2024-2025学年黑龙江省鸡西市虎林高级中学、鸡东二中三校联考高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年黑龙江省鸡西市虎林高级中学、鸡东二中三校联考高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
2.已知经过椭圆的右焦点的直线交椭圆于，两点，是椭圆的左焦点，则的周长为( )
A. B. C. D.
3.已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知圆：与圆：外切，则的值为( )
A. B. C. D.
5.抛物线：的准线为，为上的动点，则点到与到直线的距离之和的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知椭圆与直线交于，两点，若点为线段的中点，则直线的方程是( )
A. B.
C. D.
7.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点为在第一象限上的一点若为直角三角形，，则的离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知点是椭圆上一点，，是椭圆的左、右焦点，若，则下列说法正确的是( )
A. 的面积为
B. 若点是椭圆上一动点，则的最大值为
C. 点的纵坐标为
D. 内切圆的面积为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知双曲线的左、右顶点分别为，，右焦点为，为上异于顶点的动点，则下列说法正确的有( )
A. 双曲线的离心率为 B. 双曲线的渐近线方程为
C. 点到渐近线的距离为 D. 直线与直线的斜率乘积为
10.如图，在四棱锥中，底面，四边形是边长为的菱形，且，，，分别是棱，的中点，则( )
A.
B.
C. 平面平面
D. 直线与平面所成角的正弦值为
11.设为坐标原点，直线过抛物线：的焦点，且与交于，两点，若直线为的准线，则( )
A. B.
C. 以为直径的圆与相切 D. 为等腰三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知双曲线的方程为，则的取值范围为______．
13.已知向量，，，则 ______．
14.已知是椭圆上动点，则点到直线的距离的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
求适合下列条件的曲线的标准方程：
已知动点到定点的距离和到定直线：的距离的比是常数，记点的轨迹为曲线求曲线的标准方程；
求过点，的双曲线的标准方程．
16.本小题分
已知直线：与圆：交于，两点，且．
Ⅰ求实数的值；
Ⅱ若点为直线：上的动点，求的面积．
17.本小题分
如图，四棱锥的底面是正方形，且，四棱锥的体积为．
证明：平面平面；
Ⅱ求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知双曲线，，斜率为的直线过点．
若，且直线与双曲线只有一个公共点，求的值；
双曲线上有一点，的夹角为，求三角形的面积．
19.本小题分
已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上顶点为，且，动直线与椭圆交于，两点；当直线过焦点且与轴垂直时，．
求椭圆的方程；
若直线过点，椭圆的左顶点为，当面积为时，求直线的斜率．
参考答案
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15.解：动点到定点的距离和到定直线：的距离的比是常数，
，即，
两边平方得，
整理得．
设双曲线的方程为，双曲线过点，，
将，代入得：
，解得，
所以双曲线方程为．
16.解：Ⅰ将圆：可化为，
所以其圆心，半径，
作于点，
由垂径定理可得为的中点，
由可得，
又，
解得；
Ⅱ由可知，
所以，
又直线：与直线：平行，
所以点到的距离为，
因此，
即的面积为．
17.解：证明：取的中点，连接，因为，，
所以，
又四棱锥的底面是正方形，
所以，
设到平面的距离为，
则，
所以，
所以，即平面，又平面，
所以平面平面；
Ⅱ取的中点，连接，则，即，
如图建立空间直角坐标系，则，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，则，
取，
又平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
18.解：当时，，
则直线的方程为，
当时，联立方程组，
得，
由直线和双曲线相切的条件，可得，
解得；
双曲线的渐近线为，
所以当时，直线与渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个公共点．
综上所述，当直线与双曲线只有一个公共点时或；
由双曲线，
则，，，
又点在双曲线上，即，即，
在中，由余弦定理，
即，
解得，
所以的面积．
19.解：易知椭圆的上顶点，左，右焦点分别为，，
所以，，
因为，
所以，
即，
又，
所以，
因为当直线过焦点且与轴垂直时，，
所以，
联立，
解得，，
则椭圆方程为；
不妨设直线的方程为，设，，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
则，
解得，
故直线的斜率为．
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