2024-2025学年湖南省永州市祁阳四中高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省永州市祁阳四中高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知点，若向量，则点的坐标是( )
A. B. C. D.
2.已知直线，则其倾斜角为( )
A. B. C. 或 D.
3.直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则实数( )
A. B. C. D.
4.如图，在三棱锥中，为的中点，点在上，满足，记，，分别为，，，则( )
A. B.
C. D.
5.已知双曲线：的左右焦点依次为，，且，若点在双曲线的右支上，则( )
A. B. C. D.
6.已知圆关于直线、为大于的常数对称，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.设，直线：与直线：相交于点，点是圆：上的一个动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程可能为( )
A. B. C. D.
10.已知是椭圆上的动点，是圆上的动点，则( )
A. 椭圆的焦距为 B. 椭圆的离心率为
C. 的最大值为 D. 的最小值为
11.如图，已知正方体的棱长为，，，分别为，，的中点，以下说法正确的是( )
A. 平面
B. 到平面的距离为
C. 过点，，作正方体的截面，所得截面的面积是
D. 平面与平面夹角余弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若直线：与直线：平行，则直线与之间的距离为 ．
13.已知向量与的夹角为，，，则在方向上的投影向量为______．
14.如图所示，二面角为，、是棱上的两点，、分别在半平面、内，且，，，，，则的长______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，．
Ⅰ求；
Ⅱ求；
Ⅲ若，求的值．
16.本小题分
求与椭圆有相同的焦点，且经过点的椭圆标准方程；
求焦点在轴上，虚轴长为，离心率为的双曲线标准方程．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，点是的中点，，．
求与所成角的大小；
求与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
圆经过点，和直线相切，且圆心在直线上．
求圆的方程；
圆内有一点，求以该点为中点的弦所在的直线的方程．
19.本小题分
如图，六面体中，面且面，，，．
求证：平面；
若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的余弦．
参考答案
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15.解：Ⅰ；
Ⅱ因为，，
所以，，
所以；
Ⅲ因为，
所以，
解得．
16.解：椭圆中，，，所以，
椭圆经过点，设椭圆方程为，
则，解得，
所以椭圆标准方程为．
由题意可知，
设双曲线标准方程，
则，
解得，，
所以双曲线标准方程．
17.解：因为底面是矩形，所以，
又因为底面，、底面，
所以，，
故以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，
所以，所以，即与所成角的大小为；
由知，，，
设平面的一个法向量为，则，
取，则，，所以是平面的一个法向量，
设与平面所成角为，
则，
所以与平面所成角的正弦值为．
18.解：设圆心，方程为：，
圆过，有，
又，解得，
圆的方程为．
由题意，的圆心坐标为，
则，
以为中点的弦所在的直线的斜率为，
所求直线方程为，即．
19.解：证明：因为面且面，面且面，
所以且，在面中，，同理，在面中，，
因为，所以，
又，由余弦定理得：，则，
因为，所以，
因为面，面，所以，
又因为，面，面，所以面．
取中点，连接，由题可知，且，
所以四边形为平行四边形，则，因面，故面，
又因为正三角形，所以，，两两垂直，
以为坐标原点，以的方向分别为，，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，
则，
易得，，，所以，
设面的法向量为，则，，
所以，取，得，
又因为面，所以面的一个法向量为，
由题意，解得，
所以，
设面的法向量为，则，，
所以，取，得，
设直线与平面所成角为，
则．
又，所以，
则直线与平面所成角的余弦值为．
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