高中数学人教A版必修第一册5.2.2 《同角三角函数的基本关系》 课件（共23张PPT）

(共23张PPT)
5.2.2同角三角函数的基本关系
单元主题：三角函数的概念与性质
高中数学/人教A版/必修/第一册
学习目标
2.会利用同角三角函数的基本关系进行三角函数的求值、化简与证明。
4.通过对同角三角函数的基本关系的应用，体验分类讨论、数形结合和方程的数学思想，学会理性思维分析问题。
3.通过合作探究、交流讨论、小组展示等环节，养成团结协作、乐学善学、勇于探究的习惯。
1.会推导并理解同角三角函数的基本关系式，掌握同角三角函数之间的联系。
三角函数值的符号
正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号如图所示：
一、创设情境 引入新知
正弦一二切一三，余弦一四紧相连
成立条件：显然，当的终边与坐标轴重合时，这个公式也成立.
根据三角函数的定义，当时，有：
语言表述：同一个角的正弦与余弦的商等于该角的正切.
同角三角形函数的基本关系------商数关系
作用：弦切的转化
三、合作探究 再探新知
·
？
回到概念
α的终边
P(x，y)
O
x
y
·
三角函数的概念
同角三角函数的基本关系--------平方关系
如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P，那么，点P的横、纵坐标之间有什么内在联系？由此能得到什么结论？
P(x，y)
O
x
y
x
1
α
x2+y2=1
同角三角形函数的基本关系
上述关系反映了角α的正弦和余弦之间的内在联系，根据等式的特点，将它称为平方关系.
O
x
y
P
P
思考：当角α的终边在坐标轴上时，上述关系成立吗？语言表述 作用？
新知探索
平方关系
商数关系
同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于这个角的正切.
同角三角函数的基本关系
思考：“同角”一词的含义是什么？
(1)注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立.
(2)注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tan α＝仅对α≠＋kπ(k∈Z)成立.

四、小题快练 小试牛刀
判断正误.
(1)对任意角，都成立.( )
(2)对任意角，都成立.( )
(3)因为，所以成立，其中、为任意角.( )
(4)对任意角，都成立.( )
√
×
×
×
五、应用新知 三角求值
∴
∴
4
3
tan
5
4
sin
1
cos
4
3
tan
5
4
sin
1
cos
2
2
=
=
-
=
-
=
-
=
-
-
=
a
a
a
a
a
a
a
a
在第四象限时，
当
在第三象限时，
当
在第三象限时，
a
在第三象限时，
当
a
在第三象限时，
cos
当
a
在第三象限时，
a
cos
当
a
在第三象限时，
=
a
cos
当
a
在第三象限时，
-
=
a
cos
当
a
在第三象限时，
-
=
a
cos
当
a
在第三象限时，
1
-
=
a
cos
当
a
在第三象限时，
-
1
-
=
a
cos
当
a
在第三象限时，
sin
-
1
-
=
a
cos
当
a
在第三象限时，
2
sin
-
1
-
=
a
cos
当
a
在第三象限时，
a
2
sin
-
1
-
=
a
cos
当
a
在第三象限时，
=
a
2
sin
-
1
-
=
a
cos
当
a
在第三象限时，
-
=
a
2
sin
-
1
-
=
a
cos
当
a
在第三象限时，
5
-
=
a
2
sin
-
1
-
=
a
cos
当
a
在第三象限时，
5
-
=
a
2
sin
-
1
-
=
a
cos
当
a
在第三象限时，
tan
5
-
=
a
2
sin
-
1
-
=
a
cos
当
a
在第三象限时，
a
tan
5
-
=
a
2
sin
-
1
-
=
a
cos
当
a
在第三象限时，
=
a
tan
5
-
=
a
2
sin
-
1
-
=
a
cos
当
a
在第三象限时，
-
=
a
tan
5
-
=
a
2
sin
-
1
-
=
a
cos
当
a
在第三象限时，
4
-
=
a
tan
5
-
=
a
2
sin
-
1
-
=
a
cos
当
a
在第三象限时，
∴
4
=
a
tan
5
-
=
a
2
sin
-
1
-
=
a
cos
当
a
在第三象限时，
a
∴
4
=
a
tan
5
-
=
a
2
sin
-
1
-
=
a
cos
当
a
在第三象限时，
当
a
∴
4
=
a
tan
5
-
=
a
2
sin
-
1
-
=
a
cos
当
a
在第三象限时，
cos
在第四象限时，
当
a
∴
4
=
a
tan
5
-
=
a
2
sin
-
1
-
=
a
cos
当
a
在第三象限时，
a
cos
在第四象限时，
当
a
∴
4
=
a
tan
5
-
=
a
2
sin
-
1
-
=
a
cos
当
a
在第三象限时，
=
a
cos
在第四象限时，
当
a
∴
4
=
a
tan
5
-
=
a
2
sin
-
1
-
=
a
cos
当
a
在第三象限时，
1
=
a
cos
在第四象限时，
当
a
∴
4
=
a
tan
5
-
=
a
2
sin
-
1
-
=
a
cos
当
a
在第三象限时，
1
=
a
cos
在第四象限时，
当
a
∴
4
=
a
tan
5
-
=
a
2
sin
-
1
-
=
a
cos
当
a
在第三象限时，
-
1
=
a
cos
在第四象限时，
当
a
∴
4
=
a
tan
5
-
=
a
2
sin
-
1
-
=
a
cos
当
a
在第三象限时，
sin
-
1
=
a
cos
在第四象限时，
当
a
∴
4
=
a
tan
5
-
=
a
2
sin
-
1
-
=
a
cos
当
a
在第三象限时，
2
a
sin
-
1
=
a
cos
在第四象限时，
当
a
∴
4
=
a
tan
5
-
=
a
2
sin
-
1
-
=
a
cos
当
a
在第三象限时，
4
=
2
a
sin
-
1
=
a
cos
在第四象限时，
当
a
∴
4
=
a
tan
5
-
=
a
2
sin
-
1
-
=
a
cos
当
a
在第三象限时，
4
=
2
a
sin
-
1
=
a
cos
在第四象限时，
当
a
∴
4
=
a
tan
5
-
=
a
2
sin
-
1
-
=
a
cos
当
a
在第三象限时，
5
4
=
2
a
sin
-
1
=
a
cos
在第四象限时，
当
a
∴
4
=
a
tan
5
-
=
a
2
sin
-
1
-
=
a
cos
当
a
在第三象限时，
4
五、应用新知 三角求值
方程(组)思想
这两个关系是不是很给力？可以做到知一求二！
思想升华
思考问题
思考：能否总结出求同角三角函数值的一般步骤？
求同角三角函数值的一般步骤：
1.根据已知三角函数值的符号，确定角所在象限；
2.对角所在象限进行分类讨论；
3.利用两个基本关系式求出其他三角函数值；
4.根据角所在象限确定由平方关系开方后的符号，进而求出其三角函数值.
所以原式成立.
六、等式证明 再用新知
例2.求证：
所以原式成立.
证法二：
例2.求证：
六、等式证明 再用新知
例2.求证：.
=0
.
六、等式证明 再用新知
方法总结
还有没有其它方法
？
问题思考
思考：恒等式证明常用方法
基本思路:
1.从一边开始证明它的另一边，一般由繁到简，通过恒等式变形得到另一个式子。
2.考虑选取与原式等价的式子，通过等价转化推出原式。
3.作差比较大小。
七、归纳小结 升华新知
《同角三角函数的基本关系》小结思维导图
等式证明（一题多解）
三角函数的定义
应
用
三角求值（分类讨论的思想、数形结合的思想、方程思想）
核心素养
提 升
逻辑推理的素养
数学运算的素养
数学抽象的素养
（知识生成）
（方法构建）
（素养提升）
八、作业布置 反馈新知
作业设计：
必做题：课本习题5.2 复习巩固 第6题（1）（2）（3）题
选做题：课本习题5.2 综合运用 第11题 第12题
九、课堂自我评价
学生课堂自我评价表
评价内容 评价等级 评价目的
我能认真听老师讲课，听同学发言。 能否认真专注
遇到我会回答的问题都主动举手了。 能否主动参与
发言时声音响亮 能否自由表达
我能积极参与小组讨论活动，能与他人合作？ 能否善于合作
善于思考，并能有条理地表达自己不同的看法。 能否勤于反思
我会指出同学错误的解答 是否敢于质疑
我能常得到老师的表扬、同学的赞赏。 能否自我认同
注：本评价表是学生对自己课堂表现用 ★ 作出评价，五颗星表示满意或很满意，四颗星表示基本满意，三颗星或三颗星以下星表示不满意。