新疆维吾尔自治区克孜勒苏柯尔克孜自治州2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（PDF版，含答案）

新疆克州 2023-2024 学年高二下学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设 ( ) = ，则 ′( ) =( )
6
1 √ 2 √ 3
A. B. C. D. 1
2 2 2
2. ， ， ， ， ， 六人站成一排，如果 ， 必须相邻，那么排法种数为( )
A. 240 B. 120 C. 96 D. 60
3.已知( 1)10 = 0 + 1 + 2
2 + + 10
10，则 1 + 2 + + 10 =( )
A. 210 B. 0 C. 1 D. 1
4.学校夏季运动会需要从4名男生和3名女生中选取4名志愿者，则选出的志愿者中至少有2名女生的不同选
法种数为( )
A. 20 B. 30 C. 22 D. 40
5.函数 ( ) = 2 4 的单调递减区间是( )
A. ( ∞, 2) B. (0,2) C. (2, +∞) D. ( , +∞)
3
6.若(√ + 2)
展开式中只有第7项的二项式系数最大，则 =( )

A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
7.设 是一个离散型随机变量，其分布列为
2 3 4
1
1 2 2 2
2
则 等于( )
√ 2 1 √ 2
A. 1 B. 1 C. D. 1 +
2 2 2
8.函数 ( )的导函数 ′( )的图象如图所示，则( )
1 1
A. = 为函数 ( )的零点 B. 函数 ( )在( , 2)上单调递减
2 2
C. = 2为函数 ( )的极大值点 D. ( 2)是函数 ( )的最小值
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二、多选题：本题共 3 小题，共 15 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某中药材盒中共有包装相同的10袋药材，其中甲级药材有4袋，乙级药材有6袋，从中不放回地依次抽取2
袋，用 表示事件“第一次取到甲级药材”，用 表示事件“第二次取到乙级药材”，则( )
2 2
A. ( ) = B. ( | ) =
5 3
3
C. ( ) = D. 事件 ， 相互独立
5
1
10.对于函数 ( ) = 3 + 2 2，下列说法正确的是( )
3
A. ( )是增函数，无极值
B. ( )是减函数，无极值
C. ( )的单调递增区间为( ∞, 4)，(0, +∞)，单调递减区间为( 4,0)
32
D. (0) = 0是极小值， ( 4) = 是极大值
3
11.甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排拍照留念，下列结论正确的是( )
A. 站成一排不同的站法共有120种
B. 若甲和乙不相邻，则不同的站法共有36种
C. 若甲站在最中间，则不同的站法共有24种
D. 若甲不站排头，且乙不站排尾，则不同的站法共有78种
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分。
3
12.设 ， 为两个事件，若事件 和事件 同时发生的概率为 ，在事件 发生的前提下，事件 发生的概率
7
3
为 ，则事件 发生的概率为______．
4
13.函数 ( ) = + (其中 为自然对数的底数)的图象在点(0, (0))处的切线方程为 ．

14.已知随机变量 的概率分布为 ( = ) = ( = 1,2,3, ,10)，则实数 = ．
( +1)
四、解答题：本题共 5 小题，共 49 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题7分)
1
已知( 2 + ) 的展开式中的所有二项式系数之和为64．

(1)求 的值；
(2)求展开式中 3的系数．
16.(本小题9分)
根据张桂梅校长真实事迹拍摄的电影《我本是高山》于2023年11月24日上映，某数学组有4名男教师和2名
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女教师相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起.求：
(1)2名女教师互不相邻的坐法有多少种？
(2)学校从观看《我本是高山》的4名男教师和2名女教师中选派3名教师参加市教育局组织的观影分享会，
若要求选派的3名教师中至少要有1名女教师，那么有多少种选派方法？
17.(本小题9分)
函数 ( ) = + 2 + 的图象在点 (1, (1))处的切线方程为 = 2 2．
(1)求 、 的值；
(2)求 ( )的极值．
18.(本小题12分)
从装有除颜色外完全相同的6个白球，4个黑球和2个黄球的箱中随机取出两个球，规定每取出1个黑球记2分，
而取出1个白球记 1分，取出黄球记零分．
(1)以 表示所得分数，求 的概率分布；
(2)求得分 > 0时的概率．
19.(本小题12分)
已知函数 ( ) = ， ( ) = 2 + 3( ∈ )．
(1)求函数 ( )的单调递增区间；
1
(2)若对任意 ∈ (0, +∞)，不等式 ( ) ≥ ( )恒成立，求 的取值范围．
2
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
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9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
4
12.【答案】
7
13.【答案】2 + 1 = 0
11
14.【答案】
10
1
15.【答案】解：(1)由已知( 2 + ) 的展开式中的所有二项式系数之和为64．

由题意可得，2 = 64，
解得 = 6．
2 1 1 1(2)( + ) = ( 2 + )6，故二项展开式的通项为 +1 = 6 (
2)6 ( ) = 12 3 6 ( = 0,1,2,3,4,5,6)，
由12 3 = 3，得 = 3．
∴展开式中 3的系数为 36 = 20．
16.【答案】解：(1)根据题意，先将4名男教师排好，有 44 = 24种坐法，
再在这4名男教师之间及两头的5个空位中插入2名女教师，有 25 = 20种坐法，
由分步乘法计数原理，共有24 × 20 = 480种坐法；
(2)根据题意，分类讨论，
当1名女教师和2名男教师时 1 22 4 = 12种，
当2名女教师和1名男教师时 22
1
4 = 4种，
所以共有12 + 4 = 16种选派方法．
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17.【答案】解：(1)由 ( ) = + 2 + ，得 ′( ) = 1 + 2 + ，

∵ ( )的图象在点 (1, (1))处的切线方程为 = 2 2，
∴ ′(1) = 1 + 2 + = 2， (1) = 1 + = 2 × 1 2 = 0，解得 = 1， = 3．
3 2 2+ +3 ( 2 +3)( +1)
(2)由(1)，可得 ′( ) = 1 + 2 + = 1 2 + = = ，

( )与 ′( )随着 的变化情况如下表．
3 3 3
(0, ) ( , +∞)
2 2 2
′( ) + 0
3 3
( ) ↗ 极大值 + 3 ↘
4 2
3 3
由表可知，函数 ( )的极大值为 + 3 ，无极小值．
4 2
18.【答案】解：(1)根据题意，当取到2个白球时，随机变量 = 2；
当取到1个白球，1个黄球时，随机变量 = 1；
当取到2个黄球时，随机变量 = 0；
当取到1个白球，1个黑球时，随机变量 = 1；
当取到1个黑球，1个黄球时，随机变量 = 2；
当取到2个黑球时，随机变量 = 4，
所以随机变量 的可能取值为 2， 1，0，1，2，4，
2 5 1 1 2 2 1
可得 ( = 2) = 62 = ， ( = 1) =
6 2 = ， ( = 0) = 2 = ，
12 22
2
12 11
2
12 66
1 1 4 1 1 4 26 4 1 ( = 1) = 2 = ， ( = 2) =
4 2 4
11 2
= ， ( = 4) = = ，
12 12 33
2
12 11
所以 的概率分布为
2 1 0 1 2 4
5 2 1 4 4 1

22 11 66 11 33 11
4 4 1 19
(2)解：由(1)得 ( > 0) = ( = 1) + ( = 2) + ( = 4) = + + = ，
11 33 11 33
19
所以得分 > 0时的概率为 ．
33
19.【答案】解：(1) ( ) = 定义域为(0, +∞)， ′( ) = + 1，
令 ′( ) > 0，即 + 1 > 0，
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1
解得 > ，

1
所以 ( )在( , +∞)单调递增；

1
(2)对任意 ∈ (0, +∞)，不等式 ( ) ≥ ( )恒成立，
2
1
即 ≥ ( 2 + 3)恒成立，
2
3
分离参数得 ≤ 2 + + ，

3 ( +3)( 1)
令 ( ) = 2 + + ( ∈ (0, +∞))，则 ′( ) = ，
2
当 ∈ (0,1)时， ′( ) < 0， ( )在(0,1)上单调递减，
当 ∈ (1, +∞)时， ′( ) > 0， ( )在(1, +∞)上单调递增，
所以 ( ) = (1) = 4，即 ≤ 4，
故 的取值范围是( ∞, 4]．
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