2024-2025学年江苏省苏州市吴江中学明伦基地班高一（上）质检数学试卷（12月份）（含答案）

2024-2025学年江苏省苏州市吴江中学明伦基地班高一（上）质检
数学试卷（12月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若角的终边上有一点，则实数的值为( )
A. B. C. D.
3.已知扇形的面积为，弧长，则弦( )
A. B. C. D.
4.若，则( )
A. B. C. D.
5.教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气按照国家标准，教室内空气中二氧化碳最高容许浓度为经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间单位：分钟的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间单位：分钟的最小整数值为( )
参考数据，
A. B. C. D.
6.已知函数为上的偶函数，对任意，，均有成立，若，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
7.若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，为实数，则下列结论中正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，，则 D. 若，则
10.若，则终边可能在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
11.数学上，高斯符号是指对取整符号和取小符号的统称，用于数论等领域定义在数学特别是数论领域中，有时需要略去一个实数的小数部分只研究它的整数部分，或需要略去整数部分研究小数部分，因而引入高斯符号设，用表示不超过的最大整数比如：
，，，，，已知函数，则下列说法不正确的是( )
A. 的值域为 B. 在为减函数
C. 方程无实根 D. 方程仅有一个实根
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.计算的值是______．
13.如图，正六边形的边长为，分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，则，，围成的阴影部分的面积为 ．
14.已知函数，函数是上的单调函数，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在平面直角坐标系中，锐角的顶点是坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于点将角的终边按逆时针方向旋转得到角．
求，；
求的值．
16.本小题分
已知、是关于的方程的两个根．
求实数的值，
求的值．
17.本小题分
今年入秋以来，某市多有雾霾天气，空气污染较为严重．市环保研究所对近期每天的空气污染情况进行调査研究后发现，每一天中空气污染指数与时刻时的函数关系为，，其中为空气治理调节参数，且．
若，求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低；
规定每天中的最大值作为当天的空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数不超过，则调节参数应控制在什么范围内？
18.本小题分
已知定义在上的函数是奇函数．
求函数的解析式；
判断的单调性，并用单调性定义证明；
若存在，使得关于的不等式能成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数的定义域为，对于给定的正整数，若存在，使得函数满足：函数在上是单调函数且的最小值为，最大值为，则称函数是“倍缩函数”，区间是函数的“倍值区间”．
判断函数是否是“倍缩函数”？只需直接写出结果
证明：函数存在“倍值区间”；
设函数，，若函数存在“倍值区间”，求的值．
参考答案
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15.解：，为锐角，故，解得，
，，
，．
．
16.解：依题意，，解得或，
又，
所以，即，解得或舍去．
．
17.解：时，，，
令，解得，
因此：一天中第个时刻该市的空气污染指数最低．
令
当时，单调递减，．
当时，单调递增，．
联立，解得．
可得．
因此调节参数应控制在范围．
18.解：因为是定义在上的奇函数，所以，解得，
此时，，
所以是奇函数，满足题意，即．
是上的减函数，证明如下：
因为，，且，
所以，
因为，所以，，，
所以，
即，所以是上的减函数．
因为是上的奇函数，所以不等式即为，
因为是上的减函数，所以在时能成立；
令，则，当且仅当时取等号，
所以在时能成立，
所以，
令，因为在上均单调递增，
所以在上单调递增，所以，
所以的取值范围是．
19.解：取，，，
在上单调递增，
在上的最小值为，最大值为，且，，
故函数是“倍缩函数”．
证明：取，
函数在上单调递增，
若函数存在“倍值区间”，等价于存在，使得成立，
等价于至少有两个不相等的实根，
等价于至少有两个零点，
，且在定义内连续不断，
在区间，内均存在零点，
故函数存在“倍值区间”．
对，且，则，
，则，
，即，
故函数在上单调递增，
若函数存在“倍值区间”，即存在，使得成立，
即在内至少有两个不相等的实根，
是方程的根，则在内有实根，
若，则，即，且，
，，，，即．
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