2024-2025学年宁夏银川市银川二中高二（上）第二次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年宁夏银川二中高二（上）第二次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线的准线方程为( )
A. B. C. D.
2.若直线与直线互相垂直，那么的值等于( )
A. B. C. D.
3.中国载人航天工程发射的第十八艘飞船，简称“神十八”，于年月执行载人航天飞行任务运送“神十八”的长征二号运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为，以后每秒钟通过的路程都增加，在达到离地面的高度时，火箭开始进入转弯程序则从点火到进入转弯程序大约需要的时间是秒．
A. B. C. D.
4.下列命题中正确的是( )
A. 点关于平面对称的点的坐标是
B. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则
C. 若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为
D. 已知为空间任意一点，，，，四点共面，且任意三点不共线，若，则
5.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美平面直角坐标系中，曲线：是一条形状优美的曲线，曲线围成的图形的面积是( )
A. B. C. D.
6.已知点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是( )
A. B.
C. D.
7.已知椭圆与双曲线有相同的左右焦点、，为椭圆与双曲线在第一象限内的一个公共点，设椭圆与双曲线的离心率为，，且，若，则双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
8.已知点为椭圆：上任意一点，直线过：的圆心且与交于，两点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中正确的是( )
A. 双曲线与直线有且只有一个公共点
B. 平面内满足的动点的轨迹为双曲线
C. 若方程表示焦点在轴上的双曲线，则
D. 已知双曲线的焦点在轴上，焦距为，且一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程为
10.设是等差数列，是其前项的和，且，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. 与均为的最大值 D. 为的最小值
11.已知抛物线：的准线与圆：相切，为上的动点，是圆上的动点，过作的垂线，垂足为，的焦点为，则下列结论正确的是( )
A. 点的坐标为
B. 的最小值为
C. 存在两个点，使得
D. 若为正三角形，则圆与直线相离
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等差数列满足，记的前项和为，则 ______．
13.设双曲线：的左、右焦点分别为，，过作平行于轴的直线交与，两点，若，，则的离心率为______．
14.已知圆：，直线：，为圆上一动点，为直线上一动点，定点，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知关于，的方程：．
当为何值时，方程表示圆．
若圆与直线：相交于，两点，且求的值．
16.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，，点是线段的中点．
求证：；
求点到平面的距离．
17.本小题分
已知数列的前项和为，满足．
求数列的通项公式；
设，求数列中的最大项和最小项．
18.本小题分
已知椭圆：的离心率为，且的左、右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为．
求椭圆的方程；
过点的直线与椭圆交于，两点，过点与轴垂直的直线与椭圆的另一个交点为当的面积取得最大值时，求直线的方程．
19.本小题分
已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上过的左焦点作直线交的左支于、两点．
求双曲线的方程；
若，试问：是否存在直线，使得点在以为直径的圆上？若存在出直线的方程；若不存在，说明理由．
点，直线交直线于点设直线、的斜率分别、，求证：为定值．
参考答案
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15.解：方程可化为：，显然，当时，即时，方程表示圆．
圆的方程化为，圆心，半径，
则圆心到直线：的距离为，
，有 ，
，解得．
16.解：证明：在中，，，，
，
在直三棱柱中，平面，平面，
，
，平面，平面，
；平面，
平面，；
由得，平面，平面，平面，
；，，又，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，
，，
设平面的法向量为，
则，取，得，
，
点到平面的距离为．
17.解：由题意，当时，，
当时，，
当时，也满足上式，
，．
由，可知，
则数列是单调递增的等差数列，
当，即时，，
当，即时，，
故
，，，，，，，
数列中的最大项为，
最小项为．
18.解：设椭圆的焦距为，
因为椭圆的离心率为，且椭圆的左、右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为，
所以，
解得，，
则椭圆的方程为；
设直线的方程为，，，
此时，
联立，消去并整理得，
此时，
由韦达定理得，
因为，，
易知与同号，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立．
则面积的最大值为，此时直线的方程为．
19.解：由双曲线的离心率为，且在双曲线上，
可得，
解得，，
所以双曲线的方程为：；
双曲线的左焦点为，
当直线的斜率为时，此时直线为，与双曲线左支只有一个交点，不符合题意，
当直线的斜率不为时，设：，
由，
消去得，
显然，，
设，，
则，，
得，
于是，，
，
即，
因此与不垂直，
所以不存在直线，使得点在以为直径的圆上；
证明：由直线：，得，
则，
又，
于是
，
而，
即有，且，
所以，
即为定值．
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