2024-2025学年广东省江门市广东实验中学江门市分校高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东实验中学江门市分校高二（上）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在长方体中，等于( )
A. B. C. D.
2.已知直线过圆的圆心，且与直线平行，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
3.已知，，，若三向量共面，则实数等于( )
A. B. C. D.
4.过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为( )
A. B.
C. 或 D. 或
5.直线被圆截得的弦长等于( )
A. B. C. D.
6.已知圆的方程为，过直线：上任意一点作圆的切线，则切线长的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆，过点的直线交椭圆于，两点若中点坐标为，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
8.长方体中，，，，是棱上的动点，则的面积最小时，( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线：与圆：相交于，两点，则( )
A. 圆心的坐标为 B. 圆的半径为
C. 圆心到直线的距离为 D.
10.如图，在棱长为的正方体中，，分别是，的中点，则下列选项中正确的是( )
A. 平面
B.
C. 与所成角为
D. 与平面所成角的正弦值为
11.已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，动点在椭圆上，则下列描述正确的有( )
A. 若的周长为，则
B. 若当时，的内切圆半径为，则
C. 若存在点，使得，则
D. 若的最大值为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，，则 ______．
13.若直线：和：垂直，则实数 ______．
14.直线与圆：相交于，两点，弦长的最小值为 ，若三角形的面积为，则的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线经过点，且斜率为
求直线的方程；
若直线与平行，且点到直线的距离为，求直线的方程．
16.本小题分
如图，矩形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求证：平面．
17.本小题分
已知以点为圆心的圆与直线：相切，过点的动直线与圆相交于，两点．
求圆的方程；
当时，求直线的方程．
18.本小题分
已知椭圆长轴是短轴的倍，且右焦点为．
Ⅰ求椭圆的标准方程；
Ⅱ直线：交椭圆于，两点，若线段中点的横坐标为，求直线的方程及的面积．
19.本小题分
如图所示，四棱锥中，，，，平面平面．
求证：平面平面；
若点在线段上，且，若平面与平面所成锐二面角大小为，求的值．
参考答案
1.
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15.解：由点斜式写出直线的方程为 ，化简为 ．
由直线与直线平行，可设直线的方程为，
由点到直线的距离公式，得，即，
解得或，故所求直线方程，或．
16.证明：Ⅰ取中点，连结，．
在中，，分别为，的中点，
所以，且．
由已知，，
所以，且．
所以四边形为平行四边形．
所以．
又因为平面，且平面，
所以平面
Ⅱ在矩形中，．
又因为平面平面，
且平面平面，
所以平面．
所以
在直角梯形中，，，可得．
在中，，
因为，所以．
因为，所以平面．
17.解：设圆的半径为 因为圆与直线：相切，
所以，
所以圆的方程为；
当直线与轴垂直时，，满足题意；
当直线与轴不垂直时，
设直线的方程为，即，
由于，于是，
解得，
此时直线的方程为，
综上，直线的方程为或
18.解：Ⅰ因为长轴是短轴的倍，所以．
因为焦点的坐标为，所以．
结合，
得．
所以椭圆方程为．
Ⅱ设，
由得．
则 ，且需．
因为线段中点的横坐标为，
所以 ．
解得 ，即满足
所以直线的方程为，
因为 ．
点到直线的距离．
所以的面积 ．
即的面积等于．
19.证明：因为，
故，故BC．
又平面平面，平面平面，平面，
故BC平面；
因为平面，故平面平面；
解：设为的中点，连接，因为，
所以，又平面平面，故平面，
如图，以为原点，分别以，和平行于的方向为，，轴正方向，
建立空间直角坐标系，
则，，，，，
因为，则，
所以，
易得平面的一个法向量为，
设为平面的一个法向量，，，
由得不妨取．
因为平面与平面所成锐二面角为，
所以，
解得，不合题意舍去，
故．
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