贵州省六盘水市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（PDF版，含答案）

贵州省六盘水市 2024-2025 学年高二上学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = { | 2 < ≤ 3}， = { | 3 ≤ < 2}，则 ∩ =( )
A. { | 3 ≤ ≤ 3} B. { | 2 ≤ ≤ 2} C. { | 2 < < 2} D. { | 3 < < 3}
2.设 是虚数单位，则复数(2 + )(1 )在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知直线 1： + 1 = 0与 2：2 + 4 + 3 = 0垂直，则 =( )
1 1
A. 2 B. 2 C. D.
2 2
3
4.在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 = 8， = ，则△ 外接圆的半径为( )
4
16√ 3
A. 4√ 2 B. 8√ 2 C. 8 D.
3
5.在四棱锥 中， 为 的中点，若 = 2 ，则 =( )
1 1 1 1
A. + B. + +
2 2 2 2
1
C. +
1 1 1
D. +
2 2 2 2
6.已知正方体的内切球半径为√ 3，则该正方体外接球的体积为( )
A. 9√ 3 B. 36 C. 9 D. 27
7.已知空间向量 以< ， ， >为基底时的坐标为(1,2,4)，则 以< + ， + 2 ， + >为基底时的坐
标为( )
A. (0, 2,1) B. (1,3,2) C. (2,1,0) D. (0,1,2)
8.若圆 ：( 4)2 + ( 5)2 = 9上恰有两个点到直线3 4 + = 0的距离为1，则 的取值范围为( )
A. ( 12, 2) ∪ (18,28) B. ( 18, 2) ∪ (12,28)
C. ( 28, 2) ∪ (12,18) D. ( 28, 18) ∪ (2,12)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 (1,8,11)， (2,6,9)， (3,4,10)， (1,8,14)，则( )
1
A. | | = 3 B. 直线 的一个方向向量为( , 1,1)
2
C. ， ， ， 四点共面 D. 点 到直线 的距离为√ 5
1
10.已知 的终边经过点( 2, lg )，则( )
2
第 1 页，共 8 页
3
A. = 1 B. 可能等于
4
7
C. tan( + ) = 2 √ 3 D. 可能等于
3 4
11.在平面直角坐标系 中，△ 的顶点 ( 1,0)， (2,0)，且sin∠ = 2 ∠ ，记△ 的顶点
的轨迹为 ，则下列说法正确的是( )
A. 轨迹 的方程为( 3)2 + 2 = 4
B. △ 面积的最大值为3
3√ 5
C. 边上的高的最大值为
5
8√ 5
D. 若△ 为直角三角形，则直线 被轨迹 截得的弦长的最大值为
5
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.直线 ：3 4 + 2 = 0被圆 ： 2 + 2 + 6 4 12 = 0截得的弦长为______．
13.已知 ( )是定义在 上的奇函数，且当 ∈ (0,+∞)时， ( ) = 2 log2 ，则 ( 2) + (0) = ______．
14.已知 ， ， 均为圆柱 1 2表面上的动点，直线 经过圆柱 1 2的中心 ，| 1 2| = 24，圆柱 1 2的
底面圆的半径为5，则 的最大值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知圆 ：( 2)2 + ( 2)2 = 4，直线 过点 (2,4)．
(1)若 在两坐标轴上的截距相等，求 的方程；
(2)若 与圆 相切，求 的方程．
16.(本小题15分)
某社团为统计居民运动时长，调查了某小区100名居民平均每天的运动时长(单位： )，并根据统计数据分
为[1,1.5)，[1.5,2)，[2,2.5)，[2.5,3)，[3,3.5)，[3.5,4]六个小组(所调查的居民平均每天的运动时长均在[1,4]内
)，得到的频率分布直方图如图所示．
(1)求出图中 的值，并估计这100名居民平均每天的运动时长的中位数；
(2)按分组用分层随机抽样的方法从平均每天的运动时长在[2.5,3)，[3.5,4]这两个时间段内的居民中抽出6人
分享运动心得，若再从这6人中选出2人发言，求这2人来自不同分组的概率．
第 2 页，共 8 页
17.(本小题15分)
如图，四边形 是正方形， ， ， 都垂直于平面 ，且 = 3， = 2， = 1， ， 分
别是 ， 的中点．
(1)证明： //平面 ．
(2)若 = 2，求点 到平面 的距离．
18.(本小题17分)

如图，在四棱锥 中， = 3 ， ⊥ ，∠ = ，∠ = ， = 4， = 2，平面 ⊥
4 3
平面 ， 为 的中点．
(1)证明： //平面 ．
(2)证明： ⊥ ．
√ 330
(3)试问在线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在，求出 的值；
55
若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
若圆 1与圆 2相交于 ， 两点，| | = ( > 0)，且 2为线段 的中点，则称 2是 1的 等距共轭圆.已
知点 (3,5)， (6,4)均在圆 1上，圆心 1在直线 4 3 = 0上．
第 3 页，共 8 页
(1)求圆 1的标准方程．
(2)若圆 2是圆 1的8等距共轭圆，设圆心 2的轨迹为 ．
( )求 的方程．
( )已知点 (3,3)，直线 与曲线 交于异于点 的 ， 两点，若直线 与 的斜率之积为3，试问直线 是
否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由．
第 4 页，共 8 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】8
13.【答案】 3
14.【答案】144

15.【答案】解：(1)若直线 的截距相等且不为零，则设直线 为： + = 1．

2 4
由于直线 过点 (2,4)，所以 + = 1，所以 = 6，所以直线 为 + 6 = 0；

若直线 的截距相等且等于零，则直线 的斜率为 = 2，所以直线 为 = 2 ，
综上所述：直线 的方程为 + 6 = 0或2 = 0；
(2)由 ：( 2)2 + ( 2)2 = 4，可得圆心 (2,2)，半径为2，
直线 过点 (2,4).又点 (2,4)是圆上的点，并且 与 轴垂直，
所以 与圆 相切， 的方程为 = 4．
16.【答案】解：(1)根据题意可得(0.2 + 0.4 + 2 + 0.3 + 0.1) × 0.5 = 1，所以 = 0.5．
因为前几组的频率依次为0.1，0.2，0.25，
所以中位数在[2,2.5)内，设中位数为 ，则0.3 + ( 2) × 0.5 = 0.5，得 = 2.4( )；
(2)由题知，平均每天运动时长在[2.5,3)，[3.5,4]内的频率分别为0.5，0.1，
则应从平均每天运动时长在[2.5,3)，[3.5,4]内的居民中分别抽出5人，1人．
记[2.5,3)时间段内的5人分别为 ， ， ， ， ，
记[3.5,4]时间段内的1人为 ，
第 5 页，共 8 页
则从这6人中选出2人的基本事件有：
( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，
( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，共15个，
2人来自不同分组的基本事件为：( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，共5个，
5 1
所以这2人来自不同分组的概率为 = ．
15 3
17.【答案】解：(1)因为 ， ， 都垂直于平面 ，则 // // ．
+
取 的中点 ，连接 ， ，则 // ，且 = = 2，
2
所以 // 且 = ，所以四边形 为平行四边形，可得 // ，
且 平面 ， 平面 ，所以 //平面 ．
(2)连接 .以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则 (2,0,0)， (0,0,2)， (2,1,2)， (1,2,0)，
可得 = ( 1,2,0)， = (0,1,2)， = ( 2,0,2)，
= + 2 = 0
设平面 的法向量为 = ( , , )，则{ ，
= 2 + 2 = 0
取 = 1，得 = 2， = 1，可得 = (1, 2,1)．
| | | 1 4+0| 5√ 6
故点 到平面 的距离 = = = ．
| | √ 6 6
18.【答案】解：(1)证明：因为 = 3 ，所以 // ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 //平面 ；
(2)证明：作 // 交 于 ，因为 ⊥ ，所以 ⊥ ，

又∠ = ，所以 = ，又 // ， // ，
4
所以四边形 为平行四边形，所以 = = 2，
第 6 页，共 8 页
因为 = 3 ，即| | = 3| |，所以 = = 4，
1
又 为 的中点，所以 = = 2，
2
2 2 2
在△ 中，由余弦定理可得： + cos∠ = ，
2
即1 16+4
2
= = 2√ 3，所以
2 + 2 = 2，所以 ⊥ ，
2 2×4×2
又平面 ⊥平面 ，且平面 ∩平面 = ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，因为 平面 ，所以 ⊥ ；
(3) √ 330假设在线段 上存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ，
55
作 // 交 与 ，由(2)可得 ， ， 两两垂直，
所以以 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则 (0,0,2√ 3)， ( 2,2,0)， (2,6,0)， (0,0,0)，

设 = ，则 (0,0,2√ 3 )， = ( 2,2, 2√ 3)， = ( 4, 4,0)， = (2, 2,2√ 3 )，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
则{
= 0 2 + 2 2 3 = 0，即{ √ ，
= 0 4 4 = 0
取 = 1，则 2√ 3 = (1, 1, )，
3
设直线 与平面 所成角的为 ，
|4 4 | √ 330
则 = |cos <
, > | = = 1
√ 2 √ 10
55 ，解得 = ，
8+12 × 2
3
1
所以在线段 上存在点 ，此时 = ．
2
19.【答案】解：(1)因为圆心 1在直线 4 3 = 0上，设 1(4 + 3, )，
且点 (3,5)， (6,4)均在圆 1上，则| 1 | = | 1 |，
可得√ 16 2 + ( 5)2 = √ (4 3)2 + ( 4)2，解得 = 0，
即圆心为 1(3,0)，半径 = | 1 | = 5，
所以圆 2 21的标准方程为( 3) + = 25；
第 7 页，共 8 页
(2)( )因为| | = 8，由题意可得： 1| 1 2| = √
2 ( | |)2 = 3，
2
可知圆心 2的轨迹为 ，是以 1(3,0)为圆心，半径 2 = 3的圆，
所以 的方程为( 3)2 + 2 = 9；
( )若直线 的斜率存在，设直线 ： = + ， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= +
联立方程{ 2 2 ，消去 可得(
2 + 1) 2 + 2( 3) + 2 = 0，
( 3) + = 9
2
2(3 )
则 > 0，且 1 + 2 = 2 , 1 2 = ， 2
+1 +1
1 3 2 3 + 3 + 3因为 = =
1 2 = 3，
1 3 2 3 1 3 2 3
整理可得( 2 3) 1 2 + [ ( 3) + 9]( + ) +
2
1 2 6 18 = 0，
2 2
( 3) 2[ ( 3)+9](3 )
则 2 ，
2 + 2 + 6 18 = 0
+1 +1
可得( + 3 + 6)( + 3 3) = 0，即 = 3 6或 = 3 + 3，
当 = 3 6，直线 = ( 3) 6过定点(3, 6)；
当 = 3 + 3，直线 = ( 3) + 3过定点(3,3)，不合题意；
可知直线 过定点(3, 6)；
若直线 的斜率不存在，设 ( 0, 0)， ( 0, 0)， 0 ≠ 3，
0 3 0 3 9
2
则 0 2 2 = = 2 = 3，即 0 = 9 3( 0 3) ， 0 3 0 3 ( 0 3)
且 ( 0, 0)在圆( 3)
2 + 2 = 25上，则( 2 20 3) + 0 = 25，
即( 3)20 + 9 3( 0 3)
2 = 9，解得 0 = 3，不合题意；
综上所述：直线 过定点(3, 6)．
第 8 页，共 8 页