北京市首都师范大学附中2024-2025学年高二上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

北京市首都师范大学附中 2024-2025 学年高二上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知向量 = ( 3,2,4)， = (1, 3, 2)，则| + | =( )
A. 2√ 2 B. 8 C. 3 D. 9
2.直线2 + + 7 = 0在 轴上的截距为 ，在 轴上的截距为 ，则 、 的值是( )
7
A. = 7， = 7 B. = 7， =
2
7 7
C. = ， = 7 D. = ， = 7
2 2
3.在平行六面体 1 1 1 1中，若 1 = + 2 + 3 1 ，则 的值等于( )
1 5 7 1
A. B. C. D.
6 6 6 6
4.方程 2 + 2 + 2 + = 0表示圆心为 (2,2)，半径为2的圆，则 ， ， 的值依次为( )
A. 4、2、4 B. 4、2、4 C. 4、2、 4 D. 4、 2、 4
5.已知 ， 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若 // ， // ，则 // B. 若 // ， // ，则 //
C. 若 ⊥ ， ⊥ ，则 ⊥ D. 若 ⊥ ， ⊥ ，则 //
6.若直线 1： + 3 + 1 = 0与直线 2：2 + ( + 1) + 1 = 0互相平行，则 的值是( )
A. 3 B. 2 C. 3或2 D. 3或 2
7.一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干(如图甲，底面处于水平状态).将容器放倒(如图乙，一个
侧面处于水平状态)，这时水面所在的平面与各棱交点 ， ， 1， 1分别为所在棱的中点，则图甲中水面的
高度为( )
3√ 3 9
A. √ 3 B. 2 C. D.
2 4
8.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个
有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回
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到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为 2 + 2 ≤ 1，若将军从点
(2,0)处出发，河岸线所在直线方程为 + = 4，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将
军饮马”的最短总路程为( )
A. √ 10 1 B. 2√ 5 1 C. 2√ 5 D. √ 10
9.已知动直线 与圆 ： 2 + 2 = 16交于 、 两点，且∠ = 120°.若 与圆( 2)2 + 2 = 25相交所得
的弦长为 ，则 的最大值与最小值之差为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10.在平面直角坐标系中， 为坐标原点，曲线 的方程是√ 2 + 2 + | | = 1， 为 上的任意一点，给出
下面四个命题：
①曲线 上的点关于 轴、 轴对称；
②曲线 上两点间的最大距离为2√ 2；
1
③| |的取值范围为[ , 1]；
2
2
④曲线 围成的图形的面积小于 ．
3
则以上命题中正确命题为( )
A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ③④
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分。
11.直线 ： + √ 3 1 = 0的倾斜角为______，经过点(1, √ 3)且与直线 垂直的直线方程为______．
√ 3
12.已知正方体 1 1 1 1的棱长为1，则在正方体的顶点中，满足到平面 1 的距离为 的一个顶3
点为______．
13.直线 过点( 4,0)且与圆( + 1)2 + ( 2)2 = 9相切，那么直线 的方程为 ．
14.设 ∈ ，过定点 的直线 1： + 3 1 = 0与过定点 的直线 2： 3 + 1 = 0相交于
点 ，则点 坐标为______，| | + | |的最大值为______．
15.如图，在棱长为2的正方体 1 1 1 1中， ， 分别是棱 1 1，
1 1的中点，点 在线段 上运动，给出下列四个结论：
①平面 截正方体 1 1 1 1所得的截面图形是五边形；
②直线 1 1到平面 的距离是
√ 2；
2
③存在点 ，使得∠ 1 1 = 90°；
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④ △ 1面积的最小值是
5√ 5．
6
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共 3 小题，共 36 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
如图，在侧棱垂直底面的四棱柱 1 1 1 1中， // ， ⊥ ， = √ 2， = 2， = 4，
1 = 2，点 是 1的中点，点 是平面 1 1 与直线 1的交点．
(1)证明： // 1 1；
(2)求直线 1与平面 1 1 所成的角的正弦值．
17.(本小题12分)
已知圆 过原点 和点 (1,3)，圆心在 轴上．
(1)求圆 的方程；
(2)直线 经过点(1,1)，且 被圆 截得的弦长为6，求直线 的方程；
(3)过圆 上一动点 作平行于 轴的直线 ，设 与 轴的交点为 ，若向量 = + ，求动点 的轨
迹方程．
18.(本小题12分)
图1是边长为√ 2的正方形 ，将△ 沿 折起得到如图2所示的三棱锥 ，且 = √ 2．
(1)证明：平面 ⊥平面 ；
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(2)棱 上是否存在一点 ，使得二面角 的余弦值为5√ 3，若存在，求出 的值；若不存在，请
9
说明理由．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
5
11.【答案】 √ 3 = 0
6
12.【答案】点 ( , 1, 1, 中任填一个即可)(答案不唯一)
13.【答案】 = 4或5 + 12 + 20 = 0
14.【答案】(1,3) 4
15.【答案】①③
16.【答案】(1)证明：因为 1 1// 1 1， 1 1 平面 1 1， 1 1 平面 1 1，
所以则 1 1//平面 1 1，
又因为 1 1 平面 1 1 ，平面 1 1 ∩平面 1 1 = ，所以 1 1// ，
所以 // 1 1；
(2)因为 1 ⊥平面 1 1 1 1， 1 1 ⊥ 1 1， 1 1// 1 1，所以 1 1 ⊥ 1 1，
故以点 1为坐标原点，分别以 1 1， 1 1， 1所在直线为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则 1(0,0,0), 1(0,4,0), (√ 2, 2,1), (0,0,2)，
1 1 = (0,4,0), 1 = (√ 2, 2,1), 1 = (0,4, 2)，
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设平面 1 1 的法向量为 = ( , , )，
4 = 0
则{ 1 1
= 0
，即{ ，
1 = 0 √ 2 + 2 + = 0
取 = 1，则 = 0， = √ 2，则 = (1,0, √ 2)，
设直线 1与平面 1 1 所成的角为 ，
| | 2√ 2 √ 30
则 = |cos , | = 11 = = ， | 1| | | 2√ 5×√ 3 15
√ 30故直线 1与平面 1 1 所成的角的正弦值为 ． 15
17.【答案】解：(1)已知圆 过原点 和点 (1,3)，圆心在 轴上，
设圆心为 ( , 0)，由题意可得| | = | |，
则| | = √ ( 1)2 + (0 3)2，解得 = 5，所以圆 的半径为| | = 5，
故圆 的方程为( 5)2 + 2 = 25；
(2)直线 经过点(1,1)，且 被圆 截得的弦长为6，
由题意可知，圆心 到直线 的距离为 = √ 52 32 = 4，
当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 = 1，
此时，圆心 到直线 的距离为4，合乎题意；
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 1 = ( 1)，即 + 1 = 0，
|5 +1 | |4 +1|
由题意可得 = = 4
15
，解得 = ，
√ 2 2 +1 √ +1 8
15
此时，直线 的方程为 1 = ( 1)，即15 8 7 = 0；
8
综上所述，直线 的方程为 = 1或15 8 7 = 0；
(3)过圆 上一动点 作平行于 轴的直线 ，设 与 轴的交点为 ，若向量 = + ，
设点 ( 0, 0)，其中 0 ≠ 0，则 ( 0, 0)，设点 ( , )，
因为 = + ，则( , ) = ( 0, 0) + ( 0, 0) = (2 0, 0)，

= 2 =
可得{ 0，可得{ 0 2，
= 0 0 =
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因为点 在圆 上，则( 2 20 5) + 0 = 25，即( 5)
2 + 2 = 25，
2
故点 的轨迹方程为( 10)2 + 4 2 = 100( ≠ 0)．
18.【答案】(1)证明：在图1中，连接 ，交 于点 ，
因为四边形 是边长为√ 2的正方形，所以 ⊥ ，
= 2，
1
在图2中，有 ⊥ ， ⊥ ， = = = 1，
2
因为 = √ 2，所以 2 + 2 = 2，即 ⊥ ，
又 ∩ = ， ∩ = ， 、 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以平面 ⊥平面 ．
(2)解：由(1)知， ， ， 两两垂直，
故以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则 (0,1,0)， (0, 1,0)， (1,0,0)， (0,0,1)，
所以 = (0, 1,1)， = (1, 1,0)， = (1,1,0)，
假设在棱 上存在点 ，满足 = , ∈ [0,1]，使得二面角 的余弦值为
5√ 3，
9
则 = = (0, 1,1) (1, 1,0) = ( 1,1 , )，
= + = 0
设平面 的法向量为 = ( , , )，则{ ，
= + (1 ) + = 0
取 = ，则 = ， = 2 ，所以 = ( , , 2 )，
易知平面 的一个法向量为 = (0,0,1)，
| | |2 | 5√ 3
所以|cos , | = = = 2| | | | 9 ，化简得6 + 1 = 0，
√ 2 3 4 +4
1 1
解得 = 或 = (舍去)，
3 2
1所以 = ，
3
1
即棱 上存在点 ，当 5√ 3= 时，二面角 的余弦值为 ．
3 9
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