2024-2025学年江苏省常州市前黄高级中学高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省常州市前黄高级中学高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共7小题，每小题5分，共35分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
3.已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.函数的值域为( )
A. B. C. D.
5.函数的图象大致为( )
A. B. C. D.
6.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.函数，若存在，使得，则的最大值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
8.幂函数，则( )
A. 的图象过点 B. 的图象过点
C. 为奇函数 D. 为偶函数
9.已知定义在上的函数满足，当时，，，则下面有关结论正确的有( )
A. B. 是奇函数
C. 在上单调递减 D. 当时，
10.著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：对于形如的代数式，可以转化为平面上点与的距离加以考虑结合综上观点，对于函数，下列说法正确的是( )
A. 的图象是轴对称图形
B. 的值域是
C. 先减小后增大
D. 方程有且仅有一个解
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
11.函数的定义域为______．
12.已知满足对于任意不相等的实数、都有成立，则实数的取值范围是______．
13.已知函数，对任意实数，，，使得以，，数值为边长可构成三角形，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.本小题分
计算：；
若，求下列式子的值：
；
．
15.本小题分
设函数．
若不等式的解集为，求实数，的值；
若，且，使成立，求实数的取值范围．
16.本小题分
济南市地铁项目正在加火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，列车的发车时间间隔单位：分钟满足，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔相关，当时列车为满载状态，载客量为人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为分钟时的载客量为人，记列车载客量为．
求的表达式，并求当发车时间间隔为分钟时，列车的载客量；
若该线路每分钟的净收益为元，问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值．
17.本小题分
已知函数是定义在上的奇函数，且．
求函数的解析式；
判断在上的单调性，并用单调性定义证明；
解不等式．
18.本小题分
取名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理该定理表明：对于满足一定条件的图象连续不间断的函数，在其定义域内存在一点，使得，则称为函数的一个“不动点”若，则称为的“稳定点”将函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，，已知函数．
当，时，求函数的不动点；
若对于任意，函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围；
若时，且，求实数的取值范围．
参考答案
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14.解：
；
若，
，
故；
，
又，
故．
15.解：由题意可知：方程的两根是，，
所以，
解得．
由得，，成立，即使恒成立，
又因为，代入上式可得恒成立，
当时，显然上式不恒成立；
当时，要使恒成立，
所以，
解得，
综上可知的取值范围是．
16.解：由题设，当时，令，
又发车时间间隔为分钟时的载客量为人，
，解得．
，
故时，，
所以当发车时间间隔为分钟时，列车的载客量为人．
由知：，
时，当且仅当等号成立，
上，
而上，单调递减，则，
综上，时间间隔为分钟时，每分钟的净收益最大为元．
17.解：函数是定义在上的奇函数，
；，解得，
，而，解得，
，．
函数在上为减函数；
证明如下：任意，且，则
因为，所以，又因为，，
所以，所以，
即，所以函数在上为减函数．
由题意，，又，所以，
即解不等式，所以，
所以，解得，
所以该不等式的解集为．
18.解：当，时，，
设为不动点，因此，
即，，
解得或，
所以，为函数的不动点．
因为恒有两个不动点，
即恒有两个不等实根，
整理为，
所以恒成立．
即对于任意，恒成立．
令，
则有，即，
故或，又，
；
时，，
因为，所以有实根，
所以，所以，
记，则关于的方程的解为方程组的解的值，
两式相减可得，
因为，即要使与有相同的解，
则与的的解集相同，
所以方程无解或其解与相同，
即无解或其解为，
所以，
所以，
综上，所以实数的取值范围是．
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