★启用前注意保密
试卷类型：B
2025届广州市高三年级调研测试
数学
本试卷共4页，19小思，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：】，答卷前，考生务必用照色字迹的钢笔或签字笔将自已的姓名、考生号、试室
号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡的相
应位盘上，并在答题卡相应位旦上填涂考生号。
2、作答选择题时，选出每小题答案后，用28铅笔把答题卡上对应题目选项的
答案信息点涂福：如高改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他苦案，答案不能
答在试卷上。
3。非选择题必须用黑色字迹的钢笔成签字笔作答，答案必须写在答思卡各题目
指定区域内的相应位巴上；如需改动。先划掉原来的答案，然后再写上新答
案：不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、进择题：本题共8小思，每小题5分，共0分。在年小园给出的四个选项中，只有一
项是符合愿目婴求的。
5
L已知z=2之，则以
A3
B.3
c.5
D.5
2已知聚合4-件兰}B-ls攻，则4n=
A[-2,]
B.[-2,1)
c[l2]
D.(12]
3.已知向量a=(0,5),b=(2,4),则向登a在向盘b上的投影向登的坐标为
A（-24
B.(4,-8)
c.(-1,2)
D.(24)
4.己知sia(a+)-3m,1anB=2tana,则sin(a-)=
A一m
B.
c.0
D.2m
5,已知盒子中有6个大小相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地
随机取球两次，每次取一球，记第一次取出的球的数字是x,第二次取出的球的数字是y,
若事件A=“x+y为偶数”，$件B=“x,y中有偶数且x+y”则P(AB)=
D.
数学试卷B第1页（共4页）
6,已知点会0在函数/八)=cos(@x+(@>0,<<0)的图泉上，
若月面威立，内在区间（后引上端则号-
c-
2π
D.-
3
7.已知三控锥P-ABC中，△PAB是边长为2的等边三角形，PC=2,AC=√6，
BC=√2，则三梭锥P一ABC的外接球表面积为
32
8
A6π
B.10x
c
D.
8.已知函数树的定义娥为R,且fK+月+化-功=/树心)，f0=-2,
则∑∫)=
A-4
B.4
c.0
D.-2
二、选择题：本题共3小，年小愿6分，共18分，在年小给出的进项中，有多项符合
题目求。全部选对的得6分，部分进对的得部分分，有进错的得0分，
9.一组数据，，为，，是公差为(d≠0)的箜数列。去掉首末两项后得到一组新
数据，则
人两组数据的极芝相同
B两组数据的中位数相同
C.两组数据的平均数相同
D.两组数据的上四分位数相可
10.已知抛物线C:y2=4x的准线1与圈M:x2+(y-4)'=r2(口>0)相切，P为C上的
动点，N为圆M上的动点，过P作？的垂钱，垂足为卫，C的焦点为F,则下列结论
正确的是
A.r=1
B.当△PF2为正三角形时，直线P2与圆M相高
CPM+lP的最小值为v厅-lD.有且仅有-个点P,使符PM=Pg
11.设直线y=t与函数f(x)=x(x-3)图象的三个交点分别为A(a,f),B(b,),C(c,),
且aA(x)图象的对称中心为(2,2)
B.abc的取值范图为(0,12)
C.ac的收攸范配为(Q,4)
D.c-a的取值范围为3,2W5
数并试卷B第2页（共4页）2025届广州市高三年级调研测试
数学
注意事项:
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题
卡上。用 2B铅笔将试卷类型和考生号填写在答题卡相应位置上。
2.选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用
橡皮擦干净后，再填涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置
上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答
的答案无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1. z= 5已知 - ,则 |z| = ( )2 i
A. 3 B. 3 C. 5 D. 5
2. A= x| x+3已知集合 - ≥0 ,B= x|x
2≤4 ,则A∩B= ( )
x 1
A. -2,1 B. -2,1 C. 1,2 D. 1,2
3.已知向量 a= 0,5 ,b= 2,-4 ,则向量 a在向量 b上的投影向量的坐标为 ( )
A. -2,4 B. 4,-8 C. -1,2 D. 2,-4
4.已知 sin α+β = 3m,tanβ= 2tanα,则 sin α-β = ( )
A. -m B. m C. 0 D. 2m
5.已知盒子中有 6个大小相同的球，分别标有数字 1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取球两次，每
次取一球，记第一次取出的球的数字是 x，第二次取出的球的数学是 y.若事件A= “x+ y为偶
数”，事件B =“x，y中有偶数且 x≠ y”，则P A|B = ( )
A. 2 B. 1 C. 1 D. 2
5 2 4 3
6.已知点A π ,0 在函数 f(x) = cos(ωx+ φ) (ω> 0, -π< φ< 0)的图象上,若 f x ≤ f π24 6 恒成
φ
立, π π且 f x 在区间 , 上单调,则 = ( )6 3 ω
A. - π B. - π C. - π D. - 2π
3 6 2 3
7.已知三棱锥P-ABC中,ΔPAB是边长为 2的等边三角形,PC= 2,AC= 6 ,BC= 2 ,则三棱锥
P-ABC的外接球表面积为 ( )
A. 6π B. 10π C. 32 π D. 28 π
5 5
【数学试卷 第1页（共4页）】
2024
8.已知函数 f x 的定义域为R,且 f x+y + f 1 x-y = f x f y ,f 1 =-2,则 f k = ( )2 k=1
A. - 4 B. 4 C. 0 D. - 2
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部
选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9.一组数据 x1,x2, ,x10是公差为 d d≠0 的等差数列,去掉首末两项后得到一组新数据，则 ( )
A. 两组数据的极差相同 B. 两组数据的中位数相同
C. 两组数据的平均数相同 D. 两组数据的上四分位数相同
10.已知抛物线C:y2= 4x的准线 l与圆M :x2+ (y- 4)2= r2(r> 0)相切,P为C上的动点,N为圆M上
的动点,过P作 l的垂线,垂足为Q,C的焦点为F,则下列结论正确的是 ( )
A. r= 1
B. 当ΔPFQ为正三角形时,直线PQ与圆M相相
C. |PN | +|PQ|的最小值为 17- 1
D. 有且仅有一个点P,使得 |PM | = |PQ|
11.设直线 y= t与函数 f x = x x-3 2 图象的三个交点分别为A a,t ,B b,t ,C c,t ,且 a< b< c,
则 ( )
A. f x 图象的对称中心为 2,2 B. abc的取值范围为 0,12
C. ac的取值范围为 0,4 D. c- a的取值范围为 3,2 3
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12.已知正项等比数列 an 的前n项和为Sn,且 a1= 3,S3= 39,则 an= .
2 y2
13.已知双曲线C: x - = 1(a> 0,b> 0)的右焦点为F,O为坐标原点,若在C的的左支上存在关
a2 b2
于 x轴对称的两点P,Q,使得ΔPFQ为正三角形,且OQ⊥FP,则C的离心率为 .
14.随机将 1，2, ,2n n∈N *,n≥2 这 2n个连续正整数分成A,B两组,每组n个数.A组最大数为 a,
B组最大数为 b,记 ξ= |a- b|.当n= 3时,ξ的数学期望E ξ = ;若对任意n≥ 2,E(ξ)< c
恒成立,则 c的最小值为 .
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 13分
ΔABC的内角A,B,C的的边分别为 a,b,c, sin C+ π且 = b+c ,6 2a
(1)求A；
(2)若ΔABC的外接圆半径为 2 3 ,且 sinB= 2sinC ,求ΔABC的面积.
【数学试卷 第2页（共4页）】
16. (15分)
如图 1,在棱长为 2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,Q1,Q2分别为正方形ABCD,A1B1C1D1的中心,
现保持平面ABCD不动,在上底面A1C1内将正方形A1B1C1D1绕点Q2逆时针方向旋转 45°,得到如
图 2所示的一个十面体ABCD-EFGH .
G
D1 C1
Q2 Q2 F
A1 B1 H
E
O
D C D C
Q1 Q
A 1B A B
(1)证明:EF 平面ABCD;
(2)设Q1Q2的中点为O,求点O到平面DBE的距离;
(3)求平面DBE与平面DBG所成角的余弦值.
2 y2
17. (15分)已知椭圆C: x + = 1(a> b> 0)的左、右焦点分别为F 31,F2,离心率为 ,长轴长与短
a2 b2 2
轴长之和为 6.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知M -1,0 ,N 1,0 ,点P为椭圆C上一点,设直线PM与椭圆C的另一个交点为点B,直线
PN与椭圆C的另一个交点为点D.设PM = λ1MB,PN = λ2ND.求证:当点P在椭圆C上运动时,λ1
+ λ2为定值.
【数学试卷 第3页（共4页）】
18. (17分)
已知函数 f(x) = ex- (a+ 1)x- b- 1(a>-1).
(1)若直线 y=-ax+ b+ 1为曲线 y= f x 的一条切线,求实数 b的值:
(2)若对任意的 x∈R,函数 f x ≥ 0恒成立,且 f -1 ≤ e-1+ a,求实数 a的值;
n-1 n-1
(3)证明:当n∈N+且n≥ 2时, n > e 2 .
(n-1)!
19. 17分 在正整数 1,2, ,n n≥2 的任意一个排列A:a1,a2, ,an中,对于任意 i,j∈N *,i< j,若 ai
< a j,则称 ai,a j 为一个顺序对,若 ai> a j,则称 ai,a j 为一个逆序对.记排列A中顺序对的个数为
S A ,逆序对的个数为N A .例如对于排列A:2,1,3,S A = 2,N A = 1.
(1)设排列B:2,4,1,3和C:5,3,1,4,2,试写出S B ,N B ,S C ,N C 的值：
(2)对于正整数 1,2, ,n n≥2 的所有排列A,求满足S A = 2的排列个数;
(3)如果把排列A:a1,a2, ,an中两项 ai,a j(i< j)交换位置,而其余项的位置保持不变,那么就得到
了一个新的排列A′,求证: S A -S A′ N A -N A' 为奇数.
【数学试卷 第4页（共4页）】{#{QQABJQiAggAIAABAARhCQwVACACQkgCCAYgGhFAEsAIBSQFABAA=}#}
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{#{QQABJQiAggAIAABAARhCQwVACACQkgCCAYgGhFAEsAIBSQFABAA=}#}2025 届广州市高三年级调研测试 数学
本试卷共 4 页, 19 小题, 满分 150 分. 考试用时 120 分钟.
注意事项: 1. 答卷前, 考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上. 用 铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡的相应位置上,并在答题卡相应位置上填涂考生号。
2. 作答选择题时,选出每小题答案后,用 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑; 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案, 答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答, 答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案: 不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.
1. 已知 ,则
A B. 3 C. D. 5
2. 已知集合 ,则
A. B. C. D.
3. 已知向量 ,则向量 在向量 上的投影向量的坐标为
A(-2,4) B.(4, - 8) C.(-1,2) D.(2, - 4)
4. 已知 ,则
A. B. M C. 0 D.
5. 已知盒子中有 6 个大小相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取球两次,每次取一球,记第一次取出的球的数字是 ,第二次取出的球的数字是 . 若事件 为偶数”,事件 中有偶数且 ,则
A. B. C. D.
6. 已知点 在函数 的图象上,
若 恒成立,且 在区间 上单调,则
A. B. C. D.
7. 已知三棱锥 中, 是边长为 2 的等边三角形, , ,则三棱锥 的外接球表面积为
A. B. C. D.
8. 已知函数 的定义域为 ,且 , 则
A -4 B. 4 C. 0 D. -2
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合 题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 一组数据 是公差为 的等差数列,去掉首末两项后得到一组新数据, 则
A. 两组数据的极差相同 B. 两组数据的中位数相同
C. 两组数据的平均数相同 D. 两组数据的上四分位数相同
10. 已知抛物线 的准线 与圆 相切, 为 上的动点, 为圆 上的动点,过 作 的垂线,垂足为 的焦点为 ,则下列结论正确的是
A. B. 当 为正三角形时,直线 与圆 相离
C. 的最小值为 D. 有且仅有一个点 ,使得
11. 设直线 与函数 图象的三个交点分别为 , 且 ,则
A. 图象的对称中心为(2,2) B. 的取值范围为(0,12)
C. 的取值范围为(0,4) D. 的取值范围为
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知正项等比数列 的前 项和为 ,且 ,则 _____.
13. 已知双曲线 的右焦点为 , 为坐标原点,若在 的左支上存在关于 轴对称的两点 ,使得 为正三角形,且 ,则 的离心率为_____.
14. 随机将 这 个连续正整数分成 两组,每组 个数, 组最大数为 组最大数为 ,记 . 当 时, 的数学期望 _____；若对任意 , 恒成立,则 的最小值为_____.
四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
的内角 的对边分别为 ,且 .
(1) 求 ;
(2)若 的外接圆半径为 ,且 ,求 的面积.
16.(15 分)
如图 1,在棱长为 2 的正方体 中, 分别为正方形 ,
的中心,现保持平面 不动,在上底面 内将正方形 绕点 逆时针方向旋转 ,得到如图 2 所示的一个十面体 .
图 1
(1)证明: 平面 ;
(2)设 的中点为 ,求点 到平面 的距离；
(3)求平面 与平面 所成角的余弦值.
17. (15 分)
已知椭圆 的左、右焦点分别为 ,离心率为 ,长轴长与短轴长之和为 6 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)已知 ,点 为椭圆 上一点,设直线 与椭圆 的另一个交点为点 ,直线 与椭圆 的另一个交点为点 . 设 . 求证: 当点 在椭圆 上运动时, 为定值.
18.(17 分)
已知函数 .
( 1 )若直线 为曲线 的一条切线,求实数 的值:
(2)若对任意的 ,函数 恒成立,且 ,求实数 的值。
(3) 证明: 当 且 时, .
19.(17 分)
在正整数 的任意一个排列 中,对于任意 , ,若 ,则称 为一个顺序对,若 ,则称 为一个逆序对. 记排列 中顺序对的个数为 ,逆序对的个数为 . 例如对于排列 , .
(1)设排列 和 ,试写出 , 的值;
(2)对于正整数 的所有排列 ,求满足 的排列个数；
(3)如果把排列 中两项 交换位置,而其余项的位置保持不变,那么就得到了一个新的排列 ,求证: 为奇数.
