2024-2025学年江苏省淮安市马坝高级中学美术班高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省淮安市马坝高级中学美术班高二（上）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角等于( )
A. B. C. D.
2.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.如图，若直线，，，的斜率分别为，，，，则( )
A.
B.
C.
D.
4.已知点在抛物线：上，则抛物线的准线方程为( )
A. B. C. D.
5.已知数列则是这个数列的( )
A. 第 项 B. 第项 C. 第项 D. 第项
6.已知圆经过，两点，且圆心在直线：，则圆的标准方程是( )
A. B.
C. D.
7.“”是“直线：与直线：平行”的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
8.已知数列满足，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线：，则( )
A. 不过原点 B. 在轴上的截距为
C. 的斜率为 D. 与坐标轴围成的三角形的面积为
10.已知椭圆：，则( )
A. 椭圆的长轴长为 B. 椭圆的一个焦点为
C. 椭圆的短半轴长为 D. 椭圆的离心率为
11.已知直线：和圆：，则下列选项正确的是( )
A. 直线恒过点
B. 直线与圆相交
C. 圆与圆：有三条公切线
D. 直线被圆截得的最短弦长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.过点，斜率为所在直线的点斜式方程为______．
13.圆心为且与直线相切的圆的方程为______．
14.抛物线：的焦点为，为上一点且，为坐标原点，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
直线经过两直线：和：的交点．
若直线与直线平行，求直线的方程；
若直线与直线垂直，求直线的方程．
16.本小题分
已知圆：和，，．
求过点且与圆相切的直线方程；
求过、、三点的圆的方程．
17.本小题分
已知关于，的方程：．
若方程表示圆，求的取值范围；
若圆与圆外切，求的值；
若圆与直线：相交于，两点，且，求的值．
18.本小题分
设过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，且这两交点纵坐标分别为，，，在抛物线准线上的射影分别为，．
求值；
求证：是直角；
是线段中点，求点的轨迹方程．
19.本小题分
已知双曲线的焦距为且左右顶点分别为，，过点的直线与双曲线的右支交于，两点．
求双曲线的方程；
若直线的斜率为，求弦长；
记直线，的斜率分别为，，证明：是定值．
参考答案
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15.解：由题意联立，解得，即直线过点，
若直线与直线平行，
则直线的方程为，整理得．
由可得直线过点，若直线与直线垂直，
则直线的方程为，整理得．
16.解：已知圆：，
由，可得，
则圆的圆心，半径为，
如图，因过点且斜率不存在的直线恰与圆相切，
故有一条切线方程为；
设另一条切线方程为：，即，
由圆心到直线的距离，解得，
故另一条切线方程为：，即；
综上，过点且与圆相切的直线方程为或；
设圆的一般方程为：，
已知，，，
由题意可知把 、、三点代入圆的一般方程中，
解得，所以圆的方程为：．
17.解：关于，的方程：．
整理得：，
由于方程表示圆，所以：，
解得：．
圆的方程转化为：，
圆与圆外切，
，
解得：．
圆与直线：相交于，两点，
则：圆心到直线的距离，
且，
所以利用垂径定理得：，
解得：．
18.解：抛物线的焦点为，准线方程为，
设直线的方程为，
联立，可得，
设，，则，；
证明：由题意可得，，，
即有，
可得，即是直角；
由是线段中点，设，
可得，即，
，即，
消去，可得，即．
19.解：因为双曲线的焦距为，
所以，
解得，
又，
所以，
解得，
则双曲线的方程为；
易知直线的方程为，
联立，消去并整理得，
设，，
此时恒成立，
由韦达定理得，，
所以；
证明：设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，
由韦达定理得，，
此时，
因为，，
所以
．
故为定值，定值为．
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