2025年中考数学二轮专题复习 等腰三角形的存在性问题专题练习 （含解析）

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等腰三角形的存在性问题
1.如图，直线y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P 是x轴正半轴上的一个动点，直线 PQ 与直线AB 垂直，交y轴于点Q，如果△APQ 是等腰三角形，求点 P 的坐标.
2. 如图,在△ABC中,AB=AC=10, BC=16, DE=4.动线段DE(端点D从点B开始)沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当端点E 到达点C时运动停止.过点E 作EF ∥AC交AB 于点F(当点E与点C重合时，EF与CA重合)，联结DF，设运动的时间为t秒(t≥0).
(1) 直接写出用含 t 的代数式表示线段BE、EF 的值；
(2)在这个运动过程中，∠DEF 能否为等腰三角形 若能，请求出t 的值；若不能，请说明理由；
3如图,已知四边形ABCD 是矩形,AB=16, BC=12.点E在射线BC上,点F在线段BD上,且∠DEF=∠ADB.设BE=x,当△DEF 为等腰三角形时,求x的值.
4如图，在等腰直角三角形 BCE 中，斜边. P 是BE延长线上一点，联结PC，以PC为直角边向下方作等腰直角三角形PCD，CD 交线段BE 于点F.若PE=x，当△BDF为等腰三角形时，求x的值.
5如图1，已知边长为2的正方形ABCD中，AC为对角线，点E 在线段AC上(点E 与点A、C不重合),过点 E 作EF⊥BC,垂足为点F,联结ED 和DF.
(1) 说明△EFD 与△EFC 的面积相等;
(2)设AE=x, S△EDF =y(S△EDF表示△EDF 的面积)，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；
(3) 当△EDC 为等腰三角形时,求线段 AE 的长.
6如图1,已知在梯形ABCD中,AD∥BC,P是下底BC上一动点(点P与点B不重合),AB=AD=10,BC=24,∠C=45°,45°<∠B<90°.设BP=x,四边形APCD 的面积为y.
(1) 求y关于x函数解析式，并写出它的定义域；
(2) 联结PD，当△APD 是以AD 为腰的等腰三角形时，求四边形APCD 的面积.
7如图1，在平面直角坐标系中，过点. 的两条直线分别交y轴于B、C两点，且B、C两点的纵坐标分别是一元二次方程 的两个根.
(1) 求直线AC 与直线AB 的函数解析式；
(2) 求证:直线AC 与直线AB 互相垂直;
(3)若点 D 在直线AC上,且DB=DC,则直线BD 上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形 若存在，请直接写出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由.
8如图1,在梯形ABCD中,AD ∥BC,AB=CD,BC=10,对角线AC、BD 相交于点O,且AC⊥BD.设AD=x,△AOB 的面积为y.
(1) 求∠DBC 的度数;
(2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(3)如图2,设点 P、点Q 分别是边BC、AB 的中点,分别联结OP、OQ、PQ.如果△OPQ是等腰三角形，求AD 的长.
9如图1,在矩形ABCD中,AB=1,对角线AC、BD 相交于点O,过点O作EF⊥AC 分别交射线AD 与射线CB 于点E 和点F,联结CE、AF.
(1) 如图,求证:四边形AFCE 是菱形;
(2)当点E、F 分别在边AD 和BC上时,如果设AD=x,菱形AFCE的面积是y，求y关于x的函数关系式，并写出x 的取值范围；
(3) 如果△ODE 是等腰三角形,求AD 的长度.
10如图1，在边长为2的正方形ABCD 中，点P 是对角线AC上的一个动点(与A、C不重合)，过点 P作PE⊥PB, PE交射线DC 于点E,过点E作EF 垂直直线AC,垂足为点 F.
(1) 当点 E 在线段CD上时(如图1),求证:PB=PE;
(2)当点E 在线段CD上时，在点 P 的运动过程中，PF 的长度是否发生变化 若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由；
(3)在点 P 的运动过程中，△PEC 是否能成为等腰三角形 如果能，试求出AP 的长，如果不能，试说明理由.
1.满分解答
由y=2x+2得,A(-1,0), B(0,2).所以OA=1,OB=2.
如图,由△AOB∽△QOP 得,OP :OQ=OB:OA=2:1.
设点Q 的坐标为(0,m),那么点 P 的坐标为(2m,0).
因此A 2.
①当AP=AQ时, 解方程 得m=0或 所以符合条件的点 P 不存在.
② 当PA=PQ时, 解方程( 得 所以.
③当QA=QP时, 解方程 得 所以P(1,0).
2.满分解答
(2)△DEF 中,∠DEF=∠C 是确定的.
①如图1,当DE=DF时, 即 解得
②如图2,当ED=EF时, 解得
③如图3,当FD=FE时, 即解得t=0,即D与B 重合.
(3) MN 是△FDE 的中位线,MN ∥DE,MN =2, MN 扫过的形状是平行四边形.
如图4,运动结束,N 在AC 的中点,N 到BC 的距离为3;
如图5，运动开始，D 与B 重合，M到BC 的距离为
所以平行四边形的高为 面积为
3满分解答
如图1,在Rt△ABD中,AB=16,AD=12,所以.
所以BD=20.
如图2,由∠DEF=∠DBE=∠ADB,∠EDF=∠BDE,得△DEF∽△DBC.
所以当△DEF 是等腰三角形时，∠DBC 也是等腰三角形.
在△DBC 中, 分三种情况讨论：
①如图3,当BE=BD时,BE=20.
②如图4,当DB=DE时,点 D 在BE的垂直平分线上,所以BE=2BC=24.
③如图5,当EB=ED时, 所以 此时
4满分解答
在等腰直角三角形BCE 中，斜边 ,所以BE=CE=4.
如图1,因为△CBE与△CDP 是等腰直角三角形,所以△CBE∽△CDP.
所以
如图2,因为∠BCD=∠ECP,所以△BCD∽△ECP.
所以∠BDC=∠ECP,∠CBD=∠CEP=90°.
所以∠FBD=∠CBP=45°.所以△BDF∽△BPC(如图3所示).
所以当△BDF 是等腰三角形时，△BPC 也是等腰三角形.分三种情况讨论：
①如图4，当 时，
② 如图5,当CP=CB=4时,△BCP 是等腰直角三角形,CE 是斜边上的高.此时x= PE=4.
③如图6,当PB=PC时,P、E重合,不符合题意.
5满分解答
(1) 如图2,因为四边形ABCD为正方形,所以∠BCD=90°.
因EF⊥BC,所以∠EFC=90°.所以EF ∥DC.
由平行线间的距离处处相等，得△EFD 与△EFC 为同底等高三角形.
所以△EFD 与△EFC 的面积相等.
(2)如图2,因为四边形ABCD 为正方形,所以∠ACB=∠ACD=45°.
在Rt△ABC中,AB=BC=2,所以.
所以
在Rt△EFC中, 设EF=FC=m.
由勾股定理，得 整理，得
所以
所以
自变量的取值范围是(
(3) 分三种情况讨论△EDC 为等腰三角形.
①如图3,当CD=CE时,CE=2.所以.
②如图4,当EC=ED时,∠EDC=∠ECD=45°.所以∠ADE=45°.
所以 DE 为等腰直角三角形ADC 的角平分线.
由等腰三角形三线合一，
③如图5,当. 时，
此时点 E 与点A 重合，不符合题意，舍去.
6满分解答
(1)如图2,过点A 作AM⊥BC于M,过点 D作DN⊥BC于N,得矩形AMND.
设AM=DN=m.
在Rt△DNC中,∠C=45°,所以NC=DN=m.
在Rt△ABM中,AB=10,AM=m,BM=24-10-m=14-m.
由勾股定理，得
整理，得
解得
因为 所以AM>BM.
所以m=6不符合题意,舍去,m=8.所以DN=8.
如图3，
定义域是0(2)【代数法】如图4,在Rt△AMP 中,AM=8,MP=|x-6|,所以 在Rt△DNP 中,DN=8, NP=|24-x-8|=|16-x|,所以 当△APD 是以AD 为腰的等腰三角形时，分两种情况讨论.
①如图5,当AP=AD时,
整理，得
解得 (不符合题意，舍去)，.
当x=12时,S四边形APCD =136-4×12=88;
②如图6、7,当DP=DA时,
整理，得
解得
当x=10时,
当x=22时,
【几何法】①如图5,当AP=AD时, 是等腰三角形.
由等腰三角形“三线合一”，得
所以. 此时
② 当 时，四边形ABPD 为平行四边形或等腰梯形.
如图6,当四边形ABPD 为平行四边形时, BP=10,此时:
如图7,当四边形ABPD为等腰梯形时,BP=6+10+6=22,此时S四边形APCD=136-4×22=48.
7满分解答
(1)解方程 得 所以B(0,3),C(0,-1).
由A(- , 0)、C(0,-1),得直线AC 的解析式为
由A(- ,0)、B(0,3),得直线AB 的解析式为
(2) 如图2,在 Rt△ABO 中,OA = ,OB=3,所以.
在Rt△ACO中, 所以AC=2.
在△ABC中,AB=2 ,AC=2,BC=4,所以,
由勾股定理逆定理,得△ABC 为直角三角形,∠BAC =90°. 所以AC⊥AB.
(3)由 DB=DC,可知点D 在线段BC的垂直平分线上,所以yD=1.
将yD=1代入 得 所以点
由 B(0,3)、D(-2 ，1)，得直线BD 的解析式为
设 已知A(- ,0)、B(0,3),所以
①如图3，当 时，
解得 (与点 B 重合,舍去),. 此时点
②如图4，当 时， 解得
此时点 或
③如图5,当. 时， 解得
此时点
8满分解答
(1) 如图3,过点D作DK ∥AC交BC 延长线于点K,得平行四边形ADKC.
所以AC=DK,AD=CK.
由等腰梯形的对角线相等，得AC=BD.所以BD=DK.
又AC⊥BD,所以∠BOC=90°.
所以∠BDK=90°,∠DBC=45°.
(2)如图4,过点O作EF⊥BC交AD 于点E,交BC 于点F.
在等腰直角三角形AEO中， 所以
在等腰直角三角形OBH 中， 所以
所以 自变量的取值范围是x>0且x≠10.
(3)如图4,过点A 作AM⊥BC 于M.
由(2),在Rt△BND 中, 所以
在Rt△ABM中, 所以
在△ABC中,PQ 是△ABC 的中位线,
在Rt△AOB 中,OQ 是斜边上的中线,
在等腰直角三角形 BOC 中，
如图5，△OPQ 是等腰三角形，分三种情况讨论.
①当PQ=PO时, 解得 此时
②当OQ=OP时, 解得 (均不符合题意，舍去).
③当QO=QP 时, 解得x=0(不符合题意，舍去).
综上所述，如果△OPQ 是等腰三角形，
9满分解答
(1) 因为四边形ABCD 是矩形,所以OA=OC, DA∥CB.
所以∠1=∠2.
在△AOE 和△COF 中,∠1=∠2,OA=OC,∠AOE=∠COF,所以△AOE≌△COF.所以OE=OF.
又因为EF⊥AC,所以四边形AFCE 是菱形.
(2) 设菱形的边长为m.
在Rt△DEC中,EC=m,DE=x-m,DC=1,由勾股定理,得(
整理，得 解得
所以 定义域是x>0.
(3) 因为四边形ABCD 是矩形,所以OC=OD,∠5=∠6.
当△ODE 是等腰三角形时，分两种情况讨论.
①如图4，当点E 在线段AD上时，△ODE 为钝角三角形，所以只可能存在EO=ED.
此时,∠3=∠4.
因为∠ADC=90°,所以∠3+∠5=90°.
因为∠EOC=90°,所以∠4+∠7=90°.
根据等角的余角相等,得∠5=∠7.所以∠5=∠6=∠7=60°,∠3=30°.
在Rt△ADB 中,∠3=60°, AB=1,所以BD=2.所以
②如图5，当点 E 在线段AD 的延长线上时，△ODE 为钝角三角形，所以只可能存在DO=DE.此时,∠8=∠4.
因为∠EDC=90°,所以∠8+∠EMD=90°.
因为∠EOC=90°,所以∠6+∠OMC=90°.
根据等角的余角相等，得. 所以 因为 所以 所以 在 中， 设 由勾股定理，得 解得 (不符合题意，舍去)， 所以
10满分解答
(1)如图2,过点 P作PM⊥CD于M, PN⊥BC 于N,得正方形 PMCN.
所以∠PME=∠PNB=∠NPM=90°, PM=PN.
因为PE⊥PB,所以∠BPE=90°.根据同角的余角相等,得∠1=∠2.
所以△PME≌△PNB.所以PB=PE.
(2) PF 的长度不会发生变化.
如图3，联结BD，得 所以∠BOP=90°.
因为EF⊥AC,∠PFE=90°.
根据同角的余角相等，得∠3=∠4.
在△BOP 和△PFE 中,∠BOP=∠PFE,∠3=∠4,BP=PE,所以△BOP ≌△PFE.所以
(3)△PEC 能成为等腰三角形.
① 如图3,当点E 在线段CD 上时,△PEC为钝角三角形,所以只有当EC=EP 时,△PEC为等腰三角形.此时∠EPC=∠ACD=45°.如图4所示,点 P 与点A 重合,不符合题意.
②如图5，当点E 在线段DC 的延长线上时，△PEC 为钝角三角形，所以只有当CP=CE时，
为等腰三角形.
在 中， 所以 所以 在 中， 所以 所以