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【50道热点题型】浙教版数学九年级上册期末·综合题专练
1．已知：如图，在 中， 是 上一点， ， 的周长是 cm.
（1）求 的周长；
（2）求 与 的面积比.
2．已知点为二次函数图象的顶点，直线分别交轴正半轴，轴于点A，B．
（1）判断顶点是否在直线上，并说明理由；
（2）如图，若二次函数图象也经过点A，B，且，根据图象，直接写出的取值范围．
3．一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，另有一个可以自由旋转的圆盘，被分成面积相等的3个扇形区域，分别标有数字1，2，3(如图所示).小颖和小亮想通过游戏来决定谁代表学校参加歌咏比赛，游戏规则为：一人从口袋中摸出一个小球，另一人转动圆盘，如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于4，那么小颖去；否则小亮去.
（1）用树状图法或列表法求出小颖参加比赛的概率；
（2）你认为游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请修改该游戏规则，使游戏公平.
4．在甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1，2；乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字1，，3；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，确定点M坐标为．
（1）用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标；
（2）求点在函数的图象上的概率．
5．如图，四边形ABCD是平行四边形，DE交BC于点F，交AB的延长线于点E， 且∠EDB＝∠C.
（1）求证：△ADE∽△DBE；
（2）若DC＝10cm，BE＝18cm，求DE的长.
6．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OC在x轴的正半轴上，边OA在y轴的正半轴上，OA＝3，AB＝4，反比例函数（k＞0）的图象与矩形两边AB，BC分别交于点D，点E，且BD＝2AD．
（1）求点D的坐标和k的值；
（2）连接OD，OE，DE，求△DOE的面积；
（3）若点P是线段OC上的一个动点，是否存在点P，使∠APE＝90°？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
7．两个可以自由转动的转盘A、B都被分成3等份的扇形区域，并在每一小区域内标上数字（如图所示），指针的位置固定．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，将指针所指两个区域内的数字相乘（若指针落在分割线上，则需重新转动转盘）．
（1）试用列表或画树状图的方法，求数字之积为3的倍数的概率；
（2）小亮和小芸想用这两个转盘做游戏，他们规定：数字之积为3的倍数时，小亮得2分；数字之积为5的倍数时，小芸得3分．你认为这个游戏对双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请修改得分规定，使游戏对双方公平．
8．李老师参加“新星杯”教学大赛，在课堂教学的练习环节中，设计了一个学生选题活动，即从4道题目中任选两道作答．李老师用课件在同一页面展示了A，B，C，D四张美丽的图片，其中每张图片链接一道练习题目，李老师找甲、乙两名同学随机各选取一张图片，并要求全班同学作答选取图片所链接的题目．
（1）甲同学选取A图片链接题目的概率是 ；
（2）求全班同学作答图片A和B所链接题目的概率．（请用列表法或画树状图法求解）
9．已知二次函数．
（1）若此二次函数图象的对称轴为，求它的解析式；
（2）当时，y随x增大而减小，求k的取值范围．
10．如图，边长为1的小正方形组成了网格，点A、B均是格点，请你仅用无刻度的直尺画出满足下列条件的点P，并在图中标出点P.
（1）图①中，点P在线段AB上且AP＝ AB；
（2）图②中，点P在线段AB上且AP＝ AB.
11．如图，已知 .
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的长.
12．已知二次函数 .
（1）
求它的顶点坐标和对称轴；
（2）
求它与坐标轴的交点坐标.
13．如图所示，在平行四边形ABCD中，∠A=90°，AB=6cm，BC=12cm，点E由点A出发沿AB方向向点B匀速移动，速度为1cm/s，点F由点B出发沿BC方向向点C匀速移动，速度为2cm/s，如果动点E，F同时从A，B两点出发，连接EF，若设运动时间为t s，解答下列问题：
（1）当t为多少时，△BEF为等腰直角三角形；
（2）是否存在某一时刻t，使△EFB∽△FDC？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
14．如图，在直角坐标系中，点A（0， 8），点B是x轴负半轴上的动点，以OA为直径作圆交AB于点D.
（1）求证：∠AOD = ∠ABO.
（2）当 ∠ABO = 30°时，求点D到y轴的距离.
（3）求 的最大值.
15．已知抛物线 y = x2
+bx + c 经过点（-1， 0）， （3， 0）.
（1）求该抛物线的对称轴.
（2）自变量x在什么范围内时，y随x的增大而减小？
16．如图，E是正方形 中 边上一点，以点A为中心把 顺时针旋转 .
（1）在图中画出旋转后的图形；
（2）若旋转后E点的对应点记为M，点F在 上，且 ，连接 .
①求证： ；
②若正方形的边长为6， ，求 .
17．某文化衫的进价为每件 元，当售价为每件 元时，每个月可售出 件.根据巿场行情，现决定涨价销售，调查反映，每涨价 元，每月要少卖出 件，设每件商品涨价x元，每个月的销量为y件.
（1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（2）当每件商品的售价定为多少元时，每个月获得利润最大 最大月利润为多少
18．如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A(0，4)，B(1，0)，C(5，0)，其对称轴与x轴相交于点M.
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小 若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
19．我区某校组织了一次“诗词大会”，张老师为了选拔本班学生参加，对本班全体学生诗词的掌握情况进行了调查，并将调查结果分为了三类：A：好，B：中，C：差．请根据图中信息，解答下列问题：
（1）全班学生共有 人；
（2）扇形统计图中，B类占的百分比为 %，C类占的百分比为 %；
（3）将上面的条形统计图补充完整；
（4）小明被选中参加了比赛．比赛中有一道必答题是：从下表所示的九宫格中选取七个字组成一句诗，其答案为“便引诗情到碧霄”．小明回答该问题时，对第四个字是选“情”还是选“青”，第七个字是选“霄”还是选“宵”，都难以抉择，若分别随机选择，请用列表或画树状图的方法求小明回答正确的概率．
情 到 碧
霄 诗 青
引 宵 便
20．已知 中， ，D、E是 边上的点，将 绕点A旋转，得到 ，连结 ．
（1）如图1，当 ， 时，求 的度数；
（2）如图2，当 时，求证： ．
（3）如图3，在（2）的结论下，当 ， 与 满足怎样的数量关系时，△ 是等腰直角三角形？（直接写出结论，不必说明理由）
21．某商场秋季计划购进一批进价为每件40元的T恤进行销售．
（1）根据销售经验，应季销售时，若每件T恤的售价为60元，可售出400件；若每件T恤的售价每提高1元，销售量相应减少10件．
假设每件T恤的售价提高x元，那么销售每件T恤所获得的利润是 元，销售量是 件(用含x的代数式表示)；
（2）设应季销售利润为y元，请写y与x的函数关系式；并求出应季销售利润为8000元时每件T恤的售价．
（3）根据销售经验，过季处理时，若每件T恤的售价定为30元亏本销售，可售出50件；若每件T恤的售价每降低1元，销售量相应增加5条，
①若剩余100件T恤需要处理，经过降价处理后还是无法销售的只能积压在仓库，损失本金；若使亏损金额最小，每件T恤的售价应是多少元？
②若过季需要处理的T恤共m件，且100≤m≤300，过季亏损金额最小是（
）元(用含m的代数式表示)．（注：抛物线 顶点是 ）
22．有A、B、C1、C2四张同样规格的硬纸片，它们的背面完全一样，正面如图1所示．将它们背面朝上洗匀后，随机抽取并拼图．
（1）填空：随机抽出一张，正面图形正好是中心对称图形的概率是 ．
（2）随机抽出两张(不放回)，其图形可拼成如图2的四种图案之一．请你用画树状图或列表的方法，分析拼成哪种图案的概率最大？
23．岚山区地处黄海之滨，渔业资源丰富，海产品深受消费者喜爱．某海产品批发超市对进货价为40元/千克的某品牌小黄鱼的销售情况进行统计，发现每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）存在一次函数关系，如图所示．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）若不考虑其它因素，则销售总利润=每千克的利润×总销量，那么当销售价格定为多少时，该品牌小黄鱼每天的销售利润最大？最大利润是多少？
24．如图， 是 的直径， ， 是 的两条切线，切点分别为B，C．连接 交 于点D，交 于点E，连接AC．
（1）求证： ；
（2）若 的半径为5， ，求 的长．
25．如图，∠MAN=90°，B，C分别为射线 ， 上的两个动点，将线段 绕点A逆时针旋转 到 ，连接 交 于点E．
（1）当∠ACB=30°时，依题意补全图形，并直接写出 的值；
（2）写出一个∠ACB的度数，使得 ，并证明．
26．抛物线 过点（0，-5）和（2，1）.
（1）求b,c的值；
（2）当x为何值时，y有最大值？
27．网络销售是一种重要的销售方式。某农贸公司新开设了一家网店，销售当地农产品，其中一种当地特产在网上试销售，其成本为每千克2元．公司在试销售期间，调查发现，每天销售量y(kg)与销售单价x(元)满足如图所示的函数关系(其中2（1）若5（2）销售单价x为多少元时，每天的销售利润最大 最大利润是多少元
28．如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示，小亮的身高如图中线段FG所示，路灯灯泡P在线段DE上．
（1）请你确定灯泡P所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子．
（2）如果小明的身高AB＝1.8m，他的影子长AC＝1.5m，且他到路灯的距离AD＝2m，求灯泡P距地面的高度．
29．如图，AB为⊙O的直径，射线AD交⊙O于点F，点C为劣弧 的中点，CE为⊙O的切线交AD于点E，连接AC．
（1）求证：CE⊥AD；
（2）若∠BAC＝30°，AB＝4，求阴影部分的面积．
30．某超市经销一种商品，成本价为50元/千克．规定每千克售价不低于成本价，且不高于85元，经市场调查发现，该种商品每天销售量 (千克)与销售单价 (元/千克)满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价 (元/千克) 55 65 75
销售量 (千克) 110 90 70
（1）求 (千克)与 (元/千克)之间的函数表达式并注明自变量的取值范围；
（2）为保证某天获得10000元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少元
（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大 最大利润是多少
31．某市为了解八年级学生数学学习状况，以2.5%的比例随机抽取了八年级部分学生进行了数学测试（满分100分），测试后将成绩绘制成两幅不完整的统计图表，如下图表所示，测试成绩中没有满分和低于20分的成绩．请根据统计图表中的信息解决下列问题：
八年级数学频数、频率分布表
分数段 频数 频率
2 0.008
8 0.032
85 0.340
0.260
48 0.192
5 0.020
2 0.008
（1）直接写出表中 ， 的值，并补全频数分布直方图；
（2）若把成绩在 范围内的学生视为数学“特长生”，估计该市八年级学生中有多少名数学“特长生”？
（3）在“ ”和“ ”分数段的4名同学中，男女各有2名，现从中随机选取两人进行座谈，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一男一女的概率．
32．如图，在每个小正方形边长都是1的方格纸中，点O、A、B都在格点上．
（1）画出△AOB绕点O顺时针旋转90°后的△A1OB1；
（2）求点B旋转到点B1时所经过的路径长．
33．已知直线x＝1是抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴．
（1）若抛物线顶点在x轴上，且过（0，1），求抛物线的解析式；
（2）若抛物线不过第一象限，求 的取值范围；
（3）若抛物线过点（1，1），当﹣1≤x≤0时，抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，求a的值．
34．如果三角形的两个内角 与 满足 =90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．
（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，求∠B的度数；
（2）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5，若AD是∠BAC的平分线，不难证明△ABD是“准互余三角形”．试问在边BC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由．
35．如图，足球场上守门员在O处开出一记手跑高球，球从地面1.4米的A处抛出（A在y轴上），运动员甲在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面3.2米高，球落地点为C点．
（1）求足球开始抛出到第一次落地时，该抛物线的解析式．
（2）足球第一次落地点C距守门员多少米？
36．如图，二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点，其中 的坐标为 ，与 轴交于点 ，并经过点 ， 是它的顶点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）用配方法将二次函数的解析式化为 的形式，并写出顶点 的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点 ，使 的值最小？若存在，求出 点坐标；若不存在，请说明理由．
37．手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60 cm，菱形的面积S(单位：cm2)随其中一条对角线的长x(单位：cm)的变化而变化.
（1）请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；
（2）当x是多少时，菱形风筝面积S最大？最大面积是多少？
38．正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．
（1）求证：EF＝CF+AE；
（2）当AE＝2时，求EF的长．
39．综合与实践
某农作物的生长率p与温度r（℃）有如下关系∶如图，当10≤t≤25时可近似用函数P= t- 刻画∶当25≤t≤37时可近似用函数p=- （t-h）2+0.4刻画．
（1）求点h的值，
（2）按照经验，该作物提前上市的天数m（天）与生长率p之间满足已学过的函数关系，
部分数据如下；
生长率p 0.2 0.25 0.3 0.35
提前上市的天数m (天) 0 5 10 15
求：①m关于p的函数表达式；
②用含t的代数式表示m；
③天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．大棚恒温 20℃时每天的成本为 100元，计划该作物 30天后上市，现根据市场调查；每提前一天上市售出（一次售完），销售额可增加 600 元．因此决定给大棚继续加温，但加温导致成本增加，估测加温到20≤t≤25 时的成本为200元/天，但若欲加温到2540．如图，在 中， 于点 ．将 绕点 按顺时针旋转一定角度得到 ，点 的对应点 恰好落在 边上．
（1）若 ，求 的度数；
（2）若 ，求证： ．
41．如图1，二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）的图象交坐标轴于点A，B（0，﹣2），点P为x轴上一动点.
（1）求该二次函数的解析式；
（2）过点P作PQ⊥x轴，分别交线段AB、抛物线于点Q，C，连接AC.若OP＝1，求△ACQ的面积；
（3）如图2，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PD.当点D在抛物线上时，求点D的坐标.
42．已知点在函数的图像上．
（1）若，求n的值；
（2）抛物线与x轴交于两点M，N（M在N的左边），与y轴交于点G，记抛物线的顶点为E．
①m为何值时，点E到x轴的距离为；
②若，平面内是否存在点F，使得以点M、N、G、F为顶点的四边形是平行四边形，若不存在请说明理由，若存在，请直接写出点F的坐标（说明理由）．
43．如图，已知ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，D是边AB上一点（与点A、B不重合），DE平分∠CDB，交边BC于点E，EF⊥CD，垂足为点F．
（1）当DE⊥BC时，求DE的长；
（2）当CEF与ABC相似时，求∠CDE的正切值；
（3）如果BDE的面积是DEF面积的2倍，求这时AD的长．
44．在平行四边形中，对角线与边垂直，，四边形的周长是，点是在延长线上的一点，点是在射线上的一点，．
（1）如图1，如果点与点重合，求的余切值；
（2）如图2，点在边上的一点．设，，求关于的函数关系式并写出它的定义域；
（3）如果，求的面积．
45．已知开口向上的抛物线与y轴的交点为A，顶点为B，点A与点C关于对称轴对称，直线AB与OC交于点D．
（1）求点C的坐标，并用含a的代数式表示点B的坐标；
（2）当时，求抛物线的表达式；
（3）当时，求OD的长．
46．如图1所示，将一个长为6宽为4的长方形ABEF，裁成一个边长为4的正方形ABCD和一个长为4、宽为2的长方形CEFD如图2．现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至，旋转角为a．
（1）当点恰好落在EF边上时，求旋转角a的值；
（2）如图3，G为BC中点，且0°＜a＜90°，求证：；
（3）小军是一个爱动手研究数学问题的孩子，他发现在小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，与存在两次全等，请你帮助小军直接写出当与全等时，旋转角a的值．
47．已知：如图，直线MN，垂足为D，，点B是射线DM上的一个动点，，边AC交射线DN于点C，的平分线分别与AD、AC相交于点E、F．
（1）求证：；
（2）如果，，求y关于x的函数关系式；
（3）联结DF，如果以点D、E、F为顶点的三角形与相似，求AE的长．
48．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，直线BC的解析式为y＝kx＋12（k≠0），AC⊥BC，线段OA的长是方程x2﹣15x﹣16＝0的根．请解答下列问题：
（1）求点A、点B的坐标．
（2）若直线l经过点A与线段BC交于点D，且tan∠CAD＝，双曲线y＝（m≠0）的一个分支经过点D，求m的值．
（3）在第一象限内，直线CB下方是否存在点P，使以C、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
49．已知， 在 中， ， 点 E 是射线 上的动点， 点 O 是边 上的动点，且 ， 射线 交射线 于点 D．
（1）如图 1， 如果 ， 求 的值；
（2）联结， 如果 是以为腰的等腰三角形，求线段的长；
（3）当点E在边上时， 联结， 求线段的长．
50．如图1，⊙O的直径AB为4，C为⊙O上一个定点，∠ABC=30°，动点P从A点出发沿半圆弧 向B点运动（点P与点C在直径AB的异侧)，当P点到达B点时运动停止，在运动过程中，过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点.
（1）求证：△ABC∽△PDC
（2）如图2，当点P到达B点时，求CD的长；
（3）设CD的长为 .在点P的运动过程中， 的取值范围为（请直接写出案）.
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【50道热点题型】浙教版数学九年级上册期末·综合题专练
1．已知：如图，在 中， 是 上一点， ， 的周长是 cm.
（1）求 的周长；
（2）求 与 的面积比.
【答案】（1）解：∵ ， ∴ ∽
∴
∵ 的周长是 cm
∴ 的周长是
（2）解：∵ ∽
∴
∴
【解析】【分析】（1）根据两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似，得到ΔBCD∽ΔACB，根据相似三角形周长的比等于相似比，求出ΔABC的周长；（2）根据相似三角形面积的比等于相似比的平方， ΔBCD与ΔABD的面积比.
2．已知点为二次函数图象的顶点，直线分别交轴正半轴，轴于点A，B．
（1）判断顶点是否在直线上，并说明理由；
（2）如图，若二次函数图象也经过点A，B，且，根据图象，直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：点在直线上，
∵，
∴点坐标为，
把代入上得，
∴点在直线上；
（2）解：把代入，可得，
∴点B坐标为，
把代入，
可得，
解得，
∴，
把代入，
可得，
解得，，
∵点A在x轴正半轴上，
∴点A坐标为，
∴或时，．
【解析】【分析】（1）把代入上求出y的值，进而即可判断顶点是否在直线上；
（2）根据题意求出点B的坐标，然后把点B的坐标代入，中，求出m的值，进而得到其解析式，进而根据二次函数与坐标轴的交点特征即可求出点A的坐标.
3．一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，另有一个可以自由旋转的圆盘，被分成面积相等的3个扇形区域，分别标有数字1，2，3(如图所示).小颖和小亮想通过游戏来决定谁代表学校参加歌咏比赛，游戏规则为：一人从口袋中摸出一个小球，另一人转动圆盘，如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于4，那么小颖去；否则小亮去.
（1）用树状图法或列表法求出小颖参加比赛的概率；
（2）你认为游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请修改该游戏规则，使游戏公平.
【答案】（1）解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，所指数字之和小于4的有3种情况，
∴P（和小于4）= = ，
∴小颖参加比赛的概率为： ；
（2）解：不公平，
∵P（小颖）= ，
P（小亮）= .
∴P（和小于4）≠P（和大于等于4），
∴游戏不公平；
可改为：若两个数字之和小于5，则小颖去参赛；否则，小亮去参赛.
【解析】【分析】（1）首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两指针所指数字之和小于4的情况，则可求得小颖参加比赛的概率；
（2）根据小颖获胜与小亮获胜的概率，比较概率是否相等，即可判定游戏是否公平；使游戏公平，只要概率相等即可.
4．在甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1，2；乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字1，，3；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，确定点M坐标为．
（1）用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标；
（2）求点在函数的图象上的概率．
【答案】（1）解：由题意，列表如下：
0 1 2
1
3
∴共有9种等可能的结果数；
（2）解：由（1）中表格中的数据，可得满足点落在函数的图象上的结果有3个，即，，，
所以点在函数的图象上的概率．
【解析】【分析】（1）根据题意，利用列表展示所有9种等可能的结果数；
（2）由（1）中表格中的数据，找出满足点落在函数的图象上的结果数，结合概率公式，即可求解．
（1）解：列表如下：
0 1 2
1
3
∴共有9种等可能的结果数；
（2）满足点落在函数的图象上的结果有3个，即，，，
所以点在函数的图象上的概率．
5．如图，四边形ABCD是平行四边形，DE交BC于点F，交AB的延长线于点E， 且∠EDB＝∠C.
（1）求证：△ADE∽△DBE；
（2）若DC＝10cm，BE＝18cm，求DE的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
∵∠EDB＝∠C，
∴∠A＝∠EDB，
又∠E＝∠E，
∴△ADE∽△DBE；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB，
由（1）得△ADE∽△DBE，
∴ ，
∵DC＝10cm，BE＝18cm，
∴AB＝DC＝10cm，AE＝AB＋ BE ＝28cm，
即
∴DE＝6 cm.
【解析】【分析】（1） 由平行四边形的性质可得∠A＝∠C， 即得∠EDB＝∠C=∠A ，又∠E＝∠E，根据两角分别相等的两个三角形相似即证；
（2） 由平行四边形的性质可得DC＝AB，由△ADE∽△DBE可得，据此可求出DE.
6．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OC在x轴的正半轴上，边OA在y轴的正半轴上，OA＝3，AB＝4，反比例函数（k＞0）的图象与矩形两边AB，BC分别交于点D，点E，且BD＝2AD．
（1）求点D的坐标和k的值；
（2）连接OD，OE，DE，求△DOE的面积；
（3）若点P是线段OC上的一个动点，是否存在点P，使∠APE＝90°？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵，，
∴，
∴．
又∵，
∴．
∵点D在双曲线上，
∴．
（2）解：如答案图2
∵，，
∴．
∵，
∴反比例函数解析式为．
∵矩形ABCD中，，，
又∵点E在反比例函数的图象上，
∴．
∴，
∴，
∴．
∵，．
∴，
∴，
∵，
∴
（3）解：答：存在．假设存在要求的点P坐标为，
∴，．
∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵．
∴，
解得：或．
∴存在要求的点P，点P的坐标为或．
【解析】【分析】（1）先求出AB=4，再求出AD的值，最后求解即可；
（2）先求出 反比例函数解析式为，再求出 ， 最后利用三角形的面积公式计算求解即可；
（3）先求出 ， 再利用相似三角形的判定与性质求解即可。
7．两个可以自由转动的转盘A、B都被分成3等份的扇形区域，并在每一小区域内标上数字（如图所示），指针的位置固定．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，将指针所指两个区域内的数字相乘（若指针落在分割线上，则需重新转动转盘）．
（1）试用列表或画树状图的方法，求数字之积为3的倍数的概率；
（2）小亮和小芸想用这两个转盘做游戏，他们规定：数字之积为3的倍数时，小亮得2分；数字之积为5的倍数时，小芸得3分．你认为这个游戏对双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请修改得分规定，使游戏对双方公平．
【答案】（1）解：利用表格或树状图列出所有可能出现的结果：
AB 4 5 6
1
2
3
总共有9种等可能的结果，数字之积为3的倍数的有5种，其概率为．
（2）解：这个游戏对双方不公平．理由如下：
∵数字之积为5的倍数的有3种，其概率为，
数字之积为3的倍数的有5种，其概率为．
∵，
∴游戏对双方不公平．
修改得分规定为：若数字之积为3的倍数时，小亮得3分，若数字之积为5的倍数时，小芸得5分．
【解析】【分析】（1）先列表，再求出 总共有9种等可能的结果，数字之积为3的倍数的有5种， 最后求概率即可；
（2）先求出 数字之积为5的倍数的有3种，其概率为， 再求出 数字之积为3的倍数的有5种，其概率为，最后求解即可。
8．李老师参加“新星杯”教学大赛，在课堂教学的练习环节中，设计了一个学生选题活动，即从4道题目中任选两道作答．李老师用课件在同一页面展示了A，B，C，D四张美丽的图片，其中每张图片链接一道练习题目，李老师找甲、乙两名同学随机各选取一张图片，并要求全班同学作答选取图片所链接的题目．
（1）甲同学选取A图片链接题目的概率是 ；
（2）求全班同学作答图片A和B所链接题目的概率．（请用列表法或画树状图法求解）
【答案】（1）
（2）解：根据题意，列表如下：
A B C D
A （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C）
共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中甲、乙同学选取图片A和B图片链接的题目有2种：（A，B），（B，A），
∴P（全班同学作答图片A和B所链接的题目）．
【解析】【解答】(1)解：根据题意得：甲同学选取A图片链接题目的概率是；
【分析】（1）求出甲同学选取A图片链接题目的概率是即可作答；
（2）先列表求出 共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中甲、乙同学选取图片A和B图片链接的题目有2种：（A，B），（B，A）， 再求概率即可。
9．已知二次函数．
（1）若此二次函数图象的对称轴为，求它的解析式；
（2）当时，y随x增大而减小，求k的取值范围．
【答案】（1）解：由题意，得：a=1，b= k，c= k 5；
∴对称轴x=，
解得：k=2，
∴二次函数解析式y= x 2 2x 3
（2）解：二次函数，a=1>0，
∴其图象开口向上，
∵时，y随x 的增大而减小，
∴对称轴位于x＝1的右侧或对称轴为直线x＝1，
∴，
解得：.
【解析】【分析】（1）先求出 a=1，b= k，c= k 5 ，再根据对称轴求解即可；
（2）先求出 其图象开口向上， 再求出 ， 最后求解即可。
10．如图，边长为1的小正方形组成了网格，点A、B均是格点，请你仅用无刻度的直尺画出满足下列条件的点P，并在图中标出点P.
（1）图①中，点P在线段AB上且AP＝ AB；
（2）图②中，点P在线段AB上且AP＝ AB.
【答案】（1）解：则点P即为所求作点.
（2）如图2，则点P即为所求作点.
【解析】【分析】（1）过点A、B分别作横轴、纵轴的平行线，交于点C、D，连接CD，与AB交于点P，则点P即为所作；
（2）过点A、B分别作横轴的平行线，使BF=3AE，连接EF，与AB交于点P，则点P即为所作.
11．如图，已知 .
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的长.
【答案】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∵∠C=∠C，
∴△CBD∽△CAB；
（2）∵ ，
∴ ，
∵△CBD∽△CAB，
∴ ，
∴ ，即 .
【解析】【分析】（1）由外角的性质可得∠ADB=∠DBC+∠C，结合已知条件可得∠A=∠DBC，然后利用相似三角形的判定定理进行证明；
（2）根据CD、AD的值可求出AC，然后利用相似三角形的性质进行求解.
12．已知二次函数 .
（1）
求它的顶点坐标和对称轴；
（2）
求它与坐标轴的交点坐标.
【答案】（1） 解： ，
顶点 ，对称轴直线 ；
（2） 解：
与x轴交点 ， ，与y轴交点 .
【解析】【分析】 （1）将抛物线的一般式化为顶点式，就可以确定对称轴，顶点坐标；
由于x轴上点的纵坐标为0，故将y=0代入抛物线的解析式算出对应的自变量的值即可求出其与x轴交点的坐标；由于y轴上的点的横坐标为0，故将x=0代入抛物线的解析式算出对应的函数值即可求出其与y轴交点的坐标.
13．如图所示，在平行四边形ABCD中，∠A=90°，AB=6cm，BC=12cm，点E由点A出发沿AB方向向点B匀速移动，速度为1cm/s，点F由点B出发沿BC方向向点C匀速移动，速度为2cm/s，如果动点E，F同时从A，B两点出发，连接EF，若设运动时间为t s，解答下列问题：
（1）当t为多少时，△BEF为等腰直角三角形；
（2）是否存在某一时刻t，使△EFB∽△FDC？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=90°，∴四边形ABCD为矩形，∴∠B=90°，当△BEF为等腰直角三角形时，只能是BE=BF，AE=t，则BE=AB-AE=6-t，BF=2t， ∴2t=6-t， 解得：t=2， ∴当t=2时，△BEF为等腰直角三角形
（2）解：存在
∵△EFB∽△FDC，∴ （7分）
∵BE=6-t，BF=2t，CF=12-2t，即 ，
解得：t= 或t=6
又∵t=6时，B与E重合，所以不符合，舍去，
综上所述，当t= 时，△EFB∽△FDC.
【解析】【分析】（1）由已知条件易证四边形ABCD是矩形，则∠A=∠B=∠C=90°，由等腰直角三角形的性质可得BE=BF，然后代入数据可求出t的值；
（2）由相似三角形对应边成比例可求出t的值，然后对求出的t的值进行检验即可.
14．如图，在直角坐标系中，点A（0， 8），点B是x轴负半轴上的动点，以OA为直径作圆交AB于点D.
（1）求证：∠AOD = ∠ABO.
（2）当 ∠ABO = 30°时，求点D到y轴的距离.
（3）求 的最大值.
【答案】（1）证明：∵AO是直径，
∴∠ADO=∠BDO=90°，
∴∠ABO+∠BOD=90°
∵∠BOD+∠AOD=90°
∴∠AOD=∠ABO.
（2）解： 过点D作DE⊥y轴于点E，
∵点A（0，8），
∴OA=8，
∵∠ABO=∠AOD=30°
∴AD=
在Rt△ADO中
∵
∴
解之：.
∴点D到y轴的距离为.
（3）解： 当点D是AB的中点时，此时OD与AB的比值最大。
在Rt△ABO中
OD=AB，
∴ 的最大值为.
【解析】【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角，可证得∠BDO=90°；再利用同角的余角相等，可证得结论。
（2）过点D作DE⊥y轴于点E，由点A的坐标得到AO的长，利用（1）的结论可求出∠AOD的度数，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出AD的长；再利用勾股定理求出OD的长，然后利用直角三角形的两个面积公公式，求出DE的长。
（3）当点D是AB的中点时，此时OD与AB的比值最大；再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，由此可求解。
15．已知抛物线 y = x2
+bx + c 经过点（-1， 0）， （3， 0）.
（1）求该抛物线的对称轴.
（2）自变量x在什么范围内时，y随x的增大而减小？
【答案】（1）解：由题意得
解之：
∴此函数解析式为：y=x2-2x-3
∴抛物线的对称轴为直线x=.
（2）解：∵a=1＞0
∴当x≤1时y随x的最大而减小.
【解析】【分析】（1）将已知两点坐标代入函数解析式，建立关于b，c的方程组，解方程组求出b，c的值，即可得到函数解析式，利用函数解析式可求出抛物线的对称轴。
（2）利用a的值，可知抛物线的开口向上，由此可求出y随x的最大而减小时自变量x的取值范围。
16．如图，E是正方形 中 边上一点，以点A为中心把 顺时针旋转 .
（1）在图中画出旋转后的图形；
（2）若旋转后E点的对应点记为M，点F在 上，且 ，连接 .
①求证： ；
②若正方形的边长为6， ，求 .
【答案】（1）解：如图， 为所作；
（2）①证明：如图，连接EF.
∵四边形ABCD是正方形，
，
点 顺时针旋转 得到 ，
，
又 ，
，
在 和 中，
，
.
②解： ，
，
即 ，
而 ，
，
在 中， ，
，
设 ，则 ，
.
在 中， ，即 ，
解得： .
即 .
【解析】【分析】（1）延长CB并截取BM=DE，连接AM即得；
（2）①如图，连接EF，根据正方形及旋转的性质得出AM=AE，∠MAF=∠EAF，根据SAS可证△AMF≌△AEF；
②由△AMF≌△AEF得出EF=MF，即得EF=MF=BM+BF，由BM=DE得出EF=BF+DE，在Rt△ADE中，利用勾股定理求出DE=3，即得CE=3，设EF=x，可得BF=x-3，CF=9-x，在Rt△CEF中，利用勾股定理建立方程，解出x值即可.
17．某文化衫的进价为每件 元，当售价为每件 元时，每个月可售出 件.根据巿场行情，现决定涨价销售，调查反映，每涨价 元，每月要少卖出 件，设每件商品涨价x元，每个月的销量为y件.
（1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（2）当每件商品的售价定为多少元时，每个月获得利润最大 最大月利润为多少
【答案】（1）解：由题意得，月销售量：
( ，且x为正整数)
（2）解：设每个月获得利润w元，
当 ，即售价为 元时，月利润最大，且最大月利润为 元.
【解析】【分析】（1） 月销售量y=100-涨价x元所降低的销量可求得y与x之间的函数关系式；
（2）根据每个月获得利润w=单件的利润×月销售量并配成顶点式结合二次函数的性质可求解.
18．如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A(0，4)，B(1，0)，C(5，0)，其对称轴与x轴相交于点M.
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小 若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
【答案】（1）解：抛物线经过点A(0，4)，B(1，0)，C(5，0)，可设两点式，
设抛物线的解析式为y=a(x-1)(x-5)，代入A(0，4)，
求得a= ，
∴y= (x-1)(x-5)= x2- x+4= (x-3)2- ，
∴对称轴是x=3.
（2） 如图1，点A关于对称轴的对称点A'的坐标为(6，4)，连接BA'交对称轴于点P，连接AP，此时△PAB的周长最小，
设直线BA'的解析式为y=kx+b，
把A'(6，4)，B(1，0)代入得 解得 ，
∴y= x- .
∵点P的横坐标为3，
∴y= ×3- = .
∴P(3， ).
【解析】【分析】（1）由于给出列抛物线与x轴的两个交点的坐标，故可设抛物线的解析式为y=a(x-1)(x-5)，将（0，4）代入求出a，据此可得抛物线的解析式以及对称轴；
（2）点A关于对称轴的对称点A'（6，4），连接BA'交对称轴于点P，连接AP，此时△PAB的周长最小，利用待定系数法求出直线BA'的解析式，将x=3代入求出y的值，据此可得点P的坐标.
19．我区某校组织了一次“诗词大会”，张老师为了选拔本班学生参加，对本班全体学生诗词的掌握情况进行了调查，并将调查结果分为了三类：A：好，B：中，C：差．请根据图中信息，解答下列问题：
（1）全班学生共有 人；
（2）扇形统计图中，B类占的百分比为 %，C类占的百分比为 %；
（3）将上面的条形统计图补充完整；
（4）小明被选中参加了比赛．比赛中有一道必答题是：从下表所示的九宫格中选取七个字组成一句诗，其答案为“便引诗情到碧霄”．小明回答该问题时，对第四个字是选“情”还是选“青”，第七个字是选“霄”还是选“宵”，都难以抉择，若分别随机选择，请用列表或画树状图的方法求小明回答正确的概率．
情 到 碧
霄 诗 青
引 宵 便
【答案】（1）40
（2）60；15
（3）解：C类的人数40×15%＝6（人），补全图形如下：
（4）解：根据题意画图如下：
由树状图可知共有4种可能结果，其中正确的有1种，
所以小明回答正确的概率是 ．
【解析】【解答】（1）全班学生总人数为10÷25%＝40（人）；
故答案为：40；（2）B类占的百分比为： ×100%＝60%；
C类占的百分比为1﹣25%﹣60%＝15%；
故答案为：60，15；
【分析】（1）根据统计图可知，10人占全班人数的 ，据此求解；（2）根据（1）中所求，容易得C类占的百分比，用1减去 两类的百分比即可求得 类百分比；（3）根据题意，画出树状图，根据概率公式即可求得.
20．已知 中， ，D、E是 边上的点，将 绕点A旋转，得到 ，连结 ．
（1）如图1，当 ， 时，求 的度数；
（2）如图2，当 时，求证： ．
（3）如图3，在（2）的结论下，当 ， 与 满足怎样的数量关系时，△ 是等腰直角三角形？（直接写出结论，不必说明理由）
【答案】（1）解： 绕点A旋转得到 ，
， ，
， ，
，
，
（2）证明：在 和△ 中，
，
△ ，
，
，
；
（3）
【解析】【解答】解：（3） ， ，
，
，
△ 是等腰直角三角形，
，
由（2） ，
绕点A旋转得到 ，
，
．
【分析】（1）由旋转得 ， ，根据 ， 即可得到 的度数；（2）证明 即可推出 ；（3）由（2）的条件求得 ， ，根据△ 是等腰直角三角形得到 ，再由 得到 .
21．某商场秋季计划购进一批进价为每件40元的T恤进行销售．
（1）根据销售经验，应季销售时，若每件T恤的售价为60元，可售出400件；若每件T恤的售价每提高1元，销售量相应减少10件．
假设每件T恤的售价提高x元，那么销售每件T恤所获得的利润是 元，销售量是 件(用含x的代数式表示)；
（2）设应季销售利润为y元，请写y与x的函数关系式；并求出应季销售利润为8000元时每件T恤的售价．
（3）根据销售经验，过季处理时，若每件T恤的售价定为30元亏本销售，可售出50件；若每件T恤的售价每降低1元，销售量相应增加5条，
①若剩余100件T恤需要处理，经过降价处理后还是无法销售的只能积压在仓库，损失本金；若使亏损金额最小，每件T恤的售价应是多少元？
②若过季需要处理的T恤共m件，且100≤m≤300，过季亏损金额最小是（
）元(用含m的代数式表示)．（注：抛物线 顶点是 ）
【答案】（1）解：①（20＋x）；(400－10x)
（2）解：设应季销售利润为y元，
由题意得：y＝(20＋x)(400－10x)＝﹣10x ＋200x＋8000
把y＝8000代入，得﹣10x ＋200x＋8000＝8000，
解得x1＝0，x2＝20，
∴应季销售利润为8000元时，T恤的售价为60元或80元．
（3）解：①设过季处理时亏损金额为y2元，单价降低z元．
由题意得：y2＝40×100－(30－z)(50＋5z)＝5(z－10)2＋2000
z＝10时亏损金额最小为2000元，此时售价为20元
② 元
【解析】【解答】解：（1）①每件T恤所获利润20＋x元，这种T恤销售量400－10x个；（2）②∵y2＝40m－(30－z)(50＋5z) ＝5(z－10)2＋40m－2000，
∴过季亏损金额最小40m－2000元.
【分析】（1）①每件T恤获得的利润=实际售价-进价，销售量=售价为60元时销售量-因价格上涨减少的销售量；②根据：销售利润=单件利润×销售量可列函数解析式，并求y=8000时x的值；（2）①根据：亏损金额=总成本-每件T恤的售价×销售量，列出函数关系式，配方后可得最值情况；②根据与（2）①相同的相等关系列函数关系式配方可得最小值.
22．有A、B、C1、C2四张同样规格的硬纸片，它们的背面完全一样，正面如图1所示．将它们背面朝上洗匀后，随机抽取并拼图．
（1）填空：随机抽出一张，正面图形正好是中心对称图形的概率是 ．
（2）随机抽出两张(不放回)，其图形可拼成如图2的四种图案之一．请你用画树状图或列表的方法，分析拼成哪种图案的概率最大？
【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，拼成卡通人、电灯、房子、小山的分别有2，4，4，2种情况，
∴P(卡通人)= = ，P(电灯)= = ，P(房子)= = ，P(小山)= = ，
∴拼成电灯或房子的概率最大．
【解析】【解答】解：（1）∵根据中心对称图形的性质，旋转180°后，能够与原图形完全重合的图形是中心对称图形，
∴只有A和B中图案符合，
∴正面图形正好是中心对称图形的概率= ；
【分析】（1）根据中心对称图形的定义得出四种图案哪些是中心对称图形，即可得出答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后根据树状图求得所有等可能的结果与拼成各种图案的情况，再利用概率公式即可求得答案．
23．岚山区地处黄海之滨，渔业资源丰富，海产品深受消费者喜爱．某海产品批发超市对进货价为40元/千克的某品牌小黄鱼的销售情况进行统计，发现每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）存在一次函数关系，如图所示．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）若不考虑其它因素，则销售总利润=每千克的利润×总销量，那么当销售价格定为多少时，该品牌小黄鱼每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：由图象，设函数解析式为y=kx+b，把（60，20）、（70，0）代入，得
解得：k=﹣2，b=140 ，
∴函数解析式为y=-2x+140；
（2）解：设该品牌小黄鱼每千克的售价为x元，总利润为W元，根据题意，得
当x= =55时，W有最大值 =450．
即当该种小黄鱼销售价定为55元/千克时，每天的销售利润有最大值450元
【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法，即可求出一次函数的解析式；（2）先求出利润与销售价格之间的关系式，然后利用二次函数的最值问题，即可得到答案．
24．如图， 是 的直径， ， 是 的两条切线，切点分别为B，C．连接 交 于点D，交 于点E，连接AC．
（1）求证： ；
（2）若 的半径为5， ，求 的长．
【答案】（1）证明：连接OC，则OB=OC，
∵ ， 是 的两条切线，
∴PB=PC，∠PBO=∠PCO=90°，
在Rt PBO和Rt PCO中，
∵ ，
∴Rt PBO~Rt PCO（HL），
∴∠BPO=∠CPO，
∴BE=CE（等腰三角形三线合一），
∴OE是 ABC的中位线，
∴ ；
（2）解：∵OE是 ABC的中位线，
∴OE∥AC， ，
∴∠OEB=∠ACB=90°，
∵ ，
∵PB是圆的切线，
∴∠PBO=90°，
∵∠BOE=∠POB，
∴ BOE~ POB，
∴ ，即： ，
∴PO= ，
∴ .
【解析】【分析】（1）连接OC，易证：Rt PBO~Rt PCO，根据等腰三角形三线合一，可得：OE是 ABC的中位线，即可得证；（2）由勾股定理得： ，由母子相似三角形，可得：PO= ，进而求出PB的长.
25．如图，∠MAN=90°，B，C分别为射线 ， 上的两个动点，将线段 绕点A逆时针旋转 到 ，连接 交 于点E．
（1）当∠ACB=30°时，依题意补全图形，并直接写出 的值；
（2）写出一个∠ACB的度数，使得 ，并证明．
【答案】（1）解：符合题意补全图形；
∵
∴△ ∽△
∴
∵
∴ ．
（2）解：∠ ．
证明：∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
过点D作 于点F，
∴
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ∠ ．
∴△ ∽△ ．
∴ ．
【解析】【分析】（1）按照题意补全图形即可，由已知可证△ ∽△ ，再由相似三角形的性质可知 ，从而可得答案；（2）过点D作 于点F，由已知可证△ ∽△ ，从而有 ，再利用∠ACB的度数可求出 ，从而可得出答案.
26．抛物线 过点（0，-5）和（2，1）.
（1）求b,c的值；
（2）当x为何值时，y有最大值？
【答案】（1）解：∵抛物线 过点（0，-5）和（2，1），
∴ ,
解得 ,
∴b, c的值分别为5, -5.
（2）解：a= -1 ，b=5,
∴当x= 时y有最大值.
【解析】【分析】（1）把点代入 求解即可得到b,c的值；（2）代入二次函数一般式中顶点坐标的横坐标求解公式进行求解即可.
27．网络销售是一种重要的销售方式。某农贸公司新开设了一家网店，销售当地农产品，其中一种当地特产在网上试销售，其成本为每千克2元．公司在试销售期间，调查发现，每天销售量y(kg)与销售单价x(元)满足如图所示的函数关系(其中2（1）若5（2）销售单价x为多少元时，每天的销售利润最大 最大利润是多少元
【答案】（1）解：设y=kx+b，把(5，600，(10，400代入y=kx+b，
得
解得
∴y=-40x+800
（2）解：设每天的销售利润为w元
当2当x=5时，wmax=600×5-1200=1800(元)；
当5=-40(x-11)2+3240
当x=10时，wmax=-40×1+3240=3200
综上所述，当x=10时，每天的销售利润最大，最大是3200元
【解析】【分析】（1）根据图象提供的信息，利用待定系数法，求出 5（2） 设每天的销售利润为w元 ，①当 228．如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示，小亮的身高如图中线段FG所示，路灯灯泡P在线段DE上．
（1）请你确定灯泡P所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子．
（2）如果小明的身高AB＝1.8m，他的影子长AC＝1.5m，且他到路灯的距离AD＝2m，求灯泡P距地面的高度．
【答案】（1）解：如图，点P为灯泡所在的位置，
线段FH为小亮在灯光下形成的影子．
（2）解： ，
，
∴ ，
∴PD＝4.2（m）．
∴灯泡的高为4.2m．
【解析】【分析】 (1) 连接CB，延长CB交DE于点P，连接PG，延长PG交CF于H，点P及线段FH即为所求；
(2) 利用，可得，然后利用相似三角形的性质列方程求解即可。
29．如图，AB为⊙O的直径，射线AD交⊙O于点F，点C为劣弧 的中点，CE为⊙O的切线交AD于点E，连接AC．
（1）求证：CE⊥AD；
（2）若∠BAC＝30°，AB＝4，求阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：如图1，连接BF，OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，即BF⊥AD，
∵CE是⊙O的切线，OC是⊙O的半径，
∴OC⊥CE，
∵点C为劣弧 的中点，
∴OC⊥BF，
∴BF∥CE，
∴CE⊥AD；
（2）解：如图2，连接OF，CF，
∵OA＝OC，∠BAC＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∵点C为劣弧 的中点，
∴ ，
∴∠FOC＝∠BOC＝60°，
∵OF＝OC，
∴∠OCF＝∠COB，
∴CF∥AB，
∴S△ACF＝S△COF，
∴阴影部分的面积＝S扇形COF，
∵AB＝4，
∴FO＝OC＝OB＝2，
∴S扇形FOC＝ ＝ π，
即阴影部分的面积为： π．
【解析】【分析】（1） 连接BF，OC，由CE是⊙O的切线，OC是⊙O的半径，得出OC⊥CE，由点C为劣弧 的中点，由此得出结论；
（2）连接OF，CF， 因为 点C为劣弧 的中点，得出 ，∠OCF＝∠COB， 推出 S△ACF＝S△COF，阴影部分的面积＝S扇形COF， 由此得出答案。
30．某超市经销一种商品，成本价为50元/千克．规定每千克售价不低于成本价，且不高于85元，经市场调查发现，该种商品每天销售量 (千克)与销售单价 (元/千克)满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价 (元/千克) 55 65 75
销售量 (千克) 110 90 70
（1）求 (千克)与 (元/千克)之间的函数表达式并注明自变量的取值范围；
（2）为保证某天获得10000元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少元
（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大 最大利润是多少
【答案】（1）解：设 ．将 ， 代入，
得 ，
解得
，
（2）解：由题意得： ，
解得： ， ．
．
答；当销售单价定为60元时，销售利润为1000元．
（3）解：设销售利润为 元，根据题意﹐得
，
，
当 时，销售利润最大，最大值为1800元．
答：当销售单价定为80元时，可使当天的销售利润最大，最大利润是1800元．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意，列方程解方程即可得到结论；
（3）根据总利润等于每千克利润×销售量可得函数解析式，将其配方成顶点式即可得到最值情况。
31．某市为了解八年级学生数学学习状况，以2.5%的比例随机抽取了八年级部分学生进行了数学测试（满分100分），测试后将成绩绘制成两幅不完整的统计图表，如下图表所示，测试成绩中没有满分和低于20分的成绩．请根据统计图表中的信息解决下列问题：
八年级数学频数、频率分布表
分数段 频数 频率
2 0.008
8 0.032
85 0.340
0.260
48 0.192
5 0.020
2 0.008
（1）直接写出表中 ， 的值，并补全频数分布直方图；
（2）若把成绩在 范围内的学生视为数学“特长生”，估计该市八年级学生中有多少名数学“特长生”？
（3）在“ ”和“ ”分数段的4名同学中，男女各有2名，现从中随机选取两人进行座谈，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一男一女的概率．
【答案】（1）解： ，
抽取的总人数为： （人），
（人），
（人）．
补全统计图如下：
（2）解： （人），
答：该市八年级学生中有400名数学“特长生”．
（3）解：用 、 表示两名男生，用 、 表示两名女生，画树状图如图：
共有12种等可能的情况，恰好一男一女的种类有8种，
所以恰好选中一男一女的概率是 ．
【解析】【分析】（1）用整体1减去其它分数段的频率求出n，根据所占的百分比求出抽取的总人数，再用总人数乘以各自的频率求出a、b的值，最后不全踢踢即可；
（2）用总人数乘以“特长生”所占的百分比即可；
（3）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出选中一男一女的情况数，再根据概率公式即可得出答案。
32．如图，在每个小正方形边长都是1的方格纸中，点O、A、B都在格点上．
（1）画出△AOB绕点O顺时针旋转90°后的△A1OB1；
（2）求点B旋转到点B1时所经过的路径长．
【答案】（1）解：如图所示；
（2）解： 组成网格的每个小正方形的边长为1，
，
，
点B旋转到点B1时所经过的路径长为 ．
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质找出点A、B绕点O顺时针旋转90度后的对应点位置，再顺次连接即可；
（2）根据小正方形边长为1，可得出 ，因为 ，在利用弧长公式即可求得B旋转到点B1位置所经过的路径长。
33．已知直线x＝1是抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴．
（1）若抛物线顶点在x轴上，且过（0，1），求抛物线的解析式；
（2）若抛物线不过第一象限，求 的取值范围；
（3）若抛物线过点（1，1），当﹣1≤x≤0时，抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，求a的值．
【答案】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1．
∴ ，
∴b＝﹣2a，
∵抛物线顶点在x轴上，
∴顶点坐标为（1，0），
∴a+b+c＝0，
∵抛物线过（0，1），
∴c＝1，
解得：a＝1，b＝﹣2，
∴抛物线的函数解析式为y＝x2﹣2x+1；
（2）解：∵b＝﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax+c＝a（x﹣1）2+c﹣a，
∵抛物线不过第一象限，
∴a＜0，c≤0，c﹣a≤0，
∴ ；
（3）解：∵对称轴为直线x＝1，抛物线过点（1，1），
∴该点是抛物线的顶点，则函数的表达式为：y＝a（x﹣1）2+1，
∵当﹣1≤x≤0时，抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，
∴当x＝﹣1时，对应的点到x轴的距离最大，
∴抛物线过（﹣1，4）或（﹣1，﹣4），
∴4＝a（﹣1﹣1）2+1或﹣4＝a（﹣1﹣1）2+1，
解得：a＝ ，或a＝ ．
故a的值为 或 ．
【解析】【分析】（1）根据题意得出b＝﹣2a，c＝1，把b＝﹣2a，c＝1代入a+b+c＝0，即可求得a、b的值，由此得出抛物线的函数解析式；
（2）根据题意抛物线开口向下，交于y轴的负半轴，即可得出a＜0，c≤0，c﹣a≤0，即可得出 ；
（3）抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，即该点坐标为（﹣1，4）或（﹣1，﹣4），即可求解。
34．如果三角形的两个内角 与 满足 =90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．
（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，求∠B的度数；
（2）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5，若AD是∠BAC的平分线，不难证明△ABD是“准互余三角形”．试问在边BC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵△ABC是“准互余三角形”，
∴2∠A+∠B＝90°或∠A+2∠B＝90°
∵∠C＞90°，∠A＝60°，2∠A+∠B＝90°不合题意，舍去．
∴∠A+2∠B＝90°，
∴∠B=15°．
（2）解：在边BC上存在点E，使得△ABE也是“准互余三角形”
∵点E在BC边上，∠AEB＞90°，
∴2∠BAE+∠B＝90°或∠BAE+2∠B＝90°，
∵点E异于点D，
∴2∠BAE+∠B＝90°不成立；
∴∠BAE+2∠B＝90°，
在Rt△ABC中，
∠BAE+∠EAC+∠B=90°，∠BAE+2∠B=90°，
∴∠B=∠EAC，∠C=∠C，
∴△ABC∽△EAC，
∴ ，
∴CE= ，
∴BE= ．
【解析】【分析】（1）根据“准互余三角形”的定义构建方程即可求解；
（2）证明△ABC∽△EAC，根据三角形相似的性质列出比例式即可求解。
35．如图，足球场上守门员在O处开出一记手跑高球，球从地面1.4米的A处抛出（A在y轴上），运动员甲在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面3.2米高，球落地点为C点．
（1）求足球开始抛出到第一次落地时，该抛物线的解析式．
（2）足球第一次落地点C距守门员多少米？
【答案】（1）解：设抛物线的解析式为y=a（x﹣6）2+3.2，
将点A（0，1.4）代入，得：36a+3.2=1.4，
解得：a=﹣0.05，
则抛物线的解析式为y=﹣0.05（x﹣6）2+3.2；
（2）解：当y=0时，﹣0.05（x﹣6）2+3.2=0，
解得：x1=﹣2（舍），x2=14，
所以足球第一次落地点C距守门员14米．
【解析】【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣6）2+3.2， 将点A（0，1.4）代入求出a的值即可得出答案；
（2）求出y=0时x的值即可得出答案。
36．如图，二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点，其中 的坐标为 ，与 轴交于点 ，并经过点 ， 是它的顶点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）用配方法将二次函数的解析式化为 的形式，并写出顶点 的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点 ，使 的值最小？若存在，求出 点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵ ， ， 三点在抛物线 上，
∴ ，解得： ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：∵ ，
∴顶点坐标为 ．
（3）解：存在，理由如下：
∵点 和点 关于抛物线的对称轴对称，
∴连结 与对称轴交于点 ，此时 的值最小，
设直线 的解析式为 ，
，
解得 ，
则直线 的解析式为 ，
当 时， ，则 ．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）利用配方法求解即可；
（3）利用待定系数法求出 直线 的解析式为 ， 再求点的坐标即可。
37．手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60 cm，菱形的面积S(单位：cm2)随其中一条对角线的长x(单位：cm)的变化而变化.
（1）请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；
（2）当x是多少时，菱形风筝面积S最大？最大面积是多少？
【答案】（1）解：已知其中一条对角线的长x，则另一对角线=60-x．
所以S= x(60-x)，
整理得 ．
（2）解：由（1）知菱形风筝面积S图像为关于x的一个二次函数图象，开口向下的抛物线，
S最大值为顶点坐标时．
根据当x=- 时，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)有最小（大）值 ，
所以 时，
．
【解析】【分析】（1）先求出 S= x(60-x)， 再求解即可；
（2）根据题意求出 当x=- 时，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)有最小（大）值 ， 再求解即可。
38．正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．
（1）求证：EF＝CF+AE；
（2）当AE＝2时，求EF的长．
【答案】（1）证明：
∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，
∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°，AE＝CM，
∴F、C、M三点共线，
∴DE＝DM，∠EDM＝90°，
∴∠EDF+∠FDM＝90°，
∵∠EDF＝45°，
∴∠FDM＝∠EDF＝45°，
在△DEF和△DMF中，
∵ ，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF＝MF，
∴EF＝CF+AE；
（2）解：设EF＝MF＝x，
∵AE＝CM＝2，且BC＝6，
∴BM＝BC+CM＝6+2＝8，
∴BF＝BM﹣MF＝BM﹣EF＝8﹣x，
∵EB＝AB﹣AE＝6﹣2＝4，
在Rt△EBF中，由勾股定理得 ，
即 ，
解得：x＝5，
则EF＝5．
【解析】【分析】（1）先求出 DE＝DM，∠EDM＝90°， 再利用SAS证明 △DEF≌△DMF ，最后求解即可；
（2）根据题意求出BM=8，再求出EB=4，最后利用勾股定理计算求解即可。
39．综合与实践
某农作物的生长率p与温度r（℃）有如下关系∶如图，当10≤t≤25时可近似用函数P= t- 刻画∶当25≤t≤37时可近似用函数p=- （t-h）2+0.4刻画．
（1）求点h的值，
（2）按照经验，该作物提前上市的天数m（天）与生长率p之间满足已学过的函数关系，
部分数据如下；
生长率p 0.2 0.25 0.3 0.35
提前上市的天数m (天) 0 5 10 15
求：①m关于p的函数表达式；
②用含t的代数式表示m；
③天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．大棚恒温 20℃时每天的成本为 100元，计划该作物 30天后上市，现根据市场调查；每提前一天上市售出（一次售完），销售额可增加 600 元．因此决定给大棚继续加温，但加温导致成本增加，估测加温到20≤t≤25 时的成本为200元/天，但若欲加温到25【答案】（1）解：把 代入 ，
得 或 ．
∵ ，∴
（2）解：①由表格可知m是p的一次函数，设 ，将 ， 代入得 解得 ．
∴m关于p的函数表达式为 ；
②由（1）得：
当 时， ，把p代入 得 ；
当 时， ，把p代入 得 ；
③设利润为y元，则当 时， ，
当 时，y随着t的增大而增大，当 时，最大值 ；
当 时， ．
∵ ，
∴当 时，最大值 ．
∵ ，
∴当加温到29℃时，增加的利润最大．
【解析】【分析】（1） 把 代入 中，求出h即可；
（2）①先判断m是p的一次函数，再利用待定系数法求解析式即可；
②当 时，，把p代入 求出m关于t的函数解析式；
当 时 ，把p代入 中求出m关于t的函数解析式即可；
③设利润为y元， 分别求出当 时， 时所增加的利润，然后利用一次函数及二次函数的性质求解，再比较即可.
40．如图，在 中， 于点 ．将 绕点 按顺时针旋转一定角度得到 ，点 的对应点 恰好落在 边上．
（1）若 ，求 的度数；
（2）若 ，求证： ．
【答案】（1）解：由题意， 按顺时针旋转一定角度得到 ，点 的对应点 恰好落在 边上
可得AD=AB，
∴∠ADF= ，
在Rt△ADF中，∠DAF=90°-50°=40°
（2）证明：根据旋转的性质可得∠C=∠E，
又∵ ，
∴∠C=∠CAD，
∴AD=CD
【解析】【分析】（1）由旋转的性质得出AD=AB，则∠ADF=∠B=50°可求出答案；
（2）由旋转的性质得出∠C=∠E，得出∠C=∠CAD可得出结论。
41．如图1，二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）的图象交坐标轴于点A，B（0，﹣2），点P为x轴上一动点.
（1）求该二次函数的解析式；
（2）过点P作PQ⊥x轴，分别交线段AB、抛物线于点Q，C，连接AC.若OP＝1，求△ACQ的面积；
（3）如图2，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PD.当点D在抛物线上时，求点D的坐标.
【答案】（1）解：将代入，
，
；
（2）解：令，则，
或，
，
设直线的解析式为，
，
，
，
，
，
轴，
，，
，
；
（3）解：设，
如图2，过点作轴垂线交于点，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
解得或，
或.
【解析】【分析】（1）将B（0，-2）代入可得a的值，进而可得二次函数的解析式；
（2）易得A（4，0），利用待定系数法求出直线AB的解析式，根据OP的值可得点P的坐标，进而可得Q、C的坐标，求出AP，然后根据三角形的面积公式以及面积间的和差关系进行计算；
（3）设P（t，0），过点D作x轴的垂线交于点N，根据同角的余角相等可得∠NPD=∠OBP，证明△PND≌△BOP，得到OP=ND，BO=PN，据此可得D（t+2，-t），然后代入二次函数解析式中求出t，据此可得点D的坐标.
42．已知点在函数的图像上．
（1）若，求n的值；
（2）抛物线与x轴交于两点M，N（M在N的左边），与y轴交于点G，记抛物线的顶点为E．
①m为何值时，点E到x轴的距离为；
②若，平面内是否存在点F，使得以点M、N、G、F为顶点的四边形是平行四边形，若不存在请说明理由，若存在，请直接写出点F的坐标（说明理由）．
【答案】（1）解：∵点在函数的图像上，
∴，
把代入可得．
故n的值为2．
（2）解：①∵，
∴该函数图象开口方向向上，对称轴为：，
当时，抛物线有最小值：，
∴抛物线的顶点坐标，
∵点E到x轴的距离为，
∴，即，
∵
∴，解得：，
∵，
∴函数图象在第二象限，即：，
∴；
②存在，点F的坐标为或或
【解析】【解答】解：（3）②存在，理由如下：
联立，整理得：
解得：m=或8（舍去）
则n=8，即点N（8，0）
设点，点
由抛物线的表达式可知，点G(0，-4)
当MN为对角线时，点
当MG，NF为对角线时，点或
综上所述，点F的坐标为或或
【分析】（1）将点P坐标代入反比例函数解析式可得，再将m=-2代入即可求出答案.
（2）①求出抛物线顶点坐标，再根据题意建立方程，解方程可得，再根据第二象限点的坐标特征即可求出答案.
②联立，解方程可得m=，则n=8，即点N（8，0）设点，点由抛物线的表达式可知，点G(0，-4)，分情况讨论：当MN为对角线时，当MG，NF为对角线时，根据线段中点公式即可求出答案.
43．如图，已知ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，D是边AB上一点（与点A、B不重合），DE平分∠CDB，交边BC于点E，EF⊥CD，垂足为点F．
（1）当DE⊥BC时，求DE的长；
（2）当CEF与ABC相似时，求∠CDE的正切值；
（3）如果BDE的面积是DEF面积的2倍，求这时AD的长．
【答案】（1）解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，
∴，
∵DE平分∠CDB，
∴∠CDE＝∠BDE，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝∠DEB＝90°，
在△DCE和△DBE中，
，
∴△DCE≌△DBE（ASA），
∴CE＝BE，
∵CE+BE＝BC＝4，
∴CE＝BE＝2，
∵，
∴，
∴DE＝；
（2）解：∵EF⊥CD，
∴∠CFE＝90°＝∠ACB，
∵△CEF与△ABC相似，
∴△CEF∽△ABC或△CEF∽△BAC，
①当△CEF∽△ABC时，
则∠ECF＝∠BAC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∴∠ECF+∠ABC＝90°，
∴∠CDB＝90°，
∵DE平分∠CDB，
∴，
∴tan∠CDE＝tan45°＝1；
②当△CEF∽△BAC时，
则∠ECF＝∠ABC，
∴DC＝DB，
∵DE平分∠CDB，
∴DE⊥BC，
∴∠CDE+∠ECF＝90°，
∵∠BAC+∠ABC＝90°，
∴∠CDE＝∠BAC，
∴，
综上所述，∠CDE的正切值为1或；
（3）解：如图，过点E作EG⊥AB于点G，
∵DE平分∠CDB，EF⊥CD，EG⊥AB，
∴EF＝EG，
∵DE＝DE，
∴Rt△DEF≌Rt△DEG（HL），
∴DF＝DG，
∵△BDE的面积是△DEF面积的2倍，
∴BD＝2DF，
∴DG＝BG，
∵EG⊥BD，
∴DE＝BE，
设BE＝x，则DE＝x，CE＝BC﹣BE＝4﹣x，，
∴，
∴，
∵DE平分∠CDB，
∴∠CDE＝∠BDE，
∵DE＝BE，
∴∠BDE＝∠B，
∴∠CDE＝∠B，
∵∠DCE＝∠BCD，
∴△CDE∽△CBD，
∴，即，
解得：CD＝3，，
∴，
故这时AD的长为．
【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出AC的值，再利用ASA证明 △DCE≌△DBE ，最后求DE的值即可；
（2）先求出 △CEF∽△ABC或△CEF∽△BAC， 再利用相似三角形的性质求解即可；
（3）先求出 Rt△DEF≌Rt△DEG ，再利用锐角三角函数和相似三角形的性质求解即可。
44．在平行四边形中，对角线与边垂直，，四边形的周长是，点是在延长线上的一点，点是在射线上的一点，．
（1）如图1，如果点与点重合，求的余切值；
（2）如图2，点在边上的一点．设，，求关于的函数关系式并写出它的定义域；
（3）如果，求的面积．
【答案】（1）解：∵，
∴设AB=3k，AC=4k，AC与BD的交点为O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC==2k，CD∥AB，
∵AC⊥CD，
∴AC⊥AB，
∴BC==5k，
∵四边形ABCD的周长为16，
∴5k+5k +3k +3k=16，
解得k=1，
∴AB=3，AC=4，BC=5，OA= 2，
∴cot∠AFD=；
（2）解：∵∥，
∴，，
∵，
∴，
∴△∽△，
∴，
∵，，，
∴， ， ，
∴，
∴，
定义域是：.
（3）解：点在射线上都能得到：△∽△
∴，
①当点在边上，
∵，∴，
由题意，得，
∵，
∴，
∴，
∴，
②当点在的延长线上
∵，，
∴，
由题意， 得，
∴，
∴，
∴，
综上所述，△的面积是或．
【解析】【分析】（1）先求出 OA=OC==2k，CD∥AB， 再利用勾股定理求出BC的值，最后利用锐角三角函数计算求解即可；
（2）利用相似三角形的判定与性质计算求解即可；
（3）先求出 ， 再分类讨论，结合图形求解即可。
45．已知开口向上的抛物线与y轴的交点为A，顶点为B，点A与点C关于对称轴对称，直线AB与OC交于点D．
（1）求点C的坐标，并用含a的代数式表示点B的坐标；
（2）当时，求抛物线的表达式；
（3）当时，求OD的长．
【答案】（1）解：令x=0，可得
∴A点的坐标为（0，3）
∵抛物线的对称轴为：x=
∴点C的坐标为（4，3），
令x=2，可得
∴顶点B的坐标为（2，-4a+3）．
（2）解：如图：当时，即△ABC是直角三角形
∴AC2=AB2+BC2
∴（4-0）2+（3-3）2=（2-0）2+（-4a+3-3）2+（2-4）2+（-4a+3-3）2，解得 a=或-
∴抛物线的表达式为：或．
（3）解：如图：∵EB在抛物线的对称轴上
∴∠EBC=∠ABE=∠ABC
∵
∴∠BCD=∠EBC
∴BE=EC
∵点O（0，0），点C（4，3）
∴直线OC的解析式为 y=x
∴E点坐标为（2，）
∵BE=CE
∴-（-4a+3）=或-4a+3-=，解得a=1或a=-
∴点B的坐标为（2，-1）或（2，4）
设直线AB的解析式为y=kx+b
则 或
解得：或
∴直线AB的解析式为y=-2x+3或y=x+3
∴或解得：或
∴点D的坐标为（，）或（，）
∴OD=或
∴OD的长为或3．
【解析】【分析】（1）由函数的对称轴为直线x=2，结合函数的对称性即可求点的坐标；
（2）过点B作BG⊥y轴交于点G，则可知AG=BG=2，从而求出B(2，1)，可求a的值；
（3）过点B作BH⊥OC交于点H，连接AC，求出tan∠AOC=tan∠HNB=，设HB=4x，则HN=3x，再求出tan∠HCB=，根据∠OCB=∠NBC=∠ABN，可得，即可求a=1，再由，得到等式，从而求出OD=。
46．如图1所示，将一个长为6宽为4的长方形ABEF，裁成一个边长为4的正方形ABCD和一个长为4、宽为2的长方形CEFD如图2．现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至，旋转角为a．
（1）当点恰好落在EF边上时，求旋转角a的值；
（2）如图3，G为BC中点，且0°＜a＜90°，求证：；
（3）小军是一个爱动手研究数学问题的孩子，他发现在小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，与存在两次全等，请你帮助小军直接写出当与全等时，旋转角a的值．
【答案】（1）解：∵长为4，宽为2的长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，
∴CD′=CD=4，
在Rt△CED′中，CD′=4，CE=2，
∴∠CD′E=30°，
∵CD∥EF，
∴∠α=30°；
（2）证明：∵G为BC中点，BC=4，
∴CG=2，
∴CG=CE．
∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，
∴∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′=CG，CD′=CD，
∴∠GCD′=∠DCE′=90°+α，
在△GCD′和△E′CD中，
∴△GCD′≌△E′CD（SAS），
∴GD′=E′D；
（3）解：135°，315°
【解析】【解答】（3）∵四边形ABCD为正方形，
∴CB=CD．
∵，
∴和为腰相等的两个等腰三角形，
∴当时，，
①当和为钝角三角形时，则旋转角；
②当和为锐角三角形时，，则．
综上可知当旋转角的值为和时．
【分析】（1）先求出∠CD'E=30°，再利用平行线的性质可得∠α=30°；
（2）利用“SAS”证明△GCD′≌△E′CD，再利用全等三角形的性质可得GD′=E′D；
（3）分两种情况：①当和为钝角三角形时，②当和为锐角三角形时，再分别求解即可。
47．已知：如图，直线MN，垂足为D，，点B是射线DM上的一个动点，，边AC交射线DN于点C，的平分线分别与AD、AC相交于点E、F．
（1）求证：；
（2）如果，，求y关于x的函数关系式；
（3）联结DF，如果以点D、E、F为顶点的三角形与相似，求AE的长．
【答案】（1）证明：∵直线MN，，
∴，，
∴，
∵BF平分，
∴，
∴；
（2）解：作垂足为点H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵BF平分，，，
∴．
∵，直线MN，
∴，
∴，
∴，即，
解得：；
（3）解：如图，连接DF，
设，由，如果以点D、E、F为顶点的三角形与相似，即以点D、E、F为顶点的三角形与相似．
∵，
若，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
由（2）得：，
∴，
解得：（舍去负值），∴．
若，则 ，
∴ ，即，
∵∠BED=∠AEF，
∴△AEF∽△BED，
∴∠AFE=∠BDE，
由（2）得：，
∴是锐角，而是直角，所以这种情况不成立．
综上所述，如果以点D、E、F为顶点的三角形与相似，AE的长为．
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质得出，从而证出结论；
（2）作垂足为点H，根据，得出，再求证出， 得出，解之即可；
（3）连接DF，设，由，如果以点D、E、F为顶点的三角形与相似，即以点D、E、F为顶点的三角形与相似．分两种情况：若，则；若，则 ，分类讨论即可。
48．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，直线BC的解析式为y＝kx＋12（k≠0），AC⊥BC，线段OA的长是方程x2﹣15x﹣16＝0的根．请解答下列问题：
（1）求点A、点B的坐标．
（2）若直线l经过点A与线段BC交于点D，且tan∠CAD＝，双曲线y＝（m≠0）的一个分支经过点D，求m的值．
（3）在第一象限内，直线CB下方是否存在点P，使以C、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：x2﹣15x﹣16＝0，
因式分解得，
解得，
点A在x轴的正半轴上，OA=16，
∴点A（16，0），
∵直线BC的解析式为y＝kx＋12，
与y轴交点C为（0，12），
∴tan∠OAC=，∠OCA+∠OAC=90°，
∵AC⊥BC，
∴∠BCO+∠OCA=90°，
∴∠BCO=∠OAC，
∴tan∠BCO= tan∠OAC=，
∴OB=，
∴点B（-9，0）；
（2）解：过点D作DE⊥y轴于E，DF⊥x轴于F，
在Rt△AOC中，AC=，
在Rt△BOC中BC=，
∵tan∠CAD＝，
∴，
∵sin∠BCO=，
∴DE= CDsin∠BCO=，
∴CE=，OE=OC-EC=12-4=8，
∴点D（-3，8），
∵双曲线y＝（m≠0）的一个分支经过点D，
∴；
（3）点P的坐标（16，12）或（）或或()
【解析】【解答】解：过点A作AP1与过点C与x轴平行的直线交于P1，
则∠CP1A=∠P1CO=∠COA=90°，
∴四边形COAP1为矩形，
∴点P1（16，12），
当点P1（16，12）时，CP1∥OA，
∠P1CA=∠CAB，∠ACB=∠CP1A，
∴△P1CA∽△CAB，
作P2A⊥AC交CP1延长线于P2，
∵∠CAP2=∠BCA=90°，∠P2CA=∠CAB，
∴△CAP2∽△ACB，
∴cos∠CAO=，
∴cos∠P2CA= cos∠CAO=，
∴，
∴点P2的横坐标绝对值=，纵坐标的绝对值=OC=12，
∴点P2（），
作∠P3CA=∠OCA，在射线CP3截取CP3=CO=12，连结AP3，
在△CP3A和△COA中，
，
∴△CP3A≌△COA（SAS），
∴AP3=OA=16，
∴，
∴
∴△P3CA∽△CAB，
设P3（x，y）
，
整理得，
解得：，
∴点P3（），
延长CP3与延长线交P4，过P4作PH⊥x轴于H，
∵∠P4CA=∠CAB，∠P4AC=∠BAC=90°，
∴△CAP4∽△ACB，
∵∠BAC+∠HAP4=∠CAP3+∠P3AP4=90°，∠CAP3=∠BAC，
∴∠HAP4=∠P3AP4，
∠P4P3A=180°-∠CP3A=180°-90°=90°=∠P4HA，
在△P4P3A和△P4HA中，
，
△P4P3A≌△P4HA（ASA），
∴AP3=AH=16，P3P4=P4H，
∵cos∠P3CA=，
∴，
∴，OH=OA+AH=OA+AP3=16+16=32，
∴点，
综合直线CB下方，使以C、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．点P的坐标（16，12）或（）或或()．
【分析】（1）先解方程求得A点坐标，根据相似求得AB的长，进而求得B点坐标；
（2）过点D作DE⊥y轴于E，DF⊥x轴于F，先求得CD，再利用勾股定理得出CE的长，进而求的结果；
（3）分四种情况：△P1CA∽△CAB，△CAP2∽△ACB，△P3CA∽△CAB，△CAP4∽△ACB，分类讨论即可。
49．已知， 在 中， ， 点 E 是射线 上的动点， 点 O 是边 上的动点，且 ， 射线 交射线 于点 D．
（1）如图 1， 如果 ， 求 的值；
（2）联结， 如果 是以为腰的等腰三角形，求线段的长；
（3）当点E在边上时， 联结， 求线段的长．
【答案】（1）解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵OC＝OE，
∴∠OEC＝∠C，
∴∠B＝∠OEC，
∴△ABC∽△OEC，
∴，
∴，
∴CE＝3.2，
∴AE＝1.8；
∵∠AED＝∠OEC＝∠B，∠D＝∠D，
∴△OBD∽△AED，
∴，
∴．
（2）解：
∵ 是以为腰的等腰三角形，
∴AE＝OE，
∵OC＝OE，
∴设AE＝OE＝OC=x，
由（1）得，△ABC∽△OEC，
∴，
∴，
解得，，经检验，是原方程的解；
则的长是为．
（3）解：
由（1）得，∠B＝∠OEC，
∵∠OEC+∠OEA＝180°，
∴∠B+∠OEA＝180°，
∴A、B、O、E四点共圆，
∴∠DBE＝∠AOD，
∵，
∴，
∴AO∥DC，
∴△AOE∽△CDE，△ABO∽△DBC，
∴，，
∴，
设OC=x，OB=8-x，
∵△ABC∽△OEC，
∴，
∴，
解得，，
∴
∴，
解得，，（舍去），
则的长是为．
【解析】【分析】（1）先证明 △ABC∽△OEC，可得，据此求出CE=3.2，即得AE＝1.8，再证明
△OBD∽△AED，可得，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解；
（2）由等腰三角形的性质可得AE＝OE，由OE＝OC可设AE＝OE＝OC=x，由（1）知，据此建立关于x的方程，解之即可；
（3）证明△AOE∽△CDE，△ABO∽△DBC，利用相似三角形的性质可求出， 设OC=x，OB=8-x，由（1）知可得CE=1.6x，即得，利用建立关于x方程，求解即可.
50．如图1，⊙O的直径AB为4，C为⊙O上一个定点，∠ABC=30°，动点P从A点出发沿半圆弧 向B点运动（点P与点C在直径AB的异侧)，当P点到达B点时运动停止，在运动过程中，过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点.
（1）求证：△ABC∽△PDC
（2）如图2，当点P到达B点时，求CD的长；
（3）设CD的长为 .在点P的运动过程中， 的取值范围为（请直接写出案）.
【答案】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠PCD，
又∵∠A=∠P，
∴△ABC∽△PDC
（2）解：∵∠ABC=30°，AB=4，
∴BC= ，
∵△ABC∽△PDC，
∴∠D=∠ABC=30°，
∴CD=6
（3）解：如图，
∵AB是直径，∠ABC=30°，AB=4
∴∠ACB=90°，∠A=∠P=60°，AC=2，
∵CD⊥PC，
∴∠PCD=90°，CD=PC tan60°，
∵PC的最小值=AC=2，PC的最大值为直径=4，
∴CD的最小值为2 ，最大值为4 ，
∴2 ≤CD≤4
【解析】【分析】（1）利用圆周角定理，进而用"两角法"证出相似；（2）利用30度角的正切，由AB求出BC，再求出CD；（3）可用PC及三角函数表示出CD，当PC最小时，CD最小，CD最大，PC最大.
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