2024-2025学年广东省汕尾市部分学校高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省汕尾市部分学校高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.经过点，的直线方程为( )
A. B. C. D.
2.已知点到直线：的距离为，则实数( )
A. B. C. D. 或
3.已知点，，，，则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
4.某市为了了解该市的“全民健身运动”的开展情况，从全体市民中随机调查了位市民每天的健身运动时间健身运动时间是考查“全民健身运动”情况的重要指标，所得数据都在区间单位：分钟中，其频率直方图如图所示，估计市民健身运动时间的样本数据的百分位数是( )
A. 分钟 B. 分钟 C. 分钟 D. 分钟
5.已知，分别为椭圆：的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
6.已知双曲线的左焦点为，为双曲线右支上任意一点，点的坐标为，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.已知，且，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知，，，点是圆：上的一点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在平面直角坐标系中，已知点，，点是平面内的一个动点，则下列说法正确的是( )
A. 若，则点的轨迹是双曲线
B. 若，则点的轨迹是椭圆
C. 若，则点的轨迹是一条直线
D. 若，则点的轨迹是圆
10.下列说法正确的是( )
A. 若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为
B. 方程表示过点的所有直线
C. 当点到直线的距离最大时，的值为
D. 已知直线过定点且与以，为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是
11.如图，正方体的棱长为，为棱的中点，为底面正方形内含边界的动点，则( )
A. 三棱锥的体积为定值
B. 直线平面
C. 当时，点到平面的距离为
D. 当的正切值为时，动点的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知双曲线上一点到双曲线的一个焦点的距离为，则到另一个焦点的距离为______．
13.已知点，动点的纵坐标小于等于零，且点的坐标满足方程，则直线的斜率的取值范围是______．
14.过抛物线：的焦点的直线与抛物线交于、两点其中点在第一象限，若，则直线的斜率为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是；为与的交点已知，，．
求对角线的长；
求．
16.本小题分
在年法国巴黎奥运会上，中国乒乓球队包揽了乒乓球项目全部枚金牌，国球运动再掀热潮现有甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛五局三胜制，其中每局中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛都是相互独立的．
求比赛只需打三局的概率；
已知甲在前两局比赛中获胜，求甲最终获胜的概率．
17.本小题分
圆心为的圆经过点，，且圆心在：上．
求圆的标准方程；
过点作直线交圆于、且，求直线的方程．
18.本小题分
在四棱锥中，底面，，，，，点为棱中点．
Ⅰ证明：平面；
Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值；
Ⅲ若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值．
19.本小题分
已知双曲线的中心为坐标原点，，是的两个焦点，其中左焦点为，离心率为．
求的方程；
双曲线上存在一点，使得，求三角形的面积；
记的左、右顶点分别为，，过点的直线与的左支交于，两点，在第二象限，直线与交于点，证明：点在定直线上．
参考答案
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15.解：因为以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，
所以，，，
由题意知，，
所以，
所以，
故对角线的长为．
因为，，
所以，．
16.解：设事件“甲前三局都获胜”，事件“乙前三局都获胜”，
则，，
比赛只需打三局的概率为：，
甲需要打三局的概率为：，
甲需要打五局的概率为：，
甲需要打四局的概率为：，
则甲最终获胜的概率为：，
17.解：由已知，中点坐标为，
垂直平分线方程为．
则由，解得，所以圆心，
因此半径，
所以圆的标准方程．
由可得圆心到直线的距离，
当直线斜率不存在时，其方程为，
当直线斜率存在时，设其方程为，
则，解得，
此时其方程为，
所以直线方程为或．
18.Ⅰ证明：取中点，连接，，
由于，分别为，的中点，
故E，且，
又因为，，
所以且，
故四边形为平行四边形，
所以，且平面，平面，
所以 平面分
Ⅱ解：依题意，以点为原点建立空间直角坐标系如图，
可得，，，．
由为棱的中点，得．
向量，设为平面的法向量，
则即
可得为平面的一个法向量，
且
于是有，
所以，直线与平面所成角的正弦值为．
Ⅲ解：向量，，，．
由点在棱上，设，若，则
故．
由，得，
因此，解得，若，则
即设为平面的法向量，
则，即，
可得为平面的一个法向量．
取平面的法向量，
则，
二面角是锐角，所以其余弦值为．
19.解：设双曲线方程为：，
由题可得：，
解得：，则，
所以双曲线方程为：；
由知，，，
所以，，
在中，由余弦定理得：，
即，
即，
即，
所以三角形的面积为；
证明：由可得，，
设，，显然直线的斜率不为，
所以设直线的方程为，且，
联立方程组，可得，
则，，
所以，，
又直线的方程为，
直线的方程为，
联立方程组，消去可得：
，
即，解得：，即，
所以点在定直线上运动．
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