新人教版七年级数学上名师点拨与训练第6章几何图形 6.3.1角的比较与运算

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新人教版七年级数学上名师点拨与训练
第6章 几何图形
6.3.1角的比较与运算
学习目标：
1.掌握角的大小的比较方法.
2.理解角平分线和角的和、差、倍、分的意义及数量关系，能够用几何语言进行相关表述，并能解答相关问题.
3.会进行涉及度、分、秒的角度的计算.
重点：比较角的大小，认识角的大小关系，分析角的和差关系，认识角平分线及画角平分线.
难点：能从图形中观察角的和差关系.
老师告诉你
1.角的大小比较时，如果已知角是锐角、直角、钝角，就可以直接由它们之间的关系比较大小，如果不知道是那种类型的角，可以利用量角器度量角度来比较大小。
2.角平分线的性质是进行角度计算的重要依据，解这类问题要根据角平分线找角的数量关系，并利用图形中相等的角的位置关系，结合角的和差关系转化求解.
一、知识点拨
知识点1 、角的比较：
角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．
（1）叠合法，使两个角的顶点及一边重合，另一边在重合边的同旁进行比较；
（2）度量法，分别用量角器测量两个角的大小，再进行比较。
如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．
【新知导学】
例1-1．如图，用三角尺比较与的大小，其中正确的是( )
A. B. C. D.无法确定
例1-2．如图所示，正方形网格中有和，如果每个小正方形的边长都为1，则与的大小关系为( )
A. B. C. D.无法估测
【对应导练】
1．如图所示，由正方形组成的网格中，点A，B，C，D，O是网格线交点，那么与的大小关系是__________.（填“>”“﹤”或“=”）
2．已知直角，平角，则_________.（填“>”“<”或“=”）
3.己知与都小于平角，在平面内把这两个角的一条边重合，若的另一条边恰好落在的内部，则（ ）．
A． B． C． D．不能比较与的大小
知识点2、 角的和、差关系
如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．
注意：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．
(2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．
【新知导学】
例2-1．在同一平面内，若∠AOB=50°，∠AOC=40°，∠BOD=30°，则∠DOC的度数是______．
例2-2．如图，，，则的大小为( )
A. B. C. D.
【对应导练】
1．如图，.比较与的大小，并说明理由.
2．尺规作图：已知，，作，使得.（不写作法，保留作图痕迹）
3．在同一平面内，若，，则______.
知识点3、 角平分线
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，
∠AOC＝∠BOC =∠AOB．
注意；由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．
【新知导学】
例3-1．如图，，以为边作，使，则下列结论成立的是( )
A. B.
C.或 D.或
例3-2．在的内部引一条射线，则图中共有三个角，分别是、、.若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线是的“好好线”.若，且射线是的“好好线”，则的度数有下列情况：①②③④.其中正确的是( )
A.①② B.③④ C.①②③ D.②③④
【对应导练】
1．已知点A，O，B依次在同一直线上，射线平分，，平分，则的度数是( )
A. B. C. D.或
2．如图，已知，是内的一条射线，且.
（1）求和的度数；
（2）作射线平分，在内作射线，使得，求的度数.
3．如图,,,ON是的平分线,OM是的平分线.
(1)求的大小；
(2)当时,等于多少度？
4．如图，已知，是内的一条射线，且.
(1)求的度数；
(2)过点O作射线，若，求的度数.
二、题型训练
1.角的大小比较
1．如图所示的网格是正方形网格，则______________.（填“>”“<”或“=”）
2．如图所示的网格是正方形网格，______________.（填“>”“=”或“<”）
2.角的和差计算
3．已知，以OA为边画.求的度数.
4．如图，，直线CD经过点O，.
（1）求的度数；
（2）若，试画出，并求出的度数.
3.角平分线的有关计算
5．如图，已知，是内的一条射线，且.
（1）求和的度数；
（2）作射线平分，在内作射线，使得，求的度数.
6．如图,,,ON是的平分线,OM是的平分线.
(1)求的大小；
(2)当时,等于多少度？
三、课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．如图，O为直线AE上一点，OC平分，平分.若，则的度数是( )
A. B. C. D.
2．如图，射线平分，射线平分，则下列等式中成立的有( )
①；
②；
③；
④.
A.①② B.①③ C.②③ D.②④
3．把一副三角板按如图所示拼在一起，则等于( )
A. B. C. D.
4．如图，点O在直线AB上，射线OC平分，若，则等于( )
A. B. C. D.
5．已知，，平分，平分，则的度数是( )
A.或 B.或 C.或 D.或
6．下列度数的角，只借助一副三角尺不能拼出的是( )
A. B. C. D.
7．如图，，，小明想过点O引一条射线OD，使与都小于平角），那么的度数是( )
A. B.或 C. D.或
8．如图，，直线CD经过点O，，则的度数为( )
A. B. C. D.
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．若把45.58°化成以度、分、秒的形式，则结果为_______.
10．如图,已知O是直线上一点,,平分,则________度.
11．如图，，射线OC在外，且，若OM平分，平分，则_________.
13．如图,已知,,OM平分,ON平分,则的度数是______.
三、解答题（每小题8分，共48分）
14．补全解题过程：
如图，，，为的平分线，求的度数.
，，
________°，
________°，
为的平分线，
________=________°(依据：________)
________=________°.
15．已知，射线OC在的内部，射线OM是内靠近OA的三等分线，射线ON是内靠近OB的三等分线.
（1）如图，若，OC平分，
①补全图形；
②填空：的度数为________.
（2）探求和的等量关系.
16．如图，已知，，若，求的度数.
17．如图，O是直线AB上一点，OD平分，，，求和的度数.
18．如图，已知OP为外部的一条射线，OM平分，平分，则.
19．回答下列问题：
（1）如图（1），射线OC在的内部，OM平分,ON平分，若，求的度数；
（2）如图（2），射线OC,OD在的内部，OM平分,ON平分，若，，求的度数；
（3）在（2）中，，，其他条件不变，请用含m,n的代数式表示的度数（不用说理）.
新人教版七年级数学上名师点拨与训练
第6章 几何图形
6.3.1角的比较与运算
学习目标：
1.掌握角的大小的比较方法.
2.理解角平分线和角的和、差、倍、分的意义及数量关系，能够用几何语言进行相关表述，并能解答相关问题.
3.会进行涉及度、分、秒的角度的计算.
重点：比较角的大小，认识角的大小关系，分析角的和差关系，认识角平分线及画角平分线.
难点：能从图形中观察角的和差关系.
老师告诉你
1.角的大小比较时，如果已知角是锐角、直角、钝角，就可以直接由它们之间的关系比较大小，如果不知道是那种类型的角，可以利用量角器度量角度来比较大小。
2.角平分线的性质是进行角度计算的重要依据，解这类问题要根据角平分线找角的数量关系，并利用图形中相等的角的位置关系，结合角的和差关系转化求解.
一、知识点拨
知识点1 、角的比较：
角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．
（1）叠合法，使两个角的顶点及一边重合，另一边在重合边的同旁进行比较；
（2）度量法，分别用量角器测量两个角的大小，再进行比较。
如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．
【新知导学】
例1-1．如图，用三角尺比较与的大小，其中正确的是( )
A. B. C. D.无法确定
答案：B
解析：由题图可知，，所以.
例1-2．如图所示，正方形网格中有和，如果每个小正方形的边长都为1，则与的大小关系为( )
A. B. C. D.无法估测
答案：A
解析：如图，作，所以，即.故选A.
【对应导练】
1．如图所示，由正方形组成的网格中，点A，B，C，D，O是网格线交点，那么与的大小关系是__________.（填“>”“﹤”或“=”）
答案：>
解析：如图，连接OE.
由图得，，所以.
2．已知直角，平角，则_________.（填“>”“<”或“=”）
答案：<
解析：因为，，所以.
3.己知与都小于平角，在平面内把这两个角的一条边重合，若的另一条边恰好落在的内部，则（ ）．
A． B． C． D．不能比较与的大小
【答案】A
【分析】如图所示，，，∠AOC＞∠BOC，．
解：如图所示，，，
∵∠AOC＞∠BOC，
∴，
故选A．
【点拨】本题主要考查了角的大小比较，解题的关键在于能够画出图形进行求解．
知识点2、 角的和、差关系
如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．
注意：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．
(2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．
【新知导学】
例2-1．在同一平面内，若∠AOB=50°，∠AOC=40°，∠BOD=30°，则∠DOC的度数是______．
【答案】20°或40°或60°或120°
【分析】先画出图形，再根据角的和差关系即可求解．
【详解】解：如图所示：
如图1，∠DOC=∠AOB-∠AOC+∠BOD=40°，
如图2，∠DOC=∠BOD-（∠AOB-∠AOC）=20°，
如图3，∠DOC=∠AOB+∠AOC+∠BOD=120°，
如图4，∠DOC=∠AOB+∠AOC-∠BOD=60°．
故∠DOC的度数是40°或20°或120°或60°．
故答案为：40°或20°或120°或60°．
【点睛】本题查了角的计算，关键是熟练掌握角的和差关系，难点是正确画出图形，做到不重复不遗漏．
例2-2．如图，，，则的大小为( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：因为，，
所以，
又因为，
所以.
【对应导练】
1．如图，.比较与的大小，并说明理由.
答案：.理由见解析
解析：.理由如下：
因为，
所以，
即.
2．尺规作图：已知，，作，使得.（不写作法，保留作图痕迹）
答案：见解析
解析：如图，即为所作.
3．在同一平面内，若，，则______.
答案：或
解析：∵，，
∴①如图，当在的外部时，
；
②如图，当在的内部时，
故答案为：或.
知识点3、 角平分线
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，
∠AOC＝∠BOC =∠AOB．
注意；由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．
【新知导学】
例3-1．如图，，以为边作，使，则下列结论成立的是( )
A. B.
C.或 D.或
答案：D
解析：分两种情况：
当在的外部，如图，
，
，
当在的内部，如图，
，
，
故选：D.
例3-2．在的内部引一条射线，则图中共有三个角，分别是、、.若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线是的“好好线”.若，且射线是的“好好线”，则的度数有下列情况：①②③④.其中正确的是( )
A.①② B.③④ C.①②③ D.②③④
答案：C
解析：①，，
射线是的“好好线”；
②，
，
射线是的“好好线”；
③，
，
射线是的“好好线”；
④，
不存在一个角的度数是另一个角的度数的两倍，
射线不是的“好好线”；
故选：C.
【对应导练】
1．已知点A，O，B依次在同一直线上，射线平分，，平分，则的度数是( )
A. B. C. D.或
答案：D
解析：点A，O，B依次在同一直线上，
射线平分，
当在内部时，如图1，
平分，
当在外部时，如图2，
平分，
的度数是或
故选：D.
2．如图，已知，是内的一条射线，且.
（1）求和的度数；
（2）作射线平分，在内作射线，使得，求的度数.
答案：（1），
（2）40°
解析：（1）因为，，
所以，.
（2）因为平分，
所以.
因为∠，
所以，
所以.
3．如图,,,ON是的平分线,OM是的平分线.
(1)求的大小；
(2)当时,等于多少度？
答案：(1)45°
(2)45°
解析：(1)∵是直角,,
∴,
∵ON是的平分线,OM是的平分线,
∴,
,
∴
；
(2)当时,,
∵ON是的平分线,OM是的平分线,
∴,
,
∴.
4．如图，已知，是内的一条射线，且.
(1)求的度数；
(2)过点O作射线，若，求的度数.
答案：(1)
(2)或
解析：(1)，
，
又，
；
(2)当在内部时，，
，
当在外部时，，
，
或.
二、题型训练
1.角的大小比较
1．如图所示的网格是正方形网格，则______________.（填“>”“<”或“=”）
答案：>
解析：如图所示，，
，
故答案为：>.
2．如图所示的网格是正方形网格，______________.（填“>”“=”或“<”）
答案：>
解析：根据网格特点可知，，，
.
故答案为：>.
2.角的和差计算
3．已知，以OA为边画.求的度数.
答案：或
解析：根据题意，分以下两种情况讨论.
①如图，当射线OC在外部时，.
②如图，当射线OC在内部时，.
综上所述，的度数为或.
4．如图，，直线CD经过点O，.
（1）求的度数；
（2）若，试画出，并求出的度数.
答案：（1）
（2）图见解析，或
解析：（1）因为，
所以.
因为，
所以.
（2）由（1）得，.
所以.
的位置有两种情况，如图：
当在内部时，；
当在外部时，.
综上所述，或.
3.角平分线的有关计算
5．如图，已知，是内的一条射线，且.
（1）求和的度数；
（2）作射线平分，在内作射线，使得，求的度数.
答案：（1），
（2）40°
解析：（1）因为，，
所以，.
（2）因为平分，
所以.
因为∠，
所以，
所以.
6．如图,,,ON是的平分线,OM是的平分线.
(1)求的大小；
(2)当时,等于多少度？
答案：(1)45°
(2)45°
解析：(1)∵是直角,,
∴,
∵ON是的平分线,OM是的平分线,
∴,
,
∴
；
(2)当时,,
∵ON是的平分线,OM是的平分线,
∴,
,
∴.
三、课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．如图，O为直线AE上一点，OC平分，平分.若，则的度数是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：
2．如图，射线平分，射线平分，则下列等式中成立的有( )
①；
②；
③；
④.
A.①② B.①③ C.②③ D.②④
答案：B
解析：平分，平分，
，
，
故①正确；
故②错误；
故③正确；
，
故④错误；
故选：B.
3．把一副三角板按如图所示拼在一起，则等于( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：.故选D.
4．如图，点O在直线AB上，射线OC平分，若，则等于( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：
5．已知，，平分，平分，则的度数是( )
A.或 B.或 C.或 D.或
答案：C
解析：分两种情况：如图1，当在内部时，因为，，所以，因为OD平分，平分，所以，，所以；如图2，当在外部时，.
6．下列度数的角，只借助一副三角尺不能拼出的是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：一副三角尺有，，，角，，，，只借助一副三角尺不能拼出的角.
7．如图，，，小明想过点O引一条射线OD，使与都小于平角），那么的度数是( )
A. B.或 C. D.或
答案：D
解析：当OD在的内部时，由，得，所以；当OD在的外部时，由，得，所以，所以.综上，的度数是或.
8．如图，，直线CD经过点O，，则的度数为( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：因为是平角，，所以.因为，所以.
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．若把45.58°化成以度、分、秒的形式，则结果为_______.
答案：
解析：，
故答案为：.
10．如图,已知O是直线上一点,,平分,则________度.
答案：70
解析：∵,
∴,
∵平分,
∴,
故答案为：70.
11．如图，，射线OC在外，且，若OM平分，平分，则_________.
答案：
解析：因为，所以.因为OM平分，平分，所以，，所以
，故答案为.
12．已知，在其顶点O处引一条射线OC，且，则_________.
答案：或
解析：分为两种情况：
①如图（1），当OC在内部时，；
②如图（2），当OC在外部时，.
故答案为或.
13．如图,已知,,OM平分,ON平分,则的度数是______.
答案：
解析：因为,,
所以.
因为OM平分,
所以.
因为ON平分,
所以,
所以.
三、解答题（每小题8分，共48分）
14．补全解题过程：
如图，，，为的平分线，求的度数.
，，
________°，
________°，
为的平分线，
________=________°(依据：________)
________=________°.
答案：；；；；角平分线的定义；；
解析：，，
，
，
为的平分线，
(依据：角平分线的定义)
.
故答案为：；；；；角平分线的定义；；.
15．已知，射线OC在的内部，射线OM是内靠近OA的三等分线，射线ON是内靠近OB的三等分线.
（1）如图，若，OC平分，
①补全图形；
②填空：的度数为________.
（2）探求和的等量关系.
答案：（1）①见解析；②
（2）
解析：（1）①补全图形如图所示.
②
因为OC平分，，所以，由题意知，，所以.
（2）.
因为射线OM是内靠近OA的三等分线，射线ON是内靠近OB的三等分线，
所以，，
所以.
16．如图，已知，，若，求的度数.
答案：
解析：设.
因为，
所以，
所以.
因为，
所以.
因为，且，
所以，解得.
所以.
17．如图，O是直线AB上一点，OD平分，，，求和的度数.
答案：，
解析：设.
，，.
，.
平分，.
，解得，
，.
18．如图，已知OP为外部的一条射线，OM平分，平分，则.
答案：证明见解析
解析：证明：平分，平分，
，，
.
19．回答下列问题：
（1）如图（1），射线OC在的内部，OM平分,ON平分，若，求的度数；
（2）如图（2），射线OC,OD在的内部，OM平分,ON平分，若，，求的度数；
（3）在（2）中，，，其他条件不变，请用含m,n的代数式表示的度数（不用说理）.
答案：（1）因为OM平分，所以，同理.
因为，所以.
（2）因为OM平分，所以，同理可得，
所以
.
因为，，所以.
（3）由（2）得.
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