湖南省永州市祁阳市第四中学2024-2025学年高二上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

湖南省祁阳市第四中学 2024-2025 学年高二上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知点 (3, 1,0)，若向量 = (2,5, 3)，则点 的坐标是( )
A. (1, 6,3) B. (5,4, 3) C. ( 1,6, 3) D. (2,5, 3)
2.已知直线 = √ 3 + 2，则其倾斜角为( )
A. 60° B. 120° C. 60°或120° D. 150°
3.直线 的一个方向向量为(2,4,5)，平面 的一个法向量为(1,2, )，若 ⊥ ，则实数 =( )
5 8
A. B. 1 C. 2 D.
2 5
4.如图，在三棱锥 中， 为 的中点，点 在 上，满足 = 2 ，记 ， ， 分别为 ， ，
，则 =( )
1 1 2 1 2
A. + + B. +
1
+
2 3 3 2 3 3
2 1 1 2 1 1
C. + + D.
3 2 2 3 2 2
2 2
5.已知双曲线 ： 2 = 1的左右焦点依次为 1， 2，且| 1 2| = 10，若点 在双曲线的右支上，则| 1| 16
| 2| =( )
A. 6 B. 6 C. 8 D. 10
6.已知圆 2 + 2 + 2 = 0关于直线 + + 1 = 0( 、 为大于0的常数)对称，则 的最大值为( )
1 1
A. B. C. 1 D. 2
4 2
7.已知 1、 2是椭圆的两个焦点，满足 1 ⊥ 2的点 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )
1 √ 2 1 √ 2 √ 2
A. (0, ) B. (0, ) C. ( , ) D. ( , 1)
2 2 2 2 2
8.设 ∈ ，直线 1： 3 + 1 = 0与直线 2： + 3 1 = 0相交于点 ，点 是圆 ：( + 1)
2 +
( + 1)2 = 2上的一个动点，则| |的最小值为( )
3√ 2
A. √ 2 B. 1 C. 3√ 2 2 D. 5√ 2
2
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.经过点 (2, 1)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程可能为( )
A. + 2 = 0 B. 3 = 0 C. + 1 = 0 D. 2 5 = 0
2 1
10.已知 是椭圆 ： + 2 = 1上的动点， 是圆 ：( + 1)2 + 2 = 上的动点，则( )
4 4
√ 3
A. 椭圆 的焦距为√ 3 B. 椭圆 的离心率为
2
√ 6
C. | |的最大值为3 D. | |的最小值为
3
11.如图，已知正方体 1 1 1 1的棱长为2， ， ， 分别为 ， ，
1 1的中点，以下说法正确的是( )
A. 1 ⊥平面
B. 到平面 的距离为√ 3
C. 过点 ， ， 作正方体的截面，所得截面的面积是3√ 2
√ 3
D. 平面 与平面 1 1夹角余弦值为 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若直线 1：3 + + = 0与直线 2： 7 = 0平行，则直线 1与 2之间的距离为 ．
13.已知向量 与 的夹角为60°， = (1,1, √ 2)，| | = 6，则2 在 方向上的投影向量为______．
14.如图所示，二面角 为60°， 、 是棱 上的两点， 、 分别在半平面 、 内，且 ⊥ ， ⊥ ，
= 4， = 6， = 8，则 的长______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量 = (1,2,2)， = ( 2,1, 1)．
(Ⅰ)求 ；
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(Ⅱ)求|2 |；
(Ⅲ)若 ⊥ ( + )( ∈ )，求 的值．
16.(本小题15分)
2 3
(1)求与椭圆 + 2 = 1有相同的焦点，且经过点(1, )的椭圆标准方程；
2 2
5
(2)求焦点在 轴上，虚轴长为8，离心率为 的双曲线标准方程．
3
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥 中，底面 是矩形，侧棱 ⊥底面 ，点 是 的中点， = 1， =
= 2．
(1)求 与 所成角的大小；
(2)求 与平面 所成角的正弦值．
18.(本小题17分)
圆 经过点 (2, 1)，和直线 + = 1相切，且圆心在直线 = 2 上．
(1)求圆 的方程；
5
(2)圆内有一点 (2, )，求以该点为中点的弦所在的直线的方程．
2
19.(本小题17分)
如图，六面体 中， ⊥面 且 ⊥面 ， // ， = = = 1， = = =
= 2．
(1)求证： ⊥平面 ；
√ 57
(2)若二面角 的余弦值为 ，求直线 与平面 所成角的余弦．
19
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】√ 10
1
13.【答案】
2
14.【答案】2√ 17
15.【答案】解：(Ⅰ) = 1 × ( 2) + 2 × 1 + 2 × ( 1) = 2；
(Ⅱ)因为 = (1,2,2)， = ( 2,1, 1)，
所以| | = 3，| | = √ 6，
2 2
所以|2 | = √ (2 )2 = √ 4 4 + = √ 4 × 9 4 × ( 2) + 6 = 5√ 2；
(Ⅲ)因为 ⊥ ( + )，
2
所以 ( + ) = + = 9 2 = 0，
9
解得 = ．
2
2
16.【答案】解：(1)椭圆 + 2 = 1中， 2 = 2， 2 = 1，所以 2 = 2 2 = 2 1 = 1，
2
3 2 2
椭圆经过点(1, )，设椭圆方程为 2 + 2 = 1, ( 1 > 2 1
> 0)，
1 1
2 21 1 = 1
则{ 3 2 2 21 ( ) ，解得 1 = 4, 1 = 3，
+ 2 = 1
2 21 1
2 2
所以椭圆标准方程为 + = 1．
4 3
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5
(2)由题意可知 = 4, = = ，
3
2 2
设双曲线标准方程
2
2 = 1，

= 4
5
则{ = ，
3
2 + 2 = 2
解得 2 = 9， 2 = 16，
2 2
所以双曲线标准方程 = 1．
9 16
17.【答案】解：(1)因为底面 是矩形，所以 ⊥ ，
又因为 ⊥底面 ， 、 底面 ，
所以 ⊥ ， ⊥ ，
故以 为坐标原点， ， ， 所在的直线分别为 ， ， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 (0,0,0)， (1,0,0)， (1,2,0)， (0,0,2)， (0,1,1)，
所以 = (1,2, 2)， = (0,1,1)，

所以 = 1 × 0 + 2 × 1 2 × 1 = 0，所以 ⊥ ，即 与 所成角的大小为 ； 2
(2)由(1)知 = (1,2, 2)， = (1,2,0)， = (0,1,1)，
= + 2 = 0
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，则{ ，
= + = 0
取 = 1，则 = 2， = 1，所以 = ( 2,1, 1)是平面 的一个法向量，
设 与平面 所成角为 ，
| | 2 √ 6
则 = |cos < , > | = = = ，
| || | 3×√ 6 9
所以 与平面 所成角的正弦值为√ 6．
9
18.【答案】解：(1)设圆心( , 2 )，方程为：( )2 + ( + 2 )2 = 2，( > 0)
∵圆过 (2, 1)，∴有(2 )2 + ( 1 + 2 )2 = 2，
| 2 1|
又 = ，解得 = 1, = √ 2，
√ 2
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∴圆的方程为( 1)2 + ( + 2)2 = 2．
(2)由题意，( 1)2 + ( + 2)2 = 2的圆心坐标为 (1, 2)，
5
2+ 1
则 =
2 = ，
1 2 2
5
∴以 (2, )为中点的弦所在的直线的斜率为2，
2
5
∴所求直线方程为 + = 2( 2)，即4 2 13 = 0．
2
19.【答案】解：(1)证明：因为 ⊥面 且 ⊥面 ， 面 且 面 ，
所以 ⊥ 且 ⊥ ，在面 中， // ，同理，在面 中， // ，
因为 = = = 2，所以∠ = ∠ = 60°，
又 = 2 = 2，由余弦定理得： 2 = 12 + 22 2 × 1 × 2 60° = 3，则 = √ 3，
因为 2 + 2 = 2，所以 ⊥ ，
因为 ⊥面 ， 面 ，所以 ⊥ ，
又因为 ∩ = ， 面 ， 面 ，所以 ⊥面 ．
(2)取 中点 ，连接 ，由题可知， // 且 = ，
所以四边形 为平行四边形，则 // ，因 ⊥面 ，故 ⊥面 ，
又因△ 为正三角形，所以 ， ， 两两垂直，
以 为坐标原点，以 , , 的方向分别为 ， ， 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
设 = ( > 0)，
则 (0,0,0), (0,1,0), (0, 1,0), (√ 3, 0,0), (0,0, )，
易得， // ，∠ = ∠ = 30°，所以 √ 3 1 ( , , ), (√ 3, 0, )，
2 2
设面 的法向量为 1 = ( , , )，则 1 ⊥ ， 1 ⊥ ，
1 = + = 0
所以{ √ 3 1 ，取 = √ 3，得 1 = ( , √ 3 , √ 3)，
1 = + = 02 2
又因为 ⊥面 ，所以面 的一个法向量为 2 = (0,0,1)，
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| | √ 3 √ 57
由题意|cos 1 , | =
1 2
2 = = ，解得 = 2， | 1 | | 2 | √ 4 2+3 19
所以 √ 3 1 = ( , , 2), = (0,1,2), = (√ 3, 0,0)，
2 2
设面 的法向量为 = ( , , )，则 ⊥ ， ⊥ ，
{ = + 2 = 0所以 ，取 = 1，得 = (0, 2,1)，
= √ 3 = 0
设直线 与平面 所成角为 ，
| | 0+1+2 3
则 = = | | = ．
| || | √ 5×√ 5 5
4
又 ∈ [0, ]，所以 = ，
2 5
4
则直线 与平面 所成角的余弦值为 ．
5
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