2024-2025学年吉林省长春市博硕学校高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年吉林省长春市博硕学校高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“，”的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.已知全集为，集合，，则( )
A. B. C. D.
3.幂函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是( )
A. B. 或
C. 是奇函数 D. 是偶函数
4.已知函数，则( )
A. 函数的值域为 B. 函数无最值
C. 函数在上单调递减 D. 函数在上单调递减
5.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.已知函数的值域为，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.下列问题中，，是不相等的正数，比较，，的表达式下列选项正确的是( )
问题甲：一个直径寸的披萨和一个直径寸的披萨，面积和等于两个直径都是寸的披萨的面积和；
问题乙：购买某物品所花钱数一定，第一次购买的单价为元，第二次购买的单价为元，则这两次的平均价格为，
问题丙：将一物体放在两臂不等长的天平测量，放左边时右侧砝码质量为天平平衡，放右边时左边砝码质量为天平平衡，物体的实际质量为．
A. B. C. D.
8.已知定义在上的奇函数，其图象关于轴对称，当时，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图所示，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且对称轴为，点坐标为，则下面结论中正确的是( )
A. 有且仅有一个实数解
B.
C.
D. 时的解集是
10.下列说法正确的是( )
A. 函数的定义域为，则函数的定义域为
B. 和表示同一个函数
C. 函数的值域为
D. 定义在上的函数满足，则
11.已知函数满足对于任意不同的实数，，都有，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知：，：若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是______．
13.不用计算器计算： ______记住这个对数恒等式：
14.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的序号是______．
函数的最大值为；
函数的最小值为；
函数的图象与直线有无数个交点；
．
四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设全集，集合，．
求；
设集合，若恰有个子集，求的值．
16.本小题分
已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，函数在轴左侧的图象如图所示，请根据图象；
画出在轴右侧的图象，并写出函数的单调区间；
写出函数的解析式．
17.本小题分
辽阳大果榛子外形美观、果大皮薄，深受消费者欢迎某辽阳大果榛子网店为回馈新老顾客，提供两种购买大果榛子的优惠方案：第一种方案，每斤的售价为元，顾客买斤，每斤的售价降低元；第二种方案，顾客买斤，每斤的售价为元已知每位顾客限购斤大果榛子设一名顾客按照第一种方案购买大果榛子的付款额为元，按照第二种方案购买大果榛子的付款额为元．
分别求函数，的解析式；
已知顾客甲、乙在这家网店均选择了更经济实惠的方案购买大果榛子，甲、乙的付款总额为元，且甲购买了斤大果榛子，试问乙购买了多少斤大果榛子？
18.本小题分
已知函数且．
判断函数的奇偶性；
若，求使不等式在上恒成立的的取值范围；
若，且在上的最小值为，求的值．
参考答案
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15.解：；
易解得或；
所以，
或．
因为恰有个子集，所以仅有一个元素．
可得，
或，
当且时，，不满足题意；
当时，，满足题意；
当时，，满足题意．
综上，的值为或．
16.解：函数是定义在上的奇函数，函数的图象关于原点对称，
又当时，，
函数图象如图所示：
由图可知，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，；
根据题意，
令，则，则，
又因为函数是定义在上的奇函数，
所以，
即，
所以．
17.解：已知辽阳大果榛子网店为回馈新老顾客，提供两种购买大果榛子的优惠方案：第一种方案，每斤的售价为元，顾客买斤，每斤的售价降低元；第二种方案，顾客买斤，每斤的售价为元，
又一名顾客按照第一种方案购买大果榛子的付款额为元，按照第二种方案购买大果榛子的付款额为元，
则，，
，．
由可得：，，
所以，
则甲选择方案二购买，花费元，
则乙花费元，
若乙按照方案一购买，
则，
解得或，
又，
所以，
即乙可以购买斤大果榛子，
若乙按照方案二购买，
则，
解得，
所以乙应该按照方案一购买，乙购买斤大果榛子．
18.解：易知的定义域为，
因为，
所以函数是奇函数；
因为，
显然函数，在上单调递增，
所以函数是上的增函数，
若不等式在上恒成立，
即在上恒成立，
此时，
即，
因为，，
所以，
当且仅当时，等号成立，
所以，
则的取值范围为；
因为，
所以，
整理得，
因为，
解得，
所以，
此时，
令，
由知，函数是上的增函数，
当时，，
因为，
当时，函数在上单调递增，
当时，，
解得，
此时与相矛盾，不符合题意；
当时，时，，
解得．
综上所述，．
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