新人教版七年级数学上名师点拨与训练第6章几何图形6.2.2 专题 线段计算中体现的四种数学思想

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新人教版七年级数学上名师点拨与训练
第6章 几何图形
6.2.2 专题 线段计算中体现的四种数学思想
一 方程思想
方程的思想,是对于一个问题用方程解决的应用,也是对方程概念本质的认识,是分析数学问题中变量间 的等量关系,构建方程或方程组,或利用方程的性质去分析、转换、解决问题。要善用方程和方程组观点来观察处理问题。方程思想是动中求静,研究运动中的等量关系。当一个问题可能与某个方程建立关联时,可以构造方程并对方程的性质进行研究以解决这个问题.
【例1-1】如图，在数轴上有A，B，C，D四个整数点（即各点均表示整数），且2AB= BC=3CD.若A，D 两点表示的数分别为-5和6，E 为线段BD 的中点，求点 E 表示的数.
.
【例1-2】 如图，C，D是线段AB上两点，已知AC：CD：DB=1：2：3，M，N分别为AC，DB的中点，且AB=18 cm，求线段 MN 的长.
解题策略：
在计算线段长度问题时，已知线段的和差关系或比例关系时，可以将关键线段设未知数，并用所设未知数表示其他线段，建立方程模型解决问题。
【变式1-1】．
（1）【问题探究】
如图，点C，D 均在线段AB 上且点C 在点 D 左侧，若AC=BD，CD=6 cm，AB=9 cm，则线段AC 的长为　 　 cm。
（2）【方法迁移】
已知点C，D 均在线段AB 上且点C 在点D 左侧，若AC=BD，CD=a( cm)，AB=b( cm)(b>a)，则线段AC 的长为　 　 cm(用含a，b 的代数式表示)。
（3）【学以致用】
已知七年级某班共有m人，在本班参加拓展课报名统计时发现，选择围棋课的人数是n(n【变式1-2】．如图，在线段AB 的延长线上取一点C，使BC=2AB，在BA 的延长线上取一点 D，使DA=AB，取AB的中点E。若DE=7.5cm，则DC的长为　 　 cm。
【变式1-3】．如图，B，C 两点把线段MN 分成三部分，且MB ：BC：CN=2：3：4，P 是MN 的中点。若PC=2cm，则MN=　 　 cm。
【变式1-4】．如图，线段AB被点C、D分成了3：4：5三部分，且AC的中点M和DB的中点N之间的距离是40cm，求AB的长．
【变式1-5】． 如图，已知点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．
（1）若线段AC=12，BC=8，求线段MN的长度．
（2）设AB=a，求线段MN的长度．
（3）解决问题：已知线段DE，延长DE到F，使EF= DE；延长ED到G，使DG=2DE，P，Q分别是EF，DG的中点．若PQ=18 cm，求DE的长．
二 分类讨论思想
分类讨论,就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需要对研究对象按某个标准进行分类,然后对每一类分别研究得出每一类的结论,最后综合各类结果得到整个问题的解答。
【例2-1】．如图，数轴上 A，B两点之间的距离. 有一根木棒MN，MN 在数轴上移动（点 M 始终在点 N 的左侧），当点 N 移动到与A，B其中一个端点重合时，点M 所对应的数为9，则当点 N 移动到线段AB 的中点时，点M 所对应的数为　 　.
【例2-2】．一根绳子AB 的长为20cm，C，D 是绳子AB 上任意两点(点C在点D 的左侧)。将AC，BD分别沿C，D两点翻折(翻折处长度不计)，A，B两点分别落在CD 上的点E，F 处。
（1）当CD=12cm时，E，F 两点间的距离为　 　 cm。
（2）当E，F 两点间的距离为2cm时，CD的长为　 　 cm。
【例2-3】．如图，数轴上A，B两点对应的有理数分别为10和15，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点Q同时从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒．
（1）当0＜t＜5时，用含t的式子填空：
BP＝　 　，AQ＝　 　；
（2）当t＝2时，求PQ的值；
（3）当PQ＝ AB时，求t的值．
解题策略
当题目条件中没有图形，位置不确定时，或者有些条件的表述不明确时，通常需要分类讨论，分类的标准是对不确定的几种可能情况进行分类。
【变式2-1】．已知，点C在直线上，，点M是线段的中点，则线段　 　．
【变式2-2】已知点 A，B，C在一条直线上，AB=6，BC=2，点M是线段AC的中点，求线段AM的长度.
【变式2-3】．已知线段 AB=10，C为AB 延长线上的一点，D是线段AC 的中点，且点 D 不与点B 重合.若线段 BD=4，求线段 BC的长.
【变式2-4】．如图所示，点C在线段上，，点M、N分别是、的中点．
（1）求的长度；
（2）求的长度；
（3）若数P在直线上，且，点Q为的中点，请直接写出的长度，不用说明理由．
三 整体思想
整体思想就是从问题的整体性质出发,突出对问题的整体结构的分析和改造,发现问题的整体结构特征,善于用“集成”的眼光,把某些式子或图形看成一个整体,把握它们之间的关联,进行有目的、有意识的整体处理。
【例3-1】．如图1，已知点 C 在线段AB 上，且
（1）若点 C 为线段AB 上任意一点，其他条件不变，且满足 AC+BC=a，求线段 MN 的长.
（2）如图 2，若点 C 为线段AB 延长线上任意一点，其他条件不变，且满足AC-BC=b，求线段 MN的长.
【例3-2】．如图，已知点C在线段上，且cm，cm，点M，N分别是，的中点，要求线段的长度，可进行如下的计算．
（1）请填空：解：因为M是的中点，所以___________，因为cm，所以cm．因为N是的中点，所以，因为cm，所以___________，所以___________．
（2）对于（1），如果cm，cm，其他条件不变，请求出的长度．（要求有过程）
解题策略：
在求线段长度的过程中，若发现该线段分成的几条线段长无法直接求出，（或者直接求出非常复杂），可考虑整体思想，分析出要求的线段整体上与已知线段之间存在的数量关系。
【变式3-1】．如图，已知点在线段的延长线上，点，分别是，的中点．
（1）若，，则线段　 　；　 　．（直接写出结果）
（2）若，，其他条件不变，求线段的长．（用含的式子表示）
【变式3-2】．如图所示，点是线段的中点，．
（1）若，，则　 　，　 　；
（2）若，，求线段的长用含、的式子表示．
【变式3-3】．已知点 是线段 上一点， .
（1）若 ，求 的长；
（2）若 ， 是 的中点， 是 的中点，请用含 的代数式表示 的长，并说明理由.
【变式3-4】如图，已知C，D为线段AB上顺次两点，M，N分别是AC，BD的中点．
（1）若AB＝24，CD＝10，求MN的长．
（2）若AB＝a，CD＝b，请用含，b的式子表示出MN的长．
【变式3-5】如图，点C，D为线段AB的三等分点，点E为线段AC的中点，若ED＝12，则线段AB的长为 　 　．
四 利用数形结合思想、方程思想、分类讨论思想解决动态问题。
数形结合思想通过“以形助数,以数辅形”,使复杂问题简单化,抽 象问题具体化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的 本质,它是数学的规律性与灵活性的有机结合。
【例4-1】．如图，已知A，B，C 是数轴上的三点，O是原点，点C 表示的数为6，BC=4，AB=12。
（1）写出数轴上点 A，B表示的数。
（2）动点 P，Q分别从点A，C同时出发，点P 以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q 以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，M为AP 的中点，点 N 在线段CQ 上，且 设运动时间为t(s)(t>0)。
①求数轴上点 M，N表示的数(用含 t 的式子表示)。
②当t 为何值时，原点O 恰为线段PQ 的中点
【例4-2】．已知有理数在数轴上对应的点分别为，其中b是最小的正整数，满足．
（1）填空：__________，_____________，___________；
（2）现将点A，点B和点C分别以每秒4个单位长度，1个单位长度和1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒．
i）定义：已知为数轴上任意两点，将数轴沿线段的中点Q进行折叠，点M与点N刚好重合，所以我们又称线段的中点Q为点M和点N的折点．
试问：当t为何值时，这三个点中恰好有一点为另外两点的折点？
ii）当点A在点C左侧时（不考虑点A与点B重合），是否存在一个常数m，使得的值在一定时间范围内不随t的改变而改变？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【例4-3】． 定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．
图1 图2
（1）如图1，点是线段的一个三等分点，满足，若，则　 　．
（2）如图2，已知，点从点出发，点从点出发，两点同时出发，都以每秒的速度沿射线方向运动秒．
①当为何值时，点是线段的三等分点．
②在点，点开始出发的同时，点也从点出发，以每秒的速度沿射线方向运动，在运动过程中，点，点分别是，的三等分点，请直接写出的值．
解题策略：
点在线段上运动时，若涉及速度，解决问题的关键就是用点运动的路程表示线段的长度，利用线段的和差关系建立方程求出未知的时间即可。通常应用方程思想，分类思想，数形结合思想。
【变式4-1】．数轴是数学中的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美的结合，如：数轴上点表示的数为，点表示的数为，则两点之间的距离为．如图所示，点为数轴上的三个点，表示的数分别为，满足，且为的倒数．动点，分别从点出发，分别以每秒1个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动，三个动点同时出发，设运动的时间为秒（），请回答下列问题：
（1）直接写出的值：　 　，　 　，　 　；
（2）当时，求的值；
（3）在运动过程中，的值是否发生变化？若发生变化，请用含的式子表示；若不发生变化，请求出的值．
【变式4-2】．已知线段，点C为线段AB的中点，点D为线段AC上的三等分点，则线段BD的长的最大值为（　　）
A．16 B．18 C．15 D．20
【变式4-3】．如图，点O是数轴的原点，点A在数轴上位于原点左侧，点B在数轴上位于原点右侧，．
（1）当，时，点A表示的数为　 　，点B表示的数为　 　；
（2）若点C、D为数轴上任意两点，点M是线段AC的中点，点N是线段BD的中点．
①当点C与点D重合时，探究AB与MN的数量关系，并说明理由．
②当时，直接写出MN的长度（用m，n表示）．
【变式4-4】．综合运用
【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离，线段的中点表示的数为．
【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（）．
备用图
【综合运用】
（1）A，B两点间的距离　 　，线段的中点表示的数为　 　；
（2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数；
（3）求当t为何值时，；
（4）若点M为的中点，点N为的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段的长．
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第6章 几何图形
6.2.2 专题 线段计算中体现的四种数学思想
一 方程思想
方程的思想,是对于一个问题用方程解决的应用,也是对方程概念本质的认识,是分析数学问题中变量间 的等量关系,构建方程或方程组,或利用方程的性质去分析、转换、解决问题。要善用方程和方程组观点来观察处理问题。方程思想是动中求静,研究运动中的等量关系。当一个问题可能与某个方程建立关联时,可以构造方程并对方程的性质进行研究以解决这个问题.
【例1-1】如图，在数轴上有A，B，C，D四个整数点（即各点均表示整数），且2AB= BC=3CD.若A，D 两点表示的数分别为-5和6，E 为线段BD 的中点，求点 E 表示的数.
【答案】解：设，则
∵，
∴，解得，
∴
又∵点A 表示的数是-5，
∴点B 表示的数是-5+3=-2.
∵点D 表示的数是6，
∴线段BD 的中点E 表示的数为
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】设，则 ，根据A、D表示的数得到，列方程求得x，再求得B表示的数，根据E为线段BD 的中点求解即可.
【例1-2】 如图，C，D是线段AB上两点，已知AC：CD：DB=1：2：3，M，N分别为AC，DB的中点，且AB=18 cm，求线段 MN 的长.
【答案】
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】设AC、CD、DB的长分别为xcm、2xcm、3xcm，先结合“AC＋CD＋DB＝AB”可得x＋2x＋3x＝18，求出x的值，再求出AC＝3cm，CD＝6cm，DB＝9cm，再利用线段中点的性质求出MC和DN的长，最后利用线段的和差求出MN的长即可.
解题策略：
在计算线段长度问题时，已知线段的和差关系或比例关系时，可以将关键线段设未知数，并用所设未知数表示其他线段，建立方程模型解决问题。
【变式1-1】．
（1）【问题探究】
如图，点C，D 均在线段AB 上且点C 在点 D 左侧，若AC=BD，CD=6 cm，AB=9 cm，则线段AC 的长为　 　 cm。
（2）【方法迁移】
已知点C，D 均在线段AB 上且点C 在点D 左侧，若AC=BD，CD=a( cm)，AB=b( cm)(b>a)，则线段AC 的长为　 　 cm(用含a，b 的代数式表示)。
（3）【学以致用】
已知七年级某班共有m人，在本班参加拓展课报名统计时发现，选择围棋课的人数是n(n【答案】（1）1.5
（2）
（3）解：如图，
表示七年级某班人数，
表示七年级某班男生人数，
表示七年级某班女生人数，
表示参加围棋课的男生，
表示未参加围棋课的男生，
表示未参加围棋课的女生，
表示参加围棋课的女生，
设，，则，，
∵选择围棋课的人数有人，
∴，即，解得：，
∵，
∴．
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】（1）解：∵，，，
∴，
故答案为：；
（）解：∵，，，
∴，
故答案为：；
【分析】（）利用线段和差可得，，即可求解；
（）利用线段和差，即可求解；
（）根据题意画出线段图，设，，则，，根据题意，表示出m，n，即可求解；
【变式1-2】．如图，在线段AB 的延长线上取一点C，使BC=2AB，在BA 的延长线上取一点 D，使DA=AB，取AB的中点E。若DE=7.5cm，则DC的长为　 　 cm。
【答案】20
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：设，
为的中点，，
∴，
则
解得
∴
∴
∴，
故答案为：．
【分析】设，根据E为的中点可得，根据，求得x，再根据，求解即可.
【变式1-3】．如图，B，C 两点把线段MN 分成三部分，且MB ：BC：CN=2：3：4，P 是MN 的中点。若PC=2cm，则MN=　 　 cm。
【答案】36
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵，
∴设，
则，
∵点P是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴．
故答案为：．
【分析】根据线段比例，设设，则，列出一元一次方程求解即可．本题考查两点间的距离，弄清楚线段之间的数量关系是关键．
【变式1-4】．如图，线段AB被点C、D分成了3：4：5三部分，且AC的中点M和DB的中点N之间的距离是40cm，求AB的长．
【答案】解：依题可设AC=3xcm，则CD=4xcm，DB=5xcm，∵M是AC的中点，N是DB的中点，∴CM= AC= cm，DN= DB= cm∵MN=MC+CD+DN，MN=40cm，∴ ，解得：x=5，∴AB=AC+CD+DB=12x=12×5=60（cm）.
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】根据题意可设AC=3xcm，则CD=4xcm，DB=5xcm，根据中点定义可知CM= cm，DN= cm，由MN=MC+CD+DN=40cm，代入可列出方程，解之求得x值，从而求得AB长.
【变式1-4】 如图，已知点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．
（1）若线段AC=12，BC=8，求线段MN的长度．
（2）设AB=a，求线段MN的长度．
（3）解决问题：已知线段DE，延长DE到F，使EF= DE；延长ED到G，使DG=2DE，P，Q分别是EF，DG的中点．若PQ=18 cm，求DE的长．
【答案】（1）∵AC=12，BC=8，M，N 分别是AC，BC的中点，
∴MC= AC，NC= BC，
∴MN= AC+ BC= ×12+ ×8=10．
（2）由(1)可知MN= AC+ BC= (AC+BC)= AB，
∵AB=a，
∴MN= a．
（3）设DE=x cm，则EF= DE= x cm，
EP= EF= x cm，DG=2x cm，DQ= DG=xcm．
∵PQ=18 cm，可得x+x+x=18，
解得x=8，
则DE=8 cm．
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】（1）由线段的中点可得MC= AC，NC= BC，由MN= AC+ BC即可求解；
（2）由(1)可知MN= AC+ BC= (AC+BC)= AB，继而得解；
（3）设DE=x cm，则EF= DE= x cm，EP= EF= x cm，DG=2x cm，DQ= DG=xcm．根据PQ=18 cm建立方程并解之即可.
二 分类讨论思想
分类讨论,就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需要对研究对象按某个标准进行分类,然后对每一类分别研究得出每一类的结论,最后综合各类结果得到整个问题的解答。
【例2-1】．如图，数轴上 A，B两点之间的距离. 有一根木棒MN，MN 在数轴上移动（点 M 始终在点 N 的左侧），当点 N 移动到与A，B其中一个端点重合时，点M 所对应的数为9，则当点 N 移动到线段AB 的中点时，点M 所对应的数为　 　.
【答案】21或-3
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：设 MN 的长度为m.分两种情况讨论：
①当点N 与点A 重合时，由点M 所对应的数为9，得点 N 所对应的数为m+9，
当点 N 移动到线段AB 的中点时，点 N 所对应的数为m+9+12=m+21，
故点M 所对应的数为m+21-m=21.
②当点N 与点B 重合时，由点M 所对应的数为9，得点 N 所对应的数为m+9，
当点N 移动到线段AB的中点时，点N 所对应的数为m+9-12=m-3，
故点M所对应的数为m-3-m=-3.
综上所述，点M 所对应的数为21或-3.
故答案为：21或-3.
【分析】设 MN 的长度为m，分两种情况，当点N 与点A 重合时和当点N 与点B 重合时，根据题意，表示出点N对应的数，即可求解.
【例2-2】．一根绳子AB 的长为20cm，C，D 是绳子AB 上任意两点(点C在点D 的左侧)。将AC，BD分别沿C，D两点翻折(翻折处长度不计)，A，B两点分别落在CD 上的点E，F 处。
（1）当CD=12cm时，E，F 两点间的距离为　 　 cm。
（2）当E，F 两点间的距离为2cm时，CD的长为　 　 cm。
【答案】（1）4
（2）11或9
【知识点】两点之间线段最短；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
由于翻折，如图，则，
∴，
∴，两点间的距离为；
故答案为：；
（2）当时，如图，
由于翻折，则，
由图知，，即，
∴，
∴；
当时，如图，
则，即，
∴，
∴；
综上，的长为或．
故答案为：或．
【分析】（1）由已知，翻折后，则，两点间的距离为，由此即可求解；
（2）分两种情况：及，画出图形，即可求解．
【例2-3】．如图，数轴上A，B两点对应的有理数分别为10和15，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点Q同时从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒．
（1）当0＜t＜5时，用含t的式子填空：
BP＝　 　，AQ＝　 　；
（2）当t＝2时，求PQ的值；
（3）当PQ＝ AB时，求t的值．
【答案】（1）5－t；10－2t
（2）解：当t=2时，P点对应的有理数为10+2=12，Q点对应的有理数为2×2=4，所以PQ=12﹣4=8；
（3）解：∵t秒时，P点对应的有理数为10+t，Q点对应的有理数为2t，∴PQ=|2t﹣（10+t）|=|t﹣10|，∵PQ= AB，∴|t﹣10|=2.5，解得t=12.5或7.5．
【知识点】线段上的两点间的距离；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）∵当0＜t＜5时，P点对应的有理数为10+t＜15，Q点对应的有理数为2t＜10，∴BP=15﹣（10+t）=5﹣t，AQ=10﹣2t．
故答案为：5﹣t，10﹣2t；
【分析】（1）先求出当0＜t＜5时，P点对应的有理数为10+t＜15，Q点对应的有理数为2t＜10，再根据两点间的距离公式即可求出BP，AQ的长；（2）先求出当t=2时，P点对应的有理数为10+2=12，Q点对应的有理数为2×2=4，再根据两点间的距离公式即可求出PQ的长；（3）由于t秒时，P点对应的有理数为10+t，Q点对应的有理数为2t，根据两点间的距离公式得出PQ=|2t﹣（10+t）|=|t﹣10|，根据PQ= AB列出方程，解方程即可．
解题策略
当题目条件中没有图形，位置不确定时，或者有些条件的表述不明确时，通常需要分类讨论，分类的标准是对不确定的几种可能情况进行分类。
【变式2-1】．已知，点C在直线上，，点M是线段的中点，则线段　 　．
【答案】或3
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：当点C在线段上时，如图1，
∵，
∴，
∵点M是线段的中点，
∴，
∴；
当点C在线段的延长线上时，
∵，
∴，
∵点M是线段的中点，
∴，
∴，
即或3．
故答案为：或3
【分析】本题主要考查了线段的中点的相关计算，根据题意，分点C在线段上和点C在线段的延长线上，两种情况讨论，利用线段中点的性质和线段的和差，进行计算，即可求解.
【变式2-2】已知点 A，B，C在一条直线上，AB=6，BC=2，点M是线段AC的中点，求线段AM的长度.
【答案】解：①当C在线段AB 上时，如图1，
AC=AB－BC=6－2=4.
∵M是AC 的中点，
∴
②当C在线段AB 的延长线上时，如图2，
AC=AB+BC=6+2=8，
∵M是AC的中点，
∴
综上所述，AM的长为2 或4.
【知识点】线段的中点；数学思想；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】分C在线段AB 上和C在线段AB 的延长线上两种情况，分别计算出AC的长，再利用线段中点的定义即可求出AM的长.
【变式2-3】．已知线段 AB=10，C为AB 延长线上的一点，D是线段AC 的中点，且点 D 不与点B 重合.若线段 BD=4，求线段 BC的长.
【答案】解：当点 D在点B 的右侧时，如图1，
∵BD=4，
∴AD=AB+BD=10+4=14，
∵D是线段AC的中点，
∴AD=CD=14，
∴BC=BD+CD=4+14=18；
当点D在点B的左侧时，如图2，
AD=AB－BD=10－4=6，
∵D是线段AC中点，
∴AD=CD=6，
∴BC=CD－BD=6－4=2.
综上所述，线段 BC的长为18或2.
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】分点D在点B的右侧和点D在点B的左侧两种情况，分别计算出AD的长，最后利用线段中点的定义即可求出BC的长.
【变式2-4】．如图所示，点C在线段上，，点M、N分别是、的中点．
（1）求的长度；
（2）求的长度；
（3）若数P在直线上，且，点Q为的中点，请直接写出的长度，不用说明理由．
【答案】（1）解：，点N分别是的中点，
，
即的长度为；
（2）解：，点M分别是的中点，
，
由（1）可知，，
，
即的长度为；
（3）的长度为或．
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】（3）解：的长度为或，理由如下：
，点Q为的中点，
，
如图，若点在线段上，则；
若点在的延长线上，则；
综上可知，的长度为或．
【分析】（1）利用线段中点的性质分析求解即可；
（2）先利用线段中点的性质求出BM的长，再利用线段的和差求出MN的长即可；
（3）先利用线段中点的性质求出BQ的长，再分类讨论：①若点在线段上，②若点在的延长线上，再分别画出图形并利用线段的和差求出QN的长即可.
三 整体思想
整体思想就是从问题的整体性质出发,突出对问题的整体结构的分析和改造,发现问题的整体结构特征,善于用“集成”的眼光,把某些式子或图形看成一个整体,把握它们之间的关联,进行有目的、有意识的整体处理。
【例3-1】．如图1，已知点 C 在线段AB 上，且
（1）若点 C 为线段AB 上任意一点，其他条件不变，且满足 AC+BC=a，求线段 MN 的长.
（2）如图 2，若点 C 为线段AB 延长线上任意一点，其他条件不变，且满足AC-BC=b，求线段 MN的长.
【答案】（1）解：∵，
∴ .
（2）解：∵，
∴
.
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】（1）利用线段的加减，即可求出MN的长；
（2）先表示出MC和NC的长，用MC－NC，即可得到MN的长.
【例3-2】．如图，已知点C在线段上，且cm，cm，点M，N分别是，的中点，要求线段的长度，可进行如下的计算．
（1）请填空：解：因为M是的中点，所以___________，因为cm，所以cm．因为N是的中点，所以，因为cm，所以___________，所以___________．
（2）对于（1），如果cm，cm，其他条件不变，请求出的长度．（要求有过程）
【答案】（1）；3cm；7cm
（2）解：点M，N分别是，的中点，cm，cm，∴cm，cm，
又∵，
∴cm．
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：（1）∵点M，N分别是，的中点，cm，cm，
∴cm，cm，
又∵，
∴cm．
故答案为：；3cm；7cm.
【分析】
（1）根据题意，由点M，N分别是，的中点，结合，，求得的长，再由，得到的值，即可求出的长度；
（2）将cm，cm， 代入分别求得，结合，用a，b表示MN的长度，得到答案．
解题策略：
在求线段长度的过程中，若发现该线段分成的几条线段长无法直接求出，（或者直接求出非常复杂），可考虑整体思想，分析出要求的线段整体上与已知线段之间存在的数量关系。
【变式3-1】．如图，已知点在线段的延长线上，点，分别是，的中点．
（1）若，，则线段　 　；　 　．（直接写出结果）
（2）若，，其他条件不变，求线段的长．（用含的式子表示）
【答案】（1）20；15
（2）解：∵点，分别是，的中点，
∴，
∵
∴，
∴
则.
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】（1）∵点，分别是，的中点，
∴MC=AC，NC=BC，
∵，，
∴AC=40，NC=5，
∴MC=20，MN=15，
故答案为：20；15.
【分析】（1）利用线段中点的性质求出MC=AC，NC=BC，再将数据代入求出MC=20，MN=15即可；
（2）利用线段中点的性质求出MC=AC，NC=BC，再求出，利用线段的和差求出最后求出即可.
【变式3-2】．如图所示，点是线段的中点，．
（1）若，，则　 　，　 　；
（2）若，，求线段的长用含、的式子表示．
【答案】（1）6；11
（2）解：，，
，，
，
，
点是线段的中点，
，
，
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】（1）∵CN=4，CN=2BN，
∴BN=2，BC=6，
∵AB=16，
∴AC=AB+BC=22，
∵点M是线段AC的中点，
∴AM=CM=11，
故答案为：6，11.
【分析】（1）利用线段的和差求出AC的长，再利用线段中点的性质求出AM的长即可；
（2）先求出AC的长，再利用线段中点的性质求出，最后利用线段的和差求出即可.
【变式3-3】．已知点 是线段 上一点， .
（1）若 ，求 的长；
（2）若 ， 是 的中点， 是 的中点，请用含 的代数式表示 的长，并说明理由.
【答案】（1）解：∵ ， ，
∴
∴
（2）解：如图，∵ 是 的中点， 是 的中点，
∴ ， ，
∴
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】(1)先由 ，代入得到AC=20，再根据线段的和差关系得到.
(2)先根据线段中点性质得到， ， ，再根据线段的和差关系得到 DE=DC+CE=.
【变式3-4】如图，已知C，D为线段AB上顺次两点，M，N分别是AC，BD的中点．
（1）若AB＝24，CD＝10，求MN的长．
（2）若AB＝a，CD＝b，请用含，b的式子表示出MN的长．
分析（1）利用M，N分别是AC，BD的中点，可以得出MC，DN，再利用线段的和差关系表示即可求出答案；
（2）和方法（1）一样，利用线段的和差关系表示出关系式即可．
解：（1）∵M，N分别是AC，BD的中点，
∴MC，DN，
∴MN＝MC+CD+DN17，
故MN的长是17．
答：MN的长是17．
（2）由（1）可知，
MN，
∵AB＝a，CD＝b，
∴MN，
答：MN的长是．
总结提升：本题主要考查两点间的距离，熟练掌握中点的定义和线段的和差关系是解题的关键
【变式3-5】如图，点C，D为线段AB的三等分点，点E为线段AC的中点，若ED＝12，则线段AB的长为 　 　．
分析：设EC＝x，根据点E为线段AC的中点，得AC＝2EC＝2x，再根据点C，D为线段AB的三等分点，得AB＝3AC，结合ED＝12，求出x，进而得出线段AB的长．
解：设EC＝x，
∵点E为线段AC的中点，
∴AC＝2EC＝2x，
∵点C，D为线段AB的三等分点，
∴AC＝CD＝BD＝2x，
∵ED＝EC+CD，ED＝12，
∴x+2x＝12，
解得x＝4，
∴AB＝3AC＝24，
故答案为：24．
总结提升：本题主要考查了两点间的距离，掌握线段三等分点的定义，线段之间的数量转化是解题关键．
四 利用数形结合思想、方程思想、分类讨论思想解决动态问题。
数形结合思想通过“以形助数,以数辅形”,使复杂问题简单化,抽 象问题具体化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的 本质,它是数学的规律性与灵活性的有机结合。
【例4-1】．如图，已知A，B，C 是数轴上的三点，O是原点，点C 表示的数为6，BC=4，AB=12。
（1）写出数轴上点 A，B表示的数。
（2）动点 P，Q分别从点A，C同时出发，点P 以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q 以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，M为AP 的中点，点 N 在线段CQ 上，且 设运动时间为t(s)(t>0)。
①求数轴上点 M，N表示的数(用含 t 的式子表示)。
②当t 为何值时，原点O 恰为线段PQ 的中点
【答案】（1）解：∵点C 表示的数为6，BC=4，
∴OB=6-4=2，
∴点 B 表示的数为2。
∵AB=12，
∴AO=12-2=10，
∴点A 表示的数为-10
（2）解：①由题意可知：AP=6t，CQ=3t。
∵M 为AP 的中点，
∴在数轴上点 M 表示的数是-10+3t。
∵点 N 在CQ上，
∴在数轴上点 N 表示的数是6-t。
②分两种情况讨论：
i.如解图①，当点 P 在点O 的左侧，点Q 在点O的右侧时，。
∵O为PQ 的中点，∴OP=OQ，
∴10-6t=6-3t，解得
ii.如解图②，当点 P 在点O 的右侧，点 Q 在点O 的左侧时，。
∵O为PQ 的中点，∴，
∴，解得 (此时AP=8<10，不合题意，舍去)。
综上所述，当 时，原点O恰为线段PQ 的中点
【知识点】一元一次方程的其他应用；线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】（1）根据数轴上两点间的距离即可求出A、B表示的数；
（2）①根据距离=速度×时间可得AP=6t，CQ=3t，根据中点性质可得AM=3t，根据 可得CN=t，根据线段的和差关系即可得答案；②根据中点定义可得，分两种情况，当点 P 在点O 的左侧，点Q 在点O的右侧时或者当点 P 在点O 的右侧，点 Q 在点O 的左侧时，再根据数轴的性质解答即可.
【例4-2】．已知有理数在数轴上对应的点分别为，其中b是最小的正整数，满足．
（1）填空：__________，_____________，___________；
（2）现将点A，点B和点C分别以每秒4个单位长度，1个单位长度和1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒．
i）定义：已知为数轴上任意两点，将数轴沿线段的中点Q进行折叠，点M与点N刚好重合，所以我们又称线段的中点Q为点M和点N的折点．
试问：当t为何值时，这三个点中恰好有一点为另外两点的折点？
ii）当点A在点C左侧时（不考虑点A与点B重合），是否存在一个常数m，使得的值在一定时间范围内不随t的改变而改变？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）-2，1，5；
（2）
i）t秒后点A、B、C表示的数分别是：4t-2，1+t，5+t，
当点A是中点时，1+t+5+t=2（4t-2），得t=，
当点B是中点时，4t-2+5+t=2（1+t），得t=（舍去），
当点C是中点时，4t-2+1+t=2（5+t），得t=，
综上，当t=或t=时，这三个点中恰好有一点为另外两点的折点；
ii）存在，
∵t秒后点A、B、C表示的数分别是：4t-2，1+t，5+t，
∴AC=5+t-4t+2=7-3t，
当点A在点B的右侧时即AB =4t-2-1-t =3t-3时，
=，
∴常数m=2，此时=2AC+2AB=8，即AC+AB=4，
∵AC+AB=7-3t+3t-3=4，
∴当常数m=2时，的值在一定时间范围内不随t的改变而改变；
当点B在点A右侧即AB=1+t-4t+2=3-3t时，
=，
∴常数m=-2，此时=2AC-2AB=8，即AC-AB=4，
∵7-3t-(3-3t)=4，
∴m=-2舍去，
综上，当常数m=2时，的值在一定时间范围内不随t的改变而改变.
【知识点】线段的中点；偶次方的非负性；绝对值的非负性；一元一次方程的实际应用-几何问题；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：（1）∵b是最小的正整数，∴b=1，
∵，
∴a+2=0，c-5=0，
∴a=-2，c=5，
故答案为：-2，1，5；
【分析】（1）根据b是最小的正整数，得到b=1，再由 ，结合平方式与绝对值的非负性，求得，进而求得a和c的值，得到答案；
（2）i）先得到运动t秒后三个点对应的数为4t-2，1+t，5+t，分点A是中点，点B是中点和点C是中点，三种情况，结合两点的中点公式，列出代数式，分别计算t的值，即可得到答案；
ii）由t秒后点A、B、C表示的数分别是：4t-2，1+t，5+t，分别用t表示出AC、AB，根据，将AC、AB的式子代入，即可求出常数m的值.
【例4-3】． 定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．
图1 图2
（1）如图1，点是线段的一个三等分点，满足，若，则　 　．
（2）如图2，已知，点从点出发，点从点出发，两点同时出发，都以每秒的速度沿射线方向运动秒．
①当为何值时，点是线段的三等分点．
②在点，点开始出发的同时，点也从点出发，以每秒的速度沿射线方向运动，在运动过程中，点，点分别是，的三等分点，请直接写出的值．
【答案】（1）3
（2）解：由题意可得：，
∴，
∵点是线段的三等分点，分两种情况：
当时，，解得：；
当时，，解得：；
综上所述：当为或时，点是线段的三等分点；
由题意得：，则，，
∵点，点分别是，的三等分点，
∴可以分四种情况讨论：
当时，则，，
分别解得：，
∴
解得：；
当时，则，，
分别解得：，
∴
解得：；
当时，则，，
分别解得：，
∴
解得：；
当时，则，，
分别解得：，
∴
解得：（舍去）；
点，点分别是，的三等分点，的值为或或．
【知识点】线段的中点；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）∵点是线段的一个三等分点，满足，，
∴AM+BM=AB，即AM+2AM=9，
解得：AM=3cm.
故答案为：3；
【分析】（1）根据线段的构成AM+BM=AB并结合已知可得关于AM的方程，解方程即可求解；
（2）①根据路程等于速度乘以时间得，则，由题意可分两种情况：Ⅰ、当AC=时，Ⅱ、当AC=时，可得关于t的方程，解方程即可求解；
②由题意可分四种情况讨论：Ⅰ、当AC=，DE=时，Ⅱ、当AC=，DE=时，Ⅲ、当AC=，DE=时，Ⅳ、当AC=，DE=时，分别可得关于x的方程，解方程即可求解.
解题策略：
点在线段上运动时，若涉及速度，解决问题的关键就是用点运动的路程表示线段的长度，利用线段的和差关系建立方程求出未知的时间即可。通常应用方程思想，分类思想，数形结合思想。
【变式4-1】．数轴是数学中的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美的结合，如：数轴上点表示的数为，点表示的数为，则两点之间的距离为．如图所示，点为数轴上的三个点，表示的数分别为，满足，且为的倒数．动点，分别从点出发，分别以每秒1个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动，三个动点同时出发，设运动的时间为秒（），请回答下列问题：
（1）直接写出的值：　 　，　 　，　 　；
（2）当时，求的值；
（3）在运动过程中，的值是否发生变化？若发生变化，请用含的式子表示；若不发生变化，请求出的值．
【答案】（1）-12；-3；3
（2）解：方法一：
运动秒后，点表示的数是，点表示的数是
分两种情况：
①在点与点相遇之前时，，解得
②在点与点相遇之后时，，解得
所以，当或时，．
方法二：
运动秒后，点表示的数是，点表示的数是
因为，所以
所以或，所以或
（3）解：不会发生变化，
秒后，点表示的数是
所以，，
所以
故的值不会发生变化，．
【知识点】有理数的倒数；偶次方的非负性；绝对值的非负性；线段的和、差、倍、分的简单计算；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】（1）∵为的倒数 ，
∴b=-3，
∵，
∴a+12=0，-3+c=0，
解得：a=-12，c=3，
故答案为：-12；-3；3.
【分析】（1）利用倒数的定义求出b的值，再利用非负数之和为0的性质求出a、c的值即可；
（2）先求出点M、N表示的数，再分类讨论： ①在点与点相遇之前时，②在点与点相遇之后时， 再分别列出方程求解即可；
（3）先求出点P表示的数，再利用两点之间的距离公式求出PM和CN的长，最后利用线段的和差求出即可.
【变式4-2】．已知线段，点C为线段AB的中点，点D为线段AC上的三等分点，则线段BD的长的最大值为（　　）
A．16 B．18 C．15 D．20
【答案】D
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】∵点C为线段AB的中点，AB=24，
∴AC=BC=AB=12，
∵点D是线段AC上的三等分点，
∴CD=AC=4或CD=AC=8，
①当CD=AC=4时，如图所示：
∴BD=BC+CD=12+4=16；
②当CD=AC=8时，如图所示：
∴BD=BC+CD=12+8=20，
综上，线段BD的长的最大值为20，
故答案为：D.
【分析】先利用线段中点的性质及线段的和差求出CD=AC=4或CD=AC=8，再分类画出图形并利用线段的和差求出BD的长即可.
【变式4-3】．如图，点O是数轴的原点，点A在数轴上位于原点左侧，点B在数轴上位于原点右侧，．
（1）当，时，点A表示的数为　 　，点B表示的数为　 　；
（2）若点C、D为数轴上任意两点，点M是线段AC的中点，点N是线段BD的中点．
①当点C与点D重合时，探究AB与MN的数量关系，并说明理由．
②当时，直接写出MN的长度（用m，n表示）．
【答案】（1）-6；2
（2）解：①∵点M是AC的中点，点N是CB的中点，
，，
如图，当点C在线段AB上时：
，
如图，当点C在线段BA的延长线上时：
，
如图，当点C在线段AB的延长线上时：
，
综上所述，；
②或．
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：（1）∵，，，
∴，即，
∵点B在数轴上位于原点右侧，
∴点B表示的数为：，
∴，
∵点A在数轴上位于原点左侧，
∴点A表示的数为∶，
故答案为：；
（2）②∵点C、D为数轴上任意两点，点M是线段的中点，点N是线段的中点，
∴分情况讨论：
当在上时，点D在上时，
∵，，
∴，
∴，
∴；
当在上时，点D在延长线上时，
设：，则，
∵，
∴，
∴，
∴；
当在上时，点D在延长线上时，
设，则，，
∴，
∴，
∴，
∴；
当在延长线上时，点D在延长线上时，
同理得：；
当在延长线上时，点D在上时，
同理得：；
当在延长线上时，点D在延长线上时，
同理得：；
当在延长线上时，点D在延长线上时，
同理得：；
当在延长线上时，点D在上时，
同理得：；
当在延长线上时，点D在延长线上时，
同理得：；
综上所述：或．
【分析】（1）先根据线段和差关系计算OA和OB的长，再利用数轴求解即可；
（2）①分两情况讨论：点C在线段AB上或点C在线段BA的延长线上，分别列式即可证明出；
②分9种情况讨论：点C在线段AB上，依据点D在的位置有3种；点C在线段AB的延长线上，依据点D的位置有3种；点C在线段BA的延长线上，依据点D的位置有3种；并列式分别计算即可得到本题答案．
【变式4-4】．综合运用
【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离，线段的中点表示的数为．
【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（）．
备用图
【综合运用】
（1）A，B两点间的距离　 　，线段的中点表示的数为　 　；
（2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数；
（3）求当t为何值时，；
（4）若点M为的中点，点N为的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段的长．
【答案】（1）10；3
（2）解：根据题意可知：t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为，
∵当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相同，
∴，
解得：，
∴，
∴当秒时，P、Q两点相遇，相遇点表示的数为4；
（3）解：根据题意可知：
∵，
∴，
∴或
解得：或，
∴当秒或3秒时，；
（4）解：不变．
根据题意可知：
中点M表示的数为，
中点N表示的数为，
∴
∴线段的长度不变．
【知识点】线段的中点；一元一次方程的实际应用-几何问题；线段的和、差、倍、分的简单计算；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】解：（1）根据数轴可得：点A表示的数为-2，点B表示的数为8，
∴A、B两点之间的距离AB=8-（-2）=10，线段AB中点表示的数为=3，
故答案为：10；3.
【分析】（1）参照题干中的定义，利用两点之间的距离公式及中点表示方法列出算式求解即可；
（2）先分别求出点P表示的数为，点Q表示的数为，再结合“当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相同”列出方程，再求解即可；
（3）先求出，再结合PQ=5，列出方程，求解即可；
（4）先利用中点表示方法分别求出点M、N表示的数，再求出即可.
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