贵州省毕节市织金县2024-2025学年高二上学期期末复习数学试卷（含解析）

高二上期末复习试卷
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若A，B两点的横坐标相等，则直线AB的倾斜角和斜率分别是(　　)
A．45°，1　　　　　　　 B．135°，－1
C．90°，不存在 D．180°，不存在
2．已知a＝(－3,2,5)，b＝(1,5，－1)，则a·(a＋3b)＝(　　)
A．(0,34,10) B．(－3,19,7)
C．44 D．23
3．已知四面体ABCD，G是CD的中点，连接AG，则＋(＋)＝(　　)
A．　　　　B． C． D.
4．已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足为(1，p)，则m－n＋p为(　　)
A．24 B．20 C．0 D．－4
5．已知a＝(2,1，－3)，b＝(－1,2,3)，c＝(7,6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ＝(　　)
A．9 B．－9 C．－3 D．3
6．已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋2＝0与l2：x＋ay＋1＝0平行，则实数a的值为(　　)
A．－1或2 B．0或2
C．2 D．－1
7．在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，则·＝(　　)
A．0 B. C．－ D．－
8．无论k为何值，直线(k＋2)x＋(1－k)y－4k－5＝0都过一个定点，则该定点为(　　)
A．(1,3) B．(－1,3) C．(3,1) D．(3，－1)
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9．以A(－1,1)，B(2，－1)，C(1,4)为顶点的三角形，下列结论正确的有(　　)
A．kAB＝－
B．kBC＝－
C．以A点为直角顶点的直角三角形
D．以B点为直角顶点的直角三角形
10．下列命题中不正确的是(　　)
A．经过点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示
B．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示
C．经过任意两个不同点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可用方程(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)表示
D．不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示
11.如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E为AC的中点．则(　　)
A．〈，〉＝120° B．BD1⊥AC
C．BD1⊥EB1 D．∠BB1E＝45°
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上)
12．经过点A(2,5)，B(－3,6)的直线方程为____________．
13．经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0垂直的直线l的方程为________．
14．已知直线mx－2y－3m＝0(m≠0)在x轴上的截距是它在y轴上截距的4倍，则m＝________.
四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分13分)在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，求D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值．
16．(本小题满分15分)已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点．
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．
17．(本小题满分15分)直线l过点(2,2)，且与x轴和直线y＝x围成的三角形的面积为2，求直线l的方程．
18．(本小题满分17分)如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝2，M为BC的中点．
(1)证明：AM⊥PM；
(2)求二面角P AM D的大小；
(3)求点D到平面AMP的距离．
19．(本小题满分17分)如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5.
(1)求证：AA1⊥平面ABC；
(2)求二面角A1 BC1 B1的余弦值；
(3)证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值．
高二上期末复习试卷考答案
1．解析：选C　由于A，B两点的横坐标相等，所以直线与x轴垂直，倾斜角为90°，斜率不存在．故选C.
2．解析：选C　a＋3b＝(－3,2,5)＋3(1,5，－1)＝(0,17,2)，则a·(a＋3b)＝(－3,2,5)·(0,17,2)＝0＋34＋10＝44.
3．解析：选A　在△BCD中，因为点G是CD的中点，所以＝(＋)，从而＋(＋)＝＋＝.
4．解析：选B　∵两直线互相垂直，∴k1·k2＝－1，∴－·＝－1，∴m＝10.又∵垂足为(1，p)，∴代入直线10x＋4y－2＝0得p＝－2，将(1，－2)代入直线2x－5y＋n＝0得n＝－12，∴m－n＋p＝20.
5．解析：选B　由题意知c＝xa＋yb，即(7,6，λ)＝x(2,1，－3)＋y(－1,2,3)，∴解得λ＝－9.
6．解析：选D　由a·a－(a＋2)＝0，得a2－a－2＝0，解得a＝2或a＝－1.
经过验证，可得a＝2时两条直线重合，舍去．
∴a＝－1.故选D.
7．A．0 B. C．－ D．－
解析：选D　设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝1，
且a·b＝b·c＝c·a＝，
又＝(a＋b)，＝c－b，
因此·＝(a＋b)·
＝a·c－a·b＋b·c－b2＝－，
故选D.
8．解析：选D　直线方程可化为(2x＋y－5)＋k(x－y－4)＝0，此直线过直线2x＋y－5＝0和直线x－y－4＝0的交点．由解得因此所求定点为(3，－1)．故选D.
9．解析：选AC　kBC＝＝－5，kAB＝＝－，kAC＝＝，
∵kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，
∴△ABC是以A点为直角顶点的直角三角形．
故A、C正确，B、D错误．
10．解析：选ABD　A中当直线的斜率不存在时，其方程只能表示为x＝x0；B中经过定点A(0，b)的直线x＝0无法用y＝kx＋b表示；D中不经过原点但斜率不存在(或斜率为零)的直线不能用方程＋＝1表示．只有C正确．故选A、B、D.
11.解析：选ABC　以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz.
设正方体的棱长为1，则B(1,1,0)，D1(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，B1(1，1,1)，A1(1,0,1)．
＝(－1，－1,1)，＝(－1,1,0)，
∵·＝(－1)×(－1)＋(－1)×1＋1×0＝0，
∴⊥，∴BD1⊥AC，B正确．
＝，
∵·＝(－1)×＋(－1)×＋1×1＝0，
∴⊥，∴BD1⊥EB1，C正确．
＝(0,1，－1)，＝(－1，－1,0)，
cos〈，〉＝＝－，
∴〈，〉＝120°，A正确．
＝，＝(0,0，－1)，
cos〈，〉＝＝≠，D不正确，故A、B、C正确．
12．解析：由两点式得直线方程为＝，即x＋5y－27＝0.
答案：x＋5y－27＝0
13．解析：由方程组得
又所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直，故k＝，
∴直线方程为y＋＝，即5x－15y－18＝0.
答案：5x－15y－18＝0
14．解析：直线方程可化为＋＝1，
∴－×4＝3，解得m＝－.
答案：－
15．解：建立如图所示的空间直角坐标系D xyz，由于AB＝2，BC＝AA1＝1，所以A1(1,0,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,1)，D1(0,0,1)，所以＝(－1,2,0)，＝(－1，0,1)，＝(0,2,0)．设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，则有即令x＝2，得y＝1，z＝2，则n＝(2,1,2)．设D1C1与平面A1BC1所成角为θ，则sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝，即D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为.
16．．解：如图，由题意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1，
(1)要使l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是
(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
(2)由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，∴α的取值范围是45°≤α≤135°.
17．解：当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝2，经检验符合题目的要求．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x－2)，即y＝kx－2k＋2.
令y＝0得，x＝.
由三角形的面积为2，得××2＝2.
解得，k＝.
可得直线l的方程为y－2＝(x－2)，
综上可知，直线l的方程为x＝2或y－2＝(x－2)．
18．解：(1)证明：以D点为原点，分别以直线DA，DC为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意，可得D(0,0,0)，P(0,1，)，C(0,2,0)，A(2，0,0)，M(，2,0)．
＝(，1，－)，＝(－，2,0)，
∴·＝(，1，－)·(－，2,0)＝0，
即⊥，∴AM⊥PM.
(2)设n＝(x，y，z)为平面PAM的法向量，
则即
取y＝1，得n＝(，1，)．
取p＝(0,0,1)，显然p为平面ABCD的一个法向量，
∴cos〈n，p〉＝＝＝.
结合图形可知，二面角P AM D为45°.
(3)设点D到平面AMP的距离为d，由(2)可知n＝(，1，)与平面PAM垂直，则
d＝＝＝，
即点D到平面AMP的距离为.
19．解：(1)证明：因为四边形AA1C1C为正方形，
所以AA1⊥AC.因为平面ABC⊥平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC，所以AA1⊥平面ABC.
(2)由(1)知AA1⊥AC，AA1⊥AB.由题意知AB＝3，BC＝5，AC＝4，所以AB⊥AC.如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则B(0,3,0)，A1(0,0,4)，B1(0,3,4)，C1(4,0,4)．
所以＝(0,3，－4)，＝(4,0,0)，＝(0,0,4)，＝(4，－3,4)．
设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令z＝3，则x＝0，y＝4，
所以平面A1BC1的一个法向量为n＝(0,4,3)．
设平面B1BC1的一个法向量为m＝(a，b，c)，
则即
令a＝3，得b＝4，c＝0，
故平面B1BC1的一个法向量为m＝(3,4,0)．
所以cos〈n，m〉＝＝.
由题意知二面角A1 BC1 B1为锐角，
所以二面角A1 BC1 B1的余弦值为.
(3)假设D(x1，y1，z1)是线段BC1上一点，且＝λ(λ∈[0,1])，
所以(x1，y1－3，z1)＝λ(4，－3,4)．
解得x1＝4λ，y1＝3－3λ，z1＝4λ，
所以＝(4λ，3－3λ，4λ)．
由·＝0，得9－25λ＝0，解得λ＝.
因为∈[0,1]，所以在线段BC1上存在点D，
使得AD⊥A1B.此时＝.