2024-2025学年辽宁省朝阳市建平实验中学高一（上）月考数学试卷（12月份）（含答案）

2024-2025学年辽宁省朝阳市建平实验中学高一（上）月考
数学试卷（12月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知函数定义域是，则的定义域是( )
A. B. C. D.
3.已知函数且的图象恒过定点，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
4.若函数在区间内存在零点，则参数的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为( )
A. B.
C. 或 D. 或
6.已知，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，则使得成立的的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若存在实数，使函数有两个零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列四个命题中假命题是( )
A. ，
B. ，使
C. ，
D. 已知命题：，，则是：，
10.设正实数，满足，则( )
A. 的最小值为 B. 的最大值为
C. 的最大值为 D. 的最小值为
11.已知是定义在区间上的奇函数，且，若，，时，有若对所有，恒成立，则实数的取值范围可能是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.，若，则______．
13.若不等式成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围为______．
14.对实数、定义一个运算：，设函数，若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，．
当时，求；
若，求实数的值．
16.本小题分
已知定义在上的偶函数，当时，，且．
求函数的解析式；
解不等式：．
17.本小题分
已知不等式的解集为．
求实数，的值；
解关于的不等式：为常数，且
18.本小题分
新冠疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献生产口罩的固定成本为万元，每生产万箱，需另投入成本万元，当产量不足万箱时，；当产量不小于万箱时，，若每箱口罩售价元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完．
求口罩销售利润万元关于产量万箱的函数关系式；销售利润销售总价固定成本生产成本
当产量为多少万箱时，该口罩生产厂所获得利润最大，最大利润值是多少万元？
19.本小题分
对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件：
在区间上是单调的；
当定义域是时，的值域也是则称是函数的一个“黄金区间”．
请证明：函数不存在“黄金区间”．
已知函数在上存在“黄金区间”，请求出它的“黄金区间”．
如果是函数的一个“黄金区间”，请求出的最大值．
参考答案
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13.
14.，
15.解：由，，
当时，，
则或
，，，
，又，
，，有，解得，
此时，符合题意，故实数的值为．
16.解：因为是定义在上的偶函数，且，
所以，即，
解得．
当时，，
设，则，则，
故；
由是偶函数，等价于，即，
得，得，解得或，
故的解集是．
17.解：因为不等式的解集为，
所以和是方程的两根，
由根与系数的关系知，，解得，．
不等式即为，
由，则时，解不等式得，或；
时，解不等式得，或；
综上，时，不等式的解集为或；
时，不等式的解集为或．
18.解：生产口罩的固定成本为万元，每生产万箱，需另投入成本万元，
当产量不足万箱时，；
当产量不小于万箱时，，
当时，；
当时，．
所以，．
当时，，
当时，取得最大值，最大值为万元；
当时，，
当且仅当时，即时，取得最大值，最大值为万元．
综上，当产量为万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为万元．
19.证明：由函数为上的增函数，
则有，
所以，即，无解，
所以函数不存在“黄金区间”．
解：记是函数的一个“黄金区间”，
由及此时函数的值域为，
所以，
又其图象的对称轴为，
所以在上必为单调递增函数，
令，解得或，
故该函数有唯一的一个“黄金区间”．
解：由在和上均为增函数，
已知在“黄金区间”上单调，
所以，或，，且在上为单调递增，
故，
即，为方程的两个同号的实数根，
即方程有两个同号的实数根，
注意到，
则只要，解得或，
由韦达定理可得，，，
所以，
其中或，
所以当时，取得最大值．
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