福建省福州市闽侯县第二中学2024-2025学年高二上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

福建省闽侯县第二中学 2024-2025 学年高二上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知直线 经过点 (1,0)，且方向向量 = (1,2)，则 的方程为( )
A. + 2 2 = 0 B. 2 2 = 0 C. + 2 1 = 0 D. 2 1 = 0
2.过点 ( 1,1)和 (1,3)，圆心在 轴上的圆的方程是( )
A. 2 + ( 2)2 = 10 B. 2 + ( +2)2 = 10 C. ( 2)2 + 2 = 10 D. ( + 2)2 +
2 = 10
3.过点 (0, 1)作直线 ，若直线 与连接 ( 2,1)， (2√ 3,1)两点的线段总有公共点，则直线 的倾斜角范围
为( )
3 3 3
A. [ , ] B. [ , ] C. [0, ] ∪ [ , ) D. [ , ] ∪ [ , )
4 6 6 4 6 4 6 2 4
1
4.如图所示，在棱长为2的正方体 1 1 1 1中， 为 的中点， = 1，3
则异面直线 与 1 1所成角的余弦值为( )
2
A.
3
√ 3
B.
6
3√ 26
C.
26
4√ 21
D.
21
5.已知直线 ： + + 3 = 0和直线 ：3 2 + ( 2) + 1 = 0，则“ = 1”是“ // ”的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2 2
6.已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点分别为 1， 2，点 在 上， 为 2的中点，且 1 ⊥ 2，
| 1 | = ，则 的离心率为( )
√ 3 1 1 √ 2
A. B. C. D.
3 3 2 2
| |
7.在△ 中，点 ( 2,0)，点 (2,0)，点 满足 = √ 2，则△ 面积的最大值为( )
| |
A. 4√ 2 B. 8√ 2 C. 4√ 6 D. 8√ 6

8.在△ 中，角 ， ， 所对的边为 ， ， ，且 = 3， = .又点 ， ， 都在球 的球面上，且点 到
3
平面 的距离为√ 5，则球 的体积为( )
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64√ 2 63√ 5 64√ 3 63√ 6
A. B. C. D.
3 3 3 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 104 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.以下四个命题表述正确的是( )
A. 过点(3,2)且在 轴、 轴上截距相等的直线方程为 + 5 = 0
B. 圆 2 + 2 = 4上有且仅有3个点到直线 ： + √ 2 = 0的距离都等于1
C. 圆 2 2 21： + + 2 = 0与圆 2： +
2 4 8 + = 0恰有三条公切线，则 = 4
D. 已知圆 ： 2 + 2 = 4，过点 (3,4)向圆 引两条切线 ， ， ， 为切点，则直线 方程为3 + 4 4 =
0
2 2
10.已知椭圆 ： + = 1， 1， 2分别为它的左右焦点， ， 分别为它的左右顶点，点 是椭圆上的一25 9
个动点，下列结论中正确的有( )
A. 点 到右焦点的距离的最大值为9，最小值为1
7
B. cos∠ 1 2的最小值为 25
C. 若∠ 1 2 = 60°，则△ 1 2的面积为3√ 3
25
D. 直线 与直线 斜率乘积为定值
9
11.已知正方体 1 1 1 1棱长为2，如图， 为 1上的动点， ⊥平面 .下面说法正确的是( )
√ 3 √ 2
A. 直线 与平面 所成角的正弦值范围为[ , ]
3 2
B. 点 与点 1重合时，平面 截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大
C. 点 为 1的中点时，若平面 经过点 ，则平面 截正方体所得截面图形是等腰梯形
D. 已知 为 1中点，当 + 的和最小时， 为 1的中点
三、填空题：本题共 3 小题，共 20 分。
12.点(1,2)关于直线 2 2 = 0的对称点坐标是______．
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13.已知 是棱长为1的正四面体.若点 满足 = + + ，其中 + + = 1，则| |的最
小值为______．
√ 5 1 2 2
14.定义离心率是 的椭圆为“黄金椭圆”.已知椭圆 ： + = 1( > 4 > 0)是“黄金椭圆”，则 =
2 4
2 2
______.若“黄金椭圆” ： 2 + 2 = 1( > > 0)的两个焦点分别为 1( , 0)， 2 ( , 0)( > 0)， 为椭圆
| |
上异于顶点的任意一点，点 是△ 1 2的内心，连接 并延长交 1 2于点 ，则 = ______． | |
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
如图，公路 、 围成的是一块顶角为 的角形耕地，其中 = 1，在该块土地中 处有一小型建筑，
经测量，它到公路 、 的距离分别为1 ，√ 2 ，现要过点 修建一条直线公路 ，将三条公路围成
的区域 建成一个工业园．
(1)以 为坐标原点建立适当的平面直角坐标系，并求出 点的坐标；
(2)三条公路围成的工业园区 的面积恰为4 2，求公路 所在直线方程．
16.(本小题12分)
已知圆 ： 2 + 2 4 = 0，直线 恒过点 (4,1)．
(1)若直线 与圆 相切，求 的方程；
(2)当直线 与圆 相交于 ， 两点，且| | = 2√ 3时，求 的方程．
17.(本小题12分)
2 2 √ 6
已知椭圆 ：
2
+ 2 = 1( > > 0)的一个焦点为 (2,0)，且离心率为 ．
3
(1)求椭圆 的方程；
(2)不过原点 的直线 ： = + 与椭圆 交于 ， 两点，求△ 面积的最大值及此时直线 的方程．
18.(本小题12分)
如图，三棱柱 1 1 1中，侧面 1 1 为菱形， ⊥ 1C.
(1)证明： = 1；
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(2)若 ⊥ 1，∠ 1 = 60°， = ，求二面角 1 1 1的余弦值．
19.(本小题12分)
已知动点 ( , )与点 (√ 3, 0)的距离和它到直线 ： = 2√ 3的距离的比是1：√ 2．
(1)求动点 的轨迹 的方程；
(2)已知定点 (2,1)，若 ， 是轨迹 上两个不同动点，直线 ， 的斜率分别为 ， ，且 + = 0，
试判断直线 的斜率是否为定值，并说明理由．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】(3, 2)
√ 6
13.【答案】
3
√ 5+3
14.【答案】2√ 5 + 2
2
15.【答案】解：(1)以点 为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所
示，
由题意，设点 ( , 1)，且直线 的斜率为 = = 1，经过
点 (0,0)，
所以直线 的方程为 + = 0，
又点 到直线 的距离为√ 2，
| +1|
所以 = √ 2，解得 = 1或 = 3(舍)，
√ 2
故点 的坐标为(1,1)；
(2)由题意可知，直线 的斜率一定存在，
设直线 的直线方程为 1 = ( 1)，
1 = ( 1)
联立直线 与 的方程，{ ，
+ = 0
1 1
解得点 的坐标为( , )，
+1 +1
1 1
在直线 的方程中，令 = 0，解得 = +1 = ，
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1 1 1
所以 △ = ( ) = 4， 2 +1
1
解得 = ，
3
故直线 的方程为 + 3 4 = 0．
16.【答案】解：(1)由题意可知，圆 的圆心为(2,0)，半径 = 2，
①当直线 的斜率不存在时，即 的方程为 = 4时，此时直线与圆相切，符合题意；
②当直线 的斜率存在时，设斜率为 ，∴直线 的方程为 1 = ( 4)，
化为一般式： + 1 4 = 0，若直线 与圆相切，
|1 2 | 2 2 3则 = = 2，即1 4 + 4 = 4 + 4，解得 = ，
√ 2 4 +1
3
∴ ： +4 = 0，即 ：3 + 4 16 = 0，
4
综上，当直线 与圆 相切时，直线 的方程为 = 4或3 + 4 16 = 0；
(2)由题意可知，直线 的斜率一定存在，设斜率为 ，
∴直线 的方程为 1 = ( 4)，即 + 1 4 = 0，
|1 2 |
设圆心到直线 的距离为 ，则 = ，
√ 2 +1
2
2 | |由垂径定理可得， + ( )2
(2 1)
= 4，即 2 + 3 = 4， 2 +1
4
整理得，3 2 4 = 0，解得 = 0或 = ，
3
则直线 的方程为 = 1或4 3 13 = 0．
√ 6
17.【答案】解：(1)由已知得 = 2，由离心率 = = 得 = √ 6，
3
∴ = √ 2 2 = √ 2，
2 2
∴椭圆 的方程为 + = 1．
6 2
2 2
(2)设 ( 1 , 1)， ( 2, 2)，联立{
+ = 1 2
6 2 ，可得4 + 6 +3 2 6 = 0，
= +
∵直线 ： = + 与椭圆 交于 ， 两点，∴ = 36 2 16(3 2 6) > 0，解得 2 < 8，即 2√ 2 < <
2√ 2，
3 3 2 6
由韦达定理可得 1 + 2 = , = ， 2 1 2 4
3 3 2 6 √ 6
由弦长公式可得| | = √ 2 √ ( )2 4× = √ 8 2，
2 4 2
| | 1 1 √ 2 √ 6 √ 3 2+8 2
点 到直线 的距离为 = ，∴ 2
√ 2 △
= | | = × × | | × × √ 8 ≤ × = √ 3，
2 2 2 2 4 2
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当且仅当 2 = 8 2，即 = ±2时取等号，
∴△ 面积的最大值为√ 3，此时直线 的方程为 = ± 2．
18.【答案】解：(1)连结 1，交 1 于点 ，连结 ，
∵侧面 1 1 为菱形，
∴ 1 ⊥ 1 ，且 为 1和 1 的中点，
又∵ ⊥ 1 ，且 1和 1 均在平面 内
∴ 1 ⊥平面 ，
∵ 平面 ，∴ 1 ⊥ ，
又 1 = ，∴ = 1，
(2) ∵ ⊥ 1，且 为 1 的中点，∴ = ，
又∵ = ，∴△ ≌△ ，∴ ⊥ ，
∴ ， ， 1两两垂直，
以 为坐标原点， 的方向为 轴的正方向，| |为单位长度，
1的方向为 轴的正方向， 的方向为 轴的正方向建立空间直角坐标系，
∵ ∠ 1 = 60°，∴△ 1为正三角形，又 = ，
√ 3 √ 3 √ 3
∴ (0,0, )， (1,0,0,)， 1(0, , 0)， (0, , 0)， 3 3 3
√ 3 √ 3 √ 3∴ 1 = (0, , )， 1 1 = = (1,0, )， 3 3 3
√ 3
1 1 = = ( 1, , 0)， 3
设向量 = ( , , )是平面 1 1的法向量，
√ 3 √ 3 1 = = 0
则{ 3 3 ，可取 = (1, √ 3, √ 3)，

√ 3
1 1 = = 03
同理可得平面 1 1 1的一个法向量 = (1, √ 3, √ 3)，
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1
∴ cos < ， >= = ，
| || | 7
1
∴由图可知，二面角 1 1 1的平面角是锐角，即二面角 1 1 1的余弦值为 ． 7
19.【答案】解：(1)由动点 ( , )与点 (√ 3, 0)的距离和它到直线 ： = 2√ 3的距离的比是1：√ 2，
√ 2 ( √ 3) + 2 √ 2 2 2
得 = ，化简得 + = 1，
|2√ 3 | 2 6 3
2 2
即点 的轨迹方程是 + = 1；
6 3
(2)直线 的斜率为定值1，利用如下：
设直线 的斜率为 ，则直线 的斜率为 ．
直线 的方程为 1 = ( 2)，直线 的方程为 1 = ( 2)．
设点 ( , )， ( , )，
1 = ( 2)
联立{ 2 2 ，得(2 2 +1) 2 (8 2 4 ) + 8 2 8 4 = 0，
+ = 1
6 3
∵点 (2,1)在椭圆 上，∴ = 2是上述方程的一个根，
2 2
8 8 4 4 4 2
则2 = 2 ，可得 = 2 ．
2 +1 2 +1
2 2
4 +4 2 8 8 4
同理 = 2 ，∴ = 2 ， + = 2 ．
2 +1 2 +1 2 +1
8
又 = ( + 4) = 2 ，
2 +1

∴直线 的斜率 = = 1，
故直线 的斜率为定值，该值为1．
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