2024-2025学年福建省厦门市英才学校高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年福建省厦门市英才学校高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.下列函数中与函数相等的是( )
A. B. C. D.
3.已知函数，则的值为( )
A. B. C. D. 或
4.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )
A. B. C. D.
5.若“”是“”的充分条件，则的一个值可以是( )
A. B. C. D.
6.命题“，”的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
7.若，且，恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.已知函数，则不等式的解集为( )
A. B. 或
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各式中正确的是( )
A. B.
C. D.
10.若，则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
11.某同学在研究函数时，得出下面四个结论，其中正确的结论是( )
A. 等式在时恒成立
B. 方程有三个实数根
C. 若，则一定有
D. 函数的值域为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的定义域是______．
13.已知幂函数的图象经过点，则 ．
14.在实数运算中，定义新运算“”如下：当时，；当时，则函数其中的最大值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
判断函数在上的单调性，并证明；
求函数的最大值和最小值．
16.本小题分
已知全集，，求：
和；
和．
17.本小题分
已知函数．
证明函数是偶函数；
在如图所示的平面直角坐标系中作出函数的图象．
根据图象求该函数的单调区间．
18.本小题分
某小型机械厂共有工人名，工人年薪万元人．据悉该厂每年生产台机器，除工人工资外，还需投入成本万元，，且每台机器售价为万元．通过市场分析，该厂生产的机器能全部售完．
Ⅰ写出年利润万元关于年产量的函数解析式；
Ⅱ求年产量为多少台时，该厂在生产中所获利润最大？
19.本小题分
已知定义域为的函数是奇函数．
求，的值；
判断的单调性，并用定义给出证明．
若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．
参考答案
1.
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14.
15.解：在上是单调增函数，
证明：设，是区间上的两个任意实数，且，
则，
，
，，，
，
在上是单调增函数．
在上是单调增函数，
所以，当时，取最小值；
当时取最大值．
16.解：全集，，．
由，即，解得，
所以，
又，所以；
因为全集，所以，
．
17.解：，，
是偶函数．
，函数图象如图所示．
根据函数的图象可得，的单调增区间为，；
的单调减区间为，．
18.解：Ⅰ利用售价减成本，减工人工资，可得年利润
；
Ⅱ当时，
时，取得最大值万元；
当时，
当且仅当，即时，取得最大值万元
综上，年产量为台时，该厂在生产中所获利润最大，最大为万元．
19.解：函数为奇函数，
，
得 ，，
故，
，
为奇函数，
，．
为减函数，证明如下：
由知，
任设， ，且，
，
，
，
，
为减函数．
由知，
又在上为减函数．
又因是奇函数，
从而不等式：
等价于，
因为减函数，由上式推得：
．
即对一切有：，
从而判别式
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