陕西省西安市陕西师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷（含答案）

陕西师范大学附属中学 2024-2025 学年高二上学期 12 月月考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
2 1
1.椭圆 2 +
2 = 1( > 1)的离心率为 ，则 =( )
2
2√ 3
A. B. √ 2 C. √ 3 D. 2
3
2.如果 > 0， > 0，那么直线 = 0不经过的象限是( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.在等差数列{ }中， 1 = 1，公差不为0， 为{ }的前 项和，若 2， 3， 6成等比数列，则 6 =( )
A. 24 B. 3 C. 3 D. 8
4.圆 1：
2 + 2 2 + 6 = 0和圆 ： 2 + 22 6 = 0的公共弦 的垂直平分线的方程是( )
A. 2 3 + 3 = 0 B. 2 3 5 = 0 C. 3 2 9 = 0 D. 3 2 + 7 = 0
5.已知数列{ }是首项不为零的等比数列，且公比大于0，那么“ > 1”是“数列{ }是递增数列”的( )
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
2 2
6.已知 是双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)左支上的一个点， 1， 2是双曲线的焦点， 1 ⊥ 2，且
sin∠ 1 2：sin∠ 2 1 = 2：1，则双曲线的离心率为( )
A. √ 2 B. √ 3 C. √ 5 D. √ 7
7.已知等差数列{ }的前 项和为 ，若 9 < 0， 10 > 0，则当 最小时， 的值为( )
A. 4 B. 5 C. 8 D. 9
8.已知 是曲线 ：3 2 + 4 2 = 12上的动点， 是圆 ：( 1)2 + 21 = 1上的动点， (2, 1)，则| | | |
的最大值为( )
A. √ 5 B. √ 2 + 1 C. 3 D. 5 √ 10
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
2 2
9.若方程 = 1所表示的曲线为 ，则下列命题正确的是( )
3 1
A. 若 为椭圆，则1 < < 3
B. 若 为双曲线，则 > 3或 < 1
C. 曲线 可能是圆
D. 若 为焦点在 轴上的椭圆，则1 < < 2
1
10.已知等比数列{ }的公比 = ，其前 项和记为 2 ，且 6 = 21，则( )
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A. 4 8 = 1 B. ≥ 2 C. ≤ 21 D. ≥ 16
11.数学家笛卡尔研究了很多曲线，传说笛卡尔给公主克里斯蒂娜寄的最后一
封信上只有一个数学表达式： = (1 )，克里斯蒂娜用极坐标知识画
出了该曲线图象“心形线”，明白了笛卡尔的心意.已知利用关系式
=
{ 2 2
= 和 = √ + 可将信中表达式转化为直角坐标系下的曲线方程.
如图，该曲线图象过点(0, 2)，则( )
A. = 1
B. 曲线经过( 1,0)
C. 当( 0 , 0)在曲线上时， 0 = 1
1
D. 当( 0 , 0)在曲线上时， 2 ≤ 0 ≤ 4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.以 ( 1, 5)为圆心，且过原点 的圆的方程是______．
13.已知圆 ： 2 + ( 2)2 = 9的圆心 与抛物线 2 = 2 ( > 0)的焦点重合，两曲线在第一象限的交点为
，则原点到直线 的距离为______．
5 3
14.已知圆 ： 2 + 2 = 5 和定点 ( , )，若过点 有 条弦成等差数列，最短弦长为首项 1，最长弦长为2 2
1 1
末项 ，若公差 ∈ ( , ]，则 的所有可能取值所构成的集合为______． 6 3
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
记 为等比数列{ }的前 项和．已知 2 = 3， 3 = 9．
(1)求{ }的通项公式；
(2)求 ，判断 +1， ， +2是否成等差数列并说明理由．
16.(本小题15分)
1
已知动点 到两定点 (0,0)和 (3,0)的距离之比为 ．
2
(1)求动点 的轨迹 1的方程；
(2)已知圆 ：( 1)2 22 + = 1，判断 1和 2的位置关系，并求它们的公切线方程．
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17.(本小题15分)
设数列{ }的前 项和为 ，且 1 = 1， +1 = 2 + 1．
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)设 = (2 1) 求数列{ }的前 项和 ．
18.(本小题17分)
2 2 √ 3
设椭圆 2 + 2 = 1( > > 0)的离心率为 ，且短轴长为4，过点 (0,1)的直线 与 轴相交于点 ，与椭圆 3
相交于 ， 两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若 = ，求直线 的方程．
19.(本小题17分)
设抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)，过焦点 的直线与抛物线 交于点 ( 1 , 1)， ( 2, 2).当直线 垂直于 轴
时，| | = 2．
(1)求抛物线 的标准方程．
(2)已知点 (1,0)，直线 ， 分别与抛物线 交于点 ， ．
①求证：直线 过定点；
②求△ 与△ 面积之和的最小值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】( + 1)2 + ( + 5)2 = 26
4√ 2
13.【答案】
3
14.【答案】{4,5,6}
15.【答案】(1)解：(1)设数列{ }的首项为 1，公比为 ，
因为 2 = 3， 3 = 9，

所以{ 1
+ 1 = 3 = 2，解得{ ，
1 + 1 +
2
1 = 9 1 = 3
所以 = 1
1 = 3 ( 2) 1．
(

1 1) 3[( 2) 1](2)解：因为 = 2，所以 = = = 1 ( 2)
，
1 2 1
所以 +1， ， +2成等差数列，理由如下：
因为 +1 = 1 ( 2)
+1， = 1 ( 2) +2 +2 ，
所以 +1 + +2 2 = [1 ( 2)
+1]+ [1 ( 2) +2] 2[1 ( 2) ] = 1 + 2 ( 2) +1 22
( 2) 2 + 2 ( 2) = 0，
即 +1 + +2 = 2 ，所以 +1， ， +2成等差数列．
1
16.【答案】解：(1)设 ( , )，动点 到两定点 (0,0)和 (3,0)的距离之比为 ．
2
√ 2+ 2 1
可得 = ，化简可得( + 1)2 + 2 = 4．
√ 2 2 2 ( 3) +( 0)
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动点 的轨迹 1的方程( + 1)
2 + 2 = 4．
(2) ：( + 1)2 + 21 = 4，圆心( 1,0)半径为2，圆 2：( 1)
2 + 2 = 1，的圆心(1,0)，半径为1，
两个圆的圆心距为2，2 1 < 2 < 2 + 1，所以两个圆相交，有两条切线，
|1+ |
= 2
√
{ 1+
2
设切线方程为 = + ，可得 ，解得 = 3， = ±√ 3， |1 |
= 1
√ 1+ 2
所求切线方程为： ± √ 3 3 = 0．
17.【答案】解：(1)数列{ }的前 项和为 ，且 1 = 1， +1 = 2 + 1，①
则当 ≥ 2时， = 2 1 +1，②
① ②得： +1 = 2 ，整理得： +1 = 3 ．
又当 = 1时， 2 = 2 1 + 1 = 2 1 +1 = 3 = 3 1，
所以数列{ }是以1为首项3为公比的等比数列，
所以 1 = 3 ．
(2)由(1)得 = (2 1) = (2 1) 3
1，
所以 0 1 = 1 × 3 + 3 × 3 + + (2 1) × 3 ，①
3 = 1 × 3+ 3 × 3
2 + + (2 3) × 3 1 + (2 1) × 3 ，②
① ②得： 2 = 1 × 30 +2 × 3 + +2 × 3
1 (2 1)× 3
3(1 3 1)
= 2 × (2 1) × 3 + 1 = 2( 1) 3 2，
1 3
所以 = ( 1) 3
+1．
√ 3
=
18.【答案】解：(1)设椭圆半焦距为 ，则依题意有{ 32 = 4 ，
2 = 2 + 2
= √ 6
2 2
解得{ = 2 ，所以椭圆方程为 + = 1．
6 4
= √ 2
(2)若直线 的斜率不存在，则 的方程为 = 0，则 (0,0)， (0,2)， (0, 2)．
则 = (0,2)， = (0,3)， ≠ ，不满足题意；
1
所以直线 的斜率一定存在，设直线 的方程为 = +1，则 ( , 0)，

= +1
联立{ 2 2 2 2 ，消去 得(2 + 3 ) + 6 9 = 0，
+ = 1
6 4
因为点 (0,1)在椭圆内，所以 > 0恒成立，
6 9
设 ( 1, 1)， ( 2 , 2)，则 1 + 2 = 2， 1 2 = 2，
2+3 2+3
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所以
1
= ( 1 + , 1)， = ( 2 ,1 2)，又 = ，
6 1
1 1 + = + = 2 2
=
1 2 2+3

所以{ ，即{ 2 ，
1 = 1
6
2 1 + 2 = ( 1 + 2)+ 2 = 2 + 2 = 1
2+3
√ 6
解得 = ± ．
3
√ 6
所以直线 的方程为 = ± +1．
3

19.【答案】解：(1)由题意，当直线 垂直于 轴时， 1 = ，代入抛物线方程得 1 = ± ， 2
则| | = 2 ，
所以2 = 2，即 = 1，
所以抛物线 ： 2 = 2 ．
(2)①设 ( 3 , 3)， ( 4, 4)，
1
直线 ： = + ，
2
与抛物线 ： 2 = 2 联立，得 2 2 1 = 0，因此 1 + 2 = 2 ， 1 2 = 1．
设直线 ： = + 1，与抛物线 ： 2 = 2 联立，得 2 2 2 = 0，
2 2
因此 1 + 3 = 2 ， 1 3 = 2，则 3 = .同理可得 4 = ． 1 2
2 2 1
所以 = 3 4 =
3 4 = = = 1 2 = ，
3 4
2 2 2 2
3 4 3+ 4 + + 2 1
1 2
2 2 2
因此直线 ： = 2 ( 3) + 3，由对称性知，定点在 轴上，
令 = 0得，
2 2 1 2 4 2
= 2 3 + 3 = 2 +
3
3 = 2 + ( )
2 = +
2 1 2 1
2
1 1
2( 1+ = 2
) 2
+ = 2 + 2( 2
1 +1
2 + ) = 2 +2
1 2
2 2 = 2， 1 1 1 1 1
所以直线 过定点 (2,0)．
1 1
②因为 △ = | | | 1 2| = | 1 2 4 2|，
1 1 2 2 1 1
△ = | | | 3 4| = | | = | | = |
1 2 | = | |，
2 2 1 2 1
1 2
2 1 2
5 5
所以 + 2
5 2 5
△ △ = | 1 2| = √ 4 + 4 = √ + 1 ≥ ， 4 4 2 2
5
当且仅当 = 0时取到最小值 ．
2
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