第4章 数列 4.1-4.3.2阶段性测验 限时训练（含解析）-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019） 选择性必修第一册

阶段性测验 4.1～4.3.2
　　　　　　　　　　　　　　　　[分值：100分]
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1．设Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝n2＋1，则a5等于(　　)
A．26 B．19 C．11 D．9
2．已知1，a1，a2,9四个实数成等差数列，1，b1，b2，b3,9五个数成等比数列，则b2(a2－a1)等于(　　)
A．8 B．－8 C．±8 D.
3．已知等差数列的前n项和为Sn，若S9＝54，a11＋a12＋a13＝27，则S16等于(　　)
A．120 B．60 C．160 D．80
4．设等差数列的前n项和为Sn，等差数列的前n项和为Tn，若＝.则等于(　　)
A. B. C. D.
5．已知正项数列满足a－2a－an＋1an＝0，设bn＝log2，则数列的前n项和为(　　)
A．n B.
C. D.
6．音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“徵”，“徵”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”……依此规律损益交替变化，获得了“宫”“徵”“商”“羽” “角”五个音阶．据此可推得(　　)
A．“商”“羽”“角”的频率成公比为的等比数列
B．“宫”“徵”“商”的频率成公比为的等比数列
C．“宫”“商”“角”的频率成公比为的等比数列
D．“角”“商”“宫”的频率成公比为的等比数列
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
7．关于递增等比数列{an}，下列说法不正确的是(　　)
A．a1>0 B．q>1
C.<1 D．当a1>0时，q>1
8．等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d＝1.若a1＋3a5＝S7，则以下结论一定正确的是(　　)
A．a5＝1 B．Sn的最小值为S3
C．S1＝S6 D．Sn存在最大值
9．已知等差数列a，b，c三项之和为12，且a，b，c＋2成等比数列，则a等于(　　)
A．－2 B．2 C．－8 D. 8
三、填空题(每小题5分，共15分)
10.＋1与－1的等比中项是________．
11．设等差数列的前n项和为Sn，且S3＝－12，S9＝45，则S12＝________.
12．在下面的数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列.
第1列 第2列 第3列 …
第1行 1 2 3 …
第2行 2 4 6 …
第3行 3 6 9 …
… … … … …
那么位于表中的第n行第(n＋1)列的数是________．
四、解答题(共37分)
13．(12分)(1)在等差数列{an}中，若a3＝2 020，a5＝2 022，求a7；(5分)
(2)已知{an}为递增的等比数列，a3＝2，a2＋a4＝5，求{an}的通项公式．(7分)
14．(12分)如图，某报告厅的座位是这样排列的：第一排有9个座位，从第二排起每一排都比前一排多2个座位，共有10排座位．
(1)求第六排的座位数；(4分)
(2)若同排的两个人至少要间隔一个座位就坐，且前后排要错位就坐．那么该报告厅里最多可安排多少人同时参加会议？(8分)
15．(13分)已知正项等比数列中，a2a4＝64，a1＋a2＋a3＝56.
(1)求数列的通项公式；(5分)
(2)设bn＝，求数列的前n项和Tn.(8分)
1．D　[方法一　依题意Sn＝n2＋1，
当n＝1时，a1＝S1＝2，
当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2＋1＝n2－2n＋2，
所以an＝Sn－Sn－1＝2n－1，
又a1＝1不符合该式，
所以an＝
所以a5＝2×5－1＝9.
方法二　a5＝S5－S4
＝(52＋1)－(42＋1)＝9.]
2．A　[设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
则有1＋3d＝9,1·q4＝9，解得d＝，q2＝3，
∴b2＝1×q2×＝8.]
3．A　[因为等差数列的前n项和为Sn，S9＝54，a11＋a12＋a13＝27，
所以S9＝9a5＝54,3a12＝27，所以a5＝6，a12＝9，所以S16＝＝＝＝120.]
4．B　[因为＝，所以＝＝，
因为Sn是等差数列的前n项和，Tn是等差数列的前n项和，
所以S9＝＝9a5，T9＝＝9b5，
则＝＝＝.]
5．C　[因为a－2a－an＋1an＝0，
所以(an＋1＋an)(an＋1－2an)＝0，
又an>0，所以＝2，
所以数列是等比数列，
所以an＋1＝a1·2n，
所以bn＝log2＝log22n＝n，
所以数列的前n项和Sn＝.]
6．C　[设“宫”的频率为a，由题意经过一次“损”，可得“徵”的频率为a，
“徵”经过一次“益”，可得“商”的频率为a，
“商”经过一次“损”，可得“羽”的频率为a，
最后“羽”经过一次“益”，可得“角”的频率为a，
由于a，a，a成等比数列，所以“宫”“商”“角”的频率成等比数列，且公比为.]
7．ABC　[由题意，设数列{an}的公比为q，
因为an＝a1qn－1，
可得an＋1－an＝a1qn－1(q－1)>0，
当a1>0时，q>1，此时0<<1，
当a1<0时，01，
故不正确的是ABC.]
8．AC　[因为a1＋3a5＝S7，
所以a1＋3(a1＋4d)＝7a1＋d，
将d＝1代入，解得a1＝－3.
对于选项A，a5＝a1＋4d＝1，故A正确；
对于选项B，an＝－3＋n－1＝n－4，
因为a1＝－3<0，a3＝－1<0，a4＝0，a5＝1>0，
所以Sn的最小值为S3或S4，故B错误；
对于选项C，S6－S1＝a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝5a4，
又因为a4＝0，所以S6－S1＝0，即S1＝S6，故C正确；
对于选项D，因为a1＝－3<0，d＝1>0，所以Sn无最大值，故D错误．]
9．BD　[由已知得
解得或故a＝2或a＝8.]
10．±1
解析　设＋1与－1的等比中项是X，
则X2＝，
即X2＝1，
解得X＝±1.
11．114
解析　∵是等差数列，∴S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列，
∴2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，即2(S6＋12)＝－12＋(45－S6)，解得S6＝3，
又2(S9－S6)＝(S6－S3)＋(S12－S9)，即2×(45－3)＝(3＋12)＋(S12－45)，解得S12＝114.
12．n2＋n
解析　由题意可得，第n行的第一个数是n，第n行的数构成以n为首项，n为公差的等差数列，其中第(n＋1)项为n＋n·n＝n2＋n.
所以题表中的第n行第(n＋1)列的数是n2＋n.
13．解　(1)∵a3＝2 020，a5＝2 022，
∴公差d＝＝＝1，
∴a7＝a5＋2d＝2 022＋2×1＝2 024.
(2)∵a3＝2，
∴a2＋a4＝＋a3q＝2＝5，
即2q2－5q＋2＝0，
∴q＝2或q＝，
又{an}为递增的等比数列，a3＝2>0，
∴q＝2，a1＝，∴an＝2n－2.
14．解　(1)依题意，得每排的座位数构成等差数列，其中首项a1＝9，公差d＝2，
所以第六排的座位数a6＝a1＋d＝19.
(2)因为每排的座位数是奇数，为保证同时参会的人数最多，第一排应坐5人，第二排应坐6人，第三排应坐7人，……，这样，每排就坐的人数就构成等差数列，首项b1＝5，公差d′＝1，所以数列前10项和S10＝10b1＋×d′＝95.
故该报告厅里最多可安排95人同时参加会议．
15．解　(1)设正项等比数列的公比为q(q>0)．
∵a2a4＝64，a1＋a2＋a3＝56，
∴aq4＝64，a1＋a1q＋a1q2＝56，
解得q＝(负值舍去)，a1＝32，
∴an＝32×n－1＝26－n.
(2)由(1)知an＝26－n，
∴bn＝＝＝
当n≤6时，Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝5＋4＋3＋…＋(6－n)＝＝；
当n≥7时，
Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝5＋4＋3＋2＋1＋0＋1＋2＋3＋…＋(n－6)
＝15＋＝.
∴Tn＝