山东省临沂市河东区2023-2024学年高一下学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

山东省临沂市河东区 2023-2024 学年高一下学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数 满足(1 + ) = ，则复数 的虚部为( )
1 1
A. B. C. 1 D.
2 2
2. 15° =( )
√ 6 √ 2 √ 6+√ 2 √ 2 √ 6
A. √ 2 √ 3 B. C. D.
4 4 4
3.如图，平行四边形 中， 是 的中点， 在线段 上，且 = 3 ，记 = ， = ，则 =( )
2 1 2 1 1 3 3 5
A. + B. C. + D.
3 3 3 3 4 8 4 8
1
4.将正弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，然后再将所得图象上所有点向右平移 个
2 6
单位，得到函数 ( )的图象，则( )

A. ( ) = sin(2 ) B. ( ) = sin(2 )
6 3
1 1
C. ( ) = sin( ) D. ( ) = sin( )
2 6 2 3
5.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的2倍，母线长为3，圆台的侧面积为36 ，则圆台较小底面的半径
为( )
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
6.一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔 的南偏西75°，距灯塔64海里的 处，下午2时到达这座
灯塔的东南方向 处，则该船航行的速度为( )
A. 8√ 6海里/小时 B. 16√ 2海里/小时 C. 16√ 6海里/小时 D. 32√ 2海里/小时
7.正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为( )
56 28√ 2
A. 20 + 12√ 3 B. 28√ 2 C. D.
3 3
8.在△ 中， = 2， = 3，∠ = 60°，点 ， 分别在边 ， 上，且满足 = 2 ， = 2 ，
若 ， 相交于点 ，则cos∠ =( )
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√ 26 √ 26 √ 13 3√ 13
A. B. C. D.
13 26 13 26
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量 = (2,1)， = ( 3,4)， 是与 同向的单位向量，则( )
A. | + | = 4 B. 与 可以作为一组基底
3 4 2
C. = ( , ) D. 向量 在向量 上的投影向量为
5 5 5
10.下列说法正确的是( )
A. 若 1， 2互为共轭复数，则 1 2为实数
B. 若 为虚数单位， 为正整数，则 4 3 =
C. 若1 + 是关于 的方程 2 + + 2 = 0( , ∈ )的根，则1 也是该方程的根
D. 复数 满足| 1| = 1，则| |的最大值为2√ 2
11.如图，正八面体 的每一个面都是正三角形，并且四边形
，四边形 ，四边形 都是正方形，若正方形 的边长为2 ，
则( )
A. 正八面体 的表面积为8√ 3 2
8√ 3
B. 正八面体 的体积为 3
3
C. 正八面体 的外接球的表面积为8 2
8√ 6
D. 正八面体 的内切球的体积为 3
27
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.水平放置的△ 的斜二测直观图如图所示，已知 ′ ′ = 6， ′ ′ = 4，则
边 上的中线的实际长度为______．
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13.已知对任意平面向量 = ( , )，把 绕其起点沿逆时针方向旋转 角得到向量 = (
, + )，叫作把点 绕点 沿逆时针方向旋转 角得到点 .已知平面内点 (1,3)，点 (1 +
3
√ 2, 3 2√ 2)，把点 绕点 沿顺时针方向旋转 后得到点 ，若点 为坐标原点，则| | = ______．
4
14.我国南宋著名数学家秦九韶(约1202 1261)独立推出了“三斜求积”公式，在他的著作《数书九章》
中的求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为
实.一为从隅，开平方得积.”把以上这段文字写成从三条边长求三角形面积的公式，就是 =
2
√ 1
2+ 2
[ 2 2 ( )2].现有△ 满足 ： ： = 2：3：√ 7，且△ 的面积是54√ 3，则△
4 2
的周长为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量 = (3,2)， = ( , 1)， = ( 8, 1)．
(1)若( + ) ⊥ (3 + )，求实数 的值；
(2)若 //( + )，求向量 与 的夹角 ．
16.(本小题15分)
用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形.如图，
圆锥 底面圆的半径是4，轴截面 的面积是12．
(1)求圆锥 的母线长；
(2)过圆锥 的两条母线 ， 作一个截面，求截面 面积的最大值．
17.(本小题15分)
1 √ 10
(1)已知 ， 都是锐角， = ， = ，求tan( + 2 )的值；
7 10
1 1
(2)已知 + = ， + = ，求cos( )的值．
2 3
18.(本小题17分)

已知函数 ( ) = √ 3 2 + 2 2 + 在区间[0, ]上的最大值为6，
2
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(1)求常数 的值；
(2)求 ( )的单调递减区间；
(3)求使 ( ) > 5成立的 的取值集合．
19.(本小题17分)
已知△ 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 2 + 2 = 2 + ．
(1)若 = 8， = 8， 为边 上的中点，求| |；
| |
(2)若 为边 上一点，且| | = 1， = ，求2 + 的最小值．
| | 2
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】5
13.【答案】2√ 10
14.【答案】30 + 6√ 7
15.【答案】解：(1) = (3,2)， = ( , 1)， = ( 8, 1)，
则 + = (3 + , 1)，3 + = (1,5)，
若( + ) ⊥ (3 + )，
则( + ) (3 + ) = 3 + + 5 = 0，解得 = 8；
(2) + = ( 8, 2)，
//( + )，
则3 × ( 2) = 2( 8)，解得 = 5，
故| | = √ 13，| | = √ 26，
= 3 × 5 + 2 × ( 1) = 13，
13 √ 2
故 = = = ，
| || | √ 13×√ 26 2
∈ [0, ]，

则 = ．
4
16.【答案】解：(1)根据题意，设圆锥的高为 ，
1 1
若圆锥 底面圆的半径是4，轴截面 的面积是12，即 △ = × × = (2 × ) = = 12， 2 2
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解可得 = 3，
则其母线长 = √ 9 + 16 = 5；
(2)根据题意，由(1)的结论，由于 > ，则∠ > 45°，故∠ > 90°，
1
当 与 垂直时，截面 面积最大，其最大值为 × 4 × 4 = 8．
2
1 √ 10
17.【答案】解：(1) ∵ ， 都是锐角， = ， = ，
7 10
3√ 10 1
所以 = √ 1 sin2 = ， = ，
10 3
1
2 2× 3
所以 2 = = 3 = ，
1 tan2 11 4
9
1 3
+ 2 +
tan( + 2 ) = = 7 4 = 1；
1 tan 2 1 31 ×
7 4
1 1
(2)因为 + = ， + = ，
2 3
1 1 13
两边平方相加得，2 + 2 + 2 = + = ，
4 9 36
13
即2 + 2 ( ) = ，
36
59
cos( ) = ．
72

18.【答案】解：(1)因为函数 ( ) = √ 3 2 + 2 2 + = √ 3 2 + 2 + 1 + = 2 (2 + ) +
6
+ 1，
7 1
所以令 = 2 + ∈ [ , ]，则 ∈ [ , 1]，所以 ( )的最大值为2 + + 1 = 6，即 = 3．
6 6 6 2

(2)由(1)知： ( ) = 2 (2 + ) + 4，
6
3 2
令 + 2 ≤ 2 + ≤ + 2 ， ∈ ，则 + ≤ ≤ + ， ∈ ，
2 6 2 6 3
2
所以 ( )的单调递减区间为[ + , + ]， ∈ ．
6 3
1
(3)因为 ( ) > 5等价于2 (2 + ) + 4 > 5，即sin(2 + ) > ，
6 6 2
5
所以 + 2 < + < 2 + ， ∈ ，
6 6 6
2
即2 < < + 2 ， ∈ ，
3
2
所以使 ( ) > 5成立的 的取值集合为(2 , + 2 )( ∈ )．
3
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2
2
+ 2 1
19.【答案】解：(1)由题意得 2 + 2 2 = ，所以 = = ，
2 2
因为
1
= = 8，所以 = 8，解得 = 16，可得 2 + 2 = 2 + = 80，
2
1
因为 为 中点，所以 = ( + )，
2
可得| 2
1
| = ( + )2
1
= ( 2 + 2 + 2 ) = 24，解得| | = 2√ 6；
4 4
(2)因为 为 上一点，且 ： = 2 ： = 2 ： ，
所以
2
=

+ ，即(2 + ) = 2 + ，
2 + 2 +
2
两边平方得(2 + )2 = (2 + )2，
又因为| | = 1，(2 + )2 = 4 2| |2 + 4 + 2| |2 = 4 2 2 + 2 2 2 + 2 2 = 7 2 2，
1 2
所以(2 + )2 = 7 2 2，即2 + = √ 7 ，整理得 + = √ 7，

√ 7 1 2 √ 7 4 √ 7 8√ 7
所以2 + = (2 + )( + ) = (4 + + ) ≥ (4 + 2√ 4) = ，
7 7 7 7
2√ 7 4√ 7
当且仅当 = 2 ，即 = , = 时取等号．
7 7
2√ 7 4√ 7 8√ 7
综上所述，当 = , = 时，2 + 的最小值为 ．
7 7 7
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