2024-2025学年湖南省长沙市芙蓉高级中学高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省长沙市芙蓉高级中学高一（上）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，，则( )
A. B. C. D.
2.不等式的解集是( )
A. B.
C. D. 或
3.函数的定义域是( )
A. B. C. D.
4.下列函数中，在上为增函数的是( )
A. B. C. D.
5.已知函数，则的值为( )
A. B. C. D.
6.已知函数是上的增函数，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知命题：，为真命题，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数是定义域为的奇函数，且在上单调递增若，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，则下列不等式恒成立的是( )
A. B. C. D.
10.已知命题：，则命题成立的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
11.已知定义域为的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：，；，，当时，都有；，则下列说法正确的是( )
A.
B. 若，则
C. 若，则
D. ，使得对，恒成立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的图象如图所示，则函数的单调递增区间是 ．
13.函数，当时，恒成立，则实数的取值范围为______．
14.已知，且，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设集合，．
若且，求的取值范围；
若，求的取值范围．
16.本小题分
在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为万元，每生产一台需另投入元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每万台的销售收入万元与年产量万台满足如下关系式：．
写出年利润万元关于年产量万台的函数解析式利润销售收入成本
当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润．
17.本小题分
已知函数，且．
求和的值；
判断在上的单调性，并根据定义证明．
18.本小题分
已知函数，满足．
求，值；
在上，函数的图象总在一次函数的图象的上方，试确定实数的取值范围；
设当时，函数的最小值为，求的解析式．
19.本小题分
已知函数的定义域为，且对任意，，都有，且当时，恒成立．
证明函数在上的单调性；
讨论函数的奇偶性；
若，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.和
13.
14.
15.解：由题意，集合，
因为且，
所以，
解得，
综上所述，实数的取值范围为；
由题意，需分为和两种情形进行讨论：
当时，，
解得，满足题意；
当时，
因为，
所以，解得，
或，无解，
综上所述，实数的取值范围为．
16.解：因为，
所以；
当时，，
由函数性质可知当时单调递增，所以当时，，
当时，，
由不等式性质可知，
当且仅当，即时，等号成立，所以，
综上当时，．
17.解因为，
所以，解得，，
即，的值分别为，；
由知：，
在上的单调递减，
证明如下：
在上任取，，且，
，
因为，
所以，，，
所以，所以，
即证得在上的单调递减．
18.解：根据题意，因为二次函数满足，
则，解得．
由可知：，
若在上，函数的图象总在一次函数的图象的上方，
则在上恒成立，即在上恒成立，
因为开口向上，对称轴为，
可知在上单调递减，则，可得，
所以实数的取值范围为．
因为是对称轴为，开口向上的二次函数，
当时，在上单调递增，则；
当，即时，在上单调递减，则；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
可知；
综上所述：．
19.解：证明：设，则，
而
，
又当时，恒成立，即，
，
函数是上的减函数；
由，
令可得，
解得，
令可得，
即，而，
，
即函数是奇函数．
方法一由，
得，
又是奇函数，
即，
又在上是减函数，
解得或．
故的取值范围是．
方法二由且，
得，
又在上是减函数，
，
解得或．
故的取值范围是．
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