴90k=360，解得k=4，
∴y=4x．
设BC段对应的函数关系式为y=k1x+b，
∵B（30，40）、C（90，400）在BC上，
∴，
解得，
∴y=6x-140，
由乙追上了甲，得4x=6x-140，
解得x=70．
答：当x为70秒时，甲追上了乙．
（3）解：x的取值范围是55≤x≤85或92.5≤x≤100．
【解析】【解答】解：（1）由题意可知，当x=10时，y=0，故甲比乙晚出发10秒；
当x=10时，y=0；当x=30时，y=40；故甲提速前的速度是（m/s）；
∵甲出发一段时间后速度提高为原来的3倍，
∴甲提速后速度为6m/s，
故提速后甲行走所用时间为：（s），
∴m=30+60=90（s）
∴n=400÷（s）；
故答案为10；2；90；100；
（3）由题意可得，
，
解得x＝55或x＝85，
即55≤x≤85时，甲、乙之间的距离不超过30米；
当4x＝400﹣30时，
解得x＝92.5，
即92.5≤x≤100时，甲、乙之间的距离不超过30米；
由上可得，当甲、乙之间的距离不超过30米时，x的取值范围是55≤x≤85或92.5≤x≤100．
【分析】（1）有图像直接可得出甲比乙晚出发的时间，根据甲提速前用的时间，得出甲提速前的速度是每秒2米，从而得出答案；
（2）由题意设OA段对应的函数关系式为y=kx，根据A（90，360）在OA上，得出y=4k，设BC段对应的函数关系式为y=k1x+b，利用待定系数法可求出y=6x-140，由此得出答案；
（3）分两种情况：即55≤x≤85时，即92.5≤x≤100时，分别求解即可得出x的取值范围。
3．如图所示，BE＝CF，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BD＝CD．
求证：
（1）△BDE≌△CDF；
（2）AD是∠BAC的平分线．
【答案】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90°，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）；
（2）证明：由（1）得：△BDE≌△CDF，
∴DE=DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD是∠BAC的平分线．
【解析】【分析】（1）利用HL即可证出Rt△BDE≌Rt△CDF；
（2）由（1）得：△BDE≌△CDF，根据平分线的性质即可得出结论。
4．点P为等边的边AB延长线上的动点，点B关于直线PC的对称点为D，连接AD．
（1）如图1，若，依题意补全图形，并直接写出线段AD的长度；
（2）如图2，线段AD交PC于点E，
①设，求的度数；
②求证：．
【答案】（1）解：补全图形如下，连接DP，BD，
；
．
（2）解：①如下图所示，连接BD与CP交于F，连接DC，
由（1）可知∠ACB=60°，AC=BC，
∵点B关于直线PC的对称点为D，
∴BC=CD=AC，，∠CFD=90°，
∴，
，
∴，
∴，
②如下图，连接BE，在AE上截取GE=CE，
由①得，
∵GE=CE，
∴△GCE为等边三角形，
∴GC=CE，∠GCE=60°，
由（1）得∠ACB=60°，AC=BC，
∴∠ACG=∠BCE=60°-∠BCG，
在△ACG和△BCE中
∵，
∴△ACG≌△BCE（SAS）
∴AG=BE，
∵点B关于直线PC的对称点为D，
∴BE=DE，
∴．
【解析】【解答】（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°，AB=BC=2，
又∵∠BCP+∠BPC=∠ABC=60°，BC=BP，
∴∠BCP=∠BPC=30°，
∵点B关于直线PC的对称点为D，
∴BP=DP，∠BPC=∠DPC=30°，
∴∠BPD=60°，△BPD为等边三角形，
∴∠DBP=60°，DP=BD=BP=AB=2，
∴∠BAD=∠BDA，
又∵∠BAD+∠BDA=∠DBP=60°，
∴∠BAD=∠BDA=30°，
∴∠ADP=90°，
∴．
【分析】（1）先求出∠BCP=∠BPC=30°，再求出∠BAD=∠BDA，最后利用勾股定理计算求解即可；
（2）①先求出 BC=CD=AC， 再求出∠ADB=30°，最后计算求解即可；
②先求出 GC=CE，∠GCE=60°， 再利用全等三角形的判定与性质求解即可。
5．如图，在△ABC中，∠C90°．
（1）用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法：在边BC上求作一点D，使得点D到AB的距离等于DC的长；
（2）在（1）的条件下，若AC＝6，AB＝10，求CD的长．
【答案】（1）解：如图，点D即为所作；
（2）解：作DE⊥AB于E，如上图，
在Rt△ABC中，BC==8，
∵AD为角平分线，
∴DC=DE，
在Rt△ACD和Rt△AED中
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AE=AC=6，
∴EB=AB-AE=10-6=4
设CD=x，则DE=x，则BD=8-x，
在Rt△BED中，x2+42=（8-x）2，解得x=3，
∴CD=3．
【解析】【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）先求出 DC=DE， 再利用HL 证明Rt△ACD≌Rt△AED ，最后利用勾股定理计算求解即可。
6．已知y与2x-1成正比例，当x=2时，y=6．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当y=-6时，求x的值．
【答案】（1）解：设y=k(2x－1)，
当x＝2时，y＝6，
∴3k=6，
解得k=2，
∴y与x之间的函数关系式是y＝4x－2；
（2）解：当y=-6时
4x－2=－6，
解得x＝-1．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出 4x－2=－6， 再解方程即可。
7．如图某船在海上航行，在A处观测到灯塔B在北偏东60°方向上，该船以每小时15海里的速度向东航行到达C处，观测到灯塔B在北偏东30°方向上，继续向东航行到D处，观测到灯塔B在北偏西30°方向上，当该船到达D处时恰与灯塔B相距60海里．
（1）判断BCD的形状；
（2）求该船从A处航行至D处所用的时间．
【答案】（1）解：根据题意得：∠BCD=90°-30°=60°，∠BDC=90°-30°=60°，
∴∠BCD=∠BDC=60°，
∴BC=BD，
∴△BCD是等边三角形；
（2）解：∵△BCD是等边三角形，
∴CD=BD=BC=60海里，
∵∠BAC=90°-60°=30°，
∴∠ABC=∠BCD-∠BAC=30°，
∴∠BAC=∠ABC，
∴AC=BC=60海里，
∴AD=AC+CD=120海里，
∴该船从A处航行至D处所用的时间为：120÷15=8（小时）；
【解析】【分析】（1）根据题意得出∠BCD=∠BDC=60°，即可得出BCD的形状；
（2）由（1）可求得BC、CD的长，易证出△ABC是等腰三角形，继而得出AD的长，则可求出该船从A处航行到D处所用的时间。
8．在△ABC中，AB＞BC，直线l垂直平分AC.
（1）如图1，作∠ABC的平分线交直线l于点D，连接AD，CD.
①补全图形；
②判断∠BAD和∠BCD的数量关系，并证明.
（2）如图2，直线l与△ABC的外角∠ABE的平分线交于点D，连接AD，CD.求证：∠BAD=∠BCD.
【答案】（1）解：①补全图形如图3；
②∠BAD+∠BCD=180°.
证明：过点D作DE⊥AB于点E、DF⊥BC交BC的延长线于点F，如图4，
∵BD平分∠ABC，∴DE=DF，
∵直线l垂直平分AC，∴DA=DC，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL），∴∠BAD=∠DCF，
∵∠DCF+∠BCD=180°，
∴∠BAD+∠BCD=180°；
（2）证明：过点D作DH⊥AB于点H，DG⊥CE于点G，如图5，
∵BD平分∠ABE，∴DH=DG，
∵直线l垂直平分AC，∴DA=DC，
∴Rt△ADH≌Rt△CDG（HL），
∴∠BAD=∠BCD，
【解析】【分析】（1）①由题意画出图形；②过点D作DE⊥AB于点E、DF⊥BC交BC的延长线于点F，由角平分线的性质得出DE=DF，由线段垂直平分线的性质得出DA=DC，由“HL”可证出Rt△ADE≌Rt△CDF，得出∠BAD=∠DCF，即可得出结论；
（2）过点D作DH⊥AB于点H，DG⊥CE于点G，由“HL”可证出Rt△ADH≌Rt△CDG，即可得出∠BAD=∠BCD。
9．如图，，垂足分别为点，，且，，点，，，在同一条直线上，，相交于点．
求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，，
，
，
，
即，
在和中
，
（2）解：由（1）全等可知：
，，
，
【解析】【分析】（1）由“SAS”可证出；
（2）由全等三角形的性质得出，，可得出，即为所求。
10．水果店张阿姨以每千克2元的价格购进某种水果若干千克，销售一部分后，根据市场行情降价销售，销售额y (元)与销售量x (千克)之间的关系如图所示.
（1）情境中的变量有 .
（2）求降价后销售额y (元)与销售量x (千克)之间的函数表达式；
（3）当销售量为多少千克时，张阿姨销售此种水果的利润为150元
【答案】（1）x与y（或销售额，销售量）
（2）解：设降价后，直线AB的解析式为： ，则
把点A、B的坐标代入，得： ，
解得： ，
∴降价后y 与x 之间的函数表达式为： （ ）
（3）解：由张阿姨销售此种水果的利润为150元，则可分为两种情况：
第一种情况：降价前（0≤x≤40），单价为： 元，
∴利润为： ，
解得：x=75＞40（不合题意）；
第二种情况：降价后（x＞40），
利润为： ，
解得：x=180；
∴当销售量为180千克时，张阿姨销售此种水果的利润为150元
【解析】【分析】（1）由变量的定义，即可得到答案；（2）设直线AB为 ，利用待定系数法，即可求出关系式；（3）根据题意，可分为两种情况进行分析：降价前与降价后获利150元，分别计算，即可得到答案.
11．如图，一次函数的图象经过点P（1，3），Q（0，4）．
（1）求该函数的表达式；
（2）该图像怎样平移后经过原点？
【答案】（1）解：设y＝kx＋b（k≠0），
所以 ，
解得
所以函数表达式为y＝－x＋4
（2）解：若平移后经过原点，则平移后函数的解析式为y=-x.
∵y＝－x＋4-4=－x，∴可向下平移4个单位长度（或向上平移－4个单位长度）；
∵y=-( x+4)+4=- x，∴可向左平移4个单位长度；
∵y＝－（x+1）＋4-3，∴可先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度或先向下平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度
【解析】【分析】（1）设y＝kx＋b（k≠0），直接将P（1，3），Q（0，4）代入，即可用待定系数法求得函数解析式；（2）平移后经过原点，则平移之后解析式为y=-x，根据函数y＝－x＋4变形为y=-x的过程，结合函数的平移符合“左加右减，上加下减”即可得出平移方式（答案不唯一）.
12．某电话公司开设了两种手机通讯业务，甲种业务：使用者先缴50元月租费，然后每通话1分钟，再付话费0.4元；乙种业务：不交月租费，每通话1分钟，付话费0.6元（指市话）．若一个月内通话x分钟，两种方式的费用分别为y1（元）和y2（元）．
（1）分别求出y1、y2与x之间的函数关系式．
（2）根据每月可能的通话时间，作为消费者选用哪种缴费方式更实惠．
【答案】（1）解：由题意可知：y1=50+0.4x，y2=0.6x
（2）解：y1=50+0.4x，y2=0.6x， 当y1＞y2即50+0.4x＞0.6x时，x＜250，
当y1=y2即50+0.4x=0.6x时，x=250， 当y1＜y2即50+0.4x＜0.6x时，x＞250， 所以，当通话时间小于250分钟时，选择乙种通信业务更优惠， 当通话时间等于250分钟时，选择两种通信业务一样， 当通话时间大于250分钟时，选择甲种通信业务更优惠．
【解析】【分析】(1)、根据两种费用的缴费方式分别列式计算即可得解；(2)、先写出两种缴费方式的函数关系式，再分情况列出不等式然后求解即可．
13．在同一条道路上，甲车从 地到 地，乙车从 地到 地，乙先出发，图中的折线段表示甲、乙两车之间的距离 （千米）与行驶时间 （小时）的函数关系的图象，根据图象解决以下问题：
（1）乙先出发的时间为 小时，乙车的速度为 千米/时；
（2）求线段 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；
（3）甲、乙两车谁先到终点，先到多少时间？
【答案】（1）0.5；60
（2）乙从 地到 地所需的时间为
∴甲从 地到 地所需的时间为
∴甲的速度为
∴从甲车出发到甲乙两车相遇所需的时间为
∵乙先出发0.5小时，
∴甲乙两车相遇是在乙车出发后1小时
∴
设直线BC的解析式为
将 代入解析式中得
解得
∴直线BC的解析式为
（3）乙从 地到 地所需的时间为 ，而甲是在乙出发1.75小时后到达终点的，所以乙先到终点
所以乙比甲早到
【解析】【解答】（1）根据图象可知图象在点B处出现转折，所以前一段应该是乙提前出发的时间
∴乙先出发0.5小时，在0.5小时内行驶了100-70=30千米
∴乙的速度为
【分析】（1）根据第一段图象可以看出乙先出发0.5小时，然后利用路程÷时间=速度即可求出乙的速度；（2）先求出甲车的速度，进而求出甲乙两车的相遇时间，从而得到C的坐标，然后将B，C代入用待定系数法即可求值线段BC的解析式；（3）计算发现乙到达终点的时间为 ，而从图象中可知甲到达终点的时间为1.75小时，据此问题可解．
14．在 中， ， ，在 内有一点 ，连接 ， ，且 ．
（1）如图1，求出 的大小（用含 的式子表示）
（2）如图2， ， ，判断 的形状并加以证明．
【答案】（1）解： ， ，
，
∴ ，
，
， ，
∴
（2）解： 是等边三角形．理由如下：
连接 ，
， ，
为等边三角形
在 与 中
，
，
，
，
，
在 和 中
，
，
是等边三角形.
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质，得到∠ABC= ，由 ，即可求出 ；（2）连接 ， ，则 为等边三角形，然后得到 ，得到 ， ，从而得到 ，则 ，即可得到 为等边三角形.
15．如图，在 中， ，点 为直线 上一动点，连接 ，以 为直角边作等腰直角三角形 ．
（1）如图1，若当点 在线段 上时（不与点 重合），证明： ；
（2）如图2，当点 在线段 的延长线上时，试猜想 与 的数量关系和位置关系，并说明理由．
【答案】（1）解：∵∠BAC=90°，△ADF是等腰直角三角形，
∴∠CAF+∠CAD=90°，∠BAD+∠ACD=90°，AD=AF，
∴∠CAF=∠BAD，
在△ACF和△ABD中，
AB=AC，∠CAF=∠BAD，AD=AF，
∴△ACF≌△ABD（SAS），
（2）解：CF=BD，CF⊥BD． 理由如下：
∵△ADF是等腰直角三角形，
∴AD=AF，
∵∠CAB=∠DAF=90°，
∴∠CAB+∠CAD=∠DAF+∠CAD，
即∠CAF=∠BAD，
在△ACF和△ABD中，
AB=AC，∠CAF=∠BAD，AD=AF，
∴△ACF≌△ABD（SAS），
∴CF=BD，∠ACF=∠B，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°，
∴CF⊥BD，
∴CF=BD，CF⊥BD．
【解析】【分析】（1）根据已知条件证明∠CAF=∠BAD，即可得到△ACF≌△ABD；（2）根据等腰三角形的性质证明∠CAF=∠BAD，证明△ACF≌△ABD，CF=BD，∠ACF=∠B，即可得结果；
16．在农业技术部门指导下，小明家今年种植的猕猴桃喜获丰收.去年猕猴桃的收入结余12000元，今年猕猴桃的收入比去年增加了20%，支出减少10%，结余今年预计比去年多11400元.请计算：
（1）今年结余 元；
（2）若设去年的收入为 元，支出为 元，则今年的收入为 元，支出为 元（以上两空用含 、 的代数式表示）
（3）列方程组计算小明家今年种植猕猴桃的收入和支出.
【答案】（1）23400
（2）1.2x；0.9y
（3）解：由题意可得，
解得
则 ，
，
答：小明家今年种植猕猴桃的收入和支出分别为50400元、27000元.
【解析】【解答】（1）由题意可得，
今年结余： （元），（2）由题意可得，
今年的收入为： （元），
支出为： （元），
【分析】（1）根据去年猕猴桃的收入结余12000元，结余今年预计比去年多11400元，可以计算出今年的结余；（2）根据今年猕猴桃的收入比去年增加了20%，支出减少10%，可以表示出今年的收入和支出；（3）根据题意可以得到相应的方程组，从而可以求得小明家今年种植猕猴桃的收入和支出.
17．甲、乙两车先后从“深圳书城”出发，沿相同的路线到距书城240km的某市.因路况原因，甲车行驶的路程y（km）与甲车行驶的时间x（h）的函数关系图象为折线O-A-B，乙车行驶的路程y（km）与甲车行驶的时间x（h）的函数关系图象为线段CD.
（1）求线段AB所在直线的函数表达式；
（2）①乙车比甲车晚出发多少小时；
②乙车出发多少小时后追上甲车？
（3）乙车出发多少小时后甲、乙两车相距10千米？
【答案】（1）解：设直线AB的函数表达式为： ，将A（2，100），B（6，240）代入得
解得
∴线段AB所在直线的函数表达式为
（2）解：①设直线CD的函数表达式为： ，将（2，80），D（4，240）代入得
解得
∴直线CD的函数表达式为
∴C点坐标为（1，0）
∴乙车比甲车晚出发1小时
②联立
解得
∵ （h），
∴乙车出发 h后追上甲车.
（3）解：乙车追上甲车之前，即
解得
∴ （h）.
乙车追上甲车之后，当乙车没到终点时，
即
解得
∴ （h）.
乙车追上甲车之后，当乙车到达终点时，甲车距终点10km
把 代入 ，得
所以，乙车出发 小时或 小时或 小时后两车相距10千米.
【解析】【分析】（1）根据待定系数法即可求解；（2）①先求出直线CD的解析式，得到C点坐标，即可判断①；②联立直线CD、直线AB求出交点坐标即可求解；③根据题意分乙车追上甲车之前，乙车追上甲车之后，当乙车没到终点时，乙车追上甲车之后，当乙车到达终点时，甲车距终点10km三种情况分别求解.
18．用一根长度为 的细绳围成一个等腰三角形.
（1）如果所围等腰三角形的腰长是底边长的2倍，则此时的底边长度是多少？
（2）所围成的等腰三角形的腰长不可能等于 ，请简单说明原因.
（3）若所围成的等腰三角形的腰长为 ，请求出 的取值范围.
【答案】（1）解：设底边长度为 ，
∵腰长是底边的2倍，
∴腰长为 ，
∴ ，
解得， ，
∴此时的底边长度是 .
（2）解：原因：假设可以围成腰长为4的等腰三角形，则该三角形的三边长分别为： ， ， ，
∵ ，
∴无法构成三角形，故所围成的等腰三角形的腰长不可能等于 .
（3）解：∵等腰三角形的腰长为 ，
∴等腰三角形的底边长为 ，由 ，得 ，
∴ 的取值范围为： .
【解析】【分析】（1）设底边长为xcm，则腰长为2xcm，根据周长公式列一元一次方程，解方程即可求得底边的长；
（2）由题意直接利用三角形三边关系进行检验即可说明原因；
（3）假设所围成的等腰三角形的腰长为 ，由题意直接利用三角形三边关系列不等式组进而即可求出 的取值范围.
19．一次函数 的图象过点 .
（1）求 的值；
（2）判断点 是否在该函数图象上，并说明理由.
【答案】（1）解：把x=-1，y=7代入y=kx+4中，可得：7=-k+4，
解得：k=-3
（2）解：把x=a代入y=-3x+4中，可得：y=-3a+4，
所以点（a，-3a+4）在该函数图象上
【解析】【分析】（1）将已知点坐标代入一次函数 中即可求出k的值即可；
（2）把点（a，-3a+4）的横坐标代入（1）所求的解析式即可判断.
20．如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC＝∠ADE＝90°，BC与DE相交于点F，连结CD、BE.
（1）请你找出图中其他的全等三角形；
（2）试证明CF＝EF.
【答案】（1）解：图中其它的全等三角形为：①△ACD≌△AEB，②△DCF≌△BEF；
①∵Rt△ABC≌Rt△ADE，
∴AC＝AE，AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，
∵∠BAC﹣∠BAD＝∠DAE﹣∠BAD，
∴∠DAC＝∠BAE，
在△ADC和△ABE中，
∵AC＝AE，AD＝AB，∠DAC＝∠BAE，
∴△ADC≌△ABE（SAS）；
②∵Rt△ABC≌Rt△ADE，△ADC≌△ABE，
∴∠ACB＝∠AED，∠ACD＝∠AEB，DC=BE，
∴∠DCF＝∠BEF，
在△DCF和△BEF中，
∵∠CFD＝∠EFB，∠DCF＝∠BEF，DC=BE，
∴△CDF≌△EBF（AAS）.
（2）证明：∵Rt△ABC≌Rt△ADE，
∴AC＝AE，AD＝AB，∠CAB＝∠EAD，
∴∠CAB﹣∠DAB＝∠EAD﹣∠DAB.
即∠CAD＝∠EAB.
∴△CAD≌△EAB（SAS），
∵Rt△ABC≌Rt△ADE，△ADC≌△ABE，
∴∠ACB＝∠AED，∠ACD＝∠AEB，DC=BE，
∴∠DCF＝∠BEF，
在△DCF和△BEF中，
∵∠CFD＝∠EFB，∠DCF＝∠BEF，DC=BE，
∴△CDF≌△EBF（AAS）
∴CF＝EF.
【解析】【分析】（1）图中除了已知的Rt△ABC≌Rt△ADE，还有①△ACD与△AEB，②△DCF与△BEF，根据全等三角形的性质可得AC＝AE，AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，进一步即可根据SAS判断①中两个三角形应是全等关系，然后根据这两对全等三角形的性质即可判断②中两个三角形的关系，问题从而解决；
（2）根据全等三角形的性质得出 AC＝AE，AB＝AD，∠BAC＝∠DAE， 进而根据等式的性质得出 ∠DAC＝∠BAE， 然后利用SAS可证△CAD≌△EAB，然后根据全等三角形的性质可得∠ACB＝∠AED，∠ACD＝∠AEB，CD=BE，再利用AAS即可证明△CDF≌△EBF，进一步即可推出结论.
21．已知 中， 为 的中点.
（1）如图1，若 分别是 上的点，且 .求证： 为等腰直角三角形；
（2）若 分别为 延长线上的点，如图2，仍有 ，其他条件不变，那么 是否仍为等腰直角三角形？请证明你的结论.
【答案】（1）证明：连接
， ， 为 中点
∴AD⊥BD，∠B=∠C=45°，∠BAD=∠CAD=45°
∴∠B=∠BAD=∠CAD=45°，∴BD=AD
在△BDE和△ADF中，
，
，
即：
为等腰直角三角形.
（2）解：仍为等腰直角三角形.
证明：连接
∵∠ABC=∠BAD=45°，
∴∠EBD=180°-45°=135°，∠FAD=90°+45°=135°
∴∠EBD=∠FAD.
在△BDE和△ADF中，
，
，
即：
为等腰直角三角形.
【解析】【分析】（1）连接 ，根据等腰直角三角形的性质证得BD=AD，再根据SAS可以判断出△BDE≌△ADF，根据全等三角形的性质得出DE=DF，∠BDE=∠ADF，进而得出∠EDF=90°即可；（2）连接 ，由三角形的一个外角等于不相邻两个内角和性质，证得∠EBD=∠FAD，再根据SAS可以判断出△BDE≌△ADF，根据全等三角形的性质得出DE=DF，∠BDE=∠ADF，进而得出∠EDF=90°即可.
22．如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=45°，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，BE与AD相交于F.
（1）求证：BF=AC；
（2）若CD=1，求AF的长.
【答案】（1）证明：AD⊥BD，∠BAD=45°，
∴AD=BD，
∵∠BFD=∠AFE，∠AFE+∠CAD=90°，∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠BFD=∠ACD，
在△BDF和△ACD中，
，
∴△BDF≌△ACD（AAS），
∴BF=AC；
（2）解：连接CF，
∵△BDF≌△ADC，
∴DF=DC，
∴△DFC是等腰直角三角形
∵CD=1，∴CF=
∵AB=BC，BE⊥AC，
∴AE=EC，BE是AC的垂直平分线.
∴AF=CF，
∴AF= .
【解析】【分析】（1）根据题意易得AD=BD，∠BFD=∠ACD，进而得到△BDF≌△ACD，问题得证；
（2）连接CF，由（1）易得DF=DC，然后利用垂直平分线的性质定理可求解.
23．如图在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y1＝ （x＞0）的图象与一次函数y2＝kx－k的图象的交点为A（m，2）．
（1）求一次函数的解析式；
（2）观察图像，直接写出使y1≥y2的x的取值范围．
（3）设一次函数y＝kx－k的图象与y轴交于点B，若点P是x轴上一点，且满足△PAB的面积是4，请写出点P的坐标．
【答案】（1）解：将A（m，2）代入 （x＞0）得，m＝2，则A点坐标为A（2，2），将A（2，2）代入y＝kx－k得，2k－k＝2，解得k＝2，则一次函数解析式为y＝2x－2
（2）解：当0＜x≤2时， y1≥y2 ；
（3）解：∵一次函数y＝2x－2与x轴的交点为C（1，0），与y轴的交点为B（0，－2），S△ABP＝S△ACP＋S△BPC，
∴ ×2CP＋ ×2CP＝4，解得CP＝2，则P点坐标为（3，0），（－1，0）
【解析】【分析】（1）首先把A点的坐标代入反比例函数的解析式求出A点的坐标，再把A点的坐标代入一次函数的解析式求出k的值，从而得出一次函数的解析式；
（2）利用图像求不等式的解集，就是弄清谁大谁小，谁大就看谁的图像在上方的时候的自变量的取值范围；
（3）求出一次函数y＝2x－2与x轴的交点C的坐标，与y轴的交点B的坐标，利用S△ABP＝S△ACP＋S△BPC，列出方程求出CP的长，从而得到P点的坐标。
24．钓鱼岛是我国渤海海峡上的一颗明珠，渔产丰富．一天某渔船离开港口前往该海域捕鱼．捕捞一段时间后，发现一外国舰艇进入我国水域向钓鱼岛驶来，渔船向渔政部门报告，并立即返航．渔政船接到报告后，立即从该港口出发赶往钓鱼岛．下图是渔船及渔政船与港口的距离s和渔船离开港口的时间t之间的函数图象．（假设渔船与渔政船沿同一航线航行）
（1）直接写出渔船离港口的距离s和它离开港口的时间t的函数关系式．
（2）求渔船和渔政船相遇时，两船与钓鱼岛的距离．
（3）在渔政船驶往钓鱼岛的过程中，求渔船从港口出发经过多长时间与渔政船相距30海里？
【答案】（1）解：当0≤t≤5时，s=30；当5＜t≤8时，s=150；当8＜t≤13时，s=－30t+390
（2）解：渔政船离港口的距离与渔船离开港口的时间的函数关系式设为s=kt+b
解得： k=45 b=－360 ∴s=45t－360
解得 t=10 s=90
渔船离钓鱼岛距离为 150－90=60（海里）
（3）解：S渔=－30t+390 S渔政=45t－360分两种情况：遇之前，S渔－S渔政=30 －30t+390－（45t－360）=30 解得t= （或9.6）
相遇之后，S渔政－S渔=30
45t－360－（－30t+390）=30 解得 t= （或10.4）∴当渔船离开港口9.6小时或10.4小时时，两船相距30海里．
【解析】【分析】（1）根据函数图象利用待定系数法求得函数的解析式；
（2）用待定系数法求得渔政船离港口的距离与渔船离开港口的时间的函数关系式，求两个函数解析式组成的方程组即可；
（3）根据渔船与渔政船相距30海里分两种情况：遇之前，S渔－S渔政=30 ，相遇之后，S渔政－S渔=30 ，即可列出方程求解。
25．已知直线l1：y=﹣ 与直线l2：y=kx﹣ 交于x轴上的同一个点A，直线l1与y轴交于点B，直线l2与y轴的交点为C．
（1）求k的值，并作出直线l2图象；
（2）若点P是线段AB上的点且△ACP的面积为15，求点P的坐标；
（3）若点M、N分别是x轴上、线段AC上的动点（点M不与点O重合），是否存在点M、N，使得△ANM≌△AOC？若存在，请求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵直线l1：y=﹣ x+3与x轴交于点A，
∴令y=0时，x=4，即A（4，0），
将A（4，0）代入直线l2：y=kx﹣ ，得k= ，
直线l2图象如图1所示；
（2）解：设P（a，b），
根据题意得：S△ACP=S△ABC﹣S△PBC= ×（3+ ）×4﹣ ×（3+ ）a=15，
解得：a= ，
将P（ ，b）代入直线l1得：b= ×（﹣ ）+3=﹣ +3= ，
∴点P的坐标（ ， ）
（3）解：如图2，作ND⊥x轴于D，
∵AC= = ，△ANM≌△AOC，
∴AM=AC= ，AN=AO=4，MN=OC= ，∠ANM=∠AOC=90°，
∵S△AMN= AM ND= AN MN，
∴ND= = = ，
将N的纵坐标y=﹣ 代入直线l2得：x= ，
∴当N的纵坐标为（ ，﹣ ）时，△ANM≌△AOC
【解析】【分析】（1）对于直线l1，令y=0求出x的值，确定出A坐标，代入直线l2求出k的值，作出直线l2图象即可；
（2）设P（a，b），由S△ACP=S△ABC-S△BPC，求出a的值，进而求出b的值，确定出P坐标即可；
（3）如图2，作ND⊥x轴于D，利用勾股定理求出AC的长，由△ANM≌△AOC，得到对应边相等，表示出AM，AN，MN，确定出△AMN为直角三角形，利用面积法求出ND的长，确定出N纵坐标，进而求出横坐标，确定出N坐标即可．
26．如图，已知A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3）．
（1）求点C到x轴的距离；
（2）分别求△ABC的三边长；
（3）点P在y轴上，当△ABP的面积为6时，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）解：∵C（﹣1，﹣3），
∴点C到x轴的距离为：3
（2）解：∵A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3），
∴AB=4﹣（﹣2）=6，
AC= = ，BC= =
（3）解：∵点P在y轴上，当△ABP的面积为6时，
∴P到AB的距离为：6÷（ ×6）=2，
故点P的坐标为：（0，2），（0，﹣2）．
【解析】【分析】（1）直接利用C点坐标得出点C到x轴的距离即点C的纵坐标的绝对值。
（2）利用A，C，B的坐标利用勾股定理分别得出各边长即可。
（3）利用△ABP的面积为6，得出P到AB的距离进而得出答案。
27．二轮自行车的后轮磨损比前轮要大，当轮胎的磨损度（%）达到100时，轮胎就报废了，当两个轮的中的一个报废后，自行车就不可以继续骑行了．过去的资料表明：把甲、乙两个同质、同型号的新轮胎分别安装在一个自行车的前、后轮上后，甲、乙轮胎的磨损度（%）y1、y2与自行车的骑行路程x （百万米）都成正比例关系，如图（1）所示：
（1）线段OB表示的是 （填“甲”或“乙”），它的表达式是 （不必写出自变量的取值范围）；
（2）求直线OA的表达式，根据过去的资料，这辆自行车最多可骑行多少百万米？
（3）爱动脑筋的小聪，想了一个增大自行车骑行路程的方案：如图（2），当自行车骑行a百万米后，我们可以交换自行车的前、后轮胎，使得甲、乙两个轮胎在b百万米处，同时报废，请你确定方案中a、b的值．
【答案】（1）甲；y=20x
（2）解：设直线OA的表达式为y=mx，
根据题意得：1.5m=50，
解得：m= ，
则OA的解析式是y= x．
当y=100时，100= x，
解得：x=3．
答：这辆自行车最多可骑行3百万米
（3）解：根据题意，得
，
解这个方程组，得
【解析】【解答】解：（1）线段OB表示的是甲，设OB的解析式是y=kx，
则1.5k=30，
解得：k=20，
则OB的表达式是y=20x．
故答案是：甲，y=20x；
【分析】（1）根据图象可得OB表示的轮胎比OA表示的轮胎磨损慢，据此即可确定是甲或乙，利用待定系数法即可求得函数解析式；（2）利用待定系数法求得OA的函数解析式，然后求得当y=100时对应的x的值即可；（3）根据两个轮胎的磨损度都是100，即可列出方程组求解．
28．如图，是一个圆柱形的饼干盒，在盒子外侧下底面的点A处有甲、乙两只蚂蚁，它们都想要吃到上底面外侧B′处的食物：甲蚂蚁沿A→A′→B′的折线爬行，乙蚂蚁沿圆柱的侧面爬行：若∠AOB=∠A′O′B′=90°（AA′、BB′都与圆柱的中轴线OO′平行），圆柱的底面半径是12cm，高为1cm，则：
（1）A′B′= cm，甲蚂蚁要吃到食物需爬行的路程长l1= cm；
（2）乙蚂蚁要吃到食物需爬行的最短路程长l2= cm（π取3）；
（3）若两只蚂蚁同时出发，且爬行速度相同，在乙蚂蚁采取最佳策略的前提下，哪只蚂蚁先到达食物处？请你通过计算或合理的估算说明理由．（参考数据：π取3， ≈1.4）
【答案】（1）12 ；12 +1
（2）5
（3）解：∵l1=12 +1≈12×1.2+1=15.4
∴ =237.16．
∵ = =324，
∴ ．
∴l1＜l2．
∴甲蚂蚁先到达食物处
【解析】【解答】解：（1）∵∠A′O′B′=90°，O′A′=O′B′，
∴A′B′=A′B′= A′O′=12 ．
∴l1=A′B′+AA′=12 +1．
故答案为：12 ；12 +1．
2） = =6π=18．
将圆柱体的侧面展开得到如图1所示矩形AA′B′B．
∵ =18，
∴A′B′=18．
在Rt△ABB′中，AB′= = =5 ．
故答案为：5 ．
【分析】（1）由∠A′O′B′=90°，可知△B′A′O′为等腰直角三角形，故此A′B′= A′O′，然后根据l1=A′B′+AA′求解即可；（2）先求得弧A′B′的长，然后根据勾股定理求得矩形AA′B′B的对角线的长度即可；（3）将 ≈1.4代入从而可求得l1、l2的近似值，从而可作出判断．
29．某专营商场销售一种品牌电脑，每台电脑的进货价是0.4万元．图中的直线l1表示该品牌电脑一天的销售收入y1（万元）与销售量x（台）的关系，已知商场每天的房租、水电、工资等固定支出为3万元．
（1）直线l1对应的函数表达式是 ，每台电脑的销售价是 万元；
（2）写出商场一天的总成本y2（万元）与销售量x（台）之间的函数表达式： ；
（3）在图的直角坐标系中画出第（2）小题的图象（标上l2）；
（4）通过计算说明：每天销售量达到多少台时，商场可以盈利．
【答案】（1）y=0.8x；0.8
（2）y2=0.4x+3
（3）解：如图所示，
（4）解：商场每天的利润W=y﹣y2=0.8x﹣（0.4x+3）=0.4x﹣3，
当W＞0，即0.4x﹣3＞0时商场开始盈利，解得：x＞7.5．
答：每天销售量达到8台时，商场可以盈利
【解析】【解答】解：（1）设y=kx，将（5，4）代入，得k=0.8，故y=0.8x，
每台电脑的售价为： =0.8（万元）；（2）根据题意，商场每天的总成本y2=0.4x+3．
【分析】（1）由函数图象知，y与x成正比例函数关系且过（5，4），待定系数法可求得直线l1对应的函数表达式，再根据每台电脑售价=每天销售收入÷销售量可得；（2）根据：每天总成本=电脑的总成本+每天的固定支出，可列函数关系式；（3）根据（2）中函数关系式，确定两点（0，3），（5，5），作射线即可；（4）根据：商场每天利润=电脑的销售收入﹣每天的总成本，列出函数关系式，根据题意得到不等式、解不等式即可．
30．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的AB边在x轴上，且AB=3，AD=2，经过点C的直线y=x﹣2与x轴、y轴分别交于点E，F．
（1）求矩形ABCD的顶点A，B，C，D的坐标；
（2）求证：△OEF≌△BEC；
（3）P为直线y=x﹣2上一点，若S△POE=5，求点P的坐标．
【答案】（1）解：∵AD=BC=2，
故可设点C的坐标为（m，2），
又∵点C在直线y=x﹣2上，
∴2=m﹣2，
解得：m=4，即点C的坐标为（4，2），
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=3，AD=BC=2，
故可得点A，B，D的坐标分别为（1，0）、（4，0）、（1，2）
（2）解：直线y=x﹣2与x轴、y轴坐标分别为E （2，0）、F （0，﹣2），
∴OF=OE=BC=BE=2，
在Rt△OEF和Rt△BEC中，
故可得△OEF≌△BEC
（3）解：设点P的坐标为（xp，yp），则S△POE= ×OE×|yp|= ×2×|yp|=5，
解得：yp=±5，
①当yp=5时，xp=7；②当yp=﹣5时，xp=﹣3，
故点P的坐标为（7，5）或（﹣3，﹣5）
【解析】【分析】（1）根据题意可得点C的纵坐标为2，代入函数解析式可得出点C的坐标，结合矩形的性质可得出A、B、D的坐标；（2）先求出OE、OF的长度，从而利用SAS证明△OEF≌△BEC即可．（3）设点P的坐标为（xp，yp），则可表示出S△POE= ×OE×|yp|，解出xp的值讨论即可．
31．在边长为1的小正方形组成的正方形网格中建立如图片所示的平面直角坐标系，已知格点三角形ABC（三角形的三个顶点都在小正方形上）
（1）画出△ABC关于直线l：x=﹣1的对称三角形△A1B1C1；并写出A1、B1、C1的坐标．
（2）在直线x=﹣l上找一点D，使BD+CD最小，满足条件的D点为 ．
提示：直线x=﹣l是过点（﹣1，0）且垂直于x轴的直线．
【答案】（1）解：所作图形如图所示：
A1（3，1），B1（0，0），C1（1，3）
（2）（﹣1，1）
【解析】【解答】解：（1）所作图形如图所示：
A1（3，1），B1（0，0），C1（1，3）；（2）作出点B关于x=﹣1对称的点B1，
连接CB1，与x=﹣1的交点即为点D，
此时BD+CD最小，
点D坐标为（﹣1，1）．
故答案为：（﹣1，1）．
【分析】（1）分别作出点A、B、C关于直线l：x=﹣1的对称的点，然后顺次连接，并写出A1、B1、C1的坐标；（2）作出点B关于x=﹣1对称的点B1，连接CB1，与x=﹣1的交点即为点D，此时BD+CD最小，写出点D的坐标．
32．小明和小亮在学习探索三角形全等时，碰到如下一题：如图1，若AC=AD，BC=BD，则△ACB与△ADB有怎样的关系？
（1）请你帮他们解答，并说明理由．
（2）细心的小明在解答的过程中，发现如果在AB上任取一点E，连接CE、DE，则有CE=DE，你知道为什么吗？（如图2）
（3）小亮在小明说出理由后，提出如果在AB的延长线上任取一点P，也有第2题类似的结论．请你帮他画出图形，并写出结论，不要求说明理由．（如图3）
【答案】（1）解：△ACB≌△ADB，理由如下：
如图1，∵在△ACB与△ADB中，
，
∴△ACB≌△ADB（SSS）
（2）解：如图2，∵由（1）知，△ACB≌△ADB，则∠CAE=∠DAE．
∴在△CAE与△DAE中，
，
∴△CAE≌△DAE（SAS），
∴CE=DE
（3）解：如图3，PC=PD．
理由同（2），△APC≌△APD（SAS），则PC=PD
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定定理SSS证得△ACB≌△ADB；（2）由（1）中的全等三角形（△ACB≌△ADB）的对应角相等证得∠CAE=∠DAE，则由全等三角形的判定定理SAS证得△CAE≌△DAE，则对应边CE=DE；（3）同（2），利用全等三角形的对应边相等证得结论．
33．已知直线y=kx+b经过点A（5，0），B（1，4）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若直线y=2x﹣4与直线AB相交于点C，求点C的坐标；
（3）根据图象，写出关于x的不等式2x﹣4＞kx+b的解集．
【答案】（1）解：∵直线y=kx+b经过点A（5，0），B（1，4），
∴ ，
解得 ，
∴直线AB的解析式为：y=﹣x+5
（2）解：∵若直线y=2x﹣4与直线AB相交于点C，
∴ ．
解得 ，
∴点C（3，2）
（3）解：根据图象可得x＞3
【解析】【分析】（1）利用待定系数法把点A（5，0），B（1，4）代入y=kx+b可得关于k、b得方程组，再解方程组即可；（2）联立两个函数解析式，再解方程组即可；（3）根据C点坐标可直接得到答案．
34．如图，在中，，DE是AC的垂直平分线．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若的周长是26，，求的周长．
【答案】（1）证明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠B=∠ACB==72°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=DC，
∴∠ACD=∠A=36°，
∵∠CDB是△ADC的外角，
∴∠CDB=∠ACD+∠A=72°，
∴∠B=∠CDB，
∴CB=CD，
∴△BCD是等腰三角形；
（2）解：∵AD=CD=CB=10，△BCD的周长是26，
∴AB=26-10=16，
∵AB=AC，
∴AC=16，
∴△ACD的周长=AC+AD+CD=26+10+10=36．
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质求出∠B=∠ACB=72° ，由垂直平分线的性质可得AD=DC，利用等边对等角可得∠ACD=∠A=36°，由三角形外角的性质可得∠CDB=∠ACD+∠A=72°，即得∠B=∠CDB，根据等腰三角形的判定即证；
（2）由（1）知AD=CD=CB=10，可求出AB=16，即得AB=AC=16， 利用△ACD的周长=AC+AD+CD即可求解.
35．如图①，直线与x轴、y轴分别交于，B两点，过点B的另一直线交x轴的负半轴于点C，且．
（1）求点C的坐标；
（2）求直线的表达式；
（3）直线交于点E，交于点F，交x轴于点D，是否存在这样的直线，使？若存在，求出a的值，若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：直线与x轴、y轴分别交于，B两点，
∴b=6，
∴直线AB的解析式是：y=-x+6，
∴B（0，6），
∴OB=6，
∵OB：OC=3：1，
∴OC=2，
∴C（-2，0）
（2）解：设BC的解析式是y=kx+b，
∴ 解得：
直线BC的解析式是：y=3x+6；
（3）解：存在．理由如下：如图，
∵S△BDF=S△BDE，
∴只需DF=DE，即D为EF中点，
∵EF为
令 则 即
点E在直线BA上，
设
∵点F在直线BC上，
设
∵D为EF中点，
∴
解得：
把的坐标代入可得：
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入求出b的值，再求出点B的坐标，再结合，可得OC=2，即可得到点C的坐标；
（2）利用待定系数法求出直线BC的解析式即可；
（3） 设 再根据点D为EF中点， 即可得到求出可得再将点E的坐标代入求出a的值即可。
36．已知一次函数．
（1）为何值时，图象经过原点？
（2）将该一次函数向上平移5个单位长度后得到的函数图象经过点，求平移后的函数的解析式．
【答案】（1）解：一次函数的图象经过原点，
∴，
解得；
（2）解：一次函数向上平移5个单位长度后得到的函数解析式为，
该图象经过点，
，
解得，
平移后的函数的解析式为．
【解析】【分析】（1）根据图象经过原点可得，再求出k的值即可；
（2）根据函数解析式平移的特征：左加右减，上加下减求解即可。
37．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为线段CB一动点，连接AE，过点A作AF⊥AE且AF＝AE，过点F作FD⊥AC于点D，如图①所示.
（1）求证：FD＝AC.
（2）若点E为BC中点，连BF交AC于点G，如图②，已知CG＝1，求BC的长.
【答案】（1）证明：∵AF⊥AE，
∴∠EAF=90°，即∠FAD+∠CAE=90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠AEC+∠CAE=90°，
∴∠AEC=∠FAD，
∵FD⊥AC，
∴∠FAD=90°，
在△ADF和△ACE中，
∠AEC=∠FAD，∠FAD=∠ACB，AF＝AE，
∴△ADF≌△ACE，
∴FD＝AC.
（2）解：由（1）可知，FD=AC，
∵AC=BC，
∴FD=BC，
在△FDG和△BCG中，
∠FGD=∠BGC，∠FDG=∠GCB，FD=BC，
∴△FDG≌△BCG，
∴CG=DG，则CD=2CG=2，
∵△ADF≌△ACE，
∴AD=CE，
∵AC=BC，点E为BC中点，
∴点D为AC中点，则AC=2CD=4，
∴BC=AC=4.
【解析】【分析】（1）根据垂直的概念可得∠EAF=∠ACB＝90°，由同角的余角相等可得∠AEC=∠FAD，证明△ADF≌△ACE，据此可得结论；
（2）由（1）可知：FD=AC，由已知条件可知AC=BC，则FD=BC，证明△FDG≌△BCG，得到CG=DG，则CD=2CG=2，由全等三角形的性质可得AD=CE，易得点D为AC的中点，则AC=2CD=4，据此解答.
38．如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C的坐标为，连接BC，过点О作于点D，点Q为线段BC上一个动点.
（1）求BC，OD的长；
（2）在线段BO上是否存在一点P，使得与全等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点C关于OQ的对称点恰好落在的边上，请直接写出点Q的坐标.
【答案】（1）解：∵令，，得：，
∴，
又∵，
∴，
∴.
令，，得，
∴，
∵，
∴.
（2）解：存在，理由如下：
由（1）可知，
，
，
，
，
，，
，
即，
所以与全等分两种情况：
①当时，，
因为，
所以，即；
②当时，，
（3）点Q坐标为或
【解析】【解答】解：（3）设C点关于OQ的对称点为，
①当落在上时，作QE⊥CO于点E，QF⊥BO于点F，
∴∠COQ＝∠OQ＝45°，
又∵QE⊥CO，QF⊥BO，
∴QE＝QF，
∵S△OBC＝×OB×OC＝×OC×QE＋×OB×QF，
∴6×8＝（6＋8）×QE，
∴QE＝QF＝，
∴点Q的坐标为.
②点C关于OQ的对称点落在AB上时，
∴OC＝O＝OA，CQ＝Q，∠OCQ＝∠OQ，
∴∠AO＝∠OA，
∴∠OCQ＝∠OQ＝∠AO＝∠OA，
∴∠CBA＝∠QB，
∴BQ＝Q，
∴CQ＝BQ＝Q，
∴点Q是BC的中点，
∴点Q（ 3，4），
综上所述：点Q坐标为或
【分析】（1）令x=0，求出y的值，可得点B的坐标，得到OB的值，由点C的坐标可得OC的值，根据勾股定理求出BC，令y=0，求出x的值，得到点A的坐标，根据勾股定理求出AB，然后根据等面积法就可求出OD；
（2）由（1）可知OA=OC=6，BO=8，AB=BC=10，证明△BOC≌△BOA，得到∠CBO=∠ABO，推出∠QBP′=∠DOA，①当△BPQ≌△ODA时，利用勾股定理可得PQ、DA，由OP=BO-BP求出OP，据此可得点P的坐标；②当△BPQ≌△OAD时，BP=OA=6，由OP=BO-BP求出OP，据此可得点P的坐标；
（3）设C点关于OQ的对称点为C′，①当C′落在OB上时，作QE⊥CO于点E，QF⊥BO于点F，则∠COQ＝∠C′OQ＝45°，易得QE＝QF，根据三角形的面积公式求出QE，进而可得点Q的坐标；②点C关于OQ的对称点C′落在AB上时，有OC＝OC′＝OA，CQ＝C′Q，∠OCQ＝∠OC′Q，进而推出CQ＝BQ＝C′Q，然后根据点Q是BC的中点就可求出点Q的坐标.
39．在一次机器猫抓机器鼠的展演测试中，鼠先从起点出发，1min后，猫从同一起点出发去追鼠，抓住鼠并稍作停留后，猫抓着鼠沿原路返回.鼠，猫距起点的距离与时间之间的关系如图所示.
（1）在猫追鼠的过程中，猫的平均速度与鼠的平均速度的差是 m/min；
（2）求直线AB的函数表达式；
（3）求猫返回过程中的平均速度.
【答案】（1）1
（2）解：设AB的解析式为：，
∵图象经过和
把点A和点B坐标代入函数解析式得：
，解得：
∴AB的解析式为：；
（3）解：令，则，
∴，
∴“猫”返回至起点所用的时间为14.5－7＝7.5（min）.
：“猫”猫返回过程中的平均速度为：30÷7.5＝4（m/min）
答：“猫”猫返回过程中的平均速度4m/min.
【解析】【解答】解：（1）由图像知：
“鼠”6min跑了30m，∴“鼠”的速度为：30÷6＝5（m/min），
“猫”5min跑了30m，∴“猫”的速度为：30÷（6-1）＝6（m/min），
∴“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是6-5=1（m/min）.
故答案为：1；
【分析】（1）由图象知：“鼠”6min跑了30m，“猫”5min跑了30m，利用路程÷时间=速度分别求出鼠、猫的速度，然后相减即可；
（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，将（7，30）、（10，18）代入求出k、b的值，进而可得对应的函数表达式；
（3）令y=0，求出x的值，然后求出“猫”返回至起点所用的时间，再根据路程÷时间=速度进行求解.
40．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b分别交x轴，y轴于点A（6，0），点B（0，-8），过点D（0，16）作平行于x轴的直线CD，交AB于点C，点E（0，m）在线段OD上，延长CE交x轴于点F，点G在x轴的正半轴上，且AG＝AF.
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）当点E恰好是OD的中点时，求△ACG的面积；
（3）是否存在m，使得△FCG是直角三角形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：将点A、B的坐标代入函数表达式：y＝kx+b，
，
解得：，
∴直线的表达式为：yx-8；
（2）解：当y＝16时，x-8＝16，
解得x＝18，
∴点C的坐标为（18，16），
∴CD＝18，
∵E是OD中点，
∴DE＝OE，
∵∠CDE＝∠FOE，∠DEC＝∠OEF，
∴△EDC≌△EOF（ASA），
∴OF＝CD＝18，
∴AG＝AF＝OF+OA＝24，
过点C作CH⊥x轴于点H，
∴S△ACG24×16＝192；
（3）解：①当∠FCG＝90°时，
AG＝AF，则AC是中线，则AF＝AC20，
故点F（-14，0），
由点C、F的坐标可得：直线CF的表达式为：yx+7，
故点E（0，7），则m＝7；
②当∠CGF＝90°时，则点G（18，0），
则AF＝AG＝12，
故点F（-6，0），
同理直线CF的表达式为：yx+4，
故m＝4；
综上可得，m＝7或4.
【解析】【分析】（1）将A、B的坐标代入y=kx+b中求出k、b的值，据此可得直线AB的函数表达式；
（2）令y=16，求出x的值，可得点C的坐标，求出CD的值，根据中点的概念可得DE＝OE，证明△EDC≌△EOF，得到OF＝CD＝18，则AG＝AF＝OF+OA＝24，过点C作CH⊥x轴于点H，然后根据三角形的面积公式进行计算；
（3）①当∠FCG＝90°时，AG＝AF，则AC是中线，利用勾股定理可得AF＝AC=20，表示出点F的坐标，求出直线CF的解析式，令x=0，求出y的值，得到点E的坐标，进而可得m的值；②当∠CGF＝90°时，则点G（18，0），AF＝AG＝12，同理求解即可.
41．实际情境：甲、乙两人从相距4千米的两地同时、同向出发，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，小狗随甲一起出发，每小时跑12千米，小狗遇到乙的时候它就往甲这边跑，遇到甲时又往乙这边跑，遇到乙的时候再往甲这边跑…就这样一直跑下去.
数学研究：如图，折线、分别表示甲、小狗在行进过程中，离乙的路程y（km）与甲行进时间x（h）之间的部分函数图象.
（1）求线段AB对应的函数表达式；
（2）求点E的坐标；
（3）小狗从出发到它折返后第一次与甲相遇的过程中，直接写出x为何值时，它离乙的路程与它离甲的路程相等？
【答案】（1）解：设线段AB对应的函数表达式为，
由图象得，当时，，当时，，代入得：，
解得：，
∴线段AB对应的函数表达式为（0≤x≤2）；
（2）解：设线段DE对应的函数表达式为，
由题意得，，
将代入，得，
∴线段DE对应的函数表达式为，
∵点E是线段AB和线段DE的交点，故E满足：
，解得：，
∴；
（3）或
【解析】【解答】解：（3）设线段AD对应的函数表达式为，
将A（0，4）、代入，得：，
解得：，
∴设AD对应的函数表达式为，
由题意，分两种情况：
当y=2y3时，由－2x+4=2(－8x+4)得：；
当y=2y2时，由－2x+4=2(16x－8)得：，
故当或时，它离乙的路程与它离甲的路程相等.
【分析】（1）结合点A，B的坐标，利用待定系数法可求出直线AB的函数解析式；
（2）观察函数图象可知k=16，设直线DE的函数解析式为y=16x+b，将点D的坐标代入，可求出b的值，即可得到直线DE的函数解析式，将两函数解析式联立方程组，解方程组，可得到点E的坐标；
（3）利用点A，D的坐标，可求出直线AD的函数解析式，再分情况讨论：当y=2y3时；当y=2y2时；分别建立关于x的方程，解方程求出x的值.
42．如图，已知为正比例函数的图象上一点，轴，垂足为点B.
（1）求m的值；
（2）点P从O出发，以每秒个单位的速度，沿射线方向运动.设运动时间为.
①过点P作交直线于点Q，若，求t的值；
②在点P的运动过程中，是否存在这样的t，使得为等腰三角形？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：∵为正比例函数的图象上一点，
∴当时，，
的值为；
（2）解：∵，
∴OA=，
①若，则，
当点P在线段上时，则，即，解得，
当点P在线段的延长线上时，则，即，解得；
②当为等腰三角形时，分三种情况讨论：
若，则点P在的垂直平分线上，此时，即，求得，
若，则，即，求得，
若，过点B作BE⊥OA，如图所示，
∵，
∴BE===4.8，
∴OE=，
∵OE=PE，
∴，即，求得，
综上可得：t的值为或或.
【解析】【分析】（1）将点M的坐标的正比例函数解析式，可求出m的值.
（2）利用点A的坐标，根据勾股定理求出OA的长；①利用全等三角形的性质，可知AP=AB=6，分情况讨论：当点P在线段OA上时，可求出OP的长，同时可得到关于t的方程，解方程求出t的值；当点P在线段OA的延长线上时，根据OP=OA+AP，可求出OP的长，同时可得到关于t的方程，解方程求出t的值；②利用△POB是等腰三角形，分情况讨论：当PO=PB时，可知点P在线段OB的垂直平分线上，可求出OP的长，即可得到关于t的方程，解方程求出t的值；当OP=OB时，可知OP=8，可得到关于t的方程，解方程求出t的值；当BP=PO时，过点B作BE⊥OA，利用三角形的面积公式可求出BE的长，利用勾股定理求出OE的长，根据OE=PE建立关于t的方程，解方程求出t的值；综上所述可得到t的值.
43．郑州到西安的路程为480千米，由于西安疫情紧张，郑州物资中心对西安进行支援.甲乙两辆物资车分别从郑州和西安出发匀速行驶相向而行.甲车到西安后立即返回，已知乙车的速度为每小时，且到郑州后停止行驶，进行消毒.它们离各自出发地的距离与行驶时间之间的关系如下图所示.
（1） ， .
（2）请你求出甲车离出发地郑州的距离与行驶时间之间的函数关系式.
（3）求出点P的坐标，并说明此点的实际意义.
（4）直接写出甲车出发多长时间两车相距40千米.
【答案】（1）8；6.5
（2）解：当甲车从郑州去西安时，
∵甲车的速度为120千米/小时，
∴甲车与郑州的距离，
当甲车从西安返回郑州时，
∵甲车的速度为120千米/小时，
∴甲车与郑州的距离，
∴；
（3）解：根据函数图象可知P点代表的实际意义是：在P点时，甲乙两车距自己的出发地的距离相同，
∵此时甲车处在返程途中，
∴，
解得，
∴，
∴点P的坐标为（5，360），
∴点P的实际意义是：甲车在行驶5小时后，甲乙两车分别距自己的出发地的距离为360千米；
（4）当甲车出发2.4小时或2.8小时或小时两车相距40千米
【解析】【解答】解：（1）∵甲乙两辆物资车分别从郑州和西安出发匀速行驶相向而行.甲车到西安后立即返回，乙车到底郑州后立即停止，
∴直线的函数图象是乙车的，折线的函数图象是甲车的，
由函数图象可知，甲车4小时从郑州行驶到西安走了480千米，
∴甲车的速度=480÷4=120千米/小时，
∴甲车从西安返回郑州需要的时间=480÷120=4小时，
∴m=4+4=8；
∵乙车的速度为80千米/小时，
∴乙车从西安到达郑州需要的时间=480÷80=6小时，
∵由函数图象可知乙车是在甲车出发0.5小时后出发，
∴n=0.5+6=6.5，
故答案为：8，6.5；
（4）当甲车在去西安的途中，甲乙两车相遇前，
由题意得：，
解得；
当甲车在去西安的途中，甲乙两车相遇后，
由题意得：，
解得；
当甲车在返回郑州的途中，乙未到郑州时，
由题意得：
解得（不符合题意，舍去），
当甲车在返回郑州的途中，乙已经到郑州时，
由题意得：
解得；
综上所述，当甲车出发2.4小时或2.8小时或小时两车相距40千米.
【分析】（1）根据两车行驶的路线可判断出直线的函数图象是乙车的，折线的函数图象是甲车的，求出甲车到西安后立即返回的总时间即为m值；求出乙车从西安到达郑州需要的时间，再加上0.5即得n值；（2）分求出甲车从郑州去西安时及当甲车从西安返回郑州时的y与x的关系即可；
（3）根据函数图象可知P点代表的实际意义是：在P点时，甲乙两车距自己的出发地的距离相同，而此时甲车处在返程途中， 根据“两车距自己的出发地的距离相同”列出方程求出x值，再代入y=960-120x求出y值即得点P坐标；
（4）分四种情况：①当甲车在去西安的途中，甲乙两车相遇前，②当甲车在去西安的途中，甲乙两车相遇后，③当甲车在返回郑州的途中，乙未到郑州时，④当甲车在返回郑州的途中，乙已经到郑州时，据此分别列出方程并求解即可.
44．如图1，AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AD、BE相交于点M.
（1）求证：BE=AD；
（2）直接用含α的式子表示∠AMB的度数为
（3）当α=90°时，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如图2，判断△CPQ的形状，并加以证明.
【答案】（1）证明：如图1，
∵∠ACB=∠DCE=α，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD；
（2）α
（3）解：△CPQ为等腰直角三角形
证明：如图2，由（1）可得，BE=AD，
∵AD，BE的中点分别为点P、Q，
∴AP=BQ，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAP=∠CBQ，
在△ACP和△BCQ中，
，
∴△ACP≌△BCQ（SAS），
∴CP=CQ，且∠ACP=∠BCQ，
又∵∠ACP+∠PCB=90°，
∴∠BCQ+∠PCB=90°，
∴∠PCQ=90°，
∴△CPQ为等腰直角三角形.
【解析】【解答】解：（2）如图1，∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
∵△ABC中，∠BAC+∠ABC=180°α，
∴∠BAM+∠ABM=180°α，
∴△ABM中，∠AMB=180°-（180°-α）=α；
故答案为：α；
【分析】（1）根据SAS证明△ACD≌△BCE，可得BE=AD；
（2）由△ACD≌△BCE可得∠CAD=∠CBE，在△ABC中，利用三角形的内角和可得∠BAC+∠ABC=180°α，即得∠BAM+∠ABM=180°α，△ABM中，利用三角形的内角和即可求解；
（3）△CPQ为等腰直角三角形 ，理由：利用SAS证△ACP≌△BCQ，得CP=CQ，且∠ACP=∠BCQ，由∠ACP+∠PCB=90°， 可得∠PCQ=∠BCQ+∠PCB=90°， 据此即可求解.
45．某工厂投资组建了日废水处理量为20吨的废水处理车间，已知该车间处理废水时每天需固定成本30元，并且每处理一吨废水还需费用8元.若该车间在无法完成当天工业废水的处理任务时，需将超出20吨的部分交给第三方企业处理。如图所示为该厂日废水处理总费用y(元)与该厂日产生的工业废水x(吨)之间的函数关系图象.
（1）求y关于x的函数关系式：
（2）设该厂日废水处理的平均费用为a元/吨，
①当a=10时，在图1中画出直线y=ax的图象，结合图象判断直线y=ax与日废水处理总费用y的函数图象交点个数，求交点横坐标x的值并说明它的实际意义；
②当a=t时，参照上一小题的解法，求出该厂这日产生工业废水量x的值.
【答案】（1）解：当 时，
当 时， .
由题可设 ，把 ， 代入
解得
当 时，一次函数解析式为： (直接写出亦可)
同理可求，当 时，一火函数解析式为：
关于 的函数关系式为
（2）解： 交点有2个
①当 时，
，
解得 (符合尉意).
当 时， ，得 (符合愿意).
x的实际意义。
当该厂日产生的工业废水为15和25吨时，乌水外理的日平均费用都为10元/吨.
②当 时， ，则 当 时， .
Ⅰ.如下图，当 时，
解得，
Ⅱ.如下图，
当 时，
解得，
解得， .
Ⅲ.如下图，当 时，此时， .
Ⅳ.当 时， 不存在.
综上所述，当t≥12时， .当 时， 或 .
当 时， ；
当 时， 不存在.
【解析】【分析】(1)将函数图象分为：0≤x≤20，x＞20两部分，均为一次函数图象；用待定系数分别求出这两部分的函数关系即可；
（2）①图象如解析所示，交点个数为2，交点横坐标的值为15、25，实际意义是该厂日产生的工业废水为15和25吨时，这日每吨废水处理总费用与日废水处理平均费用相同；
②当a=t时，y=tx，当t=20，y=190时，t=9.5；将y=tx分别代入（1）中分段函数的解析式，求出此时x的值，并在0＜t≤9.5，9.5＜t＜12，t≥12范围进行验证即可求解.
46．在等腰△ABC中，AB=AC，点D是AC上一动点，点E在BD的延长线上，且AB=AE，AF平分∠CAE交DE于点F，连接FC．
（1）如图1，求证：∠ABE=∠ACF；
（2）如图2，当∠ABC=60°时，在BE上取点M，使BM=EF，连接AM．求证：△AFM是等边三角形；
（3）如图3，当∠ABC=45°，且AEBC时，求证：BD=2EF．
【答案】（1）证明：∵AF平分∠CAE，
∴∠EAF=∠CAF，
∵AB=AC，AB=AE，
∴AE=AC，
在△ACF和△AEF中，
∵AE=AC，∠EAF=∠CAF，AF=AF，
∴△ACF≌△AEF（SAS），
∴∠E=∠ACF，
∵AB=AE，
∴∠E=∠ABE，
∴∠ABE=∠ACF；
（2）解：如图，在BF上截取BM=CF，连接AM，
∵△ACF≌△AEF，
∴EF=CF，∠E=∠ACF=∠ABM，
在△ABM和△ACF中，
∵AB=AC，∠ABM=∠ACF，BM=CF，
∴△ABM≌△ACF（SAS），
∴AM=AF，∠BAM=∠CAF，
∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠MAF=∠MAC+∠CAF=∠MAC+∠BAM=∠BAC=60°，
∵AM=AF，
∴△AMF为等边三角形；
（3）解：如图3，延长BA、CF交于N，
∵AE∥BC，
∴∠E=∠EBC，
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠E，
∴∠ABF=∠CBF，
∵∠ABC=45°，
∴∠ABF=∠CBF=22.5°，∠ACB=45°，
∴∠BAC=180°-45°-45°=90°，
∴∠ACF=∠ABF=22.5°，
∴∠BFC=180°-22.5°-45°-22.5°=90°，
∴∠BFN=∠BFC=90°，
在△BFN和△BFC中，
∵∠NBF=∠CBF，BF=BF，∠BFN=∠BFC，
∴△BFN≌△BFC（ASA），
∴CF=FN，即CN=2CF=2EF，
∵∠BAC=90°，
∴∠NAC=∠BAD=90°，
在△BAD和△CAN中，
∵∠ABD=∠ACN ，AB=AC，∠BAD=∠CAN，
∴△BAD≌△CAN（ASA），
∴BD=CN，
∴BD=2EF．
【解析】【分析】（1）先求出 AE=AC， 再利用SAS证明 △ACF≌△AEF ，最后求解即可；
（2）利用全等三角形的判定与性质求解即可；
（3）先求出 △BFN≌△BFC ，再求出 △BAD≌△CAN ，最后证明即可。
47．已知， 中， ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，D是 外一点连接 、 ，且 ，作 的平分线交 于点E，若 ，求 的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接 交 于点F，若 ， ，求 的长．
【答案】（1）证明：∵△ABC
∴∠A+∠B+∠C=180°
∵
∴∠A+∠B+∠C=∠A+2∠B
∴∠B=∠C
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴△ABC是等边三角形
∴∠BAC=∠ABC=∠C=60°
设∠ABD=x，则∠D=∠ABD=x，
∵四边形ACBD
∴∠C+∠DBC+∠D+∠DAC=360°，即60°+60°+x+x+∠DAC=360°
∴∠DAC=240°-2x
∵作 的平分线交 于点E
∴∠EAD= ∠DAC=120°-x
∵△AED
∴∠D+∠AED+∠EAD=180°，即∠x+∠AED+120°-x =180°，解得∠AED=60°；
（3）解：作AM⊥BD
∵AB=AD
∴MD=MB
∵AC=AD，AE平分∠CAD
∴AE⊥CD
∵由（2）得∠AED=60°，设ME=x
∴AE=2x，DE=2EF，BM=MF=x+3
∴DE=MD+ME=2x+3
∴EF=
∴AE=EF+AF= +3
∴ +3=2x，解得：x=
∴DE=2x+3=10．
【解析】【分析】（1）先求出 ∠A+∠B+∠C=180° ，再求出 ∠B=∠C ，最后证明即可；
（2）先求出 60°+60°+x+x+∠DAC=360° ，再求出 ∠EAD= ∠DAC=120°-x ，最后计算求解即可；
（3）先求出 DE=MD+ME=2x+3 ，再列方程计算求解即可。
48．如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE、GC．
（1）试猜想AE与GC有怎样的关系，并证明你的结论．
（2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和CG．你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．
【答案】（1）AE⊥GC，理由如下：
如图1，延长GC交AE于点H，
在正方形ABCD与正方形DEFG中，AD＝DC，∠ADE＝∠CDG＝90°，DE＝DG，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴∠1＝∠2；
∵∠2＋∠3＝90°，
∴∠1＋∠3＝90°，
∴∠AHG＝180°－（∠1＋∠3）＝180°－90°＝90°，
∴AE⊥GC．
（2）成立，理由如下：
如图2，延长AE和GC相交于点H，
在正方形ABCD和正方形DEFG中，
AD＝DC，DE＝DG，∠ADC＝∠DCB＝∠B＝∠BAD＝∠EDG＝90°，
∴∠1＝∠2＝90°－∠3；
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴∠5＝∠4；
又∵∠5＋∠6＝90°，∠4＋∠7＝180°－∠DCE＝180°－90°＝90°，
∴∠6＝∠7，
又∵∠6＋∠AEB＝90°，∠AEB＝∠CEH，
∴∠CEH＋∠7＝90°，
∴∠EHC＝90°，
∴AE⊥GC．
【解析】【分析】（1）观察图形，AE、CG的位置关系可能是垂直，下面着手证明．由于四边形ABCD、DEFG都是正方形，易证得△ADE≌△CDG，则∠1＝∠2，由于∠2、∠3互余，所以∠1、∠3互余，由此可得AE⊥GC．（2）题（1）的结论仍然成立，参照（1）题的解题方法，可证△ADE≌△CDG，得∠5＝∠4，由于∠4、∠7互余，而∠5、∠6互余，那么∠6＝∠7；由图知∠AEB＝∠CEH＝90°－∠6，即∠7＋∠CEH＝90°，由此得证．
49．猜想与证明：小强想证明下面的问题：“有两个角（图中的 和 ）相等的三角形是等腰三角形”．但他不小心将图弄脏了，只能看见图中的 和边 ．
（1）请问：他能够把图恢复成原来的样子吗？若能，请你帮他写出至少两种以上恢复的方法并在备用图上恢复原来的样子．
（2）你能够证明这样的三角形是等腰三角形吗？（至少用两种方法证明）
【答案】（1）方法1：量出 ∠C的大小；作∠B ＝∠C；则∠B的一条边和∠C的一条边的延长线交于点A．如下图所示：△ABC即为所求
方法2：作边BC的垂直平分线与∠C的另一边的延长线交于点A，连接AB，如下图所示：△ABC即为所求．
方法3：如图，将长方形纸片对折使点B和点C重合，找到∠ C的另一边的延长线与折痕的交点A，连接AB，如下图所示：△ABC即为所求
（2）证法1：作∠A的平分线AD，交BC与点D
∴∠BAD=∠CAD
在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD
∴AB=AC，
即△ABC为等腰三角形；
证法2：过A作AD⊥BC于D，
∴∠ADB=∠ADC=90°
在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD
∴AB=AC，
即△ABC为等腰三角形．
【解析】【分析】（1）方法1：量出 ∠C的大小；作∠B ＝∠C；则∠B的一条边和∠C的一条边的延长线交于点A；方法2：作边BC的垂直平分线与∠C的另一边的延长线交于点A，连接AB即可；方法3：将长方形纸片对折使点B和点C重合，找到∠ C的另一边的延长线与折痕的交点A，连接AB即可；（2）证法1：作∠A的平分线AD，交BC与点D，利用AAS即可证出△ABD≌△ACD，从而得出AB=AC，根据等腰三角形的定义即可得出结论；证法2：过A作AD⊥BC于D，利用AAS即可证出△ABD≌△ACD，从而得出AB=AC，根据等腰三角形的定义即可得出结论．
50．已知如图①，BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线，BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，∠BAC＝α.
（1）当α＝40°时，∠BPC＝ °，∠BQC＝ °；
（2）当α＝ °时，BM∥CN；
（3）如图②，当α＝120°时，BM、CN所在直线交于点O，求∠BOC的度数；
（4）在α＞60°的条件下，直接写出∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之间的数量关系： .
【答案】（1）70；125
（2）60
（3）解：∵α＝120°，
∴∠MBC+∠NCB＝ （∠DBC+∠BCE）＝ （180°+α）＝225°，
∴∠BOC＝225°﹣180°＝45°
（4）∠BPC+∠BQC+∠BOC＝180°
【解析】【解答】（1）解：∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠BCE＝∠A+∠ABC，
∴∠DBC+∠BCE＝180°+∠A＝220°，
∵BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，
∴∠CBP+∠BCP＝ （∠DBC+∠BCE）＝110°，
∴∠BPC＝180°﹣110°＝70°，
∵BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线，
∴∠QBC＝ ∠PBC，∠QCB＝ ∠PCB，
∴∠QBC+∠QCB＝55°，
∴∠BQC＝180°﹣55°＝125°
（ 2 ）解：∵BM∥CN，
∴∠MBC+∠NCB＝180°，
∵BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，∠BAC＝α，
∴ （∠DBC+∠BCE）＝180°，
即 （180°+α）＝180°，
解得α＝60°
（ 4 ）解：∵α＞60°，
∠BPC＝90°﹣ α
∠BQC＝135°﹣ α
∠BOC＝ α﹣45°.
∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之间的数量关系：∠BPC+∠BQC+∠BOC＝（90°﹣ α）+（135°﹣ α）+（ α﹣45°）＝180°.
故答案为：70，125；60；∠BPC+∠BQC+∠BOC＝180°
【分析】（1）根据三角形的外角性质分别表示出∠DBC与∠BCE，再根据角平分线的性质可求得∠CBP+∠BCP，最后根据三角形内角和定理即可求解；根据角平分线的定义得出∠QBC＝ ∠PBC，∠QCB＝ ∠PCB，求出∠QBC+∠QCB的度数，根据三角形内角和定理求出即可；（2）根据平行线的性质得到∠MBC+∠NCB＝180°，依此求解即可；（3）根据题意得到∠MBC+∠NCB，再根据三角形外角的性质和三角形内角和定理得到∠BOC的度数；（4）分别用∠A表示出∠BPC、∠BQC、∠BOC，再相加即可求解.
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