第4章 数列 4.1-4.3 阶段性测验 限时训练（含解析）-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019） 选择性必修第一册

阶段性测验 4.1～4.3
　　　　　　　　　　　　　　　　[分值：100分]
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1．在等比数列{an}中，a4＝24，a6＝6，则a5等于(　　)
A．12 B．－12 C．±12 D．15
2．在等差数列{an}中，若a3＋a8＋a13＝9，a2＋a9＋a14＝18，则a8和a9的等比中项为(　　)
A．－6 B．6 C．±6 D．36
3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝10，公差d＝－，Sn取得最大值时n的值为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝6，则等于(　　)
A. B. C. D.
5．已知数列{an}，{bn}都是等差数列，记Sn，Tn分别为{an}，{bn}的前n项和，且＝，则等于(　　)
A. B. C. D.
6.九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．在某种玩法中，用an表示解下n个圆环所需移动的最少次数，若a1＝1，且an＝则解下6个圆环所需移动的次数最少为(　　)
A．13 B．16 C．31 D．64
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
7．已知数列{an}的前n项和为Sn，下列说法正确的是(　　)
A．若Sn＝n2－1，则是等差数列
B．若Sn＝2n－1，则{an}是等比数列
C．若{an}是等差数列，则S99＝99a50
D．若{an}是等比数列，且a1>0，q>0，则S2n－1·S2n＋1>S
8．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得钱数的和与丙、丁、戊三人所得钱数的和相等，且甲、乙、丙、丁、戊所得钱数依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)．关于这个问题，下列说法正确的是(　　)
A．甲得钱是戊得钱的2倍
B．乙得钱比丁得钱多钱
C．甲、丙得钱的和是乙得钱的2倍
D．丁、戊得钱的和比甲得钱多钱
9．设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d.已知a3＝12，S12<0，a6>0，则下列说法正确的是(　　)
A．a7<0
B．数列是递减数列
C．Sn>0时，n的最大值为11
D．数列中的最小项为第7项
三、填空题(每小题5分，共15分)
10．若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________.
11．一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27，则公差d＝______.
12．已知在数列{an}中，a1＝2,2n(n＋1)anan＋1＋(n＋1)an＋1－nan＝0(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________．
四、解答题(共37分)
13．(12分)已知Sn为等差数列的前n项和，a7＝1，S4＝－32.
(1)求数列的通项公式；(6分)
(2)求Sn的最小值．(6分)
14．(12分)已知在等差数列{an}中，a3＋a6＝17，a1a8＝－38，且a1(1)求数列{an}的通项公式；(4分)
(2)如果适当调整数列{an}的前三项a1，a2，a3的顺序，能否使其成为等比数列，若能，求出该等比数列的通项公式，若不能，请说明理由．(8分)
15．(13分)已知Sn为数列的前n项和，数列{Sn}是等差数列，且S5＝9，S9＝17.
(1)求{an}的通项公式；(6分)
(2)求数列的前n项和Tn.(7分)
1．C　[由等比数列，可知a＝a4·a6＝24×6＝144，解得a5＝±12.]
2．C　[根据等差数列的性质，
可得9＝a3＋a8＋a13＝3a8，即a8＝3，
所以18＝a2＋a9＋a14＝a9＋2a8，即a9＝12，
所以a8和a9的等比中项为±6.]
3．A　[∵a1＝10，d＝－，
∴Sn＝10n＋×＝－n2＋n，
可得对称轴为n＝，开口向下，
∵n∈N*，∴当n＝3时，Sn取得最大值．]
4．D　[已知等差数列的前n项和为Sn，
∴S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9构成等差数列，
∴2＝S3＋，又＝6，代入得S6＝3S3.
又∵2＝＋，
∴S12＝10S3，从而＝.]
5．D　[由＝，
＝＝＝
＝＝＝.]
6．C　[∵a1＝1，an＝
∴a2＝2a1－1＝1，a3＝2a2＋2＝4，a4＝2a3－1＝7，
a5＝2a4＋2＝16，a6＝2a5－1＝31，
∴解下6个圆环所需移动的次数最少为31.]
7．BC　[对于A选项，若Sn＝n2－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，a1＝0不满足该式，故A错误；
对于B选项，若Sn＝2n－1，则an＝由于a1＝1满足an＝2n－1，所以是等比数列，故B正确；
对于C选项，若是等差数列，则S99＝＝99a50，故C正确；
对于D选项，当n＝1时，S1·S3－S＝a－a2＝－aq<0，
所以当n＝1时，不等式不成立，故D错误．]
8．AC　[依题意，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱数分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，且a－2d＋a－d＝a＋a＋d＋a＋2d，即a＝－6d，又a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5a＝5，
∴a＝1，d＝－，即a－2d＝1－2×＝，a－d＝1－＝，a＋d＝1＋＝，a＋2d＝1＋2×＝，
∴甲得钱，乙得钱，丙得1钱，丁得钱，戊得钱．
对于选项A，甲得钱是戊得钱的2倍，故A正确；
对于选项B，乙得钱比丁得钱多－＝(钱)，故B错误；
对于选项C，甲、丙得钱的和是乙得钱的＝2倍，故C正确；
对于选项D，丁、戊得钱的和比甲得钱多＋－＝(钱)，故D错误．]
9．ACD　[S12＝＝6(a6＋a7)<0，
∴a6＋a7<0，
又∵a6>0，∴a7<0，A正确；
由A的分析可知，等差数列{an}为递减数列，当1≤n≤6时，an>0，
故数列的前6项为递增数列，B错误；
S11＝＝11a6>0，
又S12<0，故C正确；
当1≤n≤11时，Sn>0，
当n≥12时，Sn<0，
∴当1≤n≤6或n≥12时，>0，
当7≤n≤11时，<0，an<0且递减，Sn为正数且递减，
则从第7项至第11项为递增数列，
∴最小，D正确．]
10．50
解析　根据等比数列的性质可得a10a11＝a9a12，
所以a10a11＝e5.
则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20
＝ln(a1a2…a20)
＝ln(a10a11)10＝10ln e5＝50.
11．5
解析　设偶数项和为32k，则奇数项和为27k，
由32k＋27k＝59k＝354，可得k＝6，
故公差d＝＝＝5.
12．an＝
解析　若an＝0时，解得an＋1＝0，不满足a1＝2，所以an≠0，同理an＋1≠0，由2n(n＋1)anan＋1＋(n＋1)an＋1－nan＝0，可得－＝2，当n＝1时，＝，所以数列是以为首项，2为公差的等差数列，＝＋2(n－1)＝2n－，所以an＝.
13．解　(1)∵a7＝1，S4＝－32，
∴解得
∴数列的通项公式为an＝－11＋(n－1)×2＝2n－13.
(2)Sn＝－11n＋×2＝n2－12n＝(n－6)2－36.
∴当n＝6时，Sn取得最小值－36.
14．解　(1)由已知得17＝a3＋a6＝a1＋a8，
又a1a8＝－38，a1∴a1＝－2，a8＝19，
∴数列{an}的公差d＝3，∴an＝3n－5.
(2)由(1)得a1＝－2，a2＝1，a3＝4.
依题意，若调整为1，－2,4或4，－2,1，则能成为等比数列，记为{bn}．
当等比数列{bn}满足b1＝1，b2＝－2，b3＝4时，公比q＝－2，bn＝(－2)n－1，n≤3，且n∈N*；
当等比数列{bn}满足b1＝4，b2＝－2，b3＝1时，公比q＝－，bn＝，n≤3，且n∈N*.
综上所述，等比数列{bn}的通项公式为bn＝(－2)n－1，n≤3且n∈N*或bn＝，n≤3且n∈N*.
15．解　(1)∵数列是等差数列，且S5＝9，S9＝17，
设数列的公差为d，则d＝＝2，
即Sn＝2n－1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2，
当n＝1时，a1＝S1＝1，
∴an＝
(2)当n＝1时，a1·21－S1＝21－2×1＋1＝1；
当n≥2时，an·2n－Sn＝2n＋1－2n＋1，
Tn＝2－1＋23－3＋24－5＋…＋2n＋1－(2n－1)
＝2＋23＋24＋…＋2n＋1－(1＋3＋5＋…＋2n－1)
＝2＋－
＝2n＋2－n2－6，
当n＝1时，T1＝1，也满足上式，
∴Tn＝2n＋2－n2－6.