2024-2025学年江苏省名校协作体高一（上）月考数学试卷（12月份）（含答案）

2024-2025学年江苏省名校协作体高一（上）月考数学试卷（12月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，使得”的否定是( )
A. ，均有 B. ，均有
C. ，有 D. ，有
3.设，则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.函数的部分图象大致为( )
A. B. C. D.
5.声强级，是指声强单位：和定值单位：比值的常用对数值再乘以，即声强级单位：已知人与人交谈时的声强级约为，一种火箭发射时的声强和人与人交谈时的声强的比值约为，那么这种火箭发射的声强级约为( )
A. B. C. D.
6.已知函数的图象关于直线对称，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
7.定义运算“”：，则函数的值域为( )
A. B. C. D.
8.已知是定义在上的函数，的图像关于点对称，对任意，，都有若，则实数的取值范围为( )
A. 或 B. 或 C. D. 或
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若函数的定义域是，则函数的定义域为
B. 对应：，其中，，，则对应是函数
C. 对于定义在上的函数，若，则不是偶函数
D. 函数在上单调递增，在上单调递增，则在上是增函数
10.若正数，满足，则( )
A. B.
C. D.
11.已知连续函数满足：，，则有，当时，，，则以下说法正确的是( )
A.
B.
C. 在上的最大值是
D. 不等式的解集为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数是偶函数，则函数的单调递增区间为______．
13.已知函数，若关于的方程恰有两个不同的实数根，则的值是______．
14.已知关于的不等式其中的解集为，若满足其中是整数集，则使得集合中元素个数最少时的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
计算下列各式的值：
Ⅰ；
Ⅱ．
16.本小题分
已知二次函数的图象与直线有且仅有一个公共点，且不等式的解集为．
求此二次函数的解析式；
关于的不等式的解集中恰有一个正整数，求实数的取值范围；
对，不等式恒成立，求实数的取值范围．
17.本小题分
某国产车企在自动驾驶技术方面日益成熟，近期拟推出一款高阶智驾新车型，并决定大量投放市场已知该车型年固定研发成本为亿元，受到场地和产能等其它因素的影响，该公司一年内生产该车万台且全部售完，每台售价万元，每年需投入的其它成本为单位：亿元其中，利润销售收入总成本
写出年利润亿元关于年产量万台的函数解析式；
当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大，并求出最大年利润；
若该企业当年不亏本，求年产量万台的取值范围．
18.本小题分
已知定义在上的函数在上是增函数为偶函数，且当时，．
当时，求在上的解析式；
是否存在实数，使函数与的值域相同，若存在，求出所有实数的值，若不存在，说明理由；
令，讨论关于的方程的实数根的个数．
19.本小题分
若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”；当时，则称为区间上的“阶自伴函数”．
判断是否为区间上的“阶自伴函数”，并说明理由；
若函数为区间上的“阶自伴函数”，求的最小值；
若是在区间上的“阶伴随函数”，求实数的取值范围．
参考答案
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15.解：Ⅰ原式；
Ⅱ原式．
16.解：由不等式的解集为，
得且，是关于的方程的两个根，
因此，
所以函数的图象开口向上，其对称轴为，
而该图象与直线有且仅有一个公共点，
则图象的顶点为，
于是，解得，
所以此二次函数的表达式为，
即；
由知不等式为，
整理得，即，
依题意，不等式的解集中恰有一个正整数，则，
当时，解得，即不等式的解集为，此时解集中不含正整数，故舍去；
当时，解得，不等式的解集为，要使解集中恰有一个正整数，
则，
所以实数的取值范围是．
对，不等式恒成立，
即对，不等式恒成立，
恒成立，
令，，
则，即，
解得，
即实数的取值范围为．
17.解：当时，销售收入为亿元每台售价万元，万台，总成本为固定研发成本亿元加上其他成本亿元，
则，
当时，销售收入为亿元，总成本为亿元，
则，
所以．
当时，
又，所以在这个区间上函数单调递增，
所以亿元．
当时，根据基本不等式，有，
当且仅当，即取等号，
所以亿元，
因为，
所以当年产量为万台时，该企业获利最大，最大年利润为亿元．
当时，，
即，
解得．
又，
则满足题意．
当时，，
即，
即，
令，对称轴，
当时，单调递减，且时，，
则当，恒成立，即恒成立，
综上所得，该企业当年不亏本，则年产量万台的取值范围为．
18.解：当，时，．
当时，，
又因为是上的偶函数，
所以．
即．
所以；
存在，使函数与的值域相同，理由如下：
因为函数在上是增函数．
所以，
所以，
又因为当时，，
在上单调递增，
又因为为偶函数，
所以在上单调递减，
所以，
要使函数与的值域相同，
则需有，
即，，
易知在上单调递减，
，
所以存在，使函数与的值域相同；
因为，，
当时，，
作出其图象，如图所示：
此时与的图象只有一个交点，
即方程只有一个实数根；
当时，
令，
则问题转化为的零点个数，
当时，，
易知此时只有一个零点，为；
当时，
时，，
，
即在上无零点；
当时，，
此时函数单调递增，
，
，
所以，使，
所以函数只有一个零点；
当时，
当时，，
，
此时有两个不等负零点，分别为，，
当时，，单调递增，
而，此时无零点，
所以函数只有两个零点；
综上，当时，方程有两个不同实数根；
当时，方程只有一个不同实数根．
19.解：，，
当时，，再由，
得，，
，，
故根据“阶自伴函数”定义得，
不是区间上的“阶自伴函数”．
由函数为区间上的“阶自伴函数”，
所以，且对任意，
总存在唯一的使得成立；
所以对任意，总存在唯一的，使得，
因为函数为单调递增函数，
所以对任意，总存在唯一的使得，
所以，
所以，
所以，
则，故．
由函数在区间的值域为，
因为是在区间上的“阶伴随函数”，
则对任意的，总存在唯一的时，使得成立，
所以，
即在区间上的值域必定包含区间，且的值域在对应的自变量是唯一的，
又因为函数开口向上，对称轴为，
当时，在区间上单调递增，则必有：
，解得：；
当时，在区间上单调递减，则必有：
，解得；
当时，在上单调递减，在上单调递增，则必有：
，解得：；
当时，在上单调递减，在上单调递增，则必有：
，解得：．
综上所述，可得的范围：．
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