江西省南昌市第一中学朝阳校区2023-2024学年高二下学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

江西省南昌市第一中学朝阳校区 2023-2024 学年高二下学期期末数学
试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { |2 3 < 1}， = { | + 1 0}，则 ∩ =( )
A. [ 1,2) B. [ 1,1) C. [ 2,+∞) D. [ 1,+∞)
2.已知 ， ∈ ，则“ > ”是“√ ( ) > 0”的( )
A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件
C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件
( +1)
3.已知函数 ( )的定义域为[ 2,2]，则函数 ( ) = 的定义域为( )

A. [ 1,3] B. [ 3,1] C. [ 1,0) ∪ (0,3] D. [ 3,0) ∪ (0,1]
4.已知命题“ ∈ [1,3]， 2 1 < 0成立”是假命题，则实数 的取值范围是( )
8 8
A. ( ∞, 0] B. ( ∞, ] C. [0,+∞) D. [ , +∞)
3 3
5.设 = 0.42， = log 3， = 40.30.4 ，则 ， ， 的大小关系为( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
6.若函数 ( ) = √ 2 + + 1的值域为[0,+∞)，则实数 的取值范围为( )
1 1 1 1
A. (0, ] B. {0} ∪ [ ,+∞) C. [0, ] D. [ , +∞)
4 4 4 4
1 1
7.已知函数 ( )满足： ( ) = 2 + 2，则 ( )的解析式为( )
A. ( ) = 2 + 2 B. ( ) = 2
C. ( ) = 2 + 2( ≠ 0) D. ( ) = 2 2( ≠ 0)
8.已知函数 ( )的定义域为 ，函数 ( ) = (1 + ) (1 + )为偶函数，函数 ( ) = (2 + 3 ) 1为奇函
数，则下列说法错误的是( )
A. 函数 ( )的一个对称中心为(2,1) B. (0) = 1
C. 函数 ( )为周期函数，且一个周期为4 D. (1) + (2) + (3) + (4) = 6
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.围棋是我国发明的古老的也是最复杂的智力竞技活动之一.现代围棋棋盘共有19行19列，361个格点，每
个格点上可能出现黑子、白子、空三种情况，因此整个棋盘上有3361种不同的情况，下面对于数字3361的判
断正确的是(参考数据： 3 ≈ 0.4771)( )
A. 3361的个位数是3 B. 3361的个位数是1 C. 3361是173位数 D. 3361是172位数
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10.已知 + 2 = ( > 0, > 0)，则下列结论正确的是( )
A. 的最小值为2 B. + 的最小值为3 + 2√ 2
1 1 4 1 1
C. + 的最大值为1 D. + 的最小值为
2 2 2
1
11.下列定义在(0,+∞)上的函数 ( )中，满足 ∈ (0,+∞)， ( ) + ( ) ≥ 2 (1)的有( )


A. ( ) = √ B. ( ) = 2 C. ( ) = D. ( ) =

1+
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知1 ≤ + ≤ 4， 1 ≤ ≤ 2，则4 2 的取值范围是______．
13.已知函数 ( ) = [( + 1) 2 + ] ( )为偶函数，则实数 的值为______．
1(1 ), 1 ≤ ≤ 1
14.已知函数 ( ) = { 2 的值域是[ 1,1]，若 ∈ [0, )，则 的取值范围是______．
22 | 1|
2
3, < ≤
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
二次函数 ( )满足 ( + 1) ( ) = 2 1，且 (0) = 2．
(1)求 ( )的解析式；
(2)若 ∈ [ 1,2]时， = ( )的图象恒在 = + 图象的上方，试确定实数 的取值范围．
16.(本小题15分)
已知四棱锥 ， // ， = = 1， = 3， = = 2， 是 上一点， ⊥ ．
(1)若 是 中点，证明： //平面 ．
(2)若 ⊥平面 ，求面 与面 夹角的余弦值．
17.(本小题15分)
甲、乙两个不透明的袋中各装有6个大小质地完全相同的球，其中甲袋中有3个红球、3个黄球，乙袋中有1个
红球、5个黄球．
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(1)若从两袋中各随机地取出1个球，求这2个球颜色相同的概率；
(2)若先从甲袋中随机地取出2个球放入乙袋中，再从乙袋中随机地取出2个球，记从乙袋中取出的红球个数
为 ，求 的分布列与期望．
18.(本小题17分)
已知函数 ( ) = + 2 + 3( ∈ )．
1
(Ⅰ)当 = 时，求函数 ( )的极值；
2
(Ⅱ)求函数 ( )的单调区间；
(Ⅲ)当 = 0时，若 ( ) > + 2在 ∈ (1,+∞)时恒成立，求整数 的最大值．
19.(本小题17分)
已知数列{ }的前 项和为 ，若存在常数 ( > 0)，使得 ≥ +1对任意 ∈
都成立，则称数列{ }具
有性质 ( )．
(1)若数列{ }为等差数列，且 3 = 9， 5 = 25，求证：数列{ }具有性质 (3)；
(2)设数列{ }的各项均为正数，且{ }具有性质 ( )．
①若数列{ }是公比为 的等比数列，且 = 4，求 的值；
②求 的最小值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】[ 2,10]
13.【答案】 1
14.【答案】[1,2]
15.【答案】解：(1)由题意设 ( ) = 2 + + ( ≠ 0)，
由 (0) = 2得 = 2；
由 ( + 1) ( ) = 2 1得 ( + 1)2 + ( + 1) + 2 = 2 1，
2 = 2 = 1
即2 + + = 2 1恒成立，故{ ，则{ ，
+ = 1 = 2
故 ( ) = 2 2 + 2；
(2)因为当 ∈ [ 1,2]时， = ( )的图象恒在 = + 图象的上方，
所以当 ∈ [ 1,2]时， 2 2 + 2 > + 恒成立，
即当 ∈ [ 1,2]时， < 2 + 2恒成立，
1 7 1 1
令 ( ) = 2 + 2， ∈ [ 1,2]，则 ( ) = ( )2 + 在( 1, )上单调递减，在( , 2)上单调递增，
2 4 2 2
1 7
所以 ( ) = ( ) = ， 2 4
7 7
所以 < ，即实数 的取值范围为( ∞, )．
4 4
16.【答案】(1)证明：如图，设 为 的中点，连接 ， ，
1
因为 是 中点，所以 // ，且 = ，
2
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因为 // ， = = 1， = 3， = = 2，
1
所以四边形 为平行四边形， // ，且 = ，
2
所以 // ，且 = ，
即四边形 为平行四边形，
所以 // ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ．
(2)解：因为 ⊥平面 ，
所以 ⊥平面 ， ， ， 相互垂直，
以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 (0,0,2)， (0, 1,0)， (1, 1,0)， (1,0,0)， (0,2,0)，
所以 = (1,0,0)， = (0,1,2)， = (1,0, 2)， = ( 1,2,0)，
设平面 的一个法向量为 = ( 1, 1, 1)，
= = 0
则{ 1 ，取 1 = 1，则 = (0,2, 1)，
= 1 + 2 1 = 0
设平面 的一个法向量为 = ( 2, 2, 2)，
= 2 2 2 = 0则{ ，取 2 = 1，则 = (2,1,1)，
= 2 + 2 2 = 0
设平面 与平面 夹角为 ，
| | |2 1| 1 √ 30
则 = = = = ．
| | | | √ 5×√ 6 √ 30 30
17.【答案】解：(1)记这2个球颜色相同为事件 ，
3 1 3 5 1
则 ( ) = × + × = ；
6 6 6 6 2
(2)依题意 的可能取值为0、1、2，
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15
1
3
1
6
2 2 2 2 13 5 3 7 3
1 2 19 2 13 2 1 13 12 29
则 ( = 0) = × + × + 3 × 6 3 3 7
2 2 2 2 2 2
= ， ( = 1) = ×
35 2 2
+ 2 × 2 + 2 × 2 = ， ( = 2) = 706 8 6 8 6 8 6 8 6 8 6 8
2 2 1 1 23 3× 3 + 3 3 × 2 = ，
2 2 2 26 8 6 8 70
所以 的分布列为：
0 1 2
19 29 3

35 70 70
19 29 3 1
所以 ( ) = 0 × + 1 × + 2 × = ．
35 70 70 2
1 1
18.【答案】解：(Ⅰ)当 = 时， ( ) = 2 + 3， ∈ (0,+∞)，
2 2
1 1 2
所以 ′( ) = = ，

令 ′( ) > 0，即0 < < 1， ( )单调递增；
令 ′( ) < 0，即 > 1， ( )单调递减；
5
所以 ( )在 = 1处取得极大值即 (1) = ，无极小值．
2
1 1+2 2
(Ⅱ) ′( ) = + 2 = ， ∈ (0,+∞)，

①当 ≥ 0时， ′( ) > 0恒成立，
所以 ( )在(0,+∞)上单调递增；
②当 < 0时，
√ 2
当 ∈ (0, )时， ′( ) > 0， ( )递增；
2
√ 2
当 ∈ ( ,+∞)时， ′( ) < 0， ( )递减．
2
综上，当 ≥ 0时， ( )在(0,+∞)上单调递增；
√ 2 √ 2
当 < 0时， ( )在(0, )上单调递增，在( ,+∞)上单调递减．
2 2
(Ⅲ) ( ) > + 2在 ∈ (1,+∞)时恒成立，
+3 2
即 < 恒成立，
1
+3 2 2
令 ( ) = ，则 ′( ) =
1 2
．
( 1)
令 ( ) = 2，
1 1
则 ′( ) = 1 = > 0在 > 1上恒成立，

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所以 ( )在(1,+∞)上单调递增，且 (3) = 1 3 < 0， (4) = 2 4 > 0，
所以 ( )在(1,+∞)上存在唯一实数 ∈ (3,4)，使得 ( ) = 0．
当 ∈ (1, )时， ( ) < 0，即 ′( ) < 0；
当 ∈ ( , +∞)时， ( ) > 0，即 ′( ) > 0，
所以 ( )在(1, )上单调递减，在( ,+∞)上单调递增，
+3 2 ( 2)+3 2
所以 ( ) = ( ) = = = + 2 ∈ (5,6)， 1 1
故 < + 2，又 ∈ ，所以整数 的最大值为5．
19.【答案】(1)证明：因为数列{ }为等差数列，且 3 = 9， 5 = 25，
所以3 1 + 3 = 9，5 1 + 10 = 25，
解得 1 = 1， = 2，
( 1 2 +1)
所以 = 1 + ( 1)( 2) = 2 + 1， = =
2
， 2
所以3 +1 = 3( 2 + 1) + ( + 1)
2 = ( 2)2 ≥ 0，
即3 ≥ +1，
所以数列{ }具有性质 (3)．
(2)①：由题意得：数列{ }具有性质 (4)，即4 ≥ +1，
+1
若0 < < 1，4 1
1 1
1 ≥ 1 ，整理得
1 ≥
1 2
，
( 2)
1
解得 < 1 + 2，与 为任意正整数相矛盾；
( 2)
若 = 1，则4 1 ≥ ( + 1) 1，解得 ≤ 3，与 为任意正整数相矛盾；
+1
若 > 1，则4 1
1
1 ≥ 1 ，整理得
1( 2)2 ≤ 1，
1
当 = 2时，上式恒成立，满足题意；
1
当 > 1且 ≠ 2时，解得 < 1 + 2，与 为任意正整数相矛盾；
( 2)
综上， = 2．
②：由 ≥ +1可得 +1 ≥ +2，即 ( +1 ) ≥ +2，
因此 +1 ≥ + +2 ≥ 2√ +2，

即 +2

≤ +1，
+1 4
+1 2 所以 ≤ ≤ ( ) 1 ≤ ≤ ( ) 1 2，
4 1 4 2 4 1
因为{ }各项均为正数，所以 < +1，
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从而1 < ( ) 1 2，即( ) 1 > 1，
4 1 4 2

若0 < < 4，则 < 1 + 1 ，与 为任意正整数相矛盾，

4 2

当 = 4时，1 1 > 1恒成立，符合题意，所以 的最小值为4．
2
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