2024-2025学年福建省莆田一中高一（上）期中数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年福建省莆田一中高一（上）期中数学试卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 38.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-12-29 15:54:20 | ||
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文档简介
2024-2025学年福建省莆田一中高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知命题：，，则是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知，，，则( )
A. B. C. D.
4.用表示不大于实数的整数，例如，，，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要
5.函数的大致图象是( )
A. B.
C. D.
6.给定数集，，，满足方程，下列对应关系为函数的是( )
A. ：， B. ：，
C. ：， D. ：，
7.函数为上的增函数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.若定义在上的函数的最小值为，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中，正确的有( )
A. 函数最小值为
B. 函数在上单调递减
C. 无论取何值，函数且恒过定点
D. 若函数定义域为，则定义域为
10.已知函数为上的奇函数，且时，，则( )
A. B. 当时，
C. 当时， D. 当时，
11.已知函数对任意实数均满足，则( )
A. 为偶函数 B.
C. D. 函数在区间上不单调
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知幂函数的图象过点，则______．
13.已知，，且，则的最小值是 ．
14.函数：满足，则这样的函数个数共有______个
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
将根式化简为指数式；
求值：；
已知，求的值．
16.本小题分
为促进消费，某电商平台推出阶梯式促销活动：
第一档：若一次性购买商品金额不超过元，则不打折；
第二档：若一次性购买商品金额超过元，不超过元，则超过元的部分打折；
第三档：若一次性购买商品金额超过元，则超过元，但不超过元的部分打折，超过元的部分打折．
若某顾客一次性购买商品金额为元，实际支付金额为元．
求关于的函数解析式；
若顾客甲、乙购买商品金额分别为、元，且、满足关系式，为享受最大的折扣力度，甲、乙决定拼单一起支付，当甲、乙购买商品金额之和最小时，甲、乙实际共需要支付多少钱？
17.本小题分
已知函数．
判断并证明函数的奇偶性；
讨论的单调性，并用单调性的定义证明；
若对任意的实数，恒成立，求实数的范围．
18.本小题分
已知函数，，函数，其中
若的解集为，求的值；
若，
求使得成立的的取值范围；
求在区间上的最大值．
19.本小题分
已知是定义在上的函数，若对任意的，，，均有，则称是关联．
判断和证明是否是关联？是否是关联？
若是关联，当时，，解不等式；
证明：“是关联，且是关联”的充要条件是“是关联”．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：；
；
，
．
16.解：根据题意可得：当时，；
当时，；
当时，，
综合可得；
因为式，
所以甲乙购买商品的金额之和为：
，
而
元，
当且仅当，即，时，等号成立，
因为，所以拼单后实付总金额元，
所以当甲、乙的购物金额之和最小时，甲、乙实际共需要支付元．
17.解：是奇函数，证明如下：
的定义域为，关于原点对称，，
则，
所以为奇函数．
为上的增函数．
证明：任取，，且，所以，，
则，
即，
所以在上单调递增．
由可知为奇函数，且在上为增函数，
所以恒成立，
所以恒成立，令，则，
即恒成立，
因为，当且仅当，即取等号，
所以的范围为．
18.解：依题意得，为方程的两个根，
则，即，此时不等式的解集恰为符合题意；
，，
因为，又，
当时，，所以，
即，解得；
当时，，所以，
因为，，，所以，
所以无解，
综上所述：的取值范围是；
由可知：，
当时，，所以，所以；
当时，的对称轴为，所以，
令，，所以，
综上．
19.解：在关联；在不关联；
证明：任取，则，
在关联；
取，，则，
，
在不关联；
是关联的，
对于任意，都有，
对任意，都有，
时，，
在的值域为，
在的值域为，
仅在或上有解，
当时，，
令，解得；
当时，，
令，解得；
的解为；
先证明：必要性：
即由是关联的，且是在关联的，
得出在是关联的，
由已知条件可得，，
，，
又是在关联的，
任意任取，成立，
若，
，
，
即，
，
是关联，
再证明充分性：
即由在是关联的，得出是在关联的，且是在关联的，
是关联，
任取，都有成立，
即满足，都有，
下面用反证法证明，
若，则，
与在是关联的矛盾，
若，而在是关联的，则，矛盾，
成立，即是在关联的，
再证明是在关联的，
任取，则存在，使得任取，
，
，
，
是在关联的；
综上所述，是关联的，且是在关联的，当且仅当“在是关联的”，
故得证．
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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知命题：，，则是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知，，，则( )
A. B. C. D.
4.用表示不大于实数的整数，例如，，，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要
5.函数的大致图象是( )
A. B.
C. D.
6.给定数集，，，满足方程，下列对应关系为函数的是( )
A. ：， B. ：，
C. ：， D. ：，
7.函数为上的增函数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.若定义在上的函数的最小值为，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中，正确的有( )
A. 函数最小值为
B. 函数在上单调递减
C. 无论取何值，函数且恒过定点
D. 若函数定义域为，则定义域为
10.已知函数为上的奇函数，且时，，则( )
A. B. 当时，
C. 当时， D. 当时，
11.已知函数对任意实数均满足，则( )
A. 为偶函数 B.
C. D. 函数在区间上不单调
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知幂函数的图象过点，则______．
13.已知，，且，则的最小值是 ．
14.函数：满足，则这样的函数个数共有______个
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
将根式化简为指数式；
求值：；
已知，求的值．
16.本小题分
为促进消费，某电商平台推出阶梯式促销活动：
第一档：若一次性购买商品金额不超过元，则不打折；
第二档：若一次性购买商品金额超过元，不超过元，则超过元的部分打折；
第三档：若一次性购买商品金额超过元，则超过元，但不超过元的部分打折，超过元的部分打折．
若某顾客一次性购买商品金额为元，实际支付金额为元．
求关于的函数解析式；
若顾客甲、乙购买商品金额分别为、元，且、满足关系式，为享受最大的折扣力度，甲、乙决定拼单一起支付，当甲、乙购买商品金额之和最小时，甲、乙实际共需要支付多少钱？
17.本小题分
已知函数．
判断并证明函数的奇偶性；
讨论的单调性，并用单调性的定义证明；
若对任意的实数，恒成立，求实数的范围．
18.本小题分
已知函数，，函数，其中
若的解集为，求的值；
若，
求使得成立的的取值范围；
求在区间上的最大值．
19.本小题分
已知是定义在上的函数，若对任意的，，，均有，则称是关联．
判断和证明是否是关联？是否是关联？
若是关联，当时，，解不等式；
证明：“是关联，且是关联”的充要条件是“是关联”．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：；
；
，
．
16.解：根据题意可得：当时，；
当时，；
当时，，
综合可得；
因为式，
所以甲乙购买商品的金额之和为：
，
而
元，
当且仅当，即，时，等号成立，
因为，所以拼单后实付总金额元，
所以当甲、乙的购物金额之和最小时，甲、乙实际共需要支付元．
17.解：是奇函数，证明如下：
的定义域为，关于原点对称，，
则，
所以为奇函数．
为上的增函数．
证明：任取，，且，所以，，
则，
即，
所以在上单调递增．
由可知为奇函数，且在上为增函数，
所以恒成立，
所以恒成立，令，则，
即恒成立，
因为，当且仅当，即取等号，
所以的范围为．
18.解：依题意得，为方程的两个根，
则，即，此时不等式的解集恰为符合题意；
，，
因为，又，
当时，，所以，
即，解得；
当时，，所以，
因为，，，所以，
所以无解，
综上所述：的取值范围是；
由可知：，
当时，，所以，所以；
当时，的对称轴为，所以，
令，，所以，
综上．
19.解：在关联；在不关联；
证明：任取，则，
在关联；
取，，则，
，
在不关联；
是关联的，
对于任意，都有，
对任意，都有，
时，，
在的值域为，
在的值域为，
仅在或上有解，
当时，，
令，解得；
当时，，
令，解得；
的解为；
先证明：必要性：
即由是关联的，且是在关联的，
得出在是关联的，
由已知条件可得，，
，，
又是在关联的，
任意任取，成立，
若，
，
，
即，
，
是关联，
再证明充分性：
即由在是关联的，得出是在关联的，且是在关联的，
是关联，
任取，都有成立，
即满足，都有，
下面用反证法证明，
若，则，
与在是关联的矛盾，
若，而在是关联的，则，矛盾，
成立，即是在关联的，
再证明是在关联的，
任取，则存在，使得任取，
，
，
，
是在关联的；
综上所述，是关联的，且是在关联的，当且仅当“在是关联的”，
故得证．
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