2024-2025学年四川省天立集团高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年四川省天立集团高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线：，：，若，则的值为( )
A. B. C. D.
2.若，，则等于( )
A. B. C. D.
3.一组数据按从小到大的顺序排列为，，，，，其中，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的分位数是( )
A. B. C. D.
4.已知圆：，若直线垂直于圆的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
5.椭圆的左、右焦点分别为、，则椭圆上满足的点( )
A. 有个 B. 有个 C. 不一定存在 D. 一定不存在
6.为：上一点，为直线：上一点，则线段长度的最小值( )
A. B. C. D.
7.若半径为的小球可以在棱长均为的四棱锥内部自由转动，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决，列如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题已知点在直线：，点在直线：上，且，结合上述观点，的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A. 若事件，，两两互斥，则成立
B. 若事件，，两两独立，则成立
C. 若事件，相互独立，则与也相互独立
D. 若，，则事件，相互独立与，互斥不能同时成立
10.设直线系：，则下面四个命题正确的是( )
A. 点到中的所有直线的距离恒为定值
B. 存在定点不在中的任意一条直线上
C. 对于任意整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上
D. 中的直线所能围成的三角形面积都相等
11.如图，正方体的棱长为，是侧面上的一个动点含边界，点在棱上，且，则下列结论正确的有( )
A. 沿正方体的表面从点到点的最短距离为
B. 保持与垂直时，点的运动轨迹长度为
C. 若保持，则点的运动轨迹长度
D. 平面截正方体所得截面为等腰梯形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知空间的一组基底为，，，且满足，则 ______．
13.已知某三棱台的高为，上、下底面分别为边长为和的正三角形，若该三棱台的各顶点都在球的球面上，则球的表面积为______．
14.已知实数，满足，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共148分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，已知三棱柱中，，平面，，为边上的动点．
当时，求证：平面；
求三棱锥的体积．
16.本小题分
为响应国家“学习强国”的号召，培养同学们的“社会主义核心价值观”，我校团委鼓励全校学生积极学习相关知识，并组织知识竞赛．今随机对其中的名同学的初赛成绩满分：分作统计，得到如图所示的频率分布直方图有数据缺失：
请大家完成下面的问题：
根据直方图求以下表格中，的值：
成绩
频数
求参赛同学初赛成绩的平均数及方差同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；
若从这名参加初赛的同学中按等比例分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，再在该样本中成绩不低于分的同学里任选人继续参加教育局组织的校际比赛，求抽到的人中恰好人的分数低于分且人的分数不低于分的概率．
注：方差公式．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为．
若为棱的中点，求证：平面；
在棱上是否存在点，使得平面与平面所成夹角的余弦值为若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
蝴蝶定理因其美妙的构图，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代数学名家蜂拥而证，正所谓花若芬芳蜂蝶自来如图，已知圆的方程为，直线与圆交于，，直线与圆交于，原点在圆内设交轴于点，交轴于点．
当，，，时，分别求线段和的长度；
求证：．
猜想和的大小关系，并证明．
19.本小题分
已知直线：和点，点到直线的有向距离用如下方法规定：若，，若，．
已知直线：，直线：，求原点到直线，的有向距离，；
已知点和点，是否存在通过点的直线，使得？如果存在，求出所有这样的直线，如果不存在，说明理由；
设直线：，问是否存在实数，使得对任意的参数都有：点，到的有向距离，满足？如果满足，求出所有满足条件的实数；如果不存在，请说明理由．
参考答案
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15.解：证明：平面，又平面，
，
，，
，又，且，
平面；
，，
，
又由知平面，
点到平面距离为，
三棱柱中，平面，
四边形为矩形，
当点在上运动时，的面积是定值，
又，，
，
．
16.解：由直方图可知成绩在的频率为，
所以成绩在的频数，
则成绩在的频数；
设分组的频率组距为，则，
平均数，
；
从这名参加初赛的同学中按等比例分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，
则抽样比为，
成绩在内的有人，故抽取人，
成绩在的有人，故抽取人，
所以从这人中任取两人，恰好人的分数低于分且人的分数不低于分的概率．
17.证明：取的中点，连接，，
如图所示：
由于点、分别为、的中点，
所以，，
由于底面四边形为矩形，为棱的中点，
所以，，
所以，，
故四边形为平行四边形，所以，
由于平面，平面，
所以平面．
解：假设在棱上存在点满足题意，
在等边三角形中，点为的中点，所以，
由于平面平面，
平面，
所以平面，
则为四棱锥的高，
设，，，
，解得；
以点为原点，，，的方向为轴，轴和轴建立空间直角坐标系，
如图所示：
则，，，，
所以，，，
设，，
所以，
设平面的法向量为，
故，解得，
易知平面的法向量为，
所以，
由于，所以，
故存在点，且满足题意．
18.解：当，，，时，
圆：，
直线：，由或，故C，；
直线：，由或，故E，．
所以直线：，令，得，即；
直线：，令，得，即．
所以．
证明：由题意：．
由，
则，是该方程的两个解，
由韦达定理得：，，
所以．
同理可得：，所以．
猜测，证明如下：
设点，．
因为，，三点共线，所以：，
又因为点在直线上，所以；点在直线上，所以．
所以；
同理因为，，三点共线，可得：．
由可知：，
所以．
即，所以成立．
19.解：由直线：，直线：，根据点到直线的有向距离公式得，，；
即，，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时，舍去；
当直线的斜率存在时，直线的方程为，
化为，
假设，则，解得或．
所以存在直线的方程为或；
当时，直线：，，
由，整理得，，，，即，
当时，直线：，
得，
由，
即，或，解得或，
由题意对任意的参数都有恒成立，所以，
综上所述，存在实数满足题目条件，即．
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