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直线与平面垂直的判定
巨野实验中学 刘士臣
生活中有很多直线与平面垂直的实例
实例引入
旗杆与地面垂直
大桥的桥柱与水面垂直
生活中有很多直线与平面垂直的实例
实例引入
一条直线与一个平面垂直的意义是什么？
引入新课
A
α
B
C
B
旗杆AB所在直线
与地面内任意一条过点B的直线垂直．
与地面内任意一条不过点B的直线B1C1也垂直．
直线垂直于平面内的
任意一条直线．
B1
C1
C2
B2
如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们说直线 l 与平面 互相垂直，
记作 ．
平面 的垂线
直线 l 的垂面
垂足
直线与平面垂直
画法:
α
P
l
P
l
α
通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一条边垂直
·
·
除定义外，如何判定一条直线与平面垂直呢？
b
l
如果直线
与平面
内的一条直线垂直，
则直线
l
和平面
互相垂直
a
除定义外，如何判定一条直线与平面垂直呢？
l
如果直线
与平面
内的两条直线垂直，
则直线
l
和平面
互相垂直
b
a
α
如果两条直线平行
如果两条直线相交
除定义外，如何判定一条直线与平面垂直呢？
c
如图，准备一块三角形的纸片，做一个实验：
过 的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC与桌面接触）
折痕AD在什么位置时与桌面垂直
除定义外，如何判定一条直线与平面垂直呢？
当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面 垂直．
除定义外，如何判定一条直线与平面垂直呢？
A
D
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
直线与平面垂直判定定理
判定定理
线线垂直 线面垂直
线不在多 相交则行
A
b
a
=
∩
练习题：判断正误
①如果一条直线和一个平面内的无数条直线都垂直，那么该直线垂直于该平面
②如果一条直线和一个平面内的任何两条直线都垂直，那么该直线垂直于该平面
③如果一条直线和一个平面内的某两条相交直
线都垂直，那么该直线垂直于该平面；
(×)
(√)
(√)
例1 如图，已知 ，求证
根据直线与平面垂直的定义知
又因为
所以
又
是两条相交直线，
所以
证明：在平面 内作
两条相交直线m，n．
因为直线 ，
典型例题
请你用语言来叙述一下本题？
探究 侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足什么条件时，有A1C⊥B1D1，说明你的理由.
A
A1
B
C
D
B1
C1
D1
一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角
一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0 的角
直线和平面所成角的范围是[0 ，90 ]
第２个空间角
平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角
Ａ
Ｐ
Ｏ
斜线
垂线
斜线在平面上的射影
C1
A
D
C
B
B1
A1
D1
巩固 在正方体ABCD—A1B1C1D1 中，
①求直线A1B1与平面ABCD所成的角_______
②求直线A1B1与平面BCC1B1所成的角_______
③求直线A1B与平面ABCD所成的角_______
④求直线A1B与平面BCC1B1所成的角_______
0°
90°
45°
45°
例2 在正方体ABCD—A1B1C1D1 中，求直线A1B与平面A1B1CD所成的角
A
C1
D
C
B
B1
A1
D1
Q
变式：求直线AC与平面A1B1CD所成的角
作
证
算
O
1．直线与平面垂直的概念
4．数学思想方法：转化的思想
空间问题
平面问题
知识小结
2．判定直线与平面垂直的三种方法（定义、定理、例1）
线线垂直
线面垂直
3.直线与平面所成的角：作、证、算。
