2024-2025学年贵州省六盘水市高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年贵州省六盘水市高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知直线：与：垂直，则( )
A. B. C. D.
4.在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，则外接圆的半径为( )
A. B. C. D.
5.在四棱锥中，为的中点，若，则( )
A. B.
C. D.
6.已知正方体的内切球半径为，则该正方体外接球的体积为( )
A. B. C. D.
7.已知空间向量以，，为基底时的坐标为，则以，，为基底时的坐标为( )
A. B. C. D.
8.若圆：上恰有两个点到直线的距离为，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，，，则( )
A. B. 直线的一个方向向量为
C. ，，，四点共面 D. 点到直线的距离为
10.已知的终边经过点，则( )
A. B. 可能等于
C. D. 可能等于
11.在平面直角坐标系中，的顶点，，且，记的顶点的轨迹为，则下列说法正确的是( )
A. 轨迹的方程为
B. 面积的最大值为
C. 边上的高的最大值为
D. 若为直角三角形，则直线被轨迹截得的弦长的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.直线：被圆：截得的弦长为______．
13.已知是定义在上的奇函数，且当时，，则 ______．
14.已知，，均为圆柱表面上的动点，直线经过圆柱的中心，，圆柱的底面圆的半径为，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆：，直线过点．
若在两坐标轴上的截距相等，求的方程；
若与圆相切，求的方程．
16.本小题分
某社团为统计居民运动时长，调查了某小区名居民平均每天的运动时长单位：，并根据统计数据分为，，，，，六个小组所调查的居民平均每天的运动时长均在内，得到的频率分布直方图如图所示．
求出图中的值，并估计这名居民平均每天的运动时长的中位数；
按分组用分层随机抽样的方法从平均每天的运动时长在，这两个时间段内的居民中抽出人分享运动心得，若再从这人中选出人发言，求这人来自不同分组的概率．
17.本小题分
如图，四边形是正方形，，，都垂直于平面，且，，，，分别是，的中点．
证明：平面．
若，求点到平面的距离．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，，，，，，，平面平面，为的中点．
证明：平面．
证明：．
试问在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
若圆与圆相交于，两点，，且为线段的中点，则称是的等距共轭圆已知点，均在圆上，圆心在直线上．
求圆的标准方程．
若圆是圆的等距共轭圆，设圆心的轨迹为．
求的方程．
已知点，直线与曲线交于异于点的，两点，若直线与的斜率之积为，试问直线是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由．
参考答案
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15.解：若直线的截距相等且不为零，则设直线为：．
由于直线过点，所以，所以，所以直线为；
若直线的截距相等且等于零，则直线的斜率为，所以直线为，
综上所述：直线的方程为或；
由：，可得圆心，半径为，
直线过点又点是圆上的点，并且与轴垂直，
所以与圆相切，的方程为．
16.解：根据题意可得，所以．
因为前几组的频率依次为，，，
所以中位数在内，设中位数为，则，得；
由题知，平均每天运动时长在，内的频率分别为，，
则应从平均每天运动时长在，内的居民中分别抽出人，人．
记时间段内的人分别为，，，，，
记时间段内的人为，
则从这人中选出人的基本事件有：
，，，，，，，，
，，，，，，，共个，
人来自不同分组的基本事件为：，，，，，共个，
所以这人来自不同分组的概率为．
17.解：因为，，都垂直于平面，则．
取的中点，连接，，则，且，
所以且，所以四边形为平行四边形，可得，
且平面，平面，所以平面．
连接以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
可得，，，
设平面的法向量为，则，
取，得，，可得．
故点到平面的距离．
18.解：证明：因为，所以，
因为平面，平面，所以平面；
证明：作交于，因为，所以，
又，所以，又，，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为，即，所以，
又为的中点，所以，
在中，由余弦定理可得：，
即，所以，所以，
又平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，因为平面，所以；
假设在线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，
作交与，由可得，，两两垂直，
所以以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
设，则，，，，
设平面的法向量为，
则，即，
取，则，
设直线与平面所成角的为，
则，解得，
所以在线段上存在点，此时．
19.解：因为圆心在直线上，设，
且点，均在圆上，则，
可得，解得，
即圆心为，半径，
所以圆的标准方程为；
因为，由题意可得：，
可知圆心的轨迹为，是以为圆心，半径的圆，
所以的方程为；
若直线的斜率存在，设直线：，，，
联立方程，消去可得，
则，且，
因为，
整理可得，
则，
可得，即或，
当，直线过定点；
当，直线过定点，不合题意；
可知直线过定点；
若直线的斜率不存在，设，，，
则，即，
且在圆上，则，
即，解得，不合题意；
综上所述：直线过定点．
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