甘肃省金昌市2024-2025学年高二上学期12月联考数学试卷（PDF版，含答案）

甘肃省金昌市 2024-2025 学年高二上学期 12 月联考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = {0,1,2}， = {1,2}，则 ∪ =( )
A. {1,2} B. {0} C. {0,1,2} D. {0,1}
2.已知 ， 是实数，则“ > | |”是“2 > 2 ”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日五尺，问日织几何？”意思是：
“女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这名女子每天分别织布多少？”
某数学兴趣小组依托某制造厂用织布机完全模拟上述情景，则从第一天开始，要使织布机织布的总尺数为
165尺，则所需的天数为( )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
1 3 1 1 5 1 1 1 7 1 1 1
4.观察下列式子：1 +
22
< ，1 +
2 22
+ 2 < ，1 + +3 3 22 32
+
42
< ，…，则可归纳出1 + 2 + 2 + +4 22 3 ( +1)
小于( )
2 1 2 +1 2
A. B. C. D.
+1 +1 +1 +1
5.如果圆( )2 + ( )2 = 4上有且仅有两个点到原点的距离为2，那么实数 的取值范围为( )
A. ( 2√ 2,0) B. ( 2√ 2, 2√ 2)
C. ( 2√ 2, 0)∪ (0,2√ 2) D. ( 2√ 2, 1) ∪ (1,2√ 2)
6.如图，三棱锥 中， ⊥平面 ， 是棱 的中点，已知 = = 2，
= 4， ⊥ ，则异面直线 ， 所成角的余弦值为( )
√ 30
A.
10
√ 30
B.
5
√ 30
C.
5
√ 30
D.
10
3
7.已知函数 ( ) = 3 + ，其导函数为 ′( )，则 (2020)+ ( 2020)+ ′(2021) ′( 2021)的值为( ) +1
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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2{ 2 + 1, < 0,8.已知函数 ( ) = 有两个零点，则实数 的取值范围是( )
+ 2 , ≥ 0,
A. ( ,+∞) B. ( 2 , +∞) C. (0, 2) D. (0, )
二、多选题：本题共 3 小题，共 100 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中的真命题是( )
A. ∈ ，2 1 > 0 B. ∈ ，( 1)2 > 0
C. 0 ∈ ， 0 < 1 D. 0 ∈ ， 0 = 2
10.已知数列{ }的前 项和为 = 33
2
，则下列说法正确的是( )
A. = 34 2 B. 16为 的最小值
C. | 1|+ | 2| + + | 16| = 272 D. | 1|+ | 2| + + | 30| = 450
2 2
11.我们把离心率为 √ 5+1 = 的双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)称为黄金双曲线．如2
图所示， 1、 2是双曲线的实轴顶点， 1、 2是虚轴顶点， 1、 2是焦点，过右焦
点 2且垂直于 轴的直线交双曲线于 、 两点，则下列命题正确的是( )
2
A. 双曲线 2 = 1是黄金双曲线
√ 5+1
B. 若 2 = ，则该双曲线是黄金双曲线
C. 若∠ 1 1 2 = 90°，则该双曲线是黄金双曲线
D. 若∠ = 90°，则该双曲线是黄金双曲线
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
2 27 2
12.( ) 2 + 0 ( )3 = ______．
3 8
13.在正四棱柱 1 1 1 1中， 1 = 2， = = 1，动点 ， 分别在线
段 1 ， 上，则线段 长度的最小值是 ．

14.已知变量 ， 线性相关，由观测数据算得样本的平均数 = 4, = 5，线性回归方程 = + 中的系数
， 满足 + = 4，则线性回归方程为______．
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2
15.古埃及数学中有一个独特现象：除 用一个单独的符号表示以外，其他分数都要写成若干个单位分数和
3
2 1 1 1 1 1
的形式．例如 = + ，可以这样来理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，每人 不够，每人 余 ，
5 3 15 2 3 3
1 1 1 1 2 2 1 1 2 1 1
再将这 分成5份，每人得 ，这样每人分得 + .形如 ( = 5,7,9,11,… )的分数的分解： = + ， = + ，
3 15 3 15 5 3 15 7 4 28
2 1 1 2
= + ，按此规律， =______( ≥ 3, ∈ )．
9 5 45 2 1
四、解答题：本题共 6 小题，共 72 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
已知 ∈ ，集合 = { |( )( + 1) ≤ 0}，函数 = √ 1(2 3)的定义域为 ．
2
(1)若 ∩ ≠ ，求 的取值范围；
(2)若 ∈ 是 ∈ 的必要不充分条件，求 的取值范围．
17.(本小题12分)
已知点 (1,0)，点 是圆 ：( + 1)2 + 2 = 8上的任意一点，线段 的垂直平分线与直线 交于点 ．
(1)求点 的轨迹方程；
(2)若直线 = + 与点 的轨迹有两个不同的交点 和 ，且原点 总在以 为直径的圆的内部，求实数
的取值范围．
18.(本小题12分)
如图所示，在多面体 中，底面 是梯形， // ， = 2 ，∠ = 45°， ⊥底面 ，
// ， = = = 2 = 2，点 为 的中点，点 在线段 上．
(1)证明： ⊥平面 ；
√ 15
(2)如果直线 与平面 所成的角的正弦值为 ，求点 的位置．
15
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19.(本小题12分)
1
已知 ( ) = 3 + 2 3 ( ∈ )在 = 3处取得极值．
3
(Ⅰ)求实数 的值；
(Ⅱ)求 ( )的单调区间；
(Ⅲ)求 ( )在区间[ 3,3]上的最大值和最小值．
20.(本小题12分)
某公司为提高市场销售业绩，促进某产品的销售，随机调查了该产品的月销售单价 (单位：元/件)及相应
月销量 (单位：万件)，对近5个月的月销售单价 和月销售量 ( = 1,2,3,4,5)的数据进行了统计，得到如表
数据：
月销售单价 (元/件) 9 9.5 10 10.5 11
月销售量 (万件) 11 10 8 6 5
(Ⅰ)建立 关于 的回归直线方程；
(Ⅱ)该公司开展促销活动，当该产品月销售单价为7元/件时，其月销售量达到18万件，若由回归直线方程得
到的预测数据与此次促销活动的实际数据之差的绝对值不超过0.5万件，则认为所得到的回归直线方程是理
想的，试问：(Ⅰ)中得到的回归直线方程是否理想？
(Ⅲ)根据(Ⅰ)的结果，若该产品成本是5元/件，月销售单价 为何值时(销售单价不超过11元/件)，公司月利
润的预计值最大？
∑
参考公式：回归直线方程 = + ，其中 = =1 2 ， = = ．
∑ =1
2

参考数据：∑5 = 392，∑5 2 =1 =1 = 502.5．
21.(本小题12分)
已知 ( ) = 2 2 + ．
(1)若函数 ( )在 = 2处取得极值，求实数 的值；
(2)若 ( ) = ( ) ，求函数 ( )的单调递增区间；
(3)若 = 2，存在正实数 1， 2，使得 ( 1)+ ( 2) = 1 + 2成立，求 1 + 2的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】1
2
13.【答案】
3
1 11
14.【答案】 = +
3 3
1 1
15.【答案】 +
(2 1)
16.【答案】解：(1) = { |( )( + 1) ≤ 0} = [ 1, ]，
2 3 > 0 3 3
= √ 1(2 3)的定义域，则{ ，解得 < ≤ 2，即 = ( , 2]， 2 3 ≤ 1 2 22
3 3
若 ∩ = ，则 ≤ 或 1 > 2，即 ≤ 或 > 3，
2 2
3 3
则 ∩ ≠ ， 的范围为 < ≤ 3，即 的取值范围为( , 3]．
2 2
(2)若 ∈ 是 ∈ 的必要不充分条件，则 ，
3
{ 1 ≤ 5∴ 2，解得2 ≤ ≤ ．
≥ 2 2
5
故 的取值范围为[2, ].
2
17.【答案】解：(1)由题意知| | = | |，| | + | | = 2√ 2，∴ | | + | | = 2√ 2 > 2 = | |，
2
∴ 的轨迹是以 、 为焦点的椭圆，其轨迹方程为： + 2 = 1；
2
(2)设 ( 1 , 1)， ( 2, 2)，
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= +
则将直线与椭圆的方程联立得：{
2 + 2 2
，
= 2
消去 ，得：(2 2 +1) 2 + 4 + 2 2 2 = 0， > 0， 2 < 2 2 + 1…①，
4 2 2 2
1 + 2 = 2 ， 1 2 = 2 ，
2 +1 2 +1
因为 在以 为直径的圆的内部，故 < 0，即 1 2 + 1 2 < 0，
2
2 2
而 1 2 = ( 1 + )( 2 + ) = 2 ，
2 +1
2
2 2 2 2 2
由 1 2 + 1 2 = 2 + 2 < 0，
2 +1 2 +1
2
2 2 +2 2 2 √ 6 √ 6得： < ，∴ < ，且满足①式 的取值范围是( , ).
3 3 3 3
18.【答案】解：(1)证明：在梯形 中，∵ = ，则∠ = 45°，
∴ ∠ = ∠ = 45°，∠ = 90°，∴ ⊥ ，
∵点 为 的中点，∴ = 2 ，∴ ，
∴四边形 是平行四边形， // ，∴ ⊥ ，
又∵ ⊥底面 ， 底面 ，∴ ⊥ ，
又 平面 ， 平面 ， ∩ = ，∴ ⊥平面 ；
(2)以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则 (2,0,0)、 (0,2,0)、 (0,0,2)、 (1,1,0)、 ( 1,1,1)，
∴ = ( 2,2,0), = (2,0, 2), = ( 1,1, 1)，
设 = (0 ≤ ≤ 1)，则 = ( , , )，
则 ( , , 2 )， = (1 + , 1 , 2)，
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设平面 的法向量 = ( , , )，
{
= 2 + 2 = 0
则 ，取 = 1，得平面 的一个法向量为 = (1,1,1)，
= 2 2 = 0

则cos <
√ 15
, >= = = =
| | | | ， √ 2 2 2 15 (1+ ) +(1 ) +( 2) ×√ 3 √ 2 3 4 +6×√ 3
解得 = 1或 = 3(舍)，即 = ，
∴当点 与点 重合时直线 与平面 所成的角的正弦值为√ 15．
15
19.【答案】解：(Ⅰ) ′( ) = 2 + 2 3，
由于 ( )在 = 3处取得极值，
故 ′( 3) = 0，解得 = 1，
经检验，当 = 1时， ( )在 = 3处取得极值，
故 = 1．
(Ⅱ) ′( ) = 2 + 2 3，由 ′( ) > 0，得 > 1或 < 3；由 ′( ) < 0，得 3 < < 1，
故 ( )的单调增区间为( ∞, 3)，(1,+∞)；单减区间为( 3,1)．
5
(Ⅲ)由(Ⅱ)，得 ( )极大值 = ( 3) = 9， ( )极小值 = (1) = ，又 (3) = 9， 3
5
所以函数 ( )在区间[ 3,3]上的最大值为9，最小值为 ．
3
1 1
20.【答案】解：(Ⅰ)因为 = (11+ 10.5+ 10+ 9.5+ 9) = 10， = (5 + 6+ 8 + 10 + 11) = 8．
5 5
392 5×10×8
所以 = 2 = 3.2，所以 = 8 ( 3.2)× 10 = 40， 502.5 5×10

所以 关于 的回归直线方程为： = 3.2 + 40．

(Ⅱ)当 = 7时， = 3.2 × 7 + 40 = 17.6，则|17.6 18| = 0.4 < 0.5，
所以可以认为所得到的回归直线方程是理想的．
(Ⅲ)设销售利润为 ，则 = ( 5)( 3.2 + 40)(5 < ≤ 11) = 3.2 2 +56 200，所以 = 8.75时，
取最大值，
所以该产品单价定为8.75元时，公司才能获得最大利润．
2 2 2 +
21.【答案】解：(1) ∵ ′( ) = 2 2+ = ( > 0)，

∵函数 ( )在 = 2处取得极值，∴ ′(2) = 0，解得： = 4，
2( 2 2) 2( +1)( 2)
当 = 4时， ′( ) = = ，

∴当0 < < 2时， ′( ) < 0， ( )单调递减，当 > 2时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
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∴当 = 4时，函数 ( )在 = 2处取得极小值．
(2) ∵ ( ) = ( ) = 2 ( + 2) + ，
2 2 ( +2) + ( 1)(2 )
∴ ′( ) = 2 ( + 2)+ = = ( > 0)，


令 ′( ) = 0，则 = 1或 = ，
2
1°当 ≤ 0时，令 ′( ) > 0可得： > 1，
∴函数 ( )的单调递增区间为(1,+∞)；

2°当0 < < 2时，令 ′( ) > 0，可得：0 < < 或 > 1，
2
∴函数 ( )的单调递增区间为；
3°当 = 2时， ′( ) ≥ 0在 ∈ (0,+∞)上恒成立，
∴函数 ( )的单调递增区间为(0,+∞)；

4°当 > 2时，令 ′( ) > 0可得：0 < < 1或 > ，
2

∴函数 ( )的单调递增区间为(0,1), ( ,+∞)；
2
(3) ∵ = 2，∴ ( ) = 2 2 + 2 ，
∵ ( 1)+ ( 2) =
2 2
1 + 2，∴ 1 + 2 2( 1 + 2)+ 2 ( 1 2)= 1 + 2，
整理可得：( 1 +
2
2) 3( 1 + 2)= 2 1 2 2 ( 1 2)，
1 2( 1)
令 = 1 2，则 ( ) = 2 2 ，∵ ′( ) = 2(1 ) = ，令 ′( ) = 0，解得： = 1，
当0 < < 1时， ′( ) < 0， ( )单调递减；当 > 1时， ′( ) > 0， ( )单调递增；
∴当 = 1时， ( )取得极小值(最小值)为2，即 ( ) ≥ 2，
∴ ( + )21 2 3( 1+ 2)≥ 2，即(
2
1 + 2) 3( 1 + 2) 2 ≥ 0，
3 √ 17 3+√ 17
解得： 1 + 2 ≤ (舍去)或 1 + 2 ≥ ， 2 2
3+√ 17
∴ 1 + 2的取值范围为[ ,+∞)． 2
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