2023-2024学年江西省南昌一中朝阳校区高二（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年江西省南昌一中朝阳校区高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，，则“”是“”的( )
A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件
C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件
3.已知函数的定义域为，则函数的定义域为( )
A. B. C. D.
4.已知命题“，成立”是假命题，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.设，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
6.若函数的值域为，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知函数满足：，则的解析式为( )
A. B.
C. D.
8.已知函数的定义域为，函数为偶函数，函数为奇函数，则下列说法错误的是( )
A. 函数的一个对称中心为 B.
C. 函数为周期函数，且一个周期为 D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.围棋是我国发明的古老的也是最复杂的智力竞技活动之一现代围棋棋盘共有行列，个格点，每个格点上可能出现黑子、白子、空三种情况，因此整个棋盘上有种不同的情况，下面对于数字的判断正确的是参考数据：( )
A. 的个位数是 B. 的个位数是 C. 是位数 D. 是位数
10.已知，则下列结论正确的是( )
A. 的最小值为 B. 的最小值为
C. 的最大值为 D. 的最小值为
11.下列定义在上的函数中，满足，的有( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，则的取值范围是______．
13.已知函数为偶函数，则实数的值为______．
14.已知函数的值域是，若，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
二次函数满足，且．
求的解析式；
若时，的图象恒在图象的上方，试确定实数的取值范围．
16.本小题分
已知四棱锥，，，，，是上一点，．
若是中点，证明：平面．
若平面，求面与面夹角的余弦值．
17.本小题分
甲、乙两个不透明的袋中各装有个大小质地完全相同的球，其中甲袋中有个红球、个黄球，乙袋中有个红球、个黄球．
若从两袋中各随机地取出个球，求这个球颜色相同的概率；
若先从甲袋中随机地取出个球放入乙袋中，再从乙袋中随机地取出个球，记从乙袋中取出的红球个数为，求的分布列与期望．
18.本小题分
已知函数．
Ⅰ当时，求函数的极值；
Ⅱ求函数的单调区间；
Ⅲ当时，若在时恒成立，求整数的最大值．
19.本小题分
已知数列的前项和为，若存在常数，使得对任意都成立，则称数列具有性质．
若数列为等差数列，且，，求证：数列具有性质；
设数列的各项均为正数，且具有性质．
若数列是公比为的等比数列，且，求的值；
求的最小值．
参考答案
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15.解：由题意设，
由得；
由得，
即恒成立，故，则，
故；
因为当时，的图象恒在图象的上方，
所以当时，恒成立，
即当时，恒成立，
令，，则在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，即实数的取值范围为．
16.证明：如图，设为的中点，连接，，
因为是中点，所以，且，
因为，，，，
所以四边形为平行四边形，，且，
所以，且，
即四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面．
解：因为平面，
所以平面，，，相互垂直，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
设平面与平面夹角为，
则．
17.解：记这个球颜色相同为事件，
则；
依题意的可能取值为、、，
则，，，
所以的分布列为：


所以．
18.解：Ⅰ当时，，，
所以，
令，即，单调递增；
令，即，单调递减；
所以在处取得极大值即，无极小值．
Ⅱ，，
当时，恒成立，
所以在上单调递增；
当时，
当时，，递增；
当时，，递减．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
Ⅲ在时恒成立，
即恒成立，
令，则．
令，
则在上恒成立，
所以在上单调递增，且，，
所以在上存在唯一实数，使得．
当时，，即；
当时，，即，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
故，又，所以整数的最大值为．
19.证明：因为数列为等差数列，且，，
所以，，
解得，，
所以，，
所以，
即，
所以数列具有性质．
：由题意得：数列具有性质，即，
若，，整理得，
解得，与为任意正整数相矛盾；
若，则，解得，与为任意正整数相矛盾；
若，则，整理得，
当时，上式恒成立，满足题意；
当且时，解得，与为任意正整数相矛盾；
综上，．
：由可得，即，
因此，
即，
所以，
因为各项均为正数，所以，
从而，即，
若，则，与为任意正整数相矛盾，
当时，恒成立，符合题意，所以的最小值为．
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