新人教版七年级数学上名师点拨与训练第6章几何图形6.3.1 角

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新人教版七年级数学上名师点拨与训练
第6章 几何图形
6.3.1 角
学习目标：
1.理解角的两种定义和相关概念，掌握角的表示方法.
2.会正确使用量角器测量角的大小.
3.认识角的单位，会进行度、分、秒之间的换算.
重点：角的两种定义以及三种表示方法.
难点：度、分、秒及其换算.
老师告诉你
角的表示方法
知识点拨
知识点1、角的概念
角的定义：
（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．
（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边．
2.注意：
（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．
（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．
【新知导学】
例1-1．图中以OC为边的角有几个？请把它们表示出来.
【对应导练】
1．下列关于角的说法正确的个数是( )
①角是由两条射线组成的图形；②角的边越长，角越大；③在角一边延长线上取一点D；④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.
A.1 B.2 C.3 D.4
2．下列关于平角、周角的说法正确的是( )
A.平角是一条直线 B.周角是一条射线
C.反向延长射线OA，就形成一个平角 D.两个锐角的和不一定小于平角
知识点2 、角的表示
角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：
注意：
用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母．
【新知导学】
例2-1．下列图形中能用、、三种方法表示同一个角且角表示正确的图形是( )
A. B.
C. D.
例2-2．下列图形中,能用和表示同一个角的是( )
A. B.
C. D.
【对应导练】
1．如图，下列说法错误的是( )
A.可用表示 B.也可用表示
C.也可用表示 D.也可用表示
2．如图，给出下列说法：①和是同一个角；②和是同一个角；③和是同一个角；④和不是同一个角.其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3．图中以OC为边的角有几个？请把它们表示出来.
知识点3 、角的度量与换算
角的度量
可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60. 同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法.
1°＝60′ ，1′＝60″，1周角＝360°，1平角＝180°
以度分秒为单位的角的度量制，叫做角度制，以弧度为基本度量单位叫弧度制.在军事上常常使用密位制；角的测量工具有： 量角器、经纬仪。
【新知导学】
例3-1．计算：______°______′.
例3-2．比较大小：________.(填“>”“<”或“=”)
【对应导练】
1．把一个平角16等分，则每份（用度、分、秒表示）为_________.
2．将用度、分、秒的形式为( )
A. B. C. D.
3．等于 分，等于 　　秒，等于 　　度．
二、题型训练
1.画一个角等于已知角
1．画几个不同的四边形，使每个四边形中都有，，的角.量一量这些四边形中另一个角的度数，你能发现什么规律？
2．同时使用如图所示的一副三角尺能画出哪些角度（小于的角）？至少画出3个表示不同角度的图形，说明理由.
2.角的表示及计数
3．如图，写出：
（1）以C为顶点的所有角；
（2）以AB为一边的所有角；
（3）以F为顶点，FB为一边的所有角.
4．观察图，完成下列问题：
（1）如图①，内部有一条射线，则图中有个角；
（2）如图②，内部有两条射线，，则图中有________个角；
（3）如果内部有10条射线，那么图中有_________个角.
5．根据给出的图形解答下列问题：
（1）表示成，这样的表示方法是否正确？如果不正确，应该怎样改正？
（2）图中哪个角可以用一个大写字母表示？
（3）以A为顶点的角有几个？请表示出来.
（4）与是同一个角吗？请说明理由.
3.角度的换算
6．计算：
（1）把3.38°化为度、分、秒的形式.
（2）把化成度的形式.
7．计算并写出简单的过程：
（1）将用度、分、秒表示；
（2）将用度来表示.
8．填空：
（1）_________°_________'_________"；
（2）_________°；
（3）_________'=_________°；
（4）_________'=_________".
4.钟表上的角度问题
9．（1）时钟的时针旋转多少度？
（2）时钟的分针旋转多少度？
（3）3时25分，时钟的时针与分针所成的角是多少度？
.
10．如图，在圆形钟面上，点O为钟面的圆心，以点O为顶点按要求画出符合下列要求的角（角的两边不经过钟面上的数字）：
（1）在图（1）中画一个锐角，使锐角的内部含有2个数字，且数字之差的绝对值最大；
（2）在图（2）中画一个直角，使直角的内部含有3个数字，且所含3个数字之积等于这3个数字之和；
（3）在图（3）中画一个钝角，使钝角的内部含有4个数字，且数字之和最小；
（4）在图（4）中画一个平角，使平角的内部与外部的数字之和相等；
（5）在图（5）中画两个直角，使这两个直角的内部含有的3个数字之和相等.（画出一种即可）
三、课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．将用度、分、秒的形式为( )
A. B. C. D.
2．图中角的表示方法正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3．把化为用度表示的形式，下列正确的是( )
A. B. C. D.
.
4．下列图形中，能用，，三种方法表示同一个角的是( )
A. B.
C. D.
5．下列各角中，是锐角的是( )
A.周角 B.平角 C.平角 D.周角
6．下列说法与如图所示的几何图形相符的是( )
A.点D在线段的延长线上 B.可以表示成
C.射线与射线表示同一条射线 D.
7．时针从上午8时开始沿顺时针方向旋转，此时是( ).
A.9时 B.9时30分 C.10时 D.10时30分
8．如图，下列说法错误的是( )
A.可用表示 B.也可用表示
C.也可用表示 D.也可用表示
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．__________°，__________'__________".
11．如图，当7时30分时，时钟上的时针与分针的夹角为__________°.
12．如图，在的内部从O引出3条射线，那么图中共有__________个角；引出5条射线，共有__________个角；引出n条射线，共有__________个角.
13．已知，，则_______（填“>”，“<”或“=”）.
三、解答题（每小题4分，共20分）
14．图中以OC为边的角有几个？请把它们表示出来.
15．请将图中的角用不同方法表示出来，并填写下表：
16．已知如图,在同一平面内,有任意四点A、B、C、D.
(1)画出直线,射线,连接；
(2)小红测量,,求的度数；
(3)直接写出图中共有几个角(平角除外).
18．请根据图回答下列问题.
（1）表示成，表示成，表示成，这样的表示方法对不对？如果不对，应该怎样改正？
（2）图中哪个角可以用一个字母来表示？
（3）图中共有几个小于平角的角？请列举出来.
19．如图4-3-1-6
（1）以点B为顶点的角有几个？分别表示出来；
（2）请分别指出以射线BA为边的角；
（3）以D为顶点，DC为一边的小于平角的角有几个？
分别写出来.
新人教版七年级数学上名师点拨与训练
第6章 几何图形
6.3.1 角
学习目标：
1.理解角的两种定义和相关概念，掌握角的表示方法.
2.会正确使用量角器测量角的大小.
3.认识角的单位，会进行度、分、秒之间的换算.
重点：角的两种定义以及三种表示方法.
难点：度、分、秒及其换算.
老师告诉你
角的表示方法
知识点拨
知识点1、角的概念
角的定义：
（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．
（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边．
2.注意：
（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．
（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．
【新知导学】
例1-1．图中以OC为边的角有几个？请把它们表示出来.
答案：见解析
解析：以OC为边的角有3个，分别为，，.
【对应导练】
1．下列关于角的说法正确的个数是( )
①角是由两条射线组成的图形；②角的边越长，角越大；③在角一边延长线上取一点D；④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：A
解析：角是由两条具有公共端点的射线组成的图形，①错误；
角的大小与边的长短无关，②错误；
角的边是射线，不能延长，③错误.
④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.，④正确。
故选A
2．下列关于平角、周角的说法正确的是( )
A.平角是一条直线 B.周角是一条射线
C.反向延长射线OA，就形成一个平角 D.两个锐角的和不一定小于平角
答案：C
解析：平角的两边在一直线上，但一条直线构不成平角，A错误
周角的两边在一条射线上，但一条射线构不成周角，B错误
反向延长射线OA构成有公共端点的两条射线，构成角，C正确。
每个锐角都小于90°，它们的和小于180度，小于平角，D错误，
故选C
知识点2 、角的表示
角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：
注意：
用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母．
【新知导学】
例2-1．下列图形中能用、、三种方法表示同一个角且角表示正确的图形是( )
A. B.
C. D.
答案：B
解析：A.该图可用、表示,不能用表示,故不符合题意；
B.该图可用、表示,不能用表示,故符合题意；
C.该图可用、表示,不能用表示,故不符合题意；
D.该图可用、表示,不能用表示,故不符合题意.
故选B.
例2-2．下列图形中,能用和表示同一个角的是( )
A. B.
C. D.
答案：A
解析：A、因为顶点O处只有一个角,所以这个角能用和,符合题意；
B、因为顶点O处不止一个角,所以这里的所有角均不能用表示,不符合题意；
C、因为顶点O处不止一个角,所以这里的所有角均不能用表示,不符合题意；
D、因为顶点O处不止一个角,所以这里的所有角均不能用表示,不符合题意；
故选A.
【对应导练】
1．如图，下列说法错误的是( )
A.可用表示 B.也可用表示
C.也可用表示 D.也可用表示
答案：B
解析：
2．如图，给出下列说法：①和是同一个角；②和是同一个角；③和是同一个角；④和不是同一个角.其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案：C
解析：根据角的定义及表示方法，可知①与满足顶点相同，两边所在的射线相同，所以和是同一个角，正确；
②与满足顶点相同，两边所在的射线相同，所以和是同一个角，正确；
③与的顶点相同，两边所在的射线不同，所以和不是同一个角，错误；
④与的顶点不同，两边所在的射线也不同，所以和不是同一个角，正确.
综上，说法正确的有3个.
3．图中以OC为边的角有几个？请把它们表示出来.
答案：见解析
解析：以OC为边的角有3个，分别为，，.
知识点3 、角的度量与换算
角的度量
可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60. 同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法.
1°＝60′ ，1′＝60″，1周角＝360°，1平角＝180°
以度分秒为单位的角的度量制，叫做角度制，以弧度为基本度量单位叫弧度制.在军事上常常使用密位制；角的测量工具有： 量角器、经纬仪。
【新知导学】
例3-1．计算：______°______′.
答案：;
解析：
∵
∴
故答案为：;.
例3-2．比较大小：________.(填“>”“<”或“=”)
答案：>
解析：；
故答案为：>.
【对应导练】
1．把一个平角16等分，则每份（用度、分、秒表示）为_________.
答案：
解析：
.因为，
所以，
故答案为.
2．将用度、分、秒的形式为( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：，
.
∴.
故选C.
3．等于 分，等于 　　秒，等于 　　度．
【解析】解：因为，
所以；
因为，
所以；
因为，
所以；
故答案为：24；75；1.5．
二、题型训练
1.画一个角等于已知角
1．画几个不同的四边形，使每个四边形中都有，，的角.量一量这些四边形中另一个角的度数，你能发现什么规律？
答案：第四个角都是，发现四边形的四个内角和为
解析：图略，通过画出不同的四边形且图中有，，的角，经过测量，这些四边形中第四个角都是，发现四边形的四个内角和为.
2．同时使用如图所示的一副三角尺能画出哪些角度（小于的角）？至少画出3个表示不同角度的图形，说明理由.
答案：、、、、、、、、、、，图见解析，
解析：用三角板画出角，是用角度加减法.比如：画个的角，先将角在纸上画出来，再将角叠加就画出了角.如图：
用一副三角板可以画出：、、、、、、、、、、.
2.角的表示及计数
3．如图，写出：
（1）以C为顶点的所有角；
（2）以AB为一边的所有角；
（3）以F为顶点，FB为一边的所有角.
答案：（1），，，，，
（2），，
（3），，
解析：（1）由图可知：以C为公共端点的射线分别为：射线CB，射线CE，射线CF，射线CD，两两组合可形成：，，，，，；
以C为顶点的角：，，，，，；
（2）如图可知：以射线BA的端点B为公共端点的射线为：射线BF，射线BC，可组成：，；
以射线AB的端点A为公共端点的射线为：射线AD，可组成：，
故以AB为一边的角：，，.
（3）以射线FB的端点F为公共端点的射线为：FA，FC，FD，可组成：，，.
故以F为顶点，FB为一边的角：，，.
4．观察图，完成下列问题：
（1）如图①，内部有一条射线，则图中有个角；
（2）如图②，内部有两条射线，，则图中有________个角；
（3）如果内部有10条射线，那么图中有_________个角.
答案：（1）3
（2）6
（3）66
解析：（1）图①中有，，共3个，
故答案为：3.
（2）在内部画2条射线，，则图中有、、、、、，
共个不同的角；
故答案为：6.
（3）按逆时针方向，以射线为角的始边，
则题图①中分别以射线，为角的终边共有两个角：，；
以射线为始边，射线为终边有一个角：，
所以题图①中角的个数是；
同理，题图②中角的个数是；
经过观察，可以发现角内部射线的条数总比第一个加数小1，
当内部有10条射线时，角的个数是：
.
5．根据给出的图形解答下列问题：
（1）表示成，这样的表示方法是否正确？如果不正确，应该怎样改正？
（2）图中哪个角可以用一个大写字母表示？
（3）以A为顶点的角有几个？请表示出来.
（4）与是同一个角吗？请说明理由.
答案：解：（1）不正确，以A为顶点的角有3个，故不能用表示，可表示为.
（2）题图中可以用一个大写字母表示.
（3）以A为顶点的角有3个，分别是、、.
（4）不是同一个角.理由：这两个角的顶点不同.
解析：
3.角度的换算
6．计算：
（1）把3.38°化为度、分、秒的形式.
（2）把化成度的形式.
答案：解：（1）；
（2）.
解析：
7．计算并写出简单的过程：
（1）将用度、分、秒表示；
（2）将用度来表示.
答案：（1），
，
所以.
（2），.
.
所以.
解析：
8．填空：
（1）_________°_________'_________"；
（2）_________°；
（3）_________'=_________°；
（4）_________'=_________".
答案：（1）8；45；36；
（2）4.23；
（3）600；10；
（4）9；540
解析：
4.钟表上的角度问题
9．（1）时钟的时针旋转多少度？
（2）时钟的分针旋转多少度？
（3）3时25分，时钟的时针与分针所成的角是多少度？
答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）时钟的时针旋转.
（2）时钟的时针旋转.
（3）.
10．如图，在圆形钟面上，点O为钟面的圆心，以点O为顶点按要求画出符合下列要求的角（角的两边不经过钟面上的数字）：
（1）在图（1）中画一个锐角，使锐角的内部含有2个数字，且数字之差的绝对值最大；
（2）在图（2）中画一个直角，使直角的内部含有3个数字，且所含3个数字之积等于这3个数字之和；
（3）在图（3）中画一个钝角，使钝角的内部含有4个数字，且数字之和最小；
（4）在图（4）中画一个平角，使平角的内部与外部的数字之和相等；
（5）在图（5）中画两个直角，使这两个直角的内部含有的3个数字之和相等.（画出一种即可）
答案：（1）见解析
（2）见解析
（3）见解析
（4）见解析
（5）见解析
解析：（1）~（4）如图（1）~图（4）所示.
（5）如图（5）所示，答案不唯一.
三、课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．将用度、分、秒的形式为( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：，
.
∴.
故选C.
2．图中角的表示方法正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案：B
解析：题图①应表示为或或；
题图②，是平角，正确；
题图③，射线与周角是两个概念；
题图④可以表示为，正确.
综上所述，正确的有2个.
故选B.
3．把化为用度表示的形式，下列正确的是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：因为，所以，
因为，所以，
所以.
4．下列图形中，能用，，三种方法表示同一个角的是( )
A. B.
C. D.
答案：A
解析：A选项中，可用，，三种方法表示同一个角；
B选项中，能用表示，不能用表示；
C选项中，点A、O、B在一条直线上，
能用表示，不能用表示；
D选项中，能用表示，不能用表示；
故选：A.
5．下列各角中，是锐角的是( )
A.周角 B.平角 C.平角 D.周角
答案：D
解析：周角为，平角为，
所以周角，平角，
周角.
故选D.
6．下列说法与如图所示的几何图形相符的是( )
A.点D在线段的延长线上 B.可以表示成
C.射线与射线表示同一条射线 D.
答案：D
解析：A、点在线段的延长线上，原说法错误，不符合题意；
B、不可以表示成（点C处不止一个角），原说法错误，不符合题意；
C、射线与射线表示不同的射线，原说法错误，不符合题意；
D、，原说法正确，符合题意；
故选：D.
7．时针从上午8时开始沿顺时针方向旋转，此时是( ).
A.9时 B.9时30分 C.10时 D.10时30分
答案：C
解析：由题意得：时针从上午8时开始沿顺时针方向旋转，旋转角为，
时钟一大格一小时是，
，
时钟的时针旋转了两大格即2小时，从上午的8时到上午10时，
故选：C.
8．如图，下列说法错误的是( )
A.可用表示 B.也可用表示
C.也可用表示 D.也可用表示
答案：B
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．__________°，__________'__________".
答案：49.5225；21；36
解析：因为，所以.因为，所以，所以.因为，，所以.
10．比较大小：___________(填“>”“<”或“=”).
答案：>
解析：因为，
所以，
故答案为：>.
11．如图，当7时30分时，时钟上的时针与分针的夹角为__________°.
答案：45
解析：
12．如图，在的内部从O引出3条射线，那么图中共有__________个角；引出5条射线，共有__________个角；引出n条射线，共有__________个角.
答案：10；21；
解析：如果引出3条射线，那么题图中共有10个角；引出5条射线，共有21个角；引出n条射线，共有个角.
13．已知，，则_______（填“>”，“<”或“=”）.
答案：>
解析：，
，
，
故答案为：>.
三、解答题（每小题4分，共20分）
14．图中以OC为边的角有几个？请把它们表示出来.
答案：见解析
解析：以OC为边的角有3个，分别为，，.
15．请将图中的角用不同方法表示出来，并填写下表：
答案：见解析
解析：（填表略）由题图可知，，（或），（或），.
16．已知如图,在同一平面内,有任意四点A、B、C、D.
(1)画出直线,射线,连接；
(2)小红测量,,求的度数；
(3)直接写出图中共有几个角(平角除外).
答案：(1)见解析
(2)
(3)5
解析：(1)如图,
(2)∵,,
∴；
(3)图中的角有：,,,,,共5个.
17．说出图中共有几个角,并分别写出它们.
答案：逆时针方向数,
以为始边的角有、、 ,
以为始边的角有、,
以为始边的角有,
所以题图中共有个角,
它们分别是,,,,,.
解析：
18．请根据图回答下列问题.
（1）表示成，表示成，表示成，这样的表示方法对不对？如果不对，应该怎样改正？
（2）图中哪个角可以用一个字母来表示？
（3）图中共有几个小于平角的角？请列举出来.
（1）答案：表示方法不对，表示成，表示成，表示成
解析：表示成，表示成，表示成，
这样的表示方法不对，
正确的表示方法为表示成，表示成，表示成.
（2）答案：
解析：图中可以用一个字母表示的角为.
（3）答案：11个，列举见解析
解析：图中小于平角的角有、、、、、、、、、，.
一共有11个角小于平角.
19．如图4-3-1-6
（1）以点B为顶点的角有几个？分别表示出来；
（2）请分别指出以射线BA为边的角；
（3）以D为顶点，DC为一边的小于平角的角有几个？
分别写出来.
答案：（1）以点B为顶点的角有，共3个.
（2）以射线BA为边的角有.
（3）以D为顶点，DC为一边的小于平角的角有，共2个.
解析：
图2
图1
图2
图1
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