广东省江门市普通高中2024-2025学年高二上学期调研数学试卷（一）（PDF版，含答案）

广东省江门市普通高中 2024-2025 学年高二上学期调研数学试卷（一）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.过点( 2,0)与 = 平行的直线方程是( )
A. 2 = 0 B. + + 2 = 0 C. + 2 = 0 D. + 2 = 0
2.方程 2 + 2 + 2 1 = 0表示一个圆，则实数 的取值范围是( )
A. ( ∞, 1) B. ( 1,+∞) C. ( ∞, 2) D. ( 2,+∞)
3.若 = ( 1,2, 1)， = (1,3, 2)，则( + ) ( ) =( )
A. 20 B. 20 C. 8 D. 8
4.已知等差数列 1， 3， 5，…的前 项和为 196，则 的值为( )
A. 13 B. 14 C. 15 D. 16
5.两条直线 = 和 = 分别与抛物线 2 = 4 相交于不同于原点的 ， 两点，当直线 经过抛物线的
焦点时，则| |为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6.阿基米德(公元前287年 公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”
得到椭圆的面积除以圆周率 等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆 的对称轴为坐标轴，面积为
4√ 2 ，且两焦点与短轴的一个端点构成直角三角形，则椭圆 的标准方程为( )
2 2 2 2 2 2
A. + = 1 B. + = 1，或 + = 1
8 4 8 4 8 4
2 2 2 2 2 2
C. + = 1 D. + = 1，或 + = 1
4 2 4 2 4 2
2 2 √ 2
7.设双曲线 2 2 = 1( > > 0)的离心率为 ，双曲线渐近线的斜率的绝对值小于 ，则 的取值范围是 2
( )
√ 6 √ 6 √ 6 √ 6
A. ( , +∞) B. (1, ) C. ( , √ 3) D. (0, )
2 2 2 2
8.已知 为正方形 的中心， ， 分别为 ， 的中点，若将正方形 沿对角线 翻折，使得二
面角 的大小为60°，则此时cos∠ 的值为( )
1 1 1 3
A. B. C. D.
4 3 2 4
二、多选题：本题共 4 小题，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在平面直角坐标系中，已知点 (2,0)， (0,4)， (2,4)， (0,0)，则( )
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A. 直线 的倾斜角不存在 B. 直线 与直线 的倾斜角相等
4√ 5
C. 直线 与直线 的斜率之和为0 D. 点 到直线 的距离为
5
10.如图，在四面体 中， ， ， ， 分别是 ， ， ， 的中点，
是 和 的交点， 为空间中任意一点，则( )
A. ， ， ， 四点共面
B. = 0
C. 为直线 的方向向量
1
D. = ( + + + )
2
11.已知等差数列{ }的前 项和为 ，公差为 ， 5 = 1 8， 10 = 10，则( )
A. 1 = 10 B. { }为递减数列
C. 若 < 0，则 ≥ 15，且 ∈ D. 当 = 5或 = 6时， 取得最大值
12.已知抛物线 ： 2 = 4 的焦点为 ，直线 ： = 1，过 的直线交抛物线 于 ( 1, 1)， ( 2, 2)两点，
交直线 于点 ， = 1 ， = 2 ，则( )
A. △ 的面积的最大值为2 B. 1 2 = 4
C. 1 2 = 1 D. 1 + 2 = 0
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.直线√ 3 = 0被圆( 2)2 + 2 = 4截得的弦长为______．
2
2
14.写出一个与双曲线 = 1有相同渐近线，且焦点在 轴上的双曲线方程为______．
2
15.对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的
“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题.现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比

第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第 层货物的个数为 ，则数列{ }的前 项和 = ( +4)
______．
16.如图，已知正三棱柱 1 1 1的所有棱长均为1，动点 在线段 1上，则△
1面积的最小值为______．
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四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知等差数列{ }和等比数列{ }满足 1 = 2， 1 = 1， 2 + 2 = 3， 3 + 3 = 4，设数列{ }的公比为 ．
(1)求数列{ }，{ }的通项公式；
(2)若 =
， 为数列{ }的前 项和，求 ．
18.(本小题12分)
如图，已知三棱柱 1 1 1的侧棱垂直于底面，∠ = 90°．
(1)求证： ⊥ 1；
1
(2)若 = =
2 1
，求异面直线 1与 1所成角的余弦值．
19.(本小题12分)
√ 3
已知动点 与定点 (√ 3, 0)的距离和它到定直线 = 的距离的比是常数√ 3，记动点 的轨迹为曲线 ．
3
(1)求曲线 的方程；
(2)若直线 ： = 1与曲线 有且只有一个公共点，求 的值．
20.(本小题12分)
2
如图，在四棱锥 中，平面 ⊥平面 ，底面 是菱形，△ 是正三角形，∠ = ，
3
是 的中点．
(1)证明： ⊥ ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值．
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21.(本小题12分)
已知等比数列{ }的前 项和为 ，且

+1 = 2 + 2( ∈ ).
(1)求数列{ }的通项公式：
4
(2)在 与 +1之间插入 个数，使这 + 2个数组成一个公差为 的等差数列，若数列{ }满足 = ，求
数列{ }的前 项和 ．
22.(本小题12分)
2 2
已知椭圆 ： + = 1的左、右焦点分别为 1， 2，左、右顶点分别为 ， ，过右焦点 2的直线与椭圆 相4 3
交于 ， (异于 ， )两点．
(1)若直线 的斜率为1，求| |；
(2)若直线 与直线 = 4相交于点 (4, )，求证： ， ， 三点共线．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】2
2
14.【答案】 2 = 1(答案不唯一)
2

15.【答案】
2 +8
√ 10
16.【答案】
10
17.【答案】解：(1) ∵等差数列{ }和等比数列{ }满足 1 = 2， 1 = 1， 2 + 2 = 3， 3 + 3 = 4，
2 + + = 3
∴ { ，解得 = 1， = 2，
2 + 2 + 2 = 4
∴ = 2 + ( 1) × ( 1) = 3 ， = 2
1
；
1
(2)由(1)可知 =
= 23 = 4 × ( ) 1，
2
1
4(1 )
∴ = 2

1 = 8 2
3 ．
1
2
18.【答案】(1)证明：由题意知 1 ⊥平面 ，又因为 平面 ，所以 1 ⊥ ，
∵ ∠ = 90°，∴ ⊥ ，且 和 1为平面 1 1 内两相交直线，
所以 ⊥平面 1 1 ，又因为 1 平面 1 1 ，所以 ⊥ 1；
(2)解：由题意知 1 ⊥面 ， ⊥ ，
以 为坐标原点， ， ， 1所在的直线分别为 轴、 轴、 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系．
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令 = = 1， 1 = 2，则 (0,0,0)， (0,1,0)，
1( 1,0,2)， 1(0,1,2)， ( 1,0,0)，
故 1 = (1,1,2)， 1 = ( 1,0,2)，
设异面直线 1与 1所成角为 ，
1 1+4 √ 30 = | 1 | = | | = ，
| 1|| 1| √ 5×√ 6 10
故异面直线 1与 1所成夹角的余弦值为
√ 30．
10
√ 2 ( √ 3) + 2
19.【答案】解：(1)设动点 ( , )，由题意有 = √ 3，
√ 3
| |
3
√ √ 3即 ( √ 3)2 + 2 = √ 3| ，
3
√ 3 2
同时平方，有( √ 3)2 + 2 = 3( )2，整理得： 2 = 1，
3 2
2
所以曲线 的方程为 2 = 1．
2
= 1
(2)联立方程{ 2 ，
2 = 1
2
消去 得(2 2) 2 + 2 3 = 0( )，
①当2 2 = 0，即 = ±√ 2时，方程( )有1个根，符合题意．
②当2 2 ≠ 0，即 ≠ √ 2且 ≠ √ 2时，
因为直线 与曲线 有1个公共点，
故 = (2 )2 4(2 2) ( 3) = 0，解得： = ±√ 3，
综上所述，当 = ±√ 2或 = ±√ 3时，直线 与曲线 有且只有一个公共点．
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20.【答案】(1)证明：取 的中点 ，连接 ， ， ，
因为△ 是正三角形，所以 ⊥ ，
又平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ，
又因为底面 是菱形，所以 ⊥ ，
因为 是 的中点，所以 // ，
从而 ⊥ ，
因为 ∩ = ，所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ；
2
(2)解：连接 ，因为∠ = ，所以△ 是正三角形，所以 ⊥ ，
3
以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系．
令 = 2，则 = √ 3， // ， = 2，
所以 (1,0,0)， (0, √ 3, 0)， ( 2,√ 3, 0)， (0,0,√ 3)， ( 1,0,0)，
因为 是 的中点，所以 1 √ 3 ( , , 0)，
2 2
所以 5 √ 3 = ( , , 0)， = (2, √ 3,√ 3)，
2 2
设平面 的法向量为 = ( 0, 0, 0)，
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5 √ 3

则{ = 0，即{2 0
0 = 02 ，
= 0 2 0 √ 3 0 + √ 3 0 = 0
令 0 = √ 3，得 = (√ 3, 5,3)，
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
由 = (1,0,√ 3)， = ( 1,√ 3, 0)，
= + √ 3 = 0
可得{ ，令 = 1，可得 = √ 3， = 1，
= + √ 3 = 0
则 = (√ 3, 1, 1)，
5 √ 185
所以cos , = = = ，
| || | √ 37×√ 5 37
所以平面 与平面 夹角的余弦值为√ 185．
37
21.【答案】解：(1) ∵等比数列{ }的前 项和为 ，且 +1 = 2 + 2①，
∴ = 2 1 + 2②，① ②可得 +1 = 2 ，
∴ +1 = 3 ，∴ = 3
又 2 = 2 1 + 2，∴ 3 1 = 2 1 + 2，∴ 1 = 2，
∴ = 2 × 3
1；
2×3 2×3 1 4×3 1
(2)根据题意可得 = +1 = = ， +1 +1 +1
4 +1
∴ = = 3 1
，

2 3 +1 2 3 +1
∴ = 0 + 1 + +

3 3 3 1
，∴ = 1 + 2 + +3 3 3 3 1
+
3
，
1
2 1 1 +1 1 3 +1 5 2 +5两式相减可得 = 2 + + + 1 = 1 + = ， 3 3 3 3
1
1 3 2 2×3
3
15 2 +5
∴ = 1． 4 4×3
22.【答案】解：(1)易知 2(1,0)，
可得直线 的方程为 = 1，
= 1
联立{ 2 2 ，消去 并整理得7 2 8 8 = 0，
+ = 1
4 3
不妨设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
8 8
由韦达定理得 1 + 2 = ， 1 2 = ， 7 7
所以| | = √ 1 + 2√ ( + )2
8 8 24
1 2 4 1 2 = √ 2 √ ( )2 4 × ( ) = ； 7 7 7
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(2)证明：易知直线 与 轴不重合，
不妨设直线 方程为 = + 1， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= + 1
联立{ 2 2 2 2 ，消去 并整理得(3 + 4) + 6 9 = 0，
+ = 1
4 3
6 9
由韦达定理得 1 + 2 = 2 ， = 3 +4 1 2 3 2 ， +4

易知直线 的方程为 = 1 ( + 2)，
1+2
令 = 4，
6
解得 = 1 ，
1+2
3
所以 =
2 = 1 1
4 2 2 2 1+2 2 1
9 6
2 1 2 3( 1+ 2)
2 ( ) 3×(
3 2+4 3 2
)
= = +4 = 0，
( 1+3)( 2 1) ( 1+3)( 2 1)
即 = ，
因为直线 与直线 有公共点 ，
所以 ， ， 三点共线．
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