江苏省名校协作体2024-2025学年高一上学期12月月考数学试卷（PDF版，含答案）

江苏省名校协作体 2024-2025 学年高一上学期 12 月月考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { || | < 4}，集合 = { ∈ | 2 < 6}，则 ∩ =( )
A. {1,2} B. {0,1,2} C. { 2, 1,1,2} D. { 2, 1,0,1,2}
2.命题“ ∈ ，使得 2 + 3 + 2 < 0”的否定是( )
A. ∈ ，均有 2 + 3 + 2 ≤ 0 B. ∈ ，均有 2 + 3 + 2 ≥ 0
C. ∈ ，有 2 + 3 + 2 ≥ 0 D. ∈ ，有 2 + 3 + 2 ≤ 0
3.设 ∈ ，则“| 2| > 3”是“ 2 5 6 > 0”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2
4.函数 ( ) = 的部分图象大致为( )
ln| |+1
A. B. C. D.
5.声强级，是指声强 (单位： / 2)和定值 (单位： / 2)比值的常用对数值再乘以10，即声强级 ( ) =

10 (单位： ).已知人与人交谈时的声强级约为45 ，一种火箭发射时的声强和人与人交谈时的声强的

比值约为109，那么这种火箭发射的声强级约为( )
A. 135 B. 140 C. 145 D. 150
6.已知函数 ( )的图象关于直线 = 1对称，当 2 > 1 > 1时，[ ( 2) ( 1)]( 2 1) < 0恒成立，设 =
1
( )， = (2)， = ( )，则 ， ， 的大小关系为( )
2
A. > > B. > > C. > > D. > >
, ≥
7.定义运算“ ”： = { ，则函数 = ( 2 2 + 3) ( + 1)的值域为( )
, <
A. ( ∞, 3] B. ( ∞, 4] C. [0, +∞) D. ( ∞, +∞)
( ) ( )
8.已知 ( )是定义在 上的函数， ( )的图像关于点(0,0)对称，对任意 ， ∈ [0, +∞)，都有 1 21 2 > 1 2
1.若 ( 2 1) + ( 1) + 2 + > 2，则实数 的取值范围为( )
A. < 1或 > 2 B. < 2或 > 1 C. 2 < < 1 D. < 1或 > 2
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
1
A. 若函数 = ( )的定义域是[ , 2]，则函数 = (2 )的定义域为[ 1,1]
2
B. 对应 ： → ，其中 2 = ， ∈ [0, +∞)， ∈ ，则对应 是函数
C. 对于定义在 上的函数 ( )，若 ( 2) ≠ (2)，则 ( )不是偶函数
D. 函数 ( )在(0, +∞)上单调递增，在( ∞, 0]上单调递增，则 ( )在 上是增函数
1 2
10.若正数 ， 满足 + = 1，则( )

A. ≥ 8 B. 2 + ≥ 8
2 1 1 2 1
C. + ≤ D. + ≥ 2
2 1 2
11.已知连续函数 ( )满足：① ， ∈ ，则有 ( + ) = ( ) + ( ) 1，②当 > 0时， ( ) < 1，
③ (1) = 2，则以下说法正确的是( )
A. (0) = 1
B. (4 ) = 4 ( ) 4
C. ( )在[ 3,3]上的最大值是10
2
D. 不等式 (3 2) 2 ( ) > (3 ) + 4的解集为{ | < < 1}
3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知函数 ( ) = √ 2 + + 1( ∈ )是偶函数，则函数 ( )的单调递增区间为______．
2 2 , ≤ 1
13.已知函数 ( ) = { ，若关于 的方程 ( ) = 0恰有两个不同的实数根，则 的值是
1 | 3|, > 1
______．
14.已知关于 的不等式( 2 8)( + 3) < 0(其中 ∈ )的解集为 ，若满足 ∩ = (其中 是整数
集)，则使得集合 中元素个数最少时 的取值范围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
计算下列各式的值：
(Ⅰ) 32 + 35 2 3√ 10 + 2
23；
1 64
(Ⅱ) + (1 2 )(1 + 2 + 4 ) + (8 + 8

2 2)2．
1+8
16.(本小题15分)
已知二次函数 = 2 + + 的图象与直线 = 4有且仅有一个公共点，且不等式 2 + + ≤ 0的解
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集为[ 1,3]．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)关于 的不等式 2 + + < ( 1) 3的解集中恰有一个正整数，求实数 的取值范围；
(3)对 ∈ [0,2]，不等式 2 + + < ( 2) 恒成立，求实数 的取值范围．
17.(本小题15分)
某国产车企在自动驾驶技术方面日益成熟，近期拟推出一款高阶智驾新车型，并决定大量投放市场.已知该
车型年固定研发成本为20亿元，受到场地和产能等其它因素的影响，该公司一年内生产该车 万台(0 ≤ ≤
2 + 6 + 4,0 ≤ ≤ 3,
10)且全部售完，每台售价20万元，每年需投入的其它成本为 ( ) = { 144 (单位：
24 + 107,3 < ≤ 10

亿元). (其中，利润=销售收入 总成本)
(1)写出年利润 ( )(亿元)关于年产量 (万台)的函数解析式；
(2)当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大，并求出最大年利润；
(3)若该企业当年不亏本，求年产量 (万台)的取值范围．
18.(本小题17分)
已知定义在 上的函数 ( ) = 2 2 + 6在(0, +∞)上是增函数. ( )为偶函数，且当 ∈ [0, +∞)时，
( ) = 2 + 3．
(1)当 = 3时，求 ( )在 上的解析式；
(2)是否存在实数 ，使函数 ( )与 ( )的值域相同，若存在，求出所有实数 的值，若不存在，说明理由；
( ), < 0
(3)令 ( ) = { ，讨论关于 的方程 ( ) = + 6的实数根的个数．
( ), > 0
19.(本小题17分)
若函数 ( )与 ( )满足：对任意的 1 ∈ ，总存在唯一的 2 ∈ ，使 ( 1) ( 2) = 成立，则称 ( )是 ( )
在区间 上的“ 阶伴随函数”；当 ( ) = ( )时，则称 ( )为区间 上的“ 阶自伴函数”．
1
(1)判断 ( ) = 2(
2 + 1)是否为区间[1, √ 7]上的“ 阶自伴函数”，并说明理由；
2
2
(2)若函数 ( ) = 3 1
2 +
为区间[ , ]( > > 0)上的“1阶自伴函数”，求 的最小值；

4
(3)若 ( ) = 是 ( ) = 2 2 + 2在区间[0,2]上的“2阶伴随函数”，求实数 的取值范围．
+4
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】[ 1,0]
13.【答案】±1
14.【答案】[2,4]
15.【答案】解：(Ⅰ)原式= log3(2 × 5) log310 + 3 = 0 + 3 = 3；
(Ⅱ)原式= 1 8 + 1 8 + 8 + 2 + 8 = 4．
16.【答案】解：(1)由不等式 2 + + ≤ 0的解集为[ 1,3]，
得 > 0且 1，3是关于 的方程 2 + + = 0的两个根，
因此 2 + + = ( + 1)( 3)，
所以函数 = 2 + + 的图象开口向上，其对称轴为 = 1，
而该图象与直线 = 4有且仅有一个公共点，
则 = ( + 1)( 3)图象的顶点为(1, 4)，
于是 4 = 4 ，解得 = 1，
所以此二次函数的表达式为 = ( + 1)( 3)，
即 = 2 2 3；
(2)由(1)知不等式 2 + + < ( 1) 3为 2 2 3 < ( 1) 3，
整理得 2 ( + 1) + < 0，即( 1)( ) < 0，
依题意，不等式( 1)( ) < 0的解集中恰有一个正整数，则 ≠ 1，
当 < 1时，解得 < < 1，即不等式的解集为( , 1)，此时解集中不含正整数，故舍去；
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当 > 1时，解得1 < < ，不等式的解集为(1, )，要使解集中恰有一个正整数，
则2 < ≤ 3，
所以实数 的取值范围是(2,3]．
(3)对 ∈ [0,2]，不等式 2 + + < ( 2) 恒成立，
即对 ∈ [0,2]，不等式 2 2 3 < ( 2) 恒成立，
2 + 3 > 0恒成立，
令 ( ) = 2 + 3， ∈ [0,2]，
(0) = 2 + 3 > 0
则{ ，即{ √ 3 < < √ 3，
(2) = 2 2 + 3 > 0 1 < < 3
解得 1 < < √ 3，
即实数 的取值范围为( 1, √ 3)．
17.【答案】解：(1)当0 ≤ ≤ 3时，销售收入为20 亿元(每台售价20万元， 万台)，总成本为固定研发成
本20亿元加上其他成本 2 + 6 + 4亿元，
则 ( ) = 20 (20 + 2 + 6 + 4) = 2 + 14 24，
144
当3 < ≤ 10时，销售收入为20 亿元，总成本为20 + 24 + 107亿元，

144 144
则 ( ) = 20 (20 + 24 + 107) = 87 4 ，

2 + 14 24,0 ≤ ≤ 3
所以 ( ) = { 144 ．
87 4 , 3 < ≤ 10

(2)当0 ≤ ≤ 3时， ( ) = 2 + 14 24 = ( 7)2 + 25
又0 ≤ ≤ 3，所以在这个区间上函数单调递增，
所以 ( ) = (3) = 9亿元．
144 144
当3 < ≤ 10时，根据基本不等式，有4 + ≥ 2√ 4 × = 48，

144
当且仅当4 = ，即 = 6取等号，

144
所以 ( ) = 87 (4 + ) ≤ 87 48 = 39亿元，

因为39 > 9，
所以当年产量为6万台时，该企业获利最大，最大年利润为39亿元．
(3)当0 ≤ ≤ 3时， ( ) = 2 + 14 24 ≥ 0，
即 2 14 + 24 ≤ 0，
解得2 ≤ ≤ 12．
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又0 ≤ ≤ 3，
则2 ≤ ≤ 3满足题意．
144
当3 < ≤ 10时， ( ) = 87 4 ≥ 0，

144
即4 + 87 ≤ 0，

即4 2 87 + 144 ≤ 0，
87
令 = 4 2 87 + 144，对称轴 = > 10，
8
当3 < ≤ 10时， = 4 2 87 + 144单调递减，且 = 3时， = 4 × 9 87 × 3 + 144 < 0，
144
则当3 < ≤ 10，4 2 87 + 144 ≤ 0恒成立，即 ( ) = 87 4 ≥ 0恒成立，

综上所得，该企业当年不亏本，则年产量 (万台)的取值范围为2 ≤ ≤ 10．
18.【答案】解：(1)当 = 3， ≥ 0时， ( ) = 2 +3 + 3．
当 < 0时， > 0，
又因为 ( )是 上的偶函数，
所以 ( ) = 2 +3 + 3．
即 ( ) = 2 +3 + 3．
2 +3 + 3, ≥ 0
所以 ( ) = {
2 +3
；
+ 3, < 0
(2)存在 = 1，使函数 ( )与 ( )的值域相同，理由如下：
因为函数 ( ) = 2 2 + 6在(0, +∞)上是增函数．
所以 ≤ 0，
所以 ( ) 2 = ( ) = 6 ，
又因为当 ∈ [0, +∞)时， ( ) = 2 + 3，
( )在[0, +∞)上单调递增，
又因为 ( )为偶函数，
所以 ( )在( ∞, 0)上单调递减，
所以 ( ) = (0) = 2
+ 3，
要使函数 ( )与 ( )的值域相同，
则需有6 2 = 2 + 3，
即2 + 2 3 = 0， ≤ 0，
易知 ( ) = 2 + 2 3在( ∞, 0]上单调递减，
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( 1) = 2 + 1 3 = 0，
所以存在 = 1，使函数 ( )与 ( )的值域相同；
2 2 + 6, < 0
(3)因为 ( ) = { ， ≤ 0， 2 + 3, > 0
2 + 6, < 0
当 = 0时， ( ) = {
2
，
+ 3, > 0
作出其图象，如图所示：
此时 = 6与 = ( )的图象只有一个交点，
即方程 ( ) = + 6只有一个实数根；
当 < 0时，
2 2 , < 0
令 ( ) = ( ) 6 = { ， 2 3, > 0
则问题转化为 ( )的零点个数，
2 + 2 + 1, < 0
当 = 1时， ( ) = { +1 ， 2 2, > 0
易知此时 ( )只有一个零点，为 = 1；
当 1 < < 0时，
< 0时， ( ) = 2 2 ，
= 4 2 + 4 = 4 ( + 1) < 0，
即 ( )在( ∞, 0)上无零点；
当 > 0时， ( ) = 2 3，
此时函数 ( )单调递增，
(0) = 2 3 < 0，
(2) = 22 3 > 0，
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所以 0 ∈ (0,2)，使 ( 0) = 0，
所以函数 ( )只有一个零点；
当 < 1时，
当 < 0时， ( ) = 2 2 ，
= 4 2 + 4 = 4 ( + 1) > 0，
此时有两个不等负零点，分别为 + √ ( + 1)， √ ( + 1)，
当 > 0时， ( ) = 2 3，单调递增，
而 (0) = 2 3 > 2 + 1 3 = 0，此时无零点，
所以函数 ( )只有两个零点；
综上，当 < 1时，方程 ( ) = + 6有两个不同实数根；
当 1 ≤ ≤ 0时，方程 ( ) = + 6只有一个不同实数根．
19.【答案】解：(1) ( ) = 2(
2 + 1)， ∈ [1, √ 7]，
当 1 = 1时， (1) = 1，再由 (1) ( 2) = 2，
2 1得 ( 2) =
2
2( 2 + 1) = ， 2 + 1 = √ 2， 2
22 = √ 2 1， 2 [1, √ 7]，
故根据“2阶自伴函数”定义得，
( ) = 2(
2 + 1)不是区间[1, √ 7]上的“2阶自伴函数”．
(2)由函数 ( ) = 4 1
1
为区间[ , ]上的“1阶自伴函数”，
2
1
所以 ( ) = ( ) = 4 1，且对任意 1 ∈ [ , ]， 2
1
总存在唯一的 2 ∈ [ , ]使得4
1 1 4 2 1 = 1成立；
2
1 1
所以对任意 1 ∈ [ , ]，总存在唯一的 2 ∈ [ , ]，使得4
1+ 2 2 = 1，
2 2
因为函数 ( ) = 4 1为单调递增函数，
1 1
所以对任意 1 ∈ [ , ]，总存在唯一的 ∈ [ , ]使得 + = 2， 2 2 2 1 2
3
所以 2 = 2 1 ∈ [2 , ]， 2
3 1
所以[2 , ] [ , ]，
2 2
1
≤ 2
所以{2 ，
3
≤
2
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3 3 3
则 ≤ ≤ ，故 = ．
2 2 2
4
(3)由函数 ( ) = 在区间[0,2]的值域为[1,2]，
+2
4
因为 ( ) = 是 ( ) = 2 2 + 2 1在区间[0.2]上的“2阶伴随函数”，
+2
则对任意的 1 ∈ [0,2]，总存在唯一的 2 ∈ [0,2]时，使得 ( 1) ( 2) = 2成立，
2
所以 ( 2) = ∈ [1,2]， ( 1)
即 ( ) = 2 2 + 2 1在[0,2]区间上的值域必定包含区间[1,2]，且 ( )的值域在[1,2]对应的自变量是
唯一的，
又因为函数 ( ) = 2 2 + 2 1开口向上，对称轴为 = ，
①当 ≤ 0时， ( )在[0,2]区间上单调递增，则必有：
( ) = (0) ≤ 1{ ，解得： √ 2 ≤ ≤ 0；
( ) = (2) ≥ 2
②当 ≥ 2时， ( )在[0,2]区间上单调递减，则必有：
( ) = (2) ≤ 1{ ，解得2 ≤ ≤ 2 + √ 2；
( ) = (0) ≥ 2
③当0 < ≤ 1时， ( )在[0, ]上单调递减，在[ , 2]上单调递增，则必有：
(0) < 1
{ ，解得：0 < ≤ 2 √ 3；
( ) = (2) ≥ 2
④当1 < < 2时， ( )在[0, ]上单调递减，在[ , 2]上单调递增，则必有：
(2) < 1
{ ，解得：√ 3 ≤ < 2．
( ) = (0) ≥ 2
综上所述，可得 的范围：[ √ 2, 2 √ 3] ∪ [√ 3, 2 + √ 2]．
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