广东省清远市清新区2024-2025学年高一上学期期末数学模拟试卷（PDF版，含答案）

广东省清远市清新区 2024-2025 学年高一上学期期末数学模拟试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若 1( 2 ) = 1( 3 ) = 1( 5 ) = 1，则( )
2 3 5
A. < < B. < < C. < < D. < <
2.设集合 = {1,3,5,7}， = { |2 < ≤ 5}，则 ∩ =( )
A. {1,3} B. {3,5} C. {5,7} D. {1,7}
3.已知全集 = { | ≤ 10, ∈ }，集合 = { | 3 ≤ ≤ 3}， = { | ≤ 5}，则 ( ∪ )为( )
A. { | 5 < < 3且3 < < 10} B. { | 5 < < 3或 > 3}
C. { | 5 < < 3或3 ≤ ≤ 10} D. { | 5 ≤ ≤ 3且3 < < 10}

4.若 > 0， > 0，则 是( )
tan cos
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
5.已知角 的顶点与坐标原点重合，始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点 (1, 2)，则 2 =( )
4 3 3 4
A. B. C. D.
5 5 5 5
6.已知集合 = { | = 3 1, ∈ }， = { |0 < < 6}，则 ∩ =( )
A. (1,4) B. {1,5} C. {2,4} D. {2,5}
7.已知函数 ( )是定义在[0, +∞)的单调函数，且对于任意的 ∈ [0, +∞)，都有 [ ( ) √ ] = 2，若关于
的方程 ( + 2) = + 恰有两个实数根，则实数 的取值范围为( )
9 5 13 13
A. [2, ) B. [1, ) C. [3, ) D. [ ∞, )
4 4 4 4
8.函数 = 2 ( 2 ≤ < 1)的值域是( )
1 1 1 1
A. ( , 4] B. [ , 2) C. [ , 9] D. [ , 4)
2 2 3 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
3
A. ( ) = √ 3与 ( ) = 是同一函数
B. 已知 ( + 1) = 2 + ，则 (1) + ( 1) = 0
C. 对于任何一个函数，如果因变量 的值不同，则自变量 的值一定不同
1
D. 函数 ( ) = 在其定义域内是单调递减函数

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10.对于函数 ( )，若存在两个常数 ， ，使得 ( + ) ( ) = ，则称函数 ( )是“ 函数”，则下
列函数能被称为“ 函数”的是( )
2 A. ( ) = B. ( ) = √ C. ( ) = 3 1 D. ( ) =


11.若 ， ≠ 0，且 > ，则下列不等式一定成立的是( )
| | | |
1 1
A. > B. < C. | | > D. | | > | |

三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
2 1
12.若两个正实数 ， 满足 + = 1，并且2 + > 恒成立，则实数 的取值范围是 ．


+ , < 0
13.已知函数 ( ) = { 2 在 上单调递增，则实数 的取值范围为______．
, ≥ 0
3
14.函数 ( ) = ， ( ) = + 3，则 ( ) ( ) = ______．
+3
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)

( ) = √ 3cos2 + sin( + ) . ∈ [ , 0]．
2 2
(1)求 ( )的单调区间；
(2)求 ( )的值域．
16.(本小题12分)
对于定义域为 的函数 = ( )，如果存在区间[ , ] ，同时满足：① ( )在[ , ]内是单调函数；②当
定义域是[ , ]时， ( )的值域也是[ , ]，则称[ , ]是该函数的“优美区间”．
1
(Ⅰ)求证：[0,2]是函数 ( ) = 2的一个“优美区间”；
2
( 2+ ) 1
(Ⅱ)已知函数 = ( ) = 2 ( ∈ , ≠ 0)有“优美区间”[ , ]，当 变化时，求出 的最大值．
17.(本小题12分)
1
已知 2 = ， ∈ ( , )．
2 2
(1)求 的值；

(2)求sin( )的值．(结果保留根号)
3
18.(本小题12分)
已知二次函数 ( ) = 2 + + ．
(1)若 ( 1) = 0，试判断函数 ( )零点个数；
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(2)是否存在 ， ， ∈ ，使 ( )同时满足以下条件：
①当 = 1时，函数 ( )有最小值0；
2
( 1)
②对任意 ∈ ，都有0 ( ) ；
2
19.(本小题12分)
已知集合 = { |( 2 ) ( 3) < 0}， = {1,2,3}．
(1)若 = 1，求 ∩ ；
(2)若 ≠ 3，写出 对应的区间，并在 ∩ = {1,2}时，求 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】( ∞, 9)
13.【答案】(1,2]
14.【答案】 3，( ∈ ( ∞, 3) ∪ ( 3, +∞))
1+ 2 1
15.【答案】解：(1)因为 ( ) = √ 3cos2 + sin( + ) = × √ 3 + = (√ 3 2 +
2 2 2
√ 3 √ 3
2 ) + = sin(2 + ) + ，
2 3 2

令 + 2 ≤ 2 + ≤ + 2 ， ∈ ，
2 3 2
5
解得 + ≤ ≤ + ， ∈ ，
12 12

因为 ∈ [ , 0]，
2
5
故函数的一个单调递增区间为[ , 0]，
12
5
同理可求，函数的一个单调递减区间为[ , ]；
2 12
5 √ 3
(2)由(1)可得 ( )的最小值 ( ) = 1，
12 2

因为 (0) = √ 3， ( ) = 0，
2
故函数的最大值为√ 3，
√ 3
所以函数的值域为[ 1, √ 3].
2
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1
16.【答案】解：(1) ∵ = 2在区间[0,2]上单调递增．
2
又∵ (0) = 0， (2) = 2，∴值域为[0,2]，
∴区间[0,2]是 ( ) = 2的一个“优美区间”．
(2)设[ , ]是已知函数定义域的子集．
∵ ≠ 0，[ , ] ( ∞，0)或[ , ] (0，+∞)，
( 2+ ) 1 +1 1
∴函数 = 2 = 2 在[ , ]上单调递增．
( ) =
若[ , ]是已知函数的“优美区间”，则{ ，
( ) =
+1 1
∴ 、 是方程 2 = ，即
2 2 ( 2 + ) + 1 = 0的两个同号且不等的实数根．

1
∵ = > 0，
2
∴ ， 同号，只须 = 2( + 3)( 1) > 0，
即 > 1或 < 3，
∵ = √ ( + )2 4
2 + 4
= √ ( )2
2 2
1 1 4
= √ 3( )2 + ，
3 3
2√ 3
∴当 = 3时， 取最大值 ．
3
1 1
17.【答案】解(1)由 2 = 得2 = ，
2 2

∵ ∈ ( , )，∴ sin > 0，
2
1
∴ = ，
4
√ 15
∴ = √ 1 cos2 = ，
4

∴ = = √ 15；
cos
1 √ 15
(2)由(1)知 = ， = ，
4 4
1 √ 3 √ 15 √ 3 √ 15+√ 3
∴ sin( ) = = + = ．
3 2 2 8 8 8
18.【答案】解：(1)因为 ( 1) = 0，
所以 + = 0，即 = + ，
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令 ( ) = 0，即 2 + + = 0， ≠ 0，
则 = 2 4 = ( )2，
当 = 时，函数 ( )有1个零点；
当 ≠ 时，函数 ( )有2个零点；
(2)因为当 = 1时，函数 ( )有最小值0，

= 1
所以{ 2 ，即 = 2 ， = ；
= 2 4 = 0
2
( 1)
又因为对任意 ∈ ，都有0 ≤ ( ) ≤ ，
2
当 = 1时， (1) = 1，即 + + = 1，
+ + = 1
1 1
由{ = 2 ，解得 = = ， = ，
4 2
=
1 1 1
此时 ( ) = 2 + + ，
4 2 4
1 1 1 1
所以 ( ) = 2 + = ( 1)2
4 2 4 4
2
( 1)
满足对任意 ∈ ，都有0 ≤ ( ) ≤ ，
2
故存在 ， ， ∈ ，使 ( )同时满足以下条件①②．
19.【答案】解：(1) = 1时， = { |2 < < 4}，
∴ ∩ = {3}；
(2) ∵ ≠ 3，
∴ 2 > + 3，即 > 3时， = { | + 3 < < 2 }；2 < + 3，即 < 3时， = { |2 < < + 3}，
∵ ∩ = {1,2}，
+ 3 < 1 3
∴ ① > 3时，{ ，解得1 < ≤ ，显然不满足题意；
2 < 2 ≤ 3 2
2 < 1
② < 3时，{ ，解得 1 < ≤ 0，
2 < + 3 ≤ 3
∴ 的取值范围为( 1,0]．
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