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浙教版（2024新版）七年级上学期期末复习——解答压轴题专项训练
【类型一：与数轴相关】
1．（23-24七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知在数轴上有三个点A，B，C，O是原点，其中A，B，C三点表示的数分别是 ，动点P从点O出发向右以每秒4个单位的速度匀速运动：同时，动点Q从点C出发，在数轴上向左匀速运动，速度为每秒a个单位 ；运动时间为t（单位：秒）．
（1）求：点P从点O运动到点C时，运动时间t的值．
（2）若Q的速度a为每秒6个单位，那么经过多长时间P，Q两点相距个单位？
（3）当时，请求出点Q的速度a的值（注：表示Q、B两点之间的距离）．
2．（23-24七年级上·辽宁铁岭·期末）在数轴上O为数轴的原点，点A、B在数轴上对应的数分别表示为a、b，且、4为最大负整数，．
（1） ， ．
（2）如图1，数轴上有一点M，若点M到点B的距离是点M到点A的距离的3倍，求点M在数轴上表示的数．
（3）如图2，在数轴上有两个动点P、Q，点P、Q同时分别从A、B出发沿数轴正方向运动，点P的运动速度为m个单位长度/秒，点Q的运动速度为n个单位长度/秒，取线段的中点为点C，在运动过程中，若线段的长度为固定的值，直接写出m与n的数量关系．
3．（23-24七年级上·吉林·期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为．
【问题情境】数轴上点表示的数为，点表示的数为6，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后，再立即以同样的速度返回点，当点到达终点后，两点都停止运动，设运动时间为秒．
【综合运用】
（1）填空：两点间的距离________，线段的中点表示的数为________；
（2）当为何值时，两点间距离为3；
（3）若点为的中点，点为的中点，当点到达点之前，在运动过程中，探索线段和的数量关系，并说明理由．
4．（23-24七年级上·山东青岛·期末）如图1，在数轴上点表示的数为，点表示的数为满足，点是数轴原点．
（1）点表示的数为______，点表示的数为______，线段的长为______；
（2）若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，则点在数轴上表示的数为______；
（3）在图1基础上，将一根长度为6个单位的木棒放在数轴上（如图2）．木棒的右端与数轴上的点重合，以每秒2个单位长度的速度向点移动；木棒出发6秒后，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向点移动；且当点到达点时，木棒与点同时停止移动．设点移动的时间为秒，当为多少时，点恰好距离木棒2个单位长度？
5．（23-24七年级上·湖北黄冈·期末）如图，数轴上A点表示数a，B点表示数b，表示A点和B点之间的距离，且a、b满足．
（1）求 A和B 两点之间的距离；
（2）若在数轴上存在一点C，且，求 C点表示的数；
（3）若在原点 O处放一挡板（忽略挡板的厚度），一小球甲从点A处以 1 个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点 B 处以2个单位/秒的速度 也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒）；
①分别表示甲、乙两小球到原点的距离（用t表示）；
②求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间．
6．（23-24七年级上·广东深圳·期末）已知：，c比b大2．
（1）______，______，______．
（2）在数轴上，点A，B，C分别对应实数a，b，c．
①数轴上点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍，求点P对应的数．
②动点M从点A出发以4个单位速度向右运动，动点N从点B出发以1个单位速度向右运动，点D在数轴上对应的数是10，动点M与动点N同时出发，当M运动到D后立即以原来的速度向左运动，当点M到达出发点A时，两个动点同时停止运动，设运动时间是t，当______时，M、N两点到点C的距离相等（直接写出t的值）．
7．（23-24七年级上·广东云浮·期末）已知数轴上A，B，C三个点表示的数分别是a，b，c，且满足，动点P、Q都从点A出发，且点P以每秒1个单位长度的速度向右移动．
（1）直接写出_______，_______，________；
（2）设点P向右运动时，在数轴上对应的数为x，则代数式的最大值为_________．
（3）当点P运动到点B时，点Q再从点A出发，以每秒3个单位长度的速度在A，C之间往返运动，直至P点到达C点时停止运动，Q点也停止运动．求：当P点开始运动后多少秒，P、Q两点之间的距离为2？
8．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）已知关于x的多项式是二次多项式．如图1．在数轴上有A、B、C三个点，且A、B、C三点所表示的数分别是a，b，．有两条动线段和（点Q与点A重合，点N与点B重合，且点P在点Q的左边，点M在点N的左边）．，，线段从点B开始沿数轴向左运动，同时线段从点A开始沿数轴向右运动，当点Q运动到点B时，线段立即以相同的速度返回，当点P运动到点C时，线段同时停止运动，设运动时间为t秒（整个运动过程中，线段和保持长度不变）．
（1）直接依次写出a，b的值：__________，__________；
（2）如图2，若线段以每秒1个单位的速度从点B开始沿数轴向左匀速运动，同时线段以每秒3个单位的速度从点A开始沿数轴向右匀速运动，当C、Q、M中任意一点为其他两点构成线段的中点时，求时间t；
（3）如图3，若线段以每秒1个单位的速度从点B开始沿数轴向左运动，同时线段以每秒3个单位的速度从点A开始沿数轴向右运动，当两条线段有重合部分时，线段的速度变为原来的倍，线段的速度变为原来的2倍，当重合部分消失后速度恢复，请直接写出当线段和重合部分长度为1时所对应的t的值．
【类型二：与线段相关】
9．（23-24七年级上·广东揭阳·期末）如图，射线上有A，B，C三点，满足．点P从点O出发，沿方向以的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段上向点O匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点O时，点P，Q停止运动．
（1）若Q的速度为，求两点相遇时，的长；
（2）当点P与点Q都同时运动到线段的中点时，求点Q的运动速度；
（3）当时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，求点Q的运动速度．
10．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．
（1）如图1，点是线段的一个三等分点，满足，若，则________．
（2）如图2，已知，点从点出发，点从点出发，两点同时出发，都以每秒的速度沿射线方向运动秒．
①当为何值时，点是线段的三等分点．
②在点，点开始出发的同时，点也从点出发，以每秒的速度沿射线方向运动，在运动过程中，点，点分别是，的三等分点，请直接写出的值．
11．（23-24七年级上·广东珠海·期末）已知在数轴上有A，B两点，点B表示的数为，点A在B点的右边，且．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向终点B匀速运动，动点Q从点B同时出发，以每秒3个单位长度的速度沿着数轴向终点A匀速运动，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）①点A所表示的数为________；
②当秒时，点P所表示的数为________，点Q所表示的数为________；
（2）问运动了多少秒，点P与点Q相距8个单位长度？
（3）若点M为的中点，点N为的中点，求出线段与线段的数量关系．
12．（23-24七年级上·云南红河·期末）如图，在射线上有三点，满足．点从点出发，沿方向以的速度运动；点从点出发在线段上向点匀速运动（点运动到点时停止运动），两点同时出发．
（1）当（在线段上）时，点运动到的位置恰好是线段的中点，则点的运动速度为____________．（直接写出答案即可）
（2）若点的运动速度为，经过多长时间两点相距？
（3）当点运动到线段上时，分别取和的中点则____________．（直接写出答案即可）
13．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）【问题提出】同学们在解决数学问题的时候，我们往往运用分类讨论来解决问题的多种情况，如此题．例如若有，求的值．在解决此题时，我们可以进行以下思考：
①当时，此时可以解得 ．
②当时，此时可以解得 ．
【知识迁移】 仿照上面的分析思路，解决下面两个问题
（1）如图，已知点A，B，C在数轴上对应的数分别为，2，1，请在数轴上标出线段的中点D，并写出D的所代表的数；若数轴上存在点E，它到点C的距离恰好是线段的长，求线段的长．
（2）如图，有公共端点P的两条线段、组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成长度相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，，则线段的长为 ．
14．（23-24七年级上·江西赣州·期末）已知：如图，点是线段上一定点，，两点分别从点出发以、的速度在直线上运动，运动方向如图中箭头所示（点在线段上，点在线段上）
（1）若，当点、运动了，此时 ， ；（直接填空）
（2）当点运动了时，求的值．
（3）若点、运动时，总有，则 （填空）
（4）在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值．
15．（23-24七年级上·安徽芜湖·期末）【新知理解】
如图①，点C在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．
（1）线段的中点______这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）．
（2）若，点C是线段的“巧点”，则______；
【解决问题】
（3）如图②，已知．动点P从点A出发，以的速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为ts．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“巧点”？并说明理由．
16．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）（1）如图1，点，，，为直线上从左到右顺次的四个点．
①直线上以，，，为端点的射线共有______条；
②若，，，点为直线上一点，则的最大值为______；
（2）从图1的位置开始，点在直线上向左运动，点，在直线上向右与点同时开始运动，运动过程中的长度保持不变，，分别为，的中点（如图2）．在此过程中，请指出三条线段，，之间的数量关系（用一个等式表示）并说明理由；
（3）如图3，点，，为数轴上从左到右顺次的三个点，点，表示的数分别为，，为中点．若，且，，求线段的长．
【类型三：与角相关】
17．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图1，已知，，在内，在内，绕点O旋转，在旋转过程中始终有，．（本题中所有角均大于且小于等于）
（1）从图1中的位置绕点O逆时针旋转到与重合时，如图2，则_____°；
（2）从图2中的位置绕点O顺时针旋转，求、的度数．（用 n的代数式表示）
（3）从图2中的位置绕点 O逆时针旋转（且），求的度数．
18．（23-24七年级上·湖南张家界·期末）一个问题解决往往经历发现猜想——探索归纳——问题解决的过程，下面结合一道几何题来体验一下．
【发现猜想】（1）如图①，已知，，为的角平分线，求的度数．
【探索归纳】（2）如图①，，，为的角平分线，则的度数为______（直接写出结果，用含m、n的代数式表示）．
【问题解决】（3）如图②，若，，，若射线绕点O以每秒逆时针旋转，射线绕点O以每秒顺时针旋转，射线绕点O以每秒顺时针旋转，三条射线同时旋转，当一条射线与直线重合时，三条射线同时停止运动．运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线？
19．（23-24七年级上·陕西汉中·期末）【问题背景】如图1，已知射线在的内部，若，和三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“量尺金线”．
【问题感知】
（1）一个角的平分线________这个角的“量尺金线”；（填“是”或“不是”）
【问题初探】
（2）如图2，．若射线是的“量尺金线”，则的度数为________；
【问题推广】
（3）在（2）中，若，，射线从位置开始，以每秒旋转的速度绕点P按逆时针方向旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为．当t为何值时，射线是的“量尺金线”？（用含x的式子表示出t即可）
20．（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）定义：如果，则称是的加权伴随角．例如，此时，所以是的加权伴随角．而，所以不是的加权伴随角．
应用：
（1）如果，，
①______（填“是”或“不是”）的加权伴随角；
②______（填“是”或“不是”）的加权伴随角；
（2）点O在直线上，点分别为射线上一点，射线以每秒顺时针旋转，同时射线以每秒逆时针旋转，设旋转的时间为秒．
①当时，判断是否为的加权伴随角，并说明理由；
②若，求的值；
③在三个角中，若是另外两个角的加权伴随角，直接写出的值．
21．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）已知在的内部，，是补角的（本题出现的角均指不大于平角的角）．
（1）如图1，求的值；
（2）在（1）的条件下，平分，射线满足，求的大小；
（3）如图2，若，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，同时射线以每秒的速度绕点O顺时针旋转，当射线与重合后，再以每秒的速度绕点O逆时针旋转．设射线，运动的时间为t秒（），当时，请直接写出t的值 ．
22．（23-24七年级上·福建厦门·期末）如图1所示，三角板的直角边靠在直线上，其中为直角，，将三角板以O为中心顺时针旋转，射线，射线分别为，的角平分线.
（1）如图2所示，当， ；
（2）如图3所示，在第(1)问的基础上，，分别为，内的射线，且，试证明：；
（3）当，试猜想与的数量关系（直接写出所有情况）.
23．（23-24七年级上·福建福州·期末）点O 在直线上， 在直线 的下方作射线、， 满足（其中）， 将射线绕着点O逆时针旋转得到射线．
（1）①如图1， 当时， 直接写出的度数_____；
②若比大，求出的值；
（2）如图2，若，射线从开始绕着 O点以的速度逆时针旋转至结束，设旋转时间为t，射线是由射线绕O 点逆时针旋转得到，作射线平分，当 为定值时，求t的取值范围及对应的定值．
24．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）（1）将一副直角三角板，按如图1所示位置摆放，，．分别作，的平分线，．试求的度数；
（2）将三角板从图1位置开始绕点A顺时针旋转到图2所示的位置，，仍然是，的平分线．试求的度数；
（3）将三角板从图1位置开始绕点A顺时针旋转，，仍然是，的平分线．在旋转的过程中，的度数会发生改变吗？请说明理由．中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版（2024新版）七年级上学期期末复习——解答压轴题专项训练
【类型一：与数轴相关】
1．（23-24七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知在数轴上有三个点A，B，C，O是原点，其中A，B，C三点表示的数分别是 ，动点P从点O出发向右以每秒4个单位的速度匀速运动：同时，动点Q从点C出发，在数轴上向左匀速运动，速度为每秒a个单位 ；运动时间为t（单位：秒）．
（1）求：点P从点O运动到点C时，运动时间t的值．
（2）若Q的速度a为每秒6个单位，那么经过多长时间P，Q两点相距个单位？
（3）当时，请求出点Q的速度a的值（注：表示Q、B两点之间的距离）．
【思路点拨】
本题考查了一元一次方程的应用、数轴、绝对值等知识点，根据题意对问题进行正确地分类讨论是解决问题的关键．
（1）根据路程、速度、时间的关系，即可求出时间t；
（2）分相遇前相距个单位和相遇后，再相距个单位两种情况进行分类讨论，即可得出答案；
（3）由得出 ，进而可知点P对应的数为 或 ，点Q对应的数为 或 ，再分 ① 点P对应的数为，点Q对应的数为 或， ② 点P对应的数为，点Q对应的数为 或，两种情况进行分类讨论，即可得出答案．
【解题过程】
（1）解：（1）由题意知： ，
∴当P运动到点C时， （秒）；
（2）① 当点P、Q还没有相遇时， ，
解得： ；
② 当点P、Q相遇后， ，
解得：，
综上所述，经过6秒或 秒 P，Q两点相距 个单位；
（3）∵ ，
∴ ，
∵在数轴上，点A对应的数为 ，点B对应的数为 ，点C对应的数为 ，
∴点P对应的数为 或 ，点Q对应的数为 或 ，
① 点P对应的数为时， （s），
若点Q对应的数为时， ，
，
若点Q对应的数为时， ，
（舍弃），
② 点P对应的数为 时， （s），
若点Q对应的数为 时， ，
，
若点Q对应的数为 时， ，
（舍弃），
综上所述，点Q的运动速度为： 单位长度/秒或 单位长度/秒．
2．（23-24七年级上·辽宁铁岭·期末）在数轴上O为数轴的原点，点A、B在数轴上对应的数分别表示为a、b，且、4为最大负整数，．
（1） ， ．
（2）如图1，数轴上有一点M，若点M到点B的距离是点M到点A的距离的3倍，求点M在数轴上表示的数．
（3）如图2，在数轴上有两个动点P、Q，点P、Q同时分别从A、B出发沿数轴正方向运动，点P的运动速度为m个单位长度/秒，点Q的运动速度为n个单位长度/秒，取线段的中点为点C，在运动过程中，若线段的长度为固定的值，直接写出m与n的数量关系．
【思路点拨】
（1）根据最大负整数即可列出方程求得a和b；
（2）设点M对应的数为x，分情况：①当点M在点A的左侧时，则，，根据列方程求解；②当点M在线段之间时，则，，同理求解；③当点M在点B右侧时，不满足题意；
（3）设运动时间为t秒，根据题意得、和，即可求得点C表示的数，点P表示的数，则，结合题意即可求得m和n的关系．
【解题过程】
（1）解：∵、为最大负整数，
∴，
∴，，
故答案为：，3；
（2）设点M对应的数为x，点A对应的数为，点B对应的数为3，
①当点M在点A的左侧时，
则，，
∵点M到点B的距离是点M到点A的距离的3倍，
∴，
∴，
解得；
②当点M在线段之间时，
则，，
∵点M到点B的距离是点M到点A的距离的3倍，
∴，
∴，
解得；
③当点M在点B右侧时，不满足题意，
综上所述：点M对应的数为或；
（3），理由如下：
设运动时间为t秒，根据题意得：，，
∴，
∵点C为线段的中点，
∴，
点C表示的数为：，
点P表示的数为：，
∴，
∵线段的长度总为一个固定的值，
∴，
∴．
3．（23-24七年级上·吉林·期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为．
【问题情境】数轴上点表示的数为，点表示的数为6，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后，再立即以同样的速度返回点，当点到达终点后，两点都停止运动，设运动时间为秒．
【综合运用】
（1）填空：两点间的距离________，线段的中点表示的数为________；
（2）当为何值时，两点间距离为3；
（3）若点为的中点，点为的中点，当点到达点之前，在运动过程中，探索线段和的数量关系，并说明理由．
【思路点拨】
本题主要考查数轴上两点之间的距离和中点坐标，数轴上动点问题以及分类讨论思想，
（1）结合点和点表示的数，利用两点之间距离即可求得，利用中点坐标即可求得线段的中点表示的数；
（2）当点P与点B重合时，求得；同理求得点Q与点A重合时的t；当点Q返回到点B时的t，当时，点P表示的数，点Q表示的数，结合题意即可列出方程求的t；当时，点P表示的数是，点Q表示的数是，同理求的t即可；
（3）根据题意得，，当点到达点之前，即当时，点M表示的数是，点N表示的数是，即可得即可．
【解题过程】
（1）解：∵点表示的数为，点表示的数为6，
∴，
线段的中点表示的数为∶，
故答案为：10，1
（2）当点P与点B重合时，；
当点Q与点A重合时，；
当点Q返回到点B时，，
当时，点P表示的数是，点Q表示的数是，
∵，
∴或，
解得：或，
当时，点P表示的数是，点Q表示的数是，
∵，
∴或，
解得或 (不符合题意，舍去)，
综上所述，当或或时，P，Q两点间距离为3．
（3），理由如下：
∵点为的中点，点为的中点，
∴，，
当点到达点之前，即当时，
点M表示的数是，
点N表示的数是，
∵，
∴，
∴．
4．（23-24七年级上·山东青岛·期末）如图1，在数轴上点表示的数为，点表示的数为满足，点是数轴原点．
（1）点表示的数为______，点表示的数为______，线段的长为______；
（2）若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，则点在数轴上表示的数为______；
（3）在图1基础上，将一根长度为6个单位的木棒放在数轴上（如图2）．木棒的右端与数轴上的点重合，以每秒2个单位长度的速度向点移动；木棒出发6秒后，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向点移动；且当点到达点时，木棒与点同时停止移动．设点移动的时间为秒，当为多少时，点恰好距离木棒2个单位长度？
【思路点拨】
本题主要考查数轴，熟练掌握数轴的性质是解题的关键．
（1）根据绝对值和二次方的非负性求出的值即可得到答案；
（2）设未知数，分类讨论接触一元一次方程解题即可；
（3）分情况进行讨论列式计算即可．
【解题过程】
（1）解： ，
，
点表示的数为，点表示的数为，
线段的长为，
故答案为：；
（2）解：设点在数轴上表示的数为，
①当点在中间，，，
，
，
解得；
②当点在点左边，，，
，
，
解得；
③当点在点右边，不符合题意；
故答案为：或．
（3）解：①当点位于木棒左侧时，，
解得，
②当点位于木棒左侧时，，
解得，
当点到达点时，木棒与点同时停止移动，
，
故舍去，
故点移动的时间为秒．
5．（23-24七年级上·湖北黄冈·期末）如图，数轴上A点表示数a，B点表示数b，表示A点和B点之间的距离，且a、b满足．
（1）求 A和B 两点之间的距离；
（2）若在数轴上存在一点C，且，求 C点表示的数；
（3）若在原点 O处放一挡板（忽略挡板的厚度），一小球甲从点A处以 1 个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点 B 处以2个单位/秒的速度 也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒）；
①分别表示甲、乙两小球到原点的距离（用t表示）；
②求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间．
【思路点拨】
（1）根据非负数的性质求出、的值，然后进行计算即可；
（2）分点在线段上和线段的延长线上两种情况讨论即可求解；
（3）①甲球到原点的距离甲球运动的路程的长，乙球到原点的距离分两种情况：（Ⅰ）当时，乙球从点处开始向左运动，一直到原点，此时的长度乙球运动的路程即为乙球到原点的距离；（Ⅱ）当时，乙球从原点处开始向右运动，此时乙球运动的路程的长度即为乙球到原点的距离；
②分两种情况：（Ⅰ），（Ⅱ），根据甲、乙两小球到原点的距离相等列出关于的方程，解方程即可．
【解题过程】
（1）解：∵，
，，
∴，，
∴的距离为：；
（2）解：设数轴上点C表示的数为 c ，
∵，
∴，即，
∵，
∴点C不可能在的延长线上，则C点可能在线段上和线段的延长线上；
①当C点在线段上时，则有，
得，
解得；
②当C点在线段的延长线上时，则有，
得，
解得，
故当时，或；
（3）解：①∵甲球运动的路程为： ，，
∴甲球与原点的距离为：；
乙球到原点的距离分两种情况：
(Ⅰ) 当时，乙球从点 B 处开始向左运动，一直到原点O，
∵，乙球运动的路程为：，
∴乙球到原点的距离为：；
(Ⅱ) 当 时，乙球从原点 O 处开始一直向右运动，
此时乙球到原点的距离为：；
②当时，得，
解得；
当时，得，
解得；
当秒或秒时，甲乙两小球到原点的距离相等．
6．（23-24七年级上·广东深圳·期末）已知：，c比b大2．
（1）______，______，______．
（2）在数轴上，点A，B，C分别对应实数a，b，c．
①数轴上点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍，求点P对应的数．
②动点M从点A出发以4个单位速度向右运动，动点N从点B出发以1个单位速度向右运动，点D在数轴上对应的数是10，动点M与动点N同时出发，当M运动到D后立即以原来的速度向左运动，当点M到达出发点A时，两个动点同时停止运动，设运动时间是t，当______时，M、N两点到点C的距离相等（直接写出t的值）．
【思路点拨】
（1）根据非负数的性质求出a、b的值，再求出c的值即可；
（2）①设点P表示的数为x，根据点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍得出，分三种情况进行讨论即可；
②分两种情况：当动点M向右运动时，当动点M向左运动时，分别求出t的值即可．
【解题过程】
（1）解：∵，
∴，，
解得：，，
∵c比b大2，
∴；
故答案为：；4；6．
（2）解：①设点P为x，则点P到点A的距离是：，点P到点B的距离是：，
由点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍可得：
，
当时，，
解得：，不符合题意舍去；
当时，，
解得：；
当时，，
解得：；
综上分析可知，点P表示的数为2或10．
②当动点M向右运动时，即，
动点M从点A出发以4个单位速度向右运动，
点M对应实数为，
动点N从点B出发以1个单位速度向右运动，
点N对应实数为，
对应实数为6，
，，
M、N两点到点C的距离相等，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
当动点M向左运动时，即，
动点M从D出发以4个单位速度向左运动，
点M对应实数为，
，，
M、N两点到点C的距离相等，
，
解得：或；
综上分析可知，或或时，M、N两点到点C的距离相等．
故答案为：或或．
7．（23-24七年级上·广东云浮·期末）已知数轴上A，B，C三个点表示的数分别是a，b，c，且满足，动点P、Q都从点A出发，且点P以每秒1个单位长度的速度向右移动．
（1）直接写出_______，_______，________；
（2）设点P向右运动时，在数轴上对应的数为x，则代数式的最大值为_________．
（3）当点P运动到点B时，点Q再从点A出发，以每秒3个单位长度的速度在A，C之间往返运动，直至P点到达C点时停止运动，Q点也停止运动．求：当P点开始运动后多少秒，P、Q两点之间的距离为2？
【思路点拨】
本题考查数轴的应用，非负实数的性质，绝对值化简，解一元一次方程等知识点，解题的关键是利用分类讨论逐一讨论．
（1）根据非负数和为0即可求解；
（2）设点表示的数为，分为当时，当时，当时，分别化简即可判断；
（3）根据点的运动速度可知点运动至的时间为，点从点运动至点所需时间为，即可将两点距离为2的情况分为4种，利用线段之间的等量关系分别求解即可．
【解题过程】
（1）
故答案为：；
（2）设点P向右运动时，在数轴上对应的数为x，
则代数式，
当时，
当时，
当时，
则代数式的最大值为15；
（3）∵点运动到点时，点再从点出发，点以每秒1个单位长度的速度向终点移动，
点再从点出发，以每秒3个单位长度的速度在之间往返运动，
∴点从点运动至点的时间为：，
点从点运动至点的时间为：，
∴可将两点距离为2的情况分为以下4种，
设点从点运动后，两点距离为2，
①如图，当点，点向右运动，且点在点右侧时，
解得：，
∴点开始运动后的第8秒，两点之间的距离为2；
②如图，当点，点向右运动，且点在点左侧时，
解得：，
∴点开始运动后的第10秒，两点之间的距离为2；
③如图，当点向右运动，点向左运动，且点在点左侧时，
解得：，
∴点开始运动后的第14.5秒，两点之间的距离为2；
④如图，当点向右运动，点向左运动，且点在点右侧时，
解得：，
∴点开始运动后的第15.5秒，两点之间的距离为2；
综上，当点运动的第秒，P，Q两点之间的距离为2．
8．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）已知关于x的多项式是二次多项式．如图1．在数轴上有A、B、C三个点，且A、B、C三点所表示的数分别是a，b，．有两条动线段和（点Q与点A重合，点N与点B重合，且点P在点Q的左边，点M在点N的左边）．，，线段从点B开始沿数轴向左运动，同时线段从点A开始沿数轴向右运动，当点Q运动到点B时，线段立即以相同的速度返回，当点P运动到点C时，线段同时停止运动，设运动时间为t秒（整个运动过程中，线段和保持长度不变）．
（1）直接依次写出a，b的值：__________，__________；
（2）如图2，若线段以每秒1个单位的速度从点B开始沿数轴向左匀速运动，同时线段以每秒3个单位的速度从点A开始沿数轴向右匀速运动，当C、Q、M中任意一点为其他两点构成线段的中点时，求时间t；
（3）如图3，若线段以每秒1个单位的速度从点B开始沿数轴向左运动，同时线段以每秒3个单位的速度从点A开始沿数轴向右运动，当两条线段有重合部分时，线段的速度变为原来的倍，线段的速度变为原来的2倍，当重合部分消失后速度恢复，请直接写出当线段和重合部分长度为1时所对应的t的值．
【思路点拨】
本题考查两点间距离，列代数式，一元一次方程的应用，熟练掌握线段上两点间距离的求法，能够准确表示数轴上的点是解题的关键．
（1）由已知可得即可求；
（2）分点Q在到达点B前或到达点B后，两种情况分别求解即可；
（3）分四种情况：①Q未到达C，Q在M右边1个单位时，②Q未到达C，N在P右侧1个单位时，③返回，N在P右侧1个单位时，④返回，Q在M右边1个单位时，列出方程求解即可．
【解题过程】
（1）解：关于x的多项式是二次多项式，
，
，
故答案为：，；
（2）解：点Q在到达点B前：
①当点Q为中点时，，
点Q与点A重合，点N与点B重合，且点P在点Q的左边，点M在点N的左边，，，
点Q表示的数为：，点M表示的数为：，
，
，即，
解得：；
②当点M为中点时，，
，
，即，
解得：；
点Q在到达点B时：，
点Q在到达点B后：
点Q表示的数为：，点M表示的数为：，
①当点M为中点时，，
，
，即，
解得：（舍去，不符合题意）；
②当点Q为中点时，，
，
，即，
解得：；
当点P运动到点C时，线段同时停止运动，
此时：，
综上，t的值为或或；
（3）解： 当时，Q表示，P表示的数，
当时，Q表示的数是，P表示的数是， N表示的数是，M表示的数是，
①Q未到达C，若Q在M右边1个单位时， ，
解得，
②Q未到达C，N在P右侧1个单位时，，
解得；
当时，Q表示，P表示的数，
当时，Q表示的数是，P表示的数是，
当时，Q表示的数是，P表示的数是，N表示的数是，M表示的数是，
③返回，N在P右侧1个单位时，，
解得，
④返回，Q在M右边1个单位时，，
解得；
综上所述，t的值是或或或．
【类型二：与线段相关】
9．（23-24七年级上·广东揭阳·期末）如图，射线上有A，B，C三点，满足．点P从点O出发，沿方向以的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段上向点O匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点O时，点P，Q停止运动．
（1）若Q的速度为，求两点相遇时，的长；
（2）当点P与点Q都同时运动到线段的中点时，求点Q的运动速度；
（3）当时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，求点Q的运动速度．
【思路点拨】
本题考查一元一次方程的应用，两点间距离，路程，速度时间之间的关系等知识，学习构建方程解决问题是解决此种题型的关键．
（1）设经过，两点相遇，列出方程即可求得本题答案；
（2）根据题意设经过点P与点Q都同时运动到线段的中点，先计算和的长度，再计算点P运动到的中点时的时间，再利用路程时间公式即可得出点Q的运动速度；
（3）设Q的速度为，经过后，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，点O对应数轴上的，点A对应数轴上的，点B对应数轴上的，点C对应数轴上的，点P对应数轴上的，点Q对应数轴上的，根据题意列出方程即可求出值．
【解题过程】
（1）解：设经过，两点相遇，
∵点P从点O出发，沿方向以的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段上向点O匀速运动，两点同时出发，Q的速度为，
又∵，
∴，
∴，
则（cm），
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
∴，，
∵P从点O出发，沿方向以的速度匀速运动，
∴点P运动到中点时时间为：，
∴点Q的运动速度为：，
故答案为：；
（3）解：设Q的速度为，经过后，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，
且规定点O对应数轴上的，点A对应数轴上的，点B对应数轴上的，点C对应数轴上的，
∴点P对应数轴上的，点Q对应数轴上的，
∵点Q运动到的位置恰好是线段的中点，
∴，解得，
∵，
∴，解得或，
当时，此时，
而点Q到达O所需时间为；
当时，此时，
而点Q到达O所需时间为，
综上所述，当或，
故答案为：或．
10．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．
（1）如图1，点是线段的一个三等分点，满足，若，则________．
（2）如图2，已知，点从点出发，点从点出发，两点同时出发，都以每秒的速度沿射线方向运动秒．
①当为何值时，点是线段的三等分点．
②在点，点开始出发的同时，点也从点出发，以每秒的速度沿射线方向运动，在运动过程中，点，点分别是，的三等分点，请直接写出的值．
【思路点拨】
此题考查一元一次方程的实际运用，掌握数轴上两点之间的距离求解方法，分类讨论是解决问题的关键．
（1）由，，可得出的长度；
（2）①点是线段的三等分点，分两种情况：或进行讨论求解即可；②点，点分别是，的三等分点，可以分四种情况讨论求解即可．
【解题过程】
（1）∵，，
∴
故答案为：3；
（2）由题意可得：，
∴，
点是线段的三等分点，分两种情况：
当时，，解得：；
当时，，解得：；
综上所述：当为或时，点是线段的三等分点；
由题意得：，则，，
∵点，点分别是，的三等分点，
∴可以分四种情况讨论：
当时，则，，
分别解得：，
∴
解得：；
当时，则，，
分别解得：，
∴
解得：；
当时，则，，
分别解得：，
∴
解得：；
当时，则，，
分别解得：，
∴
解得：（舍去）；
点，点分别是，的三等分点，的值为或或．
11．（23-24七年级上·广东珠海·期末）已知在数轴上有A，B两点，点B表示的数为，点A在B点的右边，且．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向终点B匀速运动，动点Q从点B同时出发，以每秒3个单位长度的速度沿着数轴向终点A匀速运动，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）①点A所表示的数为________；
②当秒时，点P所表示的数为________，点Q所表示的数为________；
（2）问运动了多少秒，点P与点Q相距8个单位长度？
（3）若点M为的中点，点N为的中点，求出线段与线段的数量关系．
【思路点拨】
（1）①由数轴上两点之间的距离列式即可；②由起点对应的数加上或减去移动距离可得答案；
（2）先表示点表示的数为，点表示的数为，再利用两点之间的距离公式列方程求解即可；
（3）分两种情况讨论：当在右侧时，如图，同理在左侧时：如图，再利用中点的含义结合线段的和差关系可得结论．
【解题过程】
（1）解：①∵，，
∴表示的数是16；
②∵，
∴点表示的数是；
点表示的数是：；
（2）
点表示的数为，点表示的数为
解得或4
答：点运动2秒或4秒与点相距8个单位长度．
（3）为的中点，为的中点
当在右侧时，如图，有：
∴
，
，即．
同理在左侧时：如图，
同理可得：
，
∴．
综合知，或．
12．（23-24七年级上·云南红河·期末）如图，在射线上有三点，满足．点从点出发，沿方向以的速度运动；点从点出发在线段上向点匀速运动（点运动到点时停止运动），两点同时出发．
（1）当（在线段上）时，点运动到的位置恰好是线段的中点，则点的运动速度为____________．（直接写出答案即可）
（2）若点的运动速度为，经过多长时间两点相距？
（3）当点运动到线段上时，分别取和的中点则____________．（直接写出答案即可）
【思路点拨】
（1）根据，求得，得到，求得，根据线段中点的定义得到，求得，由此即得到结论；
（2）分点P、Q相遇前和点P、Q相遇后两种情况，设运动时间为t秒，然后分别根据线段的和差、速度公式列出等式求解即可得；
（3）先画出图形，再根据线段的和差、线段的中点定义求出和的长，从而即可得出答案．
【解题过程】
（1）解：∵点P在线段上时，，，
∴，而，
∴，
∴，
∵点Q是线段的中点
∴，而，
∴，
∴点Q的运动速度为；
（2）解：设运动时间为t秒
则，
∵点Q运动到O点时停止运动
∴点Q最多运动时间为
依题意，分以下两种情况：
①当点P、Q相遇前，
，即，
解得
②当点P、Q相遇后，
，
，
解得：，经检验不符合题意，舍去；
当时，与重合，停止运动，
此时，
当再运动时，相距，
此时，
综上，经过2秒，秒，P、Q两点相距；
（3）解：如图，设，
点P在线段上，则，即，
点E、F分别为和的中点，
，
则．
13．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）【问题提出】同学们在解决数学问题的时候，我们往往运用分类讨论来解决问题的多种情况，如此题．例如若有，求的值．在解决此题时，我们可以进行以下思考：
①当时，此时可以解得 ．
②当时，此时可以解得 ．
【知识迁移】 仿照上面的分析思路，解决下面两个问题
（1）如图，已知点A，B，C在数轴上对应的数分别为，2，1，请在数轴上标出线段的中点D，并写出D的所代表的数；若数轴上存在点E，它到点C的距离恰好是线段的长，求线段的长．
（2）如图，有公共端点P的两条线段、组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成长度相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，，则线段的长为 ．
【思路点拨】
问题提出：根据绝对值的意义进行求解即可；
知识迁移：（1）根据中点公式求出点D表示的数，并表示在数轴上即可；设点E表示的数为，根据题意得：，求出点E表示的数为7或，求出或；
（2）分两种情况进行讨论：当点D在上时，当点D在上时，分别画出图形，求出结果即可．
【解题过程】
解：问题提出：①当时，，解得：；
②当时，，解得：．
故答案为：①7；②．
知识迁移：（1）∵点A，B在数轴上对应的数分别为，2，
∴的中点D所表示的数为：，点D在数轴上的数，如图所示：．
设点E表示的数为，根据题意得：，
解得：或，
∴点E表示的数为7或，
∴或，
∴或8．
（2）当点D在上时，如图所示：
∵点E为线段的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
当点D在上时，如图所示：
∵点E为线段的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上分析可知，或．
故答案为：或．
14．（23-24七年级上·江西赣州·期末）已知：如图，点是线段上一定点，，两点分别从点出发以、的速度在直线上运动，运动方向如图中箭头所示（点在线段上，点在线段上）
（1）若，当点、运动了，此时 ， ；（直接填空）
（2）当点运动了时，求的值．
（3）若点、运动时，总有，则 （填空）
（4）在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值．
【思路点拨】
本题考查了线段上的动点问题，线段的和差，一元一次方程的应用；
（1）由已知条件得、的长，由即可求解；
（2）由已知条件得，，由 ，即可求解；
（3）的运动速度可知：，由线段的和得，即可求解；解法二：、运动时间为，的长度为，得，，由，即可求解；
（4）①当点在线段上时，由线段和差得，可求，由即可求解；②当点在线段的延长线上时，同理可求，即可求解；
能用已知线段的和差表示所求线段，根据点的不同位置进行分类讨论，用方程思想求解是解题的关键．
【解题过程】
（1）解：由题意得
，
，
，
，
，
故答案：；；
（2）解：由题意得
，，
；
故的值为；
（3）解：的运动速度可知：，
，
，
即 ，
又 ，
，
，
．
故答案为：4．
解法二
设、运动时间为，的长度为，得
，
，
，
，
．
又 ，
，
解得：；
故答案为：4；
（4）解：①当点在线段上时，如图1，
，
又，
，
，
；
②当点 在线段的延长线上时，如图2，
，
又 ，
，
．
综上所述 或1．
15．（23-24七年级上·安徽芜湖·期末）【新知理解】
如图①，点C在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．
（1）线段的中点______这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）．
（2）若，点C是线段的“巧点”，则______；
【解决问题】
（3）如图②，已知．动点P从点A出发，以的速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为ts．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“巧点”？并说明理由．
【思路点拨】
（1）由“巧点”的定义进行判断即可求解；
（2）由“巧点”的定义，按的位置进行分类讨论①，②
，③，即可求解；
（3）①当是、的“巧点”，(ⅰ) 由“巧点”的定义得，列方程即可求解； (ⅱ) 由“巧点”的定义得，
②当是、的“巧点”，(ⅰ) 由“巧点”的定义得， (ⅱ) 由“巧点”的定义得，即可求解．
【解题过程】
（1）解：C是线段的中点，
，
C是线段的“巧点”；
故答案：是；
（2）解：①如图，点C是线段的“巧点”，
，
；
②如图，点C是线段的“巧点”，
，
；
③如图，点C是线段的“巧点”，
，
；
故答案：或或；
（3）解：t为或或，理由如下：
①当是、的“巧点”，
(ⅰ)如图，
，
，，
，
，
解得：，
(ⅱ)如图，
，
，，
，
，
解得：；
②当是、的“巧点”，
(ⅰ)如图，
，
，，
，
，
，
，
解得：；
(ⅱ)如图，
，
同理可得：
，
解得：；
此种情况不合题意，舍去；
综上所示：当t为或或时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“巧点”．
16．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）（1）如图1，点，，，为直线上从左到右顺次的四个点．
①直线上以，，，为端点的射线共有______条；
②若，，，点为直线上一点，则的最大值为______；
（2）从图1的位置开始，点在直线上向左运动，点，在直线上向右与点同时开始运动，运动过程中的长度保持不变，，分别为，的中点（如图2）．在此过程中，请指出三条线段，，之间的数量关系（用一个等式表示）并说明理由；
（3）如图3，点，，为数轴上从左到右顺次的三个点，点，表示的数分别为，，为中点．若，且，，求线段的长．
【思路点拨】
本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，数轴上两点的距离计算，射线的条数问题：
（1）①根据射线的定义进行求解即可；②分点P在点A左侧，点P在A、B之间，点P在点D右侧三种情况讨论求解即可；
（2）如图所示，当点B在点C左边时，由线段中点的定义得到，，根据，推出，则；如图所示，当点B在点C右侧时，由线段中点的定义得到，，根据．推出则；
（3）由中点的定义得到，，求出，则，再由，推出，则．
【解题过程】
解：（1）①由题意得，图中的射线有射线，共8条射线，
故答案为：8；
②∵，，，
∴，
如图所示，当点P在点A左侧时（包括A），
如图所示，当点P在A、D之间时，，
如图所示，当点P在点D右侧时（包括B），；
综上所述，的最大值为9；
故答案为：9；
（2），理由如下：
如图所示，当点B在点C左边时，
∵，分别为，的中点，
∴，，
∴
，
，
∴；
如图所示，当点B在点C右侧时，
∵，分别为，的中点，
∴，，
∴
，
，
∴；
综上所述，；
（3）∵为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【类型三：与角相关】
17．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图1，已知，，在内，在内，绕点O旋转，在旋转过程中始终有，．（本题中所有角均大于且小于等于）
（1）从图1中的位置绕点O逆时针旋转到与重合时，如图2，则_____°；
（2）从图2中的位置绕点O顺时针旋转，求、的度数．（用 n的代数式表示）
（3）从图2中的位置绕点 O逆时针旋转（且），求的度数．
【思路点拨】
本题考查了角的数量关系，数形结合是解答本题的关键．
（1）根据可得答案；
（2）先分别表示出，，然后根据，求解即可；
（3）分二种情况：①当时，②当时，画出图形计算即可．
【解题过程】
（1）∵，，
∴，
∴
；
故答案为：100；
（2）如图，
∵，，，
∴，，
∵，，
∴，；
（3）①当时，如图，
∵，
∴，，
∵，，
∴
；
②当时，如图，
∵，
∴，
，
∴
．
综上所述：的度数为．
18．（23-24七年级上·湖南张家界·期末）一个问题解决往往经历发现猜想——探索归纳——问题解决的过程，下面结合一道几何题来体验一下．
【发现猜想】（1）如图①，已知，，为的角平分线，求的度数．
【探索归纳】（2）如图①，，，为的角平分线，则的度数为______（直接写出结果，用含m、n的代数式表示）．
【问题解决】（3）如图②，若，，，若射线绕点O以每秒逆时针旋转，射线绕点O以每秒顺时针旋转，射线绕点O以每秒顺时针旋转，三条射线同时旋转，当一条射线与直线重合时，三条射线同时停止运动．运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线？
【思路点拨】
本题主要考查了角平分线的有关计算，一元一次方程的应用，涉及射线的旋转问题，有一定难度，解题的关键是厘清角的和差关系，注意分情况讨论，避免漏解．
（1）先根据角的和差关系计算出，再由角平分线的定义求出的度数，再根据求解即可；
（2）仿照（1）求解即可；
（3）分①当为，夹角的角平分线，即平分时，此时，②当为，夹角的角平分线，即平分时， ，③当为，夹角的角平分线，即平分时，，④当为，夹角的角平分线，即平分时，，四种情况根据角平分线的定义建立方程求解即可．
【解题过程】
解：（1）∵，，
∴，
∵为的角平分线，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）∵，，
∴，
∵为的角平分线，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）解：设运动时间为t，
由题意知， 旋转了，旋转了，旋转了，
，，
∴，，
∴经过4.5秒射线与直线重合，经过34秒射线与直线重合，经过4秒射线与直线重合，
∴总运动时间为4秒，
当与重合时，，解得；
当与重合时，，解得；
当与重合时，，解得；
①当为，夹角的角平分线，即平分时，此时，
∴，
，
解得；
②当为，夹角的角平分线，即平分时，，
∴，
∴，
解得，
③当为，夹角的角平分线，即平分时，，
∴，
∴
解得；
④当为，夹角的角平分线，即平分时，，
∴，
∴，
解得（舍去），
综上所述，运动时间为为或或2秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线．
19．（23-24七年级上·陕西汉中·期末）【问题背景】如图1，已知射线在的内部，若，和三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“量尺金线”．
【问题感知】
（1）一个角的平分线________这个角的“量尺金线”；（填“是”或“不是”）
【问题初探】
（2）如图2，．若射线是的“量尺金线”，则的度数为________；
【问题推广】
（3）在（2）中，若，，射线从位置开始，以每秒旋转的速度绕点P按逆时针方向旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为．当t为何值时，射线是的“量尺金线”？（用含x的式子表示出t即可）
【思路点拨】
本题主要考查新定义下的角的计算，几何图形中的角度计算，理解题意，列出相应的式子求解，是解题关键．
（1）根据“量尺金线”的定义进行判断即可；
（2）根据“量尺金线”的定义分三种情况讨论计算即可；
（3）射线是的“量尺金线”，在的内部，在的外部，然后分三种情况求解即可．
【解题过程】
解：（1）一个角的平分线中，大角是小角的2倍，满足“量尺金线”的定义，
故答案为：是；
（2），射线是的“量尺金线”，根据“量尺金线”的定义分三种情况讨论：
当时，如图，
∵，
∴；
当时，如图，
∵
∴；
当时，如图，
∵，
∴；
综上：当为，，时，射线是的“量尺金线”．
（3）∵射线是的“量尺金线”，
∴在的内部，
∴在的外部；
分三种情况：
①如图，当时，如图所示：
∴，
∴；
②如图，当时，如图所示：
∴，
∴；
③当时，如图所示：
∵，
∴，
∴；
综上：当t为或或时，射线是的“量尺金线”．
20．（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）定义：如果，则称是的加权伴随角．例如，此时，所以是的加权伴随角．而，所以不是的加权伴随角．
应用：
（1）如果，，
①______（填“是”或“不是”）的加权伴随角；
②______（填“是”或“不是”）的加权伴随角；
（2）点O在直线上，点分别为射线上一点，射线以每秒顺时针旋转，同时射线以每秒逆时针旋转，设旋转的时间为秒．
①当时，判断是否为的加权伴随角，并说明理由；
②若，求的值；
③在三个角中，若是另外两个角的加权伴随角，直接写出的值．
【思路点拨】
本题主要考查了角的计算．解决本题的关键是熟练掌握新定义——加权伴随角，分类讨论．
（1）根据，可知是和的加权伴随角；②根据，可知不是和的加权伴随角；
（2）①时，得到，，，可知是和的加权伴随角；②根据，， ，分， 和，两种情况解答；③根据当时， ，，得到，，分， ， ， ，四种情况解答；当时，此时，根据，，，分， ，两种情况解答．
【解题过程】
（1）①∵，，，
∴，
∴是和的加权伴随角；
故答案为：是；
②∵，
∴不是和的加权伴随角；
故答案为：不是；
（2）①是的加权伴随角，理由：
当时，
，，，
∴，
∴是和的加权伴随角；
②∵，， 且，
∴当时，
，
解得，；
当时，
，
解得，；
综上，或；
③当时，，，
∴，
当时，
若，
则，
解得，，舍去；
若，
则，
解得，；
当时，，，
∴，
此时，
若，
则，
解得，；
若，
则，
解得，，舍去；
综上，或．
21．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）已知在的内部，，是补角的（本题出现的角均指不大于平角的角）．
（1）如图1，求的值；
（2）在（1）的条件下，平分，射线满足，求的大小；
（3）如图2，若，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，同时射线以每秒的速度绕点O顺时针旋转，当射线与重合后，再以每秒的速度绕点O逆时针旋转．设射线，运动的时间为t秒（），当时，请直接写出t的值 ．
【思路点拨】
（1）根据角度的比例关系和补角的性质列式，即可进行求解；
（2）根据角平分线的定义及（1）问结果，可求的大小，分射线在内部；射线在外部，两种情况进行讨论；
（3）根据题意列出和关于时间的关系式，再应用绝对值的化简规则进行求解．
【解题过程】
（1）解：
；
又是补角的，
，即，
，，
故的值为；
（2）解：平分，，
，，
当射线在内部时，
，，
，
，
当射线在外部时，
，，
，
，
故的大小为或；
（3）解：当顺时针旋转时，
，
，
代入，
，即，
去绝对值符号：或，
（舍）或，
当逆时针旋转时，
，
，
代入，
，即，
去绝对值符号：或，
（舍）或，
故答案为：或．
22．（23-24七年级上·福建厦门·期末）如图1所示，三角板的直角边靠在直线上，其中为直角，，将三角板以O为中心顺时针旋转，射线，射线分别为，的角平分线.
（1）如图2所示，当， ；
（2）如图3所示，在第(1)问的基础上，，分别为，内的射线，且，试证明：；
（3）当，试猜想与的数量关系（直接写出所有情况）.
【思路点拨】
本题考查了角的和差计算，角的平分线的相关计算，证明．
（1）根据，结合已知，，代入变形计算即可．
（2）根据角的和差关系计算即可．
（3）分和求解．
【解题过程】
（1）∵ 射线，射线分别为，的角平分线. ，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：．
（2）∵射线，射线分别为，的角平分线. ，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴
，
故．
（3）根据(1)，得当时，
∴；
当时，
∵
∴
∴，
∴
∴；
当时，
∵，，
∴
∴，
∴
∴；
当时，
∵，
∴，
∴
∴．
综上所述，当时，；当时，
；当时，；
当时，．
23．（23-24七年级上·福建福州·期末）点O 在直线上， 在直线 的下方作射线、， 满足（其中）， 将射线绕着点O逆时针旋转得到射线．
（1）①如图1， 当时， 直接写出的度数_____；
②若比大，求出的值；
（2）如图2，若，射线从开始绕着 O点以的速度逆时针旋转至结束，设旋转时间为t，射线是由射线绕O 点逆时针旋转得到，作射线平分，当 为定值时，求t的取值范围及对应的定值．
【思路点拨】
本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，一元一次方程的应用：
（1）①根据题意并结合图形可得，代入数据计算即可；
②分当，当时，当时，当时，四种情况画出图形讨论求解即可；
（2）分当时， 当时，两种情况画出图形分别求出即可得到答案．
【解题过程】
（1）解：①∵将射线绕着点逆时针旋转得到射线，
∴，
∵，
∴
，
∴的度数为，
故答案为：；
②当，
∵将射线绕着点逆时针旋转得到射线，
∴，
∵，比大，
∴，
∵，
∴，
解得：；
当时，
∵将射线绕着点逆时针旋转得到射线，
∴，
∵，比大，
∴，
∵，
∴，
解得：；
当时，此时，不符合题意；
当时，
∵将射线绕着点逆时针旋转得到射线，
∴，
∵，比大，
∴，
∵，
∴，
解得：；
综上所述，的值为或或；
（2）解：①当时，如图，
∵射线从开始绕着点以每秒的速度逆时针旋转，射线平分，射线绕着点逆时针旋转得到射线，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，不是定值；
当时，
∵射线从开始绕着点以每秒的速度逆时针旋转，射线平分，射线绕着点逆时针旋转得到射线，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，是定值；
综上所述，当时，，是定值．
24．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）（1）将一副直角三角板，按如图1所示位置摆放，，．分别作，的平分线，．试求的度数；
（2）将三角板从图1位置开始绕点A顺时针旋转到图2所示的位置，，仍然是，的平分线．试求的度数；
（3）将三角板从图1位置开始绕点A顺时针旋转，，仍然是，的平分线．在旋转的过程中，的度数会发生改变吗？请说明理由．
【思路点拨】
本题考查了角平分线的定义，角度的计算；
（1）由角平分线得、，再相加即可；
（2）用已知来分别表示、，再根据计算即可；
（3）根据旋转的不同位置，分情况讨论，通过画图根据（2）的思路解答即可．
【解题过程】
解：（1）∵，仍然是，的平分线，，，
∴，，
∴．
（2）∵，，
∴，，
，仍然是，的平分线，
∴，，
∴
；
（3）不变，如图，，
此时，，
∴；
如图，，
此时，，
∴；
如图，，
此时，，
∴；
如图，即为第（2）小问，此时， ；
如图，，
此时，，
∴；
如图，，
此时，，
∴；
综上所述，当在旋转的过程中，的度数保持不变．
