2023-2024学年山东省临沂市河东区高一（下）期中数学试卷（含答案）

2023-2024学年山东省临沂市河东区高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足，则复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.( )
A. B. C. D.
3.如图，平行四边形中，是的中点，在线段上，且，记，，则( )
A. B. C. D.
4.将正弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，然后再将所得图象上所有点向右平移个单位，得到函数的图象，则( )
A. B.
C. D.
5.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的倍，母线长为，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为( )
A. B. C. D.
6.一船自西向东匀速航行，上午时到达一座灯塔的南偏西，距灯塔海里的处，下午时到达这座灯塔的东南方向处，则该船航行的速度为( )
A. 海里小时 B. 海里小时 C. 海里小时 D. 海里小时
7.正四棱台的上、下底面的边长分别为，，侧棱长为，则其体积为( )
A. B. C. D.
8.在中，，，，点，分别在边，上，且满足，，若，相交于点，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，是与同向的单位向量，则( )
A. B. 与可以作为一组基底
C. D. 向量在向量上的投影向量为
10.下列说法正确的是( )
A. 若，互为共轭复数，则为实数
B. 若为虚数单位，为正整数，则
C. 若是关于的方程的根，则也是该方程的根
D. 复数满足，则的最大值为
11.如图，正八面体的每一个面都是正三角形，并且四边形，四边形，四边形都是正方形，若正方形的边长为，则( )
A. 正八面体的表面积为
B. 正八面体的体积为
C. 正八面体的外接球的表面积为
D. 正八面体的内切球的体积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，则边上的中线的实际长度为______．
13.已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫作把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点已知平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，若点为坐标原点，则 ______．
14.我国南宋著名数学家秦九韶约独立推出了“三斜求积”公式，在他的著作数书九章中的求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从隅，开平方得积”把以上这段文字写成从三条边长求三角形面积的公式，就是现有满足，且的面积是，则的周长为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，，．
若，求实数的值；
若，求向量与的夹角．
16.本小题分
用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形如图，圆锥底面圆的半径是，轴截面的面积是．
求圆锥的母线长；
过圆锥的两条母线，作一个截面，求截面面积的最大值．
17.本小题分
已知，都是锐角，，，求的值；
已知，，求的值．
18.本小题分
已知函数在区间上的最大值为，
求常数的值；
求的单调递减区间；
求使成立的的取值集合．
19.本小题分
已知的内角，，所对的边分别为，，，且．
若，，为边上的中点，求；
若为边上一点，且，，求的最小值．
参考答案
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15.解：，，，
则，，
若，
则，解得；
，
，
则，解得，
故，，
，
故，
，
则．
16.解：根据题意，设圆锥的高为，
若圆锥底面圆的半径是，轴截面的面积是，即，
解可得，
则其母线长；
根据题意，由的结论，由于，则，故，
当与垂直时，截面面积最大，其最大值为．
17.解：，都是锐角，，，
所以，，
所以，
；
因为，，
两边平方相加得，，
即，
．
18.解：因为函数，
所以令，则，所以的最大值为，即．
由知：，
令，，则，，
所以的单调递减区间为，．
因为等价于，即，
所以，，
即，，
所以使成立的的取值集合为．
19.解：由题意得，所以，
因为，所以，解得，可得，
因为为中点，所以，
可得，解得；
因为为上一点，且：：：，
所以，即，
两边平方得，
又因为，，
所以，即，整理得，
所以，
当且仅当，即时取等号．
综上所述，当时，的最小值为．
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