河南省郑州市第七中学2024-2025学年高二上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

河南省郑州市第七中学 2024-2025 学年高二上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线 经过点 ( 1,0)， (0,7)，则直线 的方程为( )
A. 7 + + 7 = 0 B. 7 + 7 = 0 C. 7 7 = 0 D. 7 + 7 = 0
2 2
2.若椭圆 2 + = 1( > √ 3)的长半轴长等于其焦距，则 =( ) 3
A. 2 B. 2√ 2 C. 2√ 3 D. 4
3.已知直线 1：2 + 3 1 = 0与直线 2：3 + ( + 1) + 2 = 0垂直，则实数 =( )
A. 3 B. 3 C. 2 D. 1
4.抛物线 = 2025 2的准线方程为( )
2025 2025 1 1
A. = B. = C. = D. =
2 4 4050 8100
5.已知圆 2 + 2 + 4 2 + 3 2 + 1 = 0的圆心在第二象限，则实数 的取值范围为( )
3 3 3
A. ( 1, ) B. ( 1,0] C. (0, ) D. ( , 1)
2 2 2
6.在四面体 中， 为棱 的中点，点 为线段 上一点，且 = 4 ，设 = ， = ， = ，
则 =( )
1 2 1 2 1 2 2 1
A. B. + C. + D. +
5 5 5 5 5 5 5 5
7.已知点 为圆 ：( 2)2 + 2 = 2( > 0)上一动点，若直线 √ 3 + 6 = 0上存在两点 ， ，满足| | =
4，且∠ = 90°，则 的最小值为( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
8.已知正方体 1 1 1 1的棱长为1， 为棱 1 1的中点， 为侧面 1 1的中心，点 ， 分别为
直线 ， 上的动点，且 ⊥ ，当| |取得最小值时，点 到平面 的距离为( )
√ 6 √ 5 √ 3
A. B. C. 1 D.
2 2 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量 ， 满足 + = ( 1,1,3)， 2 = ( 4, 2, 3)， = (2,2,4)，则下列结论正确的是( )
A. = (2,0, 1) B. | | = 2√ 6
5
C. // D. cos , =
11
10.已知直线 的方程为( + ) + (2 ) + 3 = 0( , ∈ )，圆 的方程为( 1)2 + 2 = 12，则下
列结论正确的是( )
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A. 直线 恒过定点( 2,1) B. 圆 的半径为12
C. 直线 与圆 恒有两个交点 D. 圆心 到直线 距离的最大值为√ 10
11.已知点 为抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点，点 为抛物线 上位于第一象限内的点，直线 为抛物线 的
准线，点 在直线 上，若| | = 2 + √ 2，| | = √ 2，∠ = 90°，且直线 与抛物线 交于另一点 ，
则下列结论正确的是( )
A. 直线 的倾斜角为60° B. 抛物线 的方程为 2 = 2
| |
C. = 3 2√ 2 D. 点 在以线段 为直径的圆上
| |
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知平面 的法向量为 = (2,3, )，平面 的法向量为 = ( , 1,5)，若 // ， ， ∈ ，则 = ______．
2 2 2 2
13.已知双曲线 1： 2 2 = 1( 1 > 0, 1 > 0)的一条渐近线与双曲线 2
： = 1( > 0, > 0)的一条
1 1
2 2 2 2
2 2
渐近线关于直线 = 对称，且这两条渐近线的夹角为30°，则双曲线 1与 2的离心率之积为______．
14.过圆 ： 2 + ( 2)2 = 1上的一个动点 作圆 ： 2 + 2 + 6 + 4 + 9 = 0的两条切线，切点分别为 ，
，则| |的取值范围为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知圆 ：( )2 + ( )2 = 2( > 0)经过点 ( 3,3)， ( 1,1)，且圆 与直线 1： + + 2√ 2 + 2 = 0，
2： + 2√ 2 + 2 = 0均相切．
(1)若经过圆心 的直线 与 1， 2平行，求直线 的方程；
(2)求圆 的标准方程．
16.(本小题15分)
如图，四棱锥 的底面 是边长为2的菱形，∠ = 60°， ⊥平面
， = 3，且 = 2 ， = ， = 3 ，
(1)求直线 与直线 所成角的余弦值；
(2)证明： ， ， ， 四点共面．
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17.(本小题15分)
2 2
已知点 (2,3)在双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)上，且 的实轴长为2， 1， 2分别为 的左、右焦点．
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)过点 的直线 与 交于另一点 ，且点 位于 轴下方，若 △ = ，求点 的坐标． 1 2 △ 1
18.(本小题17分)
如图，在平行六面体 中，底面 是矩形，|
√ 5 √ 5
1 1 1 1 1 | = | |，cos , 2 1 = ，点 ，5
分别为 ， 1的中点，且 ( 1 + 1 ) = 0．
(1)证明：平面 1 ⊥平面 ；
4√ 5
(2)若 = 2，直线 1与平面 1 1所成角的正弦值为 ，求 的长度． 15
19.(本小题17分)
已知点 ( 1, 1)， ( 2, 2)，定义 ， 的“倒影距离”为[ , ] = | 1 2| + | 2 1|，我们把到两定点
1( 2,0)， 2(2,0)的“倒影距离”之和为6的点 的轨迹 叫做“倒影椭圆”．
(1)求“倒影椭圆” 的方程；
(2)求“倒影椭圆” 的面积；
(3)设 为坐标原点，若“倒影椭圆” 的外接椭圆为 ， 为外接椭圆 的下顶点，过点(0,2)的直线与椭圆
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交于 ， 两点(均异于点 )，且△ 的外接圆的圆心为 (异于点 )，证明：直线 与 的斜率之积为
定值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】10
4√ 3
13.【答案】
3
8√ 2
14.【答案】[2√ 3, ]
3
15.【答案】解：(1)圆 ：( )2 + ( )2 = 2( > 0)经过点 ( 3,3)， ( 1,1)，且圆 与直线 1： +
+ 2√ 2 + 2 = 0， 2： + 2√ 2 + 2 = 0均相切．
直线 到直线 1， 2的距离都等于圆的半径，
设直线 的方程为 + + = 0，
|2√ 2+2 | | 2√ 2+2 |
则 = ，解得 = 2，
√ 2 √ 2
所以直线 的方程为 + + 2 = 0；
( 3 )2 + (3 )2 = 2
(2)由题意可得{( 1 )2 + (1 )2 = 2，
+ + 2 = 0
= 3
解得{ = 1 ，
2 = 4
所以圆 的标准方程为( + 3)2 + ( 1)2 = 4．
16.【答案】解：(1)连接 ，∵四边形 为菱形，
又∠ = 60°，∴△ 为等边三角形，
取 的中点 ，连接 ，则 ⊥ ，∴ ⊥ ．
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∵ ⊥平面 ， 平面 ， 平面 ，∴ ⊥ ， ⊥ ，
以 为原点，以 ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标系 ．
则 (0,0,0), (0,0,3), (√ 3, 1,0)， (0,2,0), = (0,0,3)，由 = 3 ，
2
可知 (0, , 2)，∴
1
= ( √ 3, , 2)，
3 3

6 6 3
∴ cos , = = = =
| || | 8√ 1 3× 4
；
32×√ 3+ +4 3
9
(2)证明：∵ = 2 , = ，∴ ， 分别为 ， 中点，
3 3
则 √ 3 1 (0,0, )， ( , , 0)，连接 ， ，则 ，
√ 3 3
= ( √ 3, 1, ) = ( , , 0)，
2 2 2 2 2 2
1
设 = + ，由(1)知 = ( √ 3, , 2)，
3
则 3 √ 3 3 1 √ 3 3 1( √ 3, 1, ) = ( , , 0) + ( √ 3, , 2) = ( √ 3 , , 2 )，
2 2 2 3 2 2 3
√ 3
√ 3 = √ 3,
2
则 3 1 = 1,
2 3
3
{2 = ,2
1 3
解得 = , = ，
2 4
∴
1
=
3
+ ，
2 4
故 ， ， ， 四点共面．
17.【答案】解：(1)因为点 (2,3)在双曲线 上，且双曲线的实轴长为2，
2 = 2
所以{ 4 9 = 1，
2 2
解得 = 1, = √ 3，
2
则双曲线 的标准方程为 2

= 1；
3
(2)因为 △ 1 = 2 △ 1，
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所以点 ， 2 到直线 1的距离相等，
因为点 位于 轴下方，
所以 2// 1，
由(1)知， 1( 2,0)， 2(2,0)，
3 0 3
所以 = = =2 1 ， 2 ( 2) 4
3
则直线 2的方程为 = ( 2)， 4
3
= ( 2)
4
联立{ 2
2
，消去 并整理得13 + 12 28 = 0，
2 = 1
3
14
解得 = 或 = 2，
13
14
当 = 时，
13
9
解得 = ，
13
14 9
即 ( , )；
13 13
当 = 2时，
解得 = 3，
即 ( 2, 3)．
14 9
综上，点 的坐标为( , )或( 2, 3)．
13 13
18.【答案】(1)证明：设 = 2 ，则 1 = √ 5 ，
因为 1 = 1，
2 2
所以| 1 |
2 = ( 21) = 2 + 1 1 = 4
2 2 2
√ 5
√ 5 + 5 2 = 5 2，
5
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所以| 1 | = √ 5 ，即 1 = 1 ，
因为 为 的中点，
所以 ⊥ 1 ，且 1 + 1 = 2 1 ，
所以 ( 1 + 1 ) = 2 1 = 0，即 ⊥ 1 ，
又 ∩ = ， ， 平面 ，
所以 1 ⊥平面 ，
因为 1 平面 1 ，
所以平面 1 ⊥平面 ．
(2)解：由 = 2，可得 = 1, 1 = √ 5，则 1 = √ 5 1 = 2，
以点 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
设 = ( > 0)，
则 (0,0,0)， 1(0,0,2)， ( 1,0,0)， (1,0,0)， (1, , 0)，
所以 1 = (1,0,2), = 1 1 = (2, , 0), 1 = (1,0, 2)，
1 1 = 2 + = 0设平面 1 1的法向量为 = ( , , )，则{ ，
1 = 2 = 0
令 = ，则 = 2 ， = 4，所以 = (2 , 4, )，
设直线 1与平面 1 1所成角为 ，
|
1| 4 4√ 5
则 = |cos < ， 1 > | = = =| | | | 15 ， 1 √ 2 2 4 +16+ ×√ 5
解得 = ±2(舍负)，
所以 的长度为2．
19.【答案】解：(1)设 ( , )，∵定点 1( 2,0)， 2(2,0)，
由“倒影距离”的定义可知，[ , 1] = | 0| + | 2 | = | | + | + 2|，
[ , 2] = | 0| + |2 | = | | + | 2|，
由题意[ , 1] + [ , 2] = 6，即2| | + | + 2| + | 2| = 6，
∴“倒影椭圆” 的方程为2| | + | + 2| + | 2| = 6；
(2)由2| | + | + 2| + | 2| = 6，
得2| | = 6 | + 2| | 2|，
+ 3, 3 ≤ ≤ 2
当 ≥ 0时， = {1, 2 < < 2 ，
+ 3,2 ≤ ≤ 3
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3, 3 ≤ ≤ 2
当 < 0时，由对称性知， = { 1, 2 < < 2 ，
3,2 ≤ ≤ 3
其图象如图所示，
1
故“倒影椭圆” 的面积 = 2 × × (4 + 6) × 1 = 10；
2
(3)证明：由上图知，“倒影椭圆” 的外接椭圆 的长半轴长为3，且经过点(1,2)，
2
可得椭圆 的方程为 5
2
+ = 1，
9 9
由(2)知， (0, 3)，
由题意可知，直线 的斜率存在，
设直线 的方程为 = + 2， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
2 5 2
{ + = 1联立 9 9 ，消 得( 2 + 5) 2 + 4 5 = 0，
= + 2
则 = 16 2 + 20( 2 + 5) > 0恒成立，
4 5
则 1 + 2 = 2 , 1 2 = 2 ，
+5 +5
1 3 1线段 得中点为( , 1 )，即( 1 , 1 )，
2 2 2 2
+3 +5
又 = 1 = 1 ， 1 1
1
则线段 的中垂线的方程为 1 = 1 ( 1)，
2 1+5 2
即( 2 + 1) 21 + (4 2 2 ) 1 5 10 = 0，
同理线段 的中垂线的方程为( 2 + 1) 22 + (4 2 2 ) 2 5 10 = 0，
设△ 的外接圆的圆心 的坐标为( 0, 0)，
则 1， 2是方程(
2 + 1) 2 + (4 2 0 2 0) 5 10 0 = 0的两根，
4 2 0 2 5 10 ∴ 1 + 2 =
0 0
2 , 1 2 = 2 ，
+1 +1
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4 5
又 1 + 2 = 2 , 1 2 = 2 ，
+5 +5
2
∴ 0 0 = 2 ，即2
1+2 0 0
= 2 + 4 0，
0
即 0 = 5 0，
0 1 1则 = ，即 = ， 0 5 5
1
∴直线 与 的斜率之积为定值 ．
5
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