2024-2025学年福建省福州市闽侯二中高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年福建省福州市闽侯二中高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线经过点，且方向向量，则的方程为( )
A. B. C. D.
2.过点和，圆心在轴上的圆的方程是( )
A. B. C. D.
3.过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为( )
A. B. C. D.
4.如图所示，在棱长为的正方体中，为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
5.已知直线：和直线：，则“”是“”的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，为的中点，且，，则的离心率为( )
A. B. C. D.
7.在中，点，点，点满足，则面积的最大值为( )
A. B. C. D.
8.在中，角，，所对的边为，，，且，又点，，都在球的球面上，且点到平面的距离为，则球的体积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共104分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.以下四个命题表述正确的是( )
A. 过点且在轴、轴上截距相等的直线方程为
B. 圆上有且仅有个点到直线的距离都等于
C. 圆与圆恰有三条公切线，则
D. 已知圆：，过点向圆引两条切线，，，为切点，则直线方程为
10.已知椭圆，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有( )
A. 点到右焦点的距离的最大值为，最小值为
B. 的最小值为
C. 若，则的面积为
D. 直线与直线斜率乘积为定值
11.已知正方体棱长为，如图，为上的动点，平面下面说法正确的是( )
A. 直线与平面所成角的正弦值范围为
B. 点与点重合时，平面截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大
C. 点为的中点时，若平面经过点，则平面截正方体所得截面图形是等腰梯形
D. 已知为中点，当的和最小时，为的中点
三、填空题：本题共3小题，共20分。
12.点关于直线的对称点坐标是______．
13.已知是棱长为的正四面体若点满足，其中，则的最小值为______．
14.定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”已知椭圆是“黄金椭圆”，则 ______若“黄金椭圆”的两个焦点分别为，，为椭圆上异于顶点的任意一点，点是的内心，连接并延长交于点，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，公路、围成的是一块顶角为的角形耕地，其中，在该块土地中处有一小型建筑，经测量，它到公路、的距离分别为，，现要过点修建一条直线公路，将三条公路围成的区域建成一个工业园．
以为坐标原点建立适当的平面直角坐标系，并求出点的坐标；
三条公路围成的工业园区的面积恰为，求公路所在直线方程．
16.本小题分
已知圆：，直线恒过点．
若直线与圆相切，求的方程；
当直线与圆相交于，两点，且时，求的方程．
17.本小题分
已知椭圆：的一个焦点为，且离心率为．
求椭圆的方程；
不过原点的直线：与椭圆交于，两点，求面积的最大值及此时直线的方程．
18.本小题分
如图，三棱柱中，侧面为菱形，C.
证明：；
若，，，求二面角的余弦值．
19.本小题分
已知动点与点的距离和它到直线：的距离的比是．
求动点的轨迹的方程；
已知定点，若，是轨迹上两个不同动点，直线，的斜率分别为，，且，试判断直线的斜率是否为定值，并说明理由．
参考答案
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15.解：以点为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示，
由题意，设点，且直线的斜率为，经过点，
所以直线的方程为，
又点到直线的距离为，
所以，解得或舍，
故点的坐标为；
由题意可知，直线的斜率一定存在，
设直线的直线方程为，
联立直线与的方程，，
解得点的坐标为，
在直线的方程中，令，解得，
所以，
解得，
故直线的方程为．
16.解：由题意可知，圆的圆心为，半径，
当直线的斜率不存在时，即的方程为时，此时直线与圆相切，符合题意；
当直线的斜率存在时，设斜率为，直线的方程为，
化为一般式：，若直线与圆相切，
则，即，解得，
：，即：，
综上，当直线与圆相切时，直线的方程为或；
由题意可知，直线的斜率一定存在，设斜率为，
直线的方程为，即，
设圆心到直线的距离为，则，
由垂径定理可得，，即，
整理得，，解得或，
则直线的方程为或．
17.解：由已知得，由离心率得，
，
椭圆的方程为．
设，，联立，可得，
直线：与椭圆交于，两点，，解得，即，
由韦达定理可得，
由弦长公式可得，
点到直线的距离为，，
当且仅当，即时取等号，
面积的最大值为，此时直线的方程为．
18.解：连结，交于点，连结，
侧面为菱形，
，且为和的中点，
又，且和均在平面内
平面，
平面，，
又，，
，且为的中点，，
又，，，
，，两两垂直，
以为坐标原点，的方向为轴的正方向，为单位长度，
的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，
，为正三角形，又，
，，，，
，，
，
设向量是平面的法向量，
则，可取，
同理可得平面的一个法向量，
，，
由图可知，二面角的平面角是锐角，即二面角的余弦值为．
19.解：由动点与点的距离和它到直线：的距离的比是，
得，化简得，
即点的轨迹方程是；
直线的斜率为定值，利用如下：
设直线的斜率为，则直线的斜率为．
直线的方程为，直线的方程为．
设点，，
联立，得，
点在椭圆上，是上述方程的一个根，
则，可得．
同理，，．
又，
直线的斜率，
故直线的斜率为定值，该值为．
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